Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
131
( ) ( )
2
2
2
39 3 15
14 2 28
X X X
= − = − =
D M M
,
где
2 2 2 2 2
1 3 3 1 39
0 1 2 3
14 7 7 14 14
X = + + + =M
.
Пример 10. Независимые случайные величины X и Y заданы своими ря-
дами распределений:
10
0,25 0,75
X
P
−
02
0,2 0,8
Y
P
Для случайной величины Z = X + Y найти математическое ожидание
и дисперсию двумя способами:
а) по определению математического ожидания;
б) по свойствам математического ожидания.
Решение. Рассмотрим первый способ нахождения математического ожи-
дания. Для этого составим ряд распределения случайной величины Z:
( ) ( ) ( )
1 1 0 0,25 0,2 0,05P X Y P X P Y+ = − = = − = = =
;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 1 1
0,75 0,2 0,25 0,8 0,35;
P X Y P X P Y P X P Y+ = = = = + = − = =
= + =
( ) ( ) ( )
1 0 1 0,75 0,8 0,6P X Y P X P Y+ = = = = = =
.
Ряд распределения случайной величины принимает вид:
1 0 1
0,05 0,35 0,6
ZP−
Используя ряд распределения, найдем математическое ожидание и дис-
персию:
1 0,05 0 0,35 1 0,6 0,55Z = − + + =M
.
132
( ) ( ) ( )
22
2
0,65 0,55 0,3475Z Z Z= − = − =D M M
,
где
( )
2
2 2 2
1 0,05 0 0,35 1 0,6 0,65Z = − + + =M
.
Перейдем ко второму способу нахождения математического ожидания
и дисперсии случайной величины Z = X + Y:
1 0,25 0 0,75 0,25X = − + = −M
;
( )
2
22
1 0,25 0 0,75 0,25X = − + =M
;
( ) ( ) ( )
22
2
0,25 0,25 0,1875X X X= − = − − =D M M
;
0 0,2 1 0,8 0,8Y = + =M
;
2 2 2
0 0,2 1 0,8 0,8Y = + =M
;
( ) ( ) ( )
22
2
0,8 0,8 0,16Y Y Y= − = − =D M M
;
( ) ( ) ( ) ( )
0,25 0,8 0,55Z X Y X Y= + = + = − + =M M M M
;
( ) ( ) ( ) ( )
0,1875 0,16 0,3475Z X Y X Y= + = + = + =D D D D
.
5.7.2. Задачи на непрерывные случайные величины
Пример 11. Для случайной величины X с заданной функцией распреде-
ления:
( )
2
0, 0,
, 0 2,
4
1, 0
x
x
F x x
x
=
требуется найти:
а) плотность распределения вероятности;
б) числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию.
133
Решение. Если функция распределения известна, для нахождения плот-
ности распределения применим формулу
( ) ( )
p x F x
=
. Учитывая, что
24
2
4
2
xxx
==
, получим:
( ) ( )
, 0;2 ,
2
0, 0;2 .
x
x
f x F x
x
==
Числовые характеристики:
( ) ( )
2
2
3
0
0
1 1 1 4
80
2 2 3 6 3
x
X xp x dx x xdx
+
−
= = = = − =
M
;
( )
2
2
4
2 2 2
0
0
11
2
2 2 4
x
X x p x dx x xdx
+
−
= = = =
M
;
( )
2
2
2
42
2
39
X X X
= − = − =
D M M
.
Пример 12. Непрерывная случайная величина имеет плотность распреде-
ления:
( )
, 1; ;
0, 1; .
A
xe
px
x
xe
=
Требуется найти:
а) коэффициент А;
б) функцию распределения;
в) числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию;
г) вероятность того, что случайная величина X примет значение большее
своего математического ожидания.
134
Решение:
а) используя свойства плотности распределения, получаем:
( )
1
1
1 ln ln ln1 1
e
e
A
dx A x A e A A
x
= = = − = =
;
б) для нахождения функции распределения воспользуемся (5.1).
Если x < 0, то
( ) ( )
00
xx
F x p t dt dt
− −
= = =
.
