Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
111
Теорема (основные свойства математического ожидания). Пусть X —
случайная величина, имеющая математическое ожидание, a, b и C — постоянные. Тогда:
1) математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е.
CC=M
;
2) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожи-
дания, т.е.
( )
aX a X=MM
;
3) если к случайной величине добавить константу, то математическое
ожидание изменится на эту же константу, т.е.
( )
X b X b+ = +MM
;
4) если
Y aX b=+
, то
( )
aX b a X b+ = +MM
;
5) если случайная величина X является неотрицательной, то
0X M
;
6) для любых случайных величин
12
, ,...,
n
X X X
математическое ожидание
их суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.
( )
1 2 1 2
... ...
nn
X X X X X X+ + + = + + +M M M M
;
7) если
12
, ,...,
n
X X X
взаимно независимые случайные величины, то мате-
матическое ожидание произведения случайных величин равно произведению
их математических ожиданий, т.е.
( )
1 2 1 2
... ...
nn
X X X X X X = M M M M
.
112
1. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину, прини-
мающую только одно значение C с вероятностью 1. Следовательно,
( )
1C C P X C C C= = = =M
.
4. Очевидно, что второе и третье свойства являются частными четвертого
свойства.
Пусть X — непрерывная случайная величина. Тогда для случайной вели-
чины
Y aX b=+
по формуле (5.31) получаем:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
.
X
XX
Y aX b ax b p x dx
xp x dx b p x dx a X b
+
−
+ +
− −
= + = + =
= + = +
MM
M
Аналогично доказывается и для дискретной случайной величины.
5. Пусть X — дискретная случайная величина. Неотрицательной дискрет-
ной случайной величины означает неотрицательной ее значений. Тогда, согласно определения математического ожидания, получается, что
0
0
kk
k
X x p
=
M
.
Аналогично доказывается и для непрерывной случайной величины.
6. Для простоты выкладок рассмотрим сумму двух случайных величин X
и Y, которые являются дискретными.
Случайная величина X принимает значения
1
,...,
n
xx
, а случайная величина
Y принимает значения
1
,...,
m
yy
. Рассмотрим случайную величину:
Z X Y=+
( )
( )
,z g x y x y= = +
.
Случайная величина
Z
принимает значения
( )
,
ij
g x y
с вероятностями:
( )
,
ij i j
p P X x Y y= = =
.
113
Тогда:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 2
11
11
.
i
j
n m n m n m
i j ij i ij j ij
i j i j i j
nm
i i i im j j j j
ij
P X x
P Y y
nm
i i j j
ij
Z X Y x y p x p y p
x p p p y p p p
x P X x y P Y y X Y
= = = = = =
==
=
=
==
= + = + = + =
= + + + + + + + =
= = + = = +
MM
MM
Аналогично доказывается и для непрерывной случайной величины.
7. Для простоты выкладок рассмотрим сумму двух случайных величин X
и Y, которые являются дискретными. В силу независимости случайных величин
имеет место равенство:
( )
( )
( )
,
ij i j i j
p P X x Y y P X x P Y y= = = = = =
.
Тогда:
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
11
.
n m n m
i j ij i j i j
i j i j
nm
i i j j
ij
Z XY x y p x y P X x P Y y
x P X x y P Y y X Y
= = = =
==
= = = = = =
= = = =
MM
MM
Аналогично доказывается и для непрерывной случайной величины.
Пример 5.16. Найти математическое ожидание случайной величины,
распределенной по биномиальному закону.
Решение. Представим случайную величину, распределенную по биномиальному закону (число успехов X в схеме Бернулли из n независимых испытаний) в виде:
1n
...X X X= + +
,
где Xi — случайная величина распределенные по закону Бернулли, (число успехов в i-м испытании).
114
Очевидно, что
( )
0 1 1
i
X p p p= − + =M
.
По свойству 6 математического ожидания получается:
( )
1 n 1
1
... ...
n
n
i
X X X X X p np
=
= + + = + + = =
M M M M
.
Этот результат совпадает с результатом примера 5.8, но получен более
легкими вычислениями.
5.6.3. Дисперсия. Моменты высших порядков
Определение. Моментом k-го порядка случайной величины X называет-
ся выражение, вычисляемое по формулам:
( )
kk
ii
i
X x p=
M
в дискретном случае и
( )
()
kk
X x p x dx
+
−
=
M
.
Определение. Момент k-го порядка величины
0
X X X=−M
называется
центральным моментом k-го порядка.
Особую роль играет второй центральный момент, который называется
дисперсией и обозначается DX.
Определение. