Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
101
При этом, если в верхней строке ряда распределения появляются одина-
ковые значения f(x1), то соответствующие столбцы необходимо объединить
в один, приписав им суммарную вероятность.
Пример 5.4. Случайная величина X имеет ряд распределения:
2 1 0 1 2
0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
X
P
−−
Найти закон распределения случайной величины Y = |X|.
Решение. Составим ряд распределения случайной величины |X|:
2 1 0 1 2
0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
X
P
Объединив первый и пятый, второй и четвертый столбцы, получим:
0 1 2
0,3 0,5 0,2
Y
P
Таким образом, распределения случайной величины Y = |X| получен.
Пусть X — непрерывная случайная величина. В этом случае случайная
величина Y = f(X) может быть как непрерывной, так и дискретной. Будем рассматривать непрерывные функции f(x).
Пусть случайная величина X имеет плотность px(x). Тогда для функции
распределения Fy(y) случайной величины Y = f(X) справедливо равенство:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
YX
f x y
F y P Y y P f x y p x dx
= = =
. (5.22)
Пример 5.5. Пусть случайная величина X имеет плотность распределения:
( ) ( )
2
2
1
,;
2
x
X
p x e x
−
= − +
.
102
Найти распределение случайной величины Y = X2.
Решение. В данном случае
( )
2
y f x x==
. Согласно (5.22), получим:
( )
2
2
2
1
2
x
xy
F y e dx
−
=
.
Очевидно, что при y < 0, получаем, что
( )
0Fy
=
.
При y < 0 область
( )
2
xy
совпадает с областью
( )
y x y−
. Отсюда
получаем
( )
22
2
22
00
1 2 1
2 2 2
t
yy
y
xx
Y
y
e
F y e dx e dx dt
t
−
−−
−
= = =
.
Теорема. Пусть X — непрерывная случайная величина с плотностью рас-
пределения px(x). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью:
( )
y f x=
,
где f(x) — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента x.
Тогда плотность распределения случайной величины Y выражается формулой:
( ) ( )
( )
( )
YX
p y p g y g y
=
, (5.23)
где g(y) — функция, обратная по отношению к функции f(x).
Пусть y = f(x) — монотонно возрастающая функция. Тогда:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
.
Y
X
F y P Y y P f X y P X f y
P X g y F g y
−
= = = =
= =
103
Продифференцировав последнее равенство, получим:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Y Y X X
dd
p y F y F g y p g y g y
dy dy
= = =
. (5.24)
Пусть y = f(x) — монотонно убывающая функция. В этом случае
( )
0fx
и, следовательно,
( ) ( )
1
0
d
g y f y
dy
−
=
. Отсюда получаем:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 .
Y
X
F y P Y y P f X y P X f y
P X g y P X g y F g y
−
= = = =
= = − = −
Продифференцировав последнее равенство, получаем:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Y Y X X
dd
p y F y F g y p g y g y
dy dy
= = = −
. (5.25)
Учитывая свойства модуля, равенства (5.24) и (5.25) объединим в одно:
( ) ( )
( )
( )
YX
p y p g y g y
=
,
что совпадает с (5.23).
Пример 5.6. Случайная величина X распределена равномерно в интервале
−
2
;
2
. Найти закон распределения случайной величины
sinYX=
.
Решение. Функция
sinyx=
в интервале
−
2
;
2
монотонна, следова-
тельно, можно применить формулу (5.23).
Решение задачи удобно расположить в виде таблицы, содержащей три
столбца: в первом столбце, запишем план решения задачи; во втором столбце
запишем обозначения функций, принятые в общем случае; в третьем — конкретные функции, соответствующие данному примеру.
104
Плотность случайной
величины X
( )
X
px
( )
( )
1 , 2; 2 ;
0, 2; 2 .
x
x
−
−
Функциональная зависимость между случайными
величинами X и Y
( )
y f x=
sinyx=
Обратная функция
( )
x g y=
arcsinxy=
Модуль производной
обратной функции
( )
gy
2
1
1 y−
Плотность случайной
величины Y
( ) ( )
( )
( )
YX
p y p g y g y
=
( )
( )
2
1
, 1;1 ;
1
0, 1;1 .
y
y
y
−
−
−
Интервал (–1; 1), в котором лежат значения случайной величины Y, опре-
деляется областью значений функции
sinyx=
.
