Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие

141

Пример 20. Рост взрослого мужчины удовлетворительно описывается

нормальным законом распределения. По статистике средний рост составляет

175 см, а среднеквадратическое отклонение равно 7 см. Найти вероятность то-

го, что рост наугад взятого мужчины будет отличаться от среднего роста не

больше чем на 4 см.

Решение. Рассмотрим следующую случайную величину: X — рост про- извольно взятого взрослого мужчины.

По условию задачи случайная величина X имеет следующие числовые характеристики:

175, 7.Xm



= = =M

По условию задачи требуется определить

( )

5P X X−M

:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

5 175 5 175 5 175 5

170 180 180 170 0,76247 0,23753 0,52594.

P X X P X P X

P X F F

−  = −  = −   + =

=   = − = − =

M

Значения F(180) и F(170) можно определить с помощью функции

НОРМ.РАСП из Excel:

НОРМ.РАСП(180;175;7;1)=0,76247;

НОРМ.РАСП(170;175;7;1)=0,23753.

142

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание № 1. Партия из N изделий содержит M бракованных изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу n изделий бракованными окажутся:

а) ровно m;

б) хотя бы два изделия;

в) не менее двух изделий.

№ N M n m 1 14 6 7

5

2

17 6 5

3

15 5 6 4 4

16 7 8 5 5

15 6 7 4 6

16 4 7 6 7

15 6 5

4

8

16 5 6

4

9

14 7 8 5 10

15 6 7 5 11

12 7 6 4 12

15 6 5 4 13

15 5 6

5

14

17 7 5

4

15

16 4 7 6 16

13 6 7 4 17

13 4 5 4 18

17 5 6 5 19

18 7 5

5

20

19 6 7

4

Задание № 2. Имеются две урны: в первой урне находятся n1 белых и m1 черных шаров, во второй урне — n2 белых и m2 черных шаров. Из первой урны случайным образом извлекли k1 шаров, а из второй — k2 шаров.

143

Найти вероятность, что среди извлеченных шаров:

а) все шары одного цвета;

б) хотя бы один черный шар.

№

n1

m1

n2 m2

k1 k2 1 5 8 4 5 4 3 2 8 8 8 7 3 3 3 8 6 8 5 4 5 4 4 7 7 7 3 4

5 9 6 9 8 4 3

6 8 6 9 9 3 3 7 4 9 7 7 2 4 8 9 4 5 7 2 3 9 5 6 4 5 2 4 10 8 6

10 5 3

4

11 6 7 4 8 3 4

12 6 5 6 7 3 3

13 7 10 5 4 4 2

14 7 9 9 9 3 4

15 4 9 9 9 5 4

16 9 8 7 9 2 4

17 5 10 9 5 4 2

18 5 4 7 9 3 2

19 8 6 5 4 2 4

20 4 8 9 7 2 5

Задание № 3. 1–10. Первый стрелок попадает цель с вероятностью p1, второй — с вероятностью p2, а третий — с вероятностью p

3

. При одном попада-

нии цель будет уничтожена с вероятностью q

1

, при двух попаданиях с вероят-

ностью q2, при трех с вероятностью 1. Требуется найти:

а) вероятность того, что цель поражена;

б) вероятность того, что было ровно k попаданий, при условии того, что цель была поражена.

144

№

p1, p2, p3, q1, q2, k

1

1 2 3 1 2

0,3, 0,4, 0,6, 0,4, 0,7, 1p p p q q k= = = = = =

2

1 2 3 1 2

0,6, 0,7, 0,6, 0,5, 0,7, 2p p p q q k= = = = = =

3

1 2 3 1 2

0,8, 0,7, 0,3, 0,4, 0,8, 3p p p q q k= = = = = =

4

1 2 3 1 2

0,6, 0,5, 0,6, 0,5, 0,7, 1p p p q q k= = = = = =

5

1 2 3 1 2

0,8, 0,7, 0,5, 0,3, 0,8, 2p p p q q k= = = = = =

6

1 2 3 1 2

0,8, 0,7, 0,4, 0,5, 0,8, 3p p p q q k= = = = = =

7

1 2 3 1 2

0,7, 0,8, 0,6, 0,6, 0,8, 1p p p q q k= = = = = =

8

1 2 3 1 2

0,8, 0,9, 0,5, 0,4, 0,8, 2p p p q q k= = = = = =

9

1 2 3 1 2

0,8, 0,5, 0,4, 0,4, 0,8, 3p p p q q k= = = = = =

10

1 2 3 1 2

0,8, 0,7, 0,8, 0,7, 0,9, 3p p p q q k= = = = = =

Задание № 3. 2–20. Имеется 3 группы стрелков:

1) в первой группе n1 стрелков, каждый из которых поражает цель с веро-

ятностью p1;

2) во второй группе n2 стрелков, каждый из которых поражает цель с ве-

роятностью p2;

3) в первой группе n1 стрелков, каждый из которых поражает цель с веро-

ятностью p3.

Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел и попал в мишень. К какой из групп вероятнее всего принадлежит стрелок.

№

n1, n2, n3, p1, p2, p3

1

1 2 3 1 2 3

5, 5, 10, 0,3, 0,6, 0,7n n n p p p= = = = = =

2

1 2 3 1 2 3

6, 7, 7, 0,7, 0,8, 0,6n n n p p p= = = = = =

3

1 2 3 1 2 3

6, 6, 8, 0,5, 0,7, 0,4n n n p p p= = = = = =

4

1 2 3 1 2 3

7, 4, 9, 0,7, 0,8, 0,6n n n p p p= = = = = =

5

1 2 3 1 2 3

5, 6, 9, 0,6, 0,5, 0,4n n n p p p= = = = = =

6

1 2 3 1 2 3

8, 7, 5, 0,6, 0,7, 0,9n n n p p p= = = = = =

7

1 2 3 1 2 3

7, 9, 4, 0,4, 0,3, 0,6n n n p p p= = = = = =

8

1 2 3 1 2 3

7, 10, 3, 0,7, 0,5, 0,9n n n p p p= = = = = =

9

1 2 3 1 2 3

6, 9, 5, 0,7, 0,6, 0,9n n n p p p= = = = = =

10

1 2 3 1 2 3

7, 3, 10, 0,7, 0,9, 0,5n n n p p p= = = = = =

145

Задание № 4. Вероятность появления некоторого события A в одном опыте равна p. Определить вероятность того, что при n независимых опытов событие появится:

а) ровно k1 раз;

б) не менее k2 раз;

в) менее k3 раз;

г) от k4 раз до k5 раз.

№ n p

k1

k2

k3

k4

k5 1 200

0,3

58

80

55

40

85 2 250

0,4

96

120

80

70

125

3

250

0,6

145

170

115

120

160

4

300

0,4

115

140

105

100

130

5

300

0,6

174

195

160

150

200

6

350

0,6

204

220

185

180

215

7

400

0,2

77

90

70

60

95 8 400

0,3

111

135

100

90

140

9

400

0,4

152

172

135

130

175

10

400

0,5

191

215

185

170

220

11

450

0,4

171

200

155

150

205

12

450

0,5

220

240

195

200

245

13

450

0,4

174

192

155

150

205

14

500

0,6

295

310

275

270

315

15

500

0,7

341

370

315

320

375

16

600

0,2

114

145

105

100

135

17

600

0,3

175

195

165

150

200

18

700

0,2

134

152

125

120

155

19

700

0,3

203

224

185

190

215

20

700

0,4

272

294

255

260

305

Задание № 5. По заданному ряду распределения дискретной случайной величины Х требуется найти:

а) недостающую вероятность;

б) числовые характеристики;

в) функцию распределения;

г) вероятность того, что

( )

P X X M

.

146

0 1 2 3 0 1 2 6

0,2 0,1 0,5 0,1 0,1 0,5

1. 11.

XX

PP

0 2 3 5 1 1 2 4

0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,3

2. 12.

XX

PP

−

2 2 3 4 3 0 4 5

0,2 0,3 0,3 0,1 0,2 0,5

3. 13.

XX

PP

−−

3 2 2 4 5 0 2 5

0,2 0,3 0,4 0,1 0,2 0,6

4. 14.

XX

PP

− − −

1 2 3 6 1 0 3 5

0,3 0,1 0,4 0,1 0,3 0,4

5. 15.

XX

PP

1 0 3 4 3 2 1 4

0,2 0,2 0,3 0,2 0,2 0,4

6. 16.

XX

PP

− − − −

2 0 4 8 3 0 3 6

0,2 0,3 0,3 0,2 0,2 0,2

7. 17.

XX

PP

−−

2 0 2 4 4 0 4 5

0,2 0,2 0,4 0,2 0,4 0,2

8. 18.

XX

PP

−−

1 0 2 4 4 2 2 4

0,2 0,3 0,4 0,2 0,3 0,1

9. 19.

XX

PP

− − −

3 0 4 8 4 2 1 2

0,2 0,5 0,1 0,2 0,1 0,5

10. 20.