Если
1 xe
, то
( ) ( )
1
1
1
1
0 0 ln ln
xx
x
F x p t dt dt dt t x
t
− −
= = + = + =
.
Если
xe
, то
( ) ( )
1
1
1
0 0 ln 1
x e x
e
e
dt
F x p t dt dt dt e
t
− −
= = + + = =
.
Таким образом, функция распределения примет вид:
( )
0, 1;
ln , 1 ;
1, .
x
F x x x e
xe
=
в) числовые характеристики:
( )
1
11
1
1
ee
e
X xp x dx x dx dx x e
x
+
−
= = = = = −
M
;
135
( )
22
2 2 2
1
11
11
22
e
ee
xe
X x p x dx x dx xdx
x
+
−
−
= = = = =
M
;
( ) ( )
22
22
2
1 4 3
1
22
e e e
X X X e
− − −
= − = − − =D M M
;
г) вероятность того, что случайная величина X примет значение большее
своего математического ожидания:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11
1 1 ln 1 .
P X X P X e P e X
F F e e
= − = − + =
= + − − = − − •
M
Пример 13. Годовой доход случайно выбранного налогоплательщика
описывается случайной величиной X с плотностью распределения:
( )
4
, 1;
0, 1.
A
x
px
x
x
=
Найти значение параметра A, функцию распределения, средний годовой
доход и дисперсию годового дохода. Определить размер годового дохода x
min
,
не ниже которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно вы-
бранного налогоплательщика.
Решение. Значение параметра A, найдем используя свойства плотности
распределения:
( ) ( )
4
43
1
11
1 0 1 3
3 3 3
A A A A
p x dx dx Ax dx A
xx
+ + +
+
−
−
= = = = − =− − = =
.
Найдем функцию распределения.
При
1x
имеем:
( ) ( )
00
xx
F x p t dt dt
− −
= = =
.
136
При
1x
получаем:
( ) ( )
1
4 3 3
1
1
3 1 1
0 0 1
x
xx
F x p t dt dt dt
t t x
− −
= = + = − = −
.
Таким образом, функция распределения примет вид:
( )
3
0, 1;
1
1 , 1.
x
Fx
x
x
=
−
Перейдем к нахождению числовых характеристик:
( )
4 3 4
1
11
3 3 3
3
22
dx
X xp x dx x dx
x x x
+ + +
+
−
= = = = − =
M
;
( )
2 2 2
42
1
11
33
33
dx
X x p x dx x dx
x x x
+ + +
+
−
= = = = − =
M
;
( )
2
2
2
3 9 3
33
2 4 4
X X X
= − = − = − =
D M M
.
Найдем размер годового дохода x
min
, не ниже которого с вероятностью 0,6
окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика:
( ) ( )
min min
33
min min
3
3
min min
11
0,6 1 1 1 ,
1 5 5
1,1856.
0,6 3 3
P X x P X x
xx
xx
= = − = − − =
= = = = •
Пример 14. Непрерывная случайная величина имеет плотность:
( )
1 , , ;
0, , .
x
A x a a
px
a
x a a
− −
=
−
137
Требуется найти:
а) коэффициент А;
б) функцию распределения.
Решение. Значение параметра A найдем, используя свойства плотности
распределения:
( )
0
0
0
22
0
1 1 1 1
1
.
22
aa
aa
a
a
x
xx
a a a
xx
A x A x Aa A
a a a
+
− − −
−
= = − = + + − =
= + + − = =
Таким образом, получено, что
( )
1
1 , , ;
0, , .
x
x a a
px
aa
x a a
− −
=
−
Найдем функцию распределения
)(xF
.
Очевидно, что при
ax −
функция распределения равна нулю.
Далее, при
0− xa
:
22
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0 1
1 1 1
0.
2 2 2
x a x a x
aa
x
a
t
F x p t dt p t dt p t dt dt dt
aa
tx
tx
a a a a
−−
− − − − −
−
= = + = + + =
= + + = + +
При
ax 0
:
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
0
0
2 2 2
0
11
0 1 1
1 1 1 1
0.
2 2 2 2
ax
a
ax
a
x
a
F x p t dt p t dt p t dt
tt
dt dt dt
a a a a
t t x
t t x
a a a a a a
−
− −
−
− −
−
= + + =
= + + + − =
= + + + − = + −
138
При
ax
, получаем
1)( =xF
.