Если y = f(x) — немонотонная функция, то обратная к ней функция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется
в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном значении y)
имеет обратная функция:
( ) ( )
( )
( )
1
k
Y X i i
i
p y p g y g y
=
=
. (5.26)
где
( ) ( )
1
,,
k
g y g y
— значения обратной функции для данного y.
Пример 5.7. Случайная величина X распределена равномерно в интервале
−
2
;
2
. Найти плотность распределения случайной величины
cosYX=
.
Решение. Функция
cosyx=
немонотонная в интервале
−
2
;
2
, ее зна-
чения лежат в интервале (0,1). В данном случае для любого y обратная функция
будет иметь два значения.
Плотность случайной
величины X
( )
X
px
( )
( )
1 , 2; 2 ;
0, 2; 2 .
x
x
−
−
Функциональная зависимость между случай-
ными величинами X и Y
( )
y f x=
cosyx=
105
Обратная функция
( )
x g y=
1
2
arccos ,
arccos .
xy
xy
=
=−
Модуль производной
обратной функции
( )
gy
2
1
1 y−
Плотность случайной
величины Y
( ) ( )
( )
( )
2
1
Y X i i
i
p y p g y g y
=
=
( )
( )
2
2
, 0;1 ;
1
0, 0;1 .
y
y
y
−
Применяя (5.26), получим:
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
1
1 1 1 1 2
1 1 1
Y X i i
i
p y p g y g y
y y y
=
= = + =
− − −
.
Интервал (0; 1), в котором лежат значения случайной величины Y, опре-
деляется областью значений функции
cosyx=
.
5.6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
5.6.1. Математическое ожидание случайной величины
Определение. Математическим ожиданием MX дискретной случайной
величины X называется сумма произведений значений случайной величины на
соответствующие им вероятности, т.е.
kk
k
X x p=
M
; (5.27)
где
12
, ,...xx
— значения случайной величины,
12
, ,...pp
— соответствующие им
вероятности.
Для существования математического ожидания необходимо, чтобы ряд
(5.27) сходился абсолютно, т.е.
kk
k
xp
,
в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.
106
Пример 5.8. Найти математическое ожидание случайной величины, рас-
пределенной по биномиальному закону.
Решение. Как известно, распределение случайной величины X, распреде-
ленной по биномиальному закону, задается соотношением (5.6).
Используя формулу (5.27), получим:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
0 0 0
1
11
1
10
1
1
0
1
!
!!
1!
1 ! !
1.
n n n
m m n m m n m
nn
m m m
nn
m n m m m n m
n
mm
n
n
i
n
X m p m m С p q m p q
m n m
n
np p q np С p q
m n m
np p m np np
−−
= = =
−
− − − −
−
==
−
−
=
= = = =
−
−
= = =
−−
= = =
M
Таким образом, случайной величины, распределенной по биномиальному
закону (математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли) равно np.
Пример 5.9. Найти математическое ожидание случайной величины X,
распределенной по закону Пуассона.
Решение. Как известно, распределение случайной величины X, распреде-
ленной закону Пуассона, задается соотношением (5.7).
Используя формулу (5.27), получим:
( )
( )
1
0 0 1
1
1
1
! 1 !
1.
!
mm
m m m
k
k
X m P X m m e e k m
mm
e np
k
−
−−
= = =
−
=
= = = = = = − =
−
= = =
M
Таким образом, параметр λ распределения Пуассона совпадает с математическим ожиданием.
Пример 5.10. Найти математическое ожидание случайной величины X,
имеющей геометрическое распределение.
Решение. Как известно, распределение случайной величины X, имеющей
геометрическое распределение, задается соотношением (5.9).
107
Используя формулу (5.27), получаем:
( ) ( )
( )
0 0 0
1
2
2
00
11
1
.
1
1
m
m
m m m
mm
mm
q
q
X m P X m mp p q p mpq
pq pq q
pq mq pq q pq
q p p
q
= = =
−
==
= = = − = = − = =
= = = = = =
−
−
•
M
Определение. Математическим ожиданием МX непрерывной случай-
ной величины X называется интеграл:
()X хр х dх
+
−
=
M
. (5.28)
Условием существования математического ожидания непрерывной слу-
чайной величины является абсолютная сходимость интеграла:
( )
х р x dх
+
−
.
Пример 5.11. Найти математическое ожидание случайной величины X,
равномерно распределенной на отрезке
,ab
.
Решение. Случайна величина, равномерно распределенная на отрезке
[a, b] задается плотностью распределения (5.16).