XX PP

− − −

Задание № 6. Независимые случайные величины X и Y заданы своими рядами распределения. Для случайной величины Z = X + Y найти: ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию.

1 0 1 2 0 2

0,2 0,7 0,1 0,3 0,1 0,6

1.

XY

PP

−−

0 1 2 0 1 3

0,1 0,6 0,3 0,4 0,2 0,4

11.

XY

PP

2 0 1 1 0 2

0,4 0,2 0,4 0,4 0,1 0,5

2.

XY

PP

−−

3 0 1 2 0 1

0,4 0,5 0,1 0,2 0,1 0,7

12.

XY

PP

−−

1 1 2 1 1 2

0,1 0,5 0,4 0,4 0,2 0,4

3.

XY

PP

−−

3 0 3 0 1 3

0,1 0,7 0,2 0,4 0,2 0,4

13.

XY

PP

−

2 1 2 1 1 2

0,3 0,3 0,4 0,4 0,2 0,4

4.

XY

PP

−−

3 1 2 4 1 2

0,6 0,3 0,1 0,4 0,5 0,1

14.

XY

PP

−−

147

0 1 2 2 1 0

0,5 0,1 0,4 0,4 0,2 0,4

5.

XY

PP

−−

0 1 3 2 1 1

0,6 0,1 0,3 0,4 0,1 0,5

15.

XY

PP

−−

1 1 0 3 1 2

0,4 0,5 0,1 0,3 0,2 0,5

6.

XY

PP

−−

1 2 3 1 1 2

0,3 0,6 0,1 0,1 0,1 0,8

16.

XY

PP

−

2 1 0 4 1 2

0,6 0,2 0,2 0,2 0,3 0,5

7.

XY

PP

−−

2 1 0 3 1 2

0,8 0,1 0,1 0,2 0,3 0,5

17.

XY

PP

− − −

4 2 0 0 2 4

0,5 0,3 0,2 0,2 0,3 0,5

8.

XY PP

−−

3 2 0 0 1 4

0,7 0,1 0,2 0,2 0,3 0,5

18.

XY

PP

−−

1 1 3 0 1 3

0,1 0,7 0,2 0,6 0,1 0,3

9.

XY

PP

−

0 1 3 0 1 4

0,1 0,8 0,1 0,5 0,2 0,3

19.

XY

PP

1 2 3 1 1 2

0,1 0,5 0,4 0,7 0,2 0,1

10.

XY

PP

−

0 2 3 0 1 2

0,1 0,7 0,2 0,6 0,2 0,2

20.

XY PP

Задание № 7. Непрерывная случайная величина X имеет плотность р(x). Требуется найти:

а) коэффициент А;

б) функцию распределения;

в) числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность того? что случайная величина X примет значение меньшее своего математического ожидания.

№

р(x)

№

р(x)

1

( )

 

2

, 0; 3p x Ax x=

11

( ) ( )

 

2 1 , 0; 2p x A x x= + 

2

( )

 

4

, 1; 3p x Ax x=  −

12

( )

 

2

1 , 0;1p x A x x= − 

3

( )

 

, 1; 3p x Ax x=

13

( )

 

2

, 2; 3p x Ax x=

4

( )

 

sin , 0; 2p x A x x



=

14

( )

 

sin , 0;p x A x x



=

5

( )

 

cos , 0; 2p x A x x



=

15

( ) ( )

 

2 3 , 0;1p x A x x= + 

6

( )

 

, 1; 2p x A x x=  −

16

( ) ( )

 

2 , 0; 2p x A x x= + 

7

( ) ( )

 

1 , 0; 2p x A x x= + 

17

( )

 

, 9;16p x A x x=

8

( )

 

2

1 , 1;1p x A x x= +  −

18

( )

 

2

1 , 0; 2p x A x x= + 

9

( )

 

2

4 , 0; 2p x A x x x= − 

19

( )

 

, 2; 4p x Ax x=

10

( )



)

2

, 1;

A

p x x

x

=  + 

20

( )

 

, 2;1p x A x x=  −

148

Задание № 8. Для случайной величины X, распределенной равномерно на отрезке [a; b] необходимо найти

а) плотность распределения;

б) функцию распределения;

в) вероятность

( )

P X X X X  +M M D

.