Таким образом, получено:
( )
2
2
0, ;
11
, 0;
22
11
, 0 ;
22
1, .
xa
x
x a x
aa
Fx
x
x x a
aa
xa
−
+ + −
=
+ −
Пример 15. Случайная величина X имеет показательной распределение
с параметром λ = 4. Найти вероятность попадания этой случайной величины
в промежуток (0; 0,25).
Решение. Так как случайная величина X имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром λ = 4, то ее плотность (5.17) и функция
распределения (5.18) имеют вид:
( )
4
4 , 0;
0, 0.
x
ex
px
x
−
=
( )
4
1 , 0;
0, 0.
x
ex
Fx
x
−
−
=
Используя формулу вероятности попадания случайной величины в задан-
ный интервал, получаем:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 0,25 1
0;0,25 0 1 1 0
1 0 1 .
P X P X F F
ee
− −
= = − =
= − − = − •
Пример 16. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции
является случайной величиной X, распределенной по показательному закону со
средним временем ожидания, равным a. Найти
3
22
aa
PX
и
( )
2P X a
.
Решение.
( )
11
a M X
a
= = =
.
139
1 3 1
22
3 1 1 3
2 2 2 2
33
11
2 2 2 2
1 1 0,3834.
aa
aa
a a a a
P X F F e e
e e e e
− −
− − − −
= − = − − − =
= − − + = − =
( ) ( ) ( )
1
2
2
2 1 2 1 2
1 1 0,1353.
a
a
P X a P X a F a
ee
−
−
= − = − =
= − − = =
•
Пример 17. Время ремонта и обслуживания автомобиля после одной по-
ездки случайно и хорошо описывается показательным законом распределения.
Было замечено, что в текущем сезоне на ремонт и обслуживание автомобиля
после одной поездки тратилось в среднем 10 мин. Найти вероятность того, что
при очередной поездке это время не превысит 20 мин.
Решение. Рассмотрим следующую случайную величину: X — рост про-
извольно взятого взрослого мужчины.
По условию задачи случайная величина X распределена по показательно-
му закону, при этом известно, что
10.X =M
Учитывая взаимосвязь параметра λ показательного закона и его матема-
тического ожидания, получаем:
1 1 1
0,1.
10
X
X
= = = =M
M
Функция распределения показательного закона с параметром λ = 10 имеет вид:
( )
0,1
1 , 0;
0, 0.
x
ex
Fx
x
−
−
=
Вероятность того, что при очередной поездке это время не превысит
40 мин:
( ) ( )
0,120 2
2 1 1 0,86470 20P X F ee
− −
− = == −=
.
140
Пример 18. Пусть случайная величина X подчиняется нормальному зако-
ну распределения вероятностей с параметрами
0m =
и
3
=
. Найти
( )
13PX
,
( )
0,3PX
.
Решение. Используя формулу (5.21) вероятности попадания нормально
распределенной случайной величины в заданный интервал, получаем:
( ) ( )
3 1 1
1 3 1
3
mm
PX
−−
= − = −
.
Используя таблицу значений стандартного нормального распределения,
находим:
( )
1 0,8413=
;
( )
1 3 0,6306=
.
Следовательно,
( )
1 3 0,8413 0,6306 0,2107PX = − =
.
Аналогично получаем:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
0,3 0,3
0,3 0,3 0,3
0,1 0,1 0,1 1 0,1
2 0,1 1 2 0,5398 1 0,0796.
mm
P X P X
− − −
= − = − =
= − − = − − =
= − = − = •
Пример 19. Случайная величина X распределена по нормальному закону
с параметрами
2m =
и
2
16
=
. Найти вероятность попадания случайной вели-
чины X в интервал (1; 4).
Решение. Используя формулу (5.21) вероятности попадания нормально
распределенной случайной величины в заданный интервал, получаем:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
4 2 0 2
0 4 4 1
44
0,55 0,5 0,5 1 0,5
2 0,5 1 2 0,69146 1 0,38292.
P X F F
−−
= − = − =
= − − = − − =
= − = − = •
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]