Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
91
Определение. Случайная величина X имеет геометрическое распределе-
ние с параметром p, если:
( ) ( )
1
m
P X m p p= = −
, (5.9)
где m = 0, 1, 2, …, 0 < p < 1.
Геометрическое распределение имеет случайная величина, равная числу
опытов в схеме последовательных независимых испытаний (схеме Бернулли),
проведенной до первого «успеха».
Геометрическое распределение обладает свойством, называемым отсут-
ствия последействия:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1
1
,
11
1.
1
1
kn
n m n m
m
n
k
kn
P X n m X n P X n m
P X n m X n
P X n
P X n m
p p p p
p p P X m
p
pp
=+
++
=+
= + = +
= + = = =
=+
−−
= = = − = =
−
−
Также геометрическое распределение имеет случайная величина Y, равная номеру первого успешного испытания в схеме последовательных независимых испытаний. В этом случае:
( ) ( )
1
1
m
P Y m p p
−
= = −
,
где m = 0, 1, 2, …, 0 < p < 1.
Определение. Случайная величина X имеет гипергеометрическое рас-
пределение с параметрами (N, M, n), если:
( )
k n k
M N M
n
N
CC
P X k
C
−
−
==
, (5.10)
где max (0, n + M – N) ≤ k ≤ min (n, M).
Значения выражения (5.10) можно определить, используя функцию ГИПЕРГЕОМ.РАСП из Excel (рис. 5.1).
92
Рис. 5.1. Вероятности P(X = 2) гипергеометрического распределения
при N = 9, M = 5 и n = 4
Гипергеометрическое распределение используется при решении задач,
связанных с контролем качества. Гипергеометрическое распределение определяет вероятность числа годных изделий в выборке объема n из партии объемом
N, содержащей M годных изделий.
5.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Как уже говорилось, непрерывной называется случайная величина, воз-
можные значения которой непрерывно заполняют какую-то область. Дадим более строгое определение непрерывной случайной величины.
Случайная величина X называется непрерывной, если ее функцию распределения F(x) можно представить в виде:
( ) ( )
x
F x p t dt
−
=
. (5.11)
Функция р(x), присутствующая в (5.11), называется плотностью распределения (вероятностей) случайной величины X.
Отметим, что все реально встречающиеся плотности распределения являются непрерывными (за исключением, быть может, конечного числа точек)
функциями, и, следовательно, для них плотность распределения р(x) представляет собой производную функции распределения F(x), т.е.
( ) ( )
p x F x
=
. (5.12)
93
Закон распределения непрерывной случайной величины можно задать
двумя способами:
1) используя функцию распределения F(x);
2) используя плотность распределения р(x).
Теорема (основные свойства плотности распределения). Пусть X —
непрерывная случайная величина, F(x) — ее функция распределения, р(x) —
плотность распределения. Тогда
1) р(x) неотрицательно определенная функция, т.е. p(x) ≥ 0;
2) вероятность попадания случайной величины X в промежуток [x1, x2)
равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от x1 до x2, т.е.
( ) ( )
2
12
1
x
x
P x X x p t dt =
; (5.13)
3) условие нормировки — несобственный интеграл от плотности слу-
чайной величины в бесконечных пределах равен единице, т.е.
( )
1p x dx
+
−
=
; (5.14)
4) для непрерывных случайных величин попадания значений в фиксиро-
ванную точку равна нулю, т.е.
( )
0Xx
==
; (5.15)
5) для непрерывных случайных величин выполняется равенство:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1 2 1 2 1 2
1 2 2 1
.
x
x
x X x x X x x X x
x X x F x F x p x dx
= = =
= = − =
1. Функция распределения — неубывающая функция. Следовательно, ее
производная, которая по (5.12) является плотностью, есть неотрицательная
функция.
94
2. С одной стороны, в силу (5.2) вероятность попадания случайной вели-
чины X в интервал [x1, x2) равна:
( ) ( ) ( )
1 2 2 1
P x X x F x F x = −
,
c другой стороны, в силу (5.12):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
22
21
11
xx
x
x
xx
p x dx dF x F x F x F x= = = −
.
Приравняв левые части двух последних равенств, получим требуемое со-
отношение.
3. Используя (5.13), получим:
( ) ( ) ( )
1p x dx F F
+
−
= + − − =
.
4. Используя (5.13), получим:
( ) ( )
0
x
x
X x p t dx
= = =
.
5. В силу (5.15), получаем, что для непрерывной случайной величины ве-
роятности попадания в промежутки [x1, x2), (x1, x2), (x1, x2] и [x1, x2] совпадают.
Таким образом:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1 2 1 2 1 2
1 2 2 1
.
x
x
x X x x X x x X x
x X x F x F x p x dx
= = =
= = − =
График функции распределения непрерывной случайной величины — непрерывная кривая, возрастающая от оси (рис. 5.2).
95
а б
Рис. 5.2. Типовые графики функции распределения
непрерывной случайной величины
Пример 5.3. Показать, что функция
( )
2
1 , 0; ,
0, 0; ,
x
xa
aa
px
xa
−
=
может являться плотностью вероятности некоторой случайной величины X.
Найти ее функцию распределения
Решение. Очевидно, что данная функция является неотрицательно определенной, т.е. p(x) ≥ 0.
Проверим выполнение условия нормировки (5.14).
В самом деле,
22
0
0
2 2 2
( ) 1 1
22
a
a
x x a
p x dx dx x a
a a a a a a
+
−
= − = − = − =
.
Таким образом, p(x) может являться плотностью вероятности некоторой
случайной величины X.
Для нахождения функции распределения воспользуемся (5.11).
При x < 0 имеем:
( ) ( )
00
xx
F x p t dt dt
− −
= = =
.
96
При 0 ≤ x ≤ a получаем:
( ) ( )
0
0
22
0
2
01
22
0.
22
xx
x
t
F x p t dt dt dt
aa
tx
tx
a a a a
− −
= = + − =
= + − = −
.
При x > a получаем:
( ) ( )
0
0
22
0
2
0 1 0
2 2 2
0 0 1.
2 2 2
x a x
a
a
t
F x p t dt dt dt
aa
t a a
ta
a a a a a
− −
= = + − + =
= + − + = − = =
.
Таким образом, функция распределения примет вид:
( )
2
0, 0;
2
, 0 ;
2
1, .
x
x
F x x x a
aa
xa
= −
Рассмотрим наиболее важные распределения непрерывных случайных
величин.
Определение. Случайная величина X равномерно распределена на от-
резке [a, b], если ее плотность распределения имеет следующий вид:
( )
1
, , ;
0, , .
x a b
px
ba
x a b
=
−
(5.16)
Легко получить, что функция распределения равномерного закона опре-
деляется выражением:
( )
0;
1
,;
1, .
xa
F x a x b
ba
xb
=
−
97
Определение. Случайная величина X имеет показательное (экспоненци-
альное) распределение с параметром λ > 0, если ее плотность имеет следую-
щий вид:
( )
, 0;
0, 0.
x
ex
px
x
−
=
(5.17)
Для функции распределения в данном случае можно получить следующее
выражение:
( )
1 , 0;
0, 0.
x
ex
Fx
x
−
−
=
(5.18)
Значения плотности р(x) и функции распределения F(x) показательного
закона можно найти с помощью Excel, используя функцию ЭКСП.РАСП
(рис. 5.3 и 5.4).
Вероятность попадания показательно распределенной случайной величи-
ны в интервал (α; β) (0 ≤ α ≤ β):
( ) ( ) ( )
P X F F e e
−−
= − = −
.
Показательное распределение является непрерывным аналогом геометри-
ческого распределения.
Рис. 5.3. Значение в точке x = 0,3 плотности
показательного закона с параметром λ = 2
98
Рис. 5.4. Значение в точке x = 0,3 функции распределения
показательного закона с параметром λ = 2
Показательное распределение обладает свойством, называемым отсут-
ствие последействия. Аналитически это свойство записывают следующим об-
разом: для любых чисел положительных чисел x1 и x2 выполняется равенство:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
12
2
1
1 2 1 1 2
1 2 1
11
12
22
1
,
1
1.
1
xx
x
x
P X x x X x P X x x
P X x x X x
P X x P X x
F x x
e
e F x P X x
F x e
−+
−
−
+ +
+ = = =
−+
= = = = − =
−
Определение. Случайная величина X распределена по нормальному за-
кону с параметрами (m, σ2), если ее плотность распределения имеет вид:
( )
( )
( )
2
2
2
1
,,
2
xm
p x e x
−
−
= −
. (5.19)
Функция распределения нормального закона:
( )
( )
2
2
2
1
2
tm
x
F x e dt
−
−
−
=
. (5.20)
Значения плотности р(x) и функции распределения F(x) нормального закона можно найти с помощью Excel, используя функцию (рис. 5.5 и 5.6)
НОРМ.РАСП.
99
Рис. 5.5. Значение в точке x = 1 плотности нормального закона
с параметрами m = 1 и σ = 2
Рис. 5.6. Значение в точке Ф(x) функции распределения нормального закона
с параметрами m = 1 и σ = 2
С помощью линейного преобразования Y = (X – m) / σ нормальное распределение с параметрами (m, σ2) приводится к стандартному нормальному
распределению с параметрами (0, 1) и функцией распределения:
( )
2
2
1
,
2
x
t
х e dy
π
−
−
=
причем Ф(–x) = 1 – Ф(x).
100
Значения функции Ф(x) можно найти, используя Приложение 3 или
функцию НОРМ.СТ.РАСП из EXCEL.
Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал
(a, b):
( ) ( ) ( )
b m a m
P a X b F b F a
−−
= − = −
. (5.21)
Нормально распределенная случайная величина с большой вероятностью
принимает значения, близкие к своему математическому ожиданию, что выра-
жается правилом сигм:
( )
( )
( )
0,3173 при 1;
2 1 0,0456 при 2;
0,0027 при 1.
k
P X m k k k
k
=
− = − = =
=
Чаще используется правило трех сигм.
5.5. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть X — случайная величина. Рассмотрим функцию Y = f(X), которая
каждому элементарному исходу ω ставит в соответствие число Y(ω) по формуле:
( ) ( )
( )
Y f X
=
.
Тем самым получим случайную величину Y, называемую функцией f(x)
от случайной величины X.
Если случайная величина X является дискретной, случайная величина
Y = f(X) также является дискретной случайной величиной, поскольку она не
может принимать больше значений, чем случайная величина X.
Очевидно, что ряд распределения случайной величины Y = f(X) имеет
следующий вид:
( )
( ) ( )
1
1
in
in
Y f x f x f x
P p p p
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]