Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
121
Используя (5.38), получим:
( )
( )
2
2
2
22
2 1 1
.X X X
= − = − =
D M M
5.7. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
5.7.1. Задачи на дискретные случайные величины
Пример 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:
8 0 4 8
0,1 0,25 0,2
X
P
−
Требуется найти:
а) недостающую вероятность;
б) числовые характеристики;
в) функцию распределения;
г) вероятность того, что
( )
P X X M
.
Решение:
а) находим недостающую вероятность:
( ) ( ) ( ) ( )
4 1 8 0 8
1 0,1 0,25 0,2 0,45.
P X P X P X P X= = − = − − = − = =
= − − − =
б) числовые характеристики:
– математическое ожидание:
8 0,1 0 0,25 4 0,45 8 0,2 2,6X = − + + + =M
;
– дисперсия:
( ) ( )
22
2
26,4 2,6 19,64X X X= − = − =D M M
,
где
( )
2
2 2 2 2
8 0,1 0 0,25 4 0,45 8 0,2 26,4X = − + + + =M
;
122
в) функция распределения:
( )
0 при 8;
0,1 при 8 0;
0,1 0,25 0,35 при 0 4;
0,1 0,25 0,45 0,8 при 4 8;
0,1 0,25 0,45 0,2 1 при 8.
x
x
Fx
x
x
x
−
−
=
+ =
+ + =
+ + + =
г) вероятность того, что
( )
P X X M
:
( ) ( ) ( ) ( )
1 4 8 0 45 0 2 0 65P X X P X P X P X , , , . = = = + = = + =M
Пример 2. Дан ряд распределения дискретной случайной величины X:
0 5 10 15
0,2 0,5 0,2 0,1
X
P
Требуется найти: математическое ожидание MX, дисперсию DX,
M(3X + 2), D(–3X + 4).
Решение. Математическое ожидание:
0 0,2 5 0,5 10 0,2 15 0,1 6X = + + + =M
.
Дисперсия:
( )
2
22
55 6 19X X X= − = − =D M M
,
где
2 2 2 2 2
0 0,2 5 0,5 10 0,2 15 0,1 55X = + + + =M
.
Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получаем:
( )
3 2 3 2 3 6 2 20X MX+ = + = + =M
.
( )
2
3 4 3 9 19 171XX− + = = =DD
.
123
Пример 3. По заданной функции распределения
( )
0 при 4;
0,2 при 4 0;
0,6 при 0 4;
1 при 4
x
x
Fx
x
x
−
−
=
случайной величины Х вычислить MX и DX.
Решение. Для нахождения вероятностей Р(X = –4), Р(X = 0) и Р(X = 4)
следует применить равенство:
( ) ( ) ( )
.
k k k
P X x x F xF
= = + −
Применяя данное равенство, получаем:
( ) ( ) ( )
0,2 044024 ,P F FX
− = −= − − == − +
;
( ) ( ) ( )
0,6 0,2 0,40 0 0P F FX
− = − == = +
;
( ) ( ) ( )
4 4 4 1 0,6 0,4P F FX
− = − == = +
.
Таким образом, заданной функции распределения соответствует следую-
щий ряд распределения случайной величины Х:
4 0 4
0,2 0,4 0,4
XP−
Математическое ожидание:
4 0,2 0 0,4 4 0,4 0,8X = − + + =M
.
Дисперсия:
( ) ( )
22
2
9,6 2,6 8,96X X X= − = − =D M M
,
124
где
( )
2
2 2 2
4 0,2 0 0,4 4 0,4 9,6X = − + + =M
.
Пример 4. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков,
выпадающих на шести игральных кубиках при одном бросании.
Решение. Обозначим: Xk — число очков на k-м одном кубике,
1,2,3,4,5,6k =
.
Ряд распределения для случайных величин Xk:
1 2 3 4 5 6
1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6
k
X
P
Числовые характеристики случайных величин Xk:
Математическое ожидание:
1 1 1 1 1 1 7
1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6 2
k
X = + + + + + =M
.
Дисперсия:
( )
2
2
2
91 7 35
6 2 12
k k k
X X X
= − = − =
D M M
,
где
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 91
1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6
X = + + + + + =M
.
Далее:
( )
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
7
6 21.
2
X X X X X X
X X X X X X
+ + + + + =
= + + + + + = =
M
M M M M M M
( )
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
35 35
6.