№

[a; b]

№

[a; b]

1

 

1;9

11

 

1;5

2

 

2;10

12

 

2;6

3

 

3;7

13

 

3;9

4

 

4;10

14

 

4;8

5

 

5;9

15

 

5;11

6

 

6;12

16

 

6;10

7

 

7;11

17

 

7;13

8

 

8;16

18

 

8;20

9

 

9;15

19

 

9;17

10

 

10;16

20

 

10;18

Задание № 9. Независимые случайные величины X и Y равномерно рас- пределены на отрезках [a; b] и [c; d] соответственно. Найти математическое

ожидание и дисперсию случайной величины

Z kX mY l= − +

.

№

[a; b]

[c; d]

k m l

1

 

1;3

 

2;10

2 8 3

2

 

2;8

 

3;9

3 7 6

3

 

1;6

 

3;11

4 9 3

4

 

0;5

 

1;7

2 6 4

5

 

4;8

 

1;8

3 8 8

6

 

1;4

 

2;7

4 7 7

7

 

1;6

 

1;5−

2 9 3

8

 

2;4−

 

1;8

5

10

6

9

 

2;9−

 

1;9

4 8 3

149

№

[a; b]

[c; d]

k m l

10

 

3;5−

 

1;8

2 7 5

11

 

0;5

 

1;7

3 9 8

12

 

;ab

 

2;6

4 6 7

13

 

1;6

 

3;15

2 8 3

14

 

2;9

 

3;9−

3

10 6 15

 

2;8

 

1;11

5 9 3

16

 

1;7

 

3;5−

2 6 4

17

 

3;4−

 

1;9

3 8 5

18

 

0;6

 

1;7−

4 9 7

19

 

0;9

 

1;9

2 9 3

20

 

0;6

 

1;8

3 6 6

Задание № 10. Для случайной величины X, распределенной по нормаль- ному закону с параметрами m и σ2 необходимо найти:

а) плотность распределения;

б) функцию распределения;

в) вероятность попадания в интервал (α; β).

№ m σ2

(α; β)

№ m σ2

(α; β)

1 4 9

( )

3;7

11

12

9

( )

11;14

2 7 16

( )

6;12

12

23

16

( )

22;25

3

12

25

( )

10;20

13

15

25

( )

14;17

4

16

36

( )

14;20

14

16

36

( )

15;18

5 9 49

( )

7;10

15

22

49

( )

20;23

6 5 9

( )

4;7

16

31

9

( )

30;34

7 9 16

( )

7;10

17 8 64

( )

7;10

8 5 25

( )

4;8

18

11

25

( )

10;14

9 7 36

( )

5;8

19

16

81

( )

15;19

10

21

81

( )

20;23

20

17

49

( )

16;20

150

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Таблица значений функции

( )



−

= e

!m

mp

m

n

m

Значения λ

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0

0,904837

0,818731

0,740818

0,670320

0,606531

0,548812

0,496585

1

0,090484

0,163746

0,222245

0,268128

0,303265

0,329287

0,347610

2

0,004524

0,016375

0,033337

0,053626

0,075816

0,098786

0,121663

3

0,000151

0,001092

0,003334

0,007150

0,012636

0,019757

0,028388

4

0,000004

0,000055

0,000250

0,000715

0,001580

0,002964

0,004968

5

0,000002

0,000015

0,000057

0,000158

0,000356

0,000696

6

0,000001

0,000004

0,000013

0,000036

0,000081

7

0,000001

0,000003

0,000008

8

0,000001

m

Значения λ

0,8

0,9 1 2 3 4

5

0

0,449329

0,406570

0,367879

0,135335

0,049787

0,018316

0,006738

1

0,359463

0,365913

0,367879

0,270671

0,149361

0,073263

0,033690

2

0,143785

0,164661

0,183940

0,270671

0,224042

0,146525

0,084224

3

0,038343

0,049398

0,061313

0,180447

0,224042

0,195367

0,140374

4

0,007669

0,011115

0,015328

0,090224

0,168031

0,195367

0,175467

5

0,001227

0,002001

0,003066

0,036089

0,100819

0,156293

0,175467

6

0,000164

0,000300

0,000511

0,012030

0,050409

0,104196

0,146223

7

0,000019

0,000039

0,000073

0,003437

0,021604

0,059540

0,104445

8

0,000002

0,000004

0,000009

0,000859

0,008102

0,029770

0,065278

9

0,000001

0,000191

0,002701

0,013231

0,036266

10

0,000038

0,000810

0,005292

0,018133

11

0,000007

0,000221

0,001925

0,008242

12

0,000001

0,000055

0,000642

0,003434

13

0,000013

0,000197

0,001321

14

0,000003

0,000056

0,000472

15

0,000001

0,000015

0,000157

16

0,000004

0,000049

17

0,000001

0,000014

18

0,000004

19

0,000001