Используя (5.28), получим:
( ) ( )
2 2 2
()
2 2 2
b
b
a
a
x x b a a b
X хр х dх dx
b a b a b a
+
−
−+
= = = = =
− − −
M
.
Пример 5.12. Найти математическое ожидание случайной величины X,
распределенной по нормальному закону с параметрами (m, σ2).
Решение. Случайна величина, распределенной по нормальному закону
с параметрами (m, σ2) задается плотностью распределения (5.19).
108
Используя (5.28), получим:
( )
2
2
2
22
()
2
2
22
,
()
2
.
2 2 2
xm
t
tt
xm
t x m t
x
X xp x dx e dx
dx d m t dt
m t e
e dt m dt te dt
−
+ +
−
− −
−
+ + +
−−
− − −
−
= = +
= = = =
= + =
+
= = +
M
Второе слагаемое равно нулю, так как равен нулю интеграл:
22
22
0
tt
te dt e
+
+
−−
−
−
= − =
.
Интеграл в первом слагаемом равен 1, так как этот интеграл равен функ-
ции распределения стандартного нормального закона значении аргумента равным
x = +
, т.е.
( )
2
2
1
2
t
e
dt
−
+
−
= + =
.
Таким образом, математическое ожидание нормально распределенной
случайной величины равно
Xm=M
.
Пример 5.13. Найти математическое ожидание случайной величины X,
распределенной по показательному закону с параметром λ.
Решение. Случайна величина, распределенной по показательному закону
с параметром λ задается плотностью распределения (5.17).
Используя (5.28), получим:
( )
0
0
00
0
,,
( ) ,
1
0.
xx
xx
x
x x x
u x du dx
X xp x dx x e dx dv e dx
v e dx e
e
xe e dx e dx
+ +
−−
−
−−
+
+ +
−
+
− − −
==
= = = = =
= = −
= − − − = + = − =
M
109
Таким образом, математическое ожидание случайной величины, распре-
деленной по показательному закону, равно
1X
=M
.
5.6.2. Математическое ожидание функции
от случайной величины.
Свойства математического ожидания
Пусть
( )
Y f X=
— функция от случайной величины. Определим матема-
тическое ожидание
( )
Y f X=MM
. Это возможно сделать двумя способами.
Первый способ состоит в том, что сначала строится распределение случайной
величины Y, затем уже находим
YM
.
Рассмотрим другой способ. Пусть сначала X — дискретная случайная ве-
личина, принимающая значения
12
, ...,
n
x x x
. Тогда случайная величина
( )
Y f X=
принимает значения
( ) ( )
( )
12
, ,...,
n
f x f x f x
с теми же вероятностями
( )
( )
( )
( )
i i i
p P X x P f X f x= = = =
. В этом случае математическое ожидание
определяется по формуле:
( )
( )
1
n
ii
i
Y f X f x p
=
==
MM
. (5.29)
В случае, если случайная величина X принимает счетное число значений,
то математическое ожидание случайной величины Y определяется по формуле:
( )
( )
1
ii
i
Y f X f x p
=
==
MM
. (5.30)
Пример 5.14. Случайная величина X имеет ряд распределения:
4 16 100
0,7 0,1 0,1
X
P
Найти математическое ожидание математической величины
Y X X=+
.
110
Решение. Применив (5.29), получим:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
1
0,7 4 4 0,1 16 16 0,2 100 100 28,2.
i i i
i
Y X X x x p
=
= + = + =
= + + + + + =
MM
Таким образом,
( )
28,2Y X X= + =MM
.
Пусть X — непрерывная случайная величина, имеющая плотность рас-
пределения
( )
X
px
. Пусть функция
( )
y f x=
непрерывная (за исключением,
быть может, счетного числа точек). Тогда математическое ожидание случайной
величины
( )
Y f X=
определяется по формуле:
( ) ( ) ( )
X
Y f X f x p x dx
+
−
==
MM
. (5.31)
Пример 5.15. Пусть случайная величина X имеет стандартное нормальное
распределение, т.е. ее плотность имеет вид:
( ) ( )
2
2
1
,;
2
x
X
p x e x
−
= − +
.
Найти математическое ожидание случайной величины
Y aX b=+
.
Решение. Применив (5.31), получим:
( ) ( ) ( ) ( )
2
22
2
22
1
2
1
0.
22
x
X
xx
Y f X f x p x dx xa b e dx
x
a e dx b e a b b
+ +
−
− −
+ +
−−
− −
= = = + =
= + = + =
•
MM
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]