12 2
X X X X X X
X X X X X X
+ + + + + =
= + + + + + = = •
D
D D D D D D
125
Пример 5. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 0,4.
Рассмотрим случайную величину X — число выигрышных лотерейных билетов
из 5 возможных. Найти: ряд распределения случайной величины X, математи-
ческое ожидание и дисперсию числа выигравших билетов, вероятность выиг-
рать хотя бы по одному билету.
Решение. Очевидно, что случайная величина X распределена по биноми-
альному закону с параметрами
4,0=p
и
5=n
. Применяя формулу (5.6) бино-
миального распределения, получим:
( ) ( ) ( )
07776,04,0110
55
00
5
=−=−== ppCXP
;
( ) ( ) ( )
2592,04,014,0511
44
11
5
=−=−== ppCXP
;
( ) ( ) ( )
3456,04,014,01012
3
2
3
22
5
=−=−== ppCXP
;
( ) ( ) ( )
2304,04,014,01013
2
3
2
33
5
=−=−== ppCXP
;
( ) ( ) ( )
0768,04,014,0514
1
4
1
44
5
=−=−== ppCXP
;
( ) ( ) ( )
01024,04,014,0115
0
5
0
55
5
=−=−== ppCXP
.
Ряд распределения принимает вид:
0,07776 0,2592 0,3456 0,2304 0,076
0 1 2 3 4
8 0,0 024
5
1
k
X
P
Учитывая, что случайная величина X распределена по биномиальному закону, вычисляем математическое ожидание и дисперсию:
5 0,4 2X np= = =M
;
( )
1 5 0,4 0,6 1,2X np p= − = =D
.
126
Найдем вероятность выигрыша хотя бы по одному билету:
( ) ( ) ( )
92224,007776,0101111 =−==−=−= XPXPXP
.
Пример 6. В международный аэропорт прибывает в среднем 8 рейсов
в час. Считая, что прибытие самолетов происходит независимо друг от друга,
найти:
а) вероятность того, что в течение часа не прибудет ни одного рейса;
б) вероятность того, что в течение 15 мин не прибудет ни одного рейса;
в) вероятность того, что в течение 30 мин прибудут не менее двух рейсов;
г) вероятность того, что в течение 20 мин прибудет хотя бы один рейс.
Решение. Для решения поставленной задачи применим формулу (5.8) вероятности появления k событий за время t. При этом по условию задачи интенсивность потока прибывающих рейсов λ = 8:
а) в данном случае:
1t =
,
8 1 8t
= =
;
( )
08
8
0 0,0003.
0!
e
PX
−
= = =
Для нахождения вероятности Р(X = 0) достаточно применить функцию
ПУАССОН.РАСП из Excel:
( ) ( )
ПУАССОН.РА0 = 0;8;0С 00П ,0 03PX==
;
б) так как 15 мин составляют 1/4 часа, то
12t =
и
( )
8 1 4 2t
= =
.
( )
02
2
0 0,1353.
0!
e
PX
−
= = =
Для нахождения вероятности Р(X = 0) достаточно применить функцию
ПУАССОН.РАСП из Excel:
( ) ( )
ПУАССОН.РА0 = 0;2;0С 03П ,1 53PX==
;
127
в) так как 30 мин составляют 1/2 часа, t = 1/2 и λt = 8 × (1/2) = 4. Исполь-
зуя формулу вероятности противоположного события, получаем:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 1 2 1 0 1
1 0,1353 0,2707 1 0,0916 0,9084.
P X P X P X P X = − = − = − = =
= − + = − =
Нахождение вероятностей
( )
0PX=
и
( )
1PX=
:
( ) ( )
( ) ( )
0 = 0;4;0 0,0183;
1=
ПУАССОН.РАСП
ПУАССОН.РАСП 1;4;0 0,0733.
PX
PX
==
==
Следует отметить, что используя функцию ПУАССОН.РАСП(x;среднее;интегральная), в которой x может принимать любое значение из промежутка [1, 2), аргумент «среднее» должен равняться 4, а аргумент «Интегральная»
должен равняться 1:
( ) ( )
ПУАССОН.РА1 = 1;4;1С 09П ,0 16PX=
;
г) так как 20 мин составляют 1/2 часа, t = 1/3 и λt = 8 × (1/3) = 8/3. Исполь-
зуя формулу вероятности противоположного события, получаем:
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 0 1 0,0695 0,9305.P X P X P X = − = − = = − =
Нахождение вероятности Р(X = 0):
( ) ( )
ПУАССОН.РАС0 = 0;8 3П ;0 0,0695PX==
.
Пример 7. У стрелка 4 патрона. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле равна p = 0,6. Стрельба ведется до первого попадания. Случайная величина Х — число истраченных патронов. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Очевидно, что случайная величина X может принимать значе-
ния 1, 2, 3, 4.
128
Очевидно, что X = 1, если в первом же выстреле стрелок попадет в цель:
( )
1 0,6P X p= = =
.
X = 2, если при первом выстреле стрелок не попадает в цель, а при втором
выстреле он попадает в цель:
( ) ( )
2 1 0,4 0,6 0,24P X p p= = − = =
.
X = 3, если при первом и втором выстрелах стрелок не попадает в цель,
а при третьем выстреле он попадает в цель:
( ) ( )
2
2
3 1 0,4 0,6 0,096P X p p= = − = =
.
X = 4, если при стрелок первые три раза не попадает в цель:
( ) ( )
3
3
4 1 0,4 0,064P X p= = − = =
.
В итоге получаем следующий ряд распределения:
1 2 3 4
0,6 0,24 0,096 0,064
X
P
Математическое ожидание:
1 0,6 2 0,24 3 0,096 4 0,064 1,624X = + + + =M
.
Дисперсия:
( ) ( )
22
2
3,448 1,624 0,810624X X X= − = − =D M M
,
где
2 2 2 2 2
1 0,6 2 0,24 3 0,096 4 0,064 3,448X = + + + =M
.
129
Пример 8. В урне 3 белых и 2 черных шара. Одновременно достают
3 шара. Случайная величина Х — число белых шаров среди 3 извлеченных шаров. Найти закон распределения Х, ее математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Случайная величина Х принимает значения: 1, 2 и 3.
Случайная величина Х принимает значение 1, если извлекли 1 белый шар
и 2 черных шара:
( )
12
32
3
5
3
1
10
CC
PX
C
= = =
.
Случайная величина Х принимает значение 2, если извлекли 2 белых шара и 1 черный шар:
( )
21
32
3
5
3 2 6
2
10 10
CC
PX
C
= = = =
.
Случайная величина Х принимает значение 3, если все извлеченные шары
белого цвета:
( )
30
32
3
5
1
3
10
CC
PX
C
= = =
.
В итоге получаем следующий ряд распределения:
1 2 3
0,3 0,6 0,01
X
P
Математическое ожидание:
1 0,3 2 0,6 3 0,1 0,3 1,2 0,3 1,8X = + + = + + =M
.
Дисперсия:
( ) ( )
22
2
3,6 1,8 0,36X X X= − = − =D M M
,
где
2 2 2 2
1 0,3 2 0,6 3 0,1 0,3 2,4 0,9 3,6X = + + = + + =M
.
130
Пример 9. В партии из 8 деталей 3 имеют скрытый дефект. Случайным
образом отбираются 4 детали. Для случайной величины X, равной числу дефектных деталей среди четырех отобранных, составить ряд распределения.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Решение. Очевидно, что случайная величина X — число дефектных дета-
лей среди четырех отобранных — может принимать значения
0,1,2,3k =
.
Случайная величина X подчиняется гипергеометрическому закону распределения с параметрами:
8N =, 3M =, 4n =
.
Используя определение гипергеометрического закона распределения
(5.10), получаем:
( )
04
35
4
8
5 2 3 4 1
0
1 8 7 6 5 14
CC
PX
C
= = = =
;
( )
13
35
4
8
3 5 4 2 3 4 6 3
1
1 2 8 7 6 5 14 7
CC
PX
C
= = = = =
;
( )
22
35
4
8
3 5 4 2 3 4 6 3
2
1 2 8 7 6 5 14 7
CC
PX
C
= = = = =
;
( )
31
35
4
8
5 2 3 4 1
3
1 8 7 6 5 14
CC
PX
C
= = = =
.
Ряд распределения случайной величины X принимает вид:
1 2 3 4
1 14 3 7 3 7 1 14
X
P
Математическое ожидание и дисперсия:
1 3 3 1 3
0 1 2 3
14 7 7 14 2
X = + + + =M
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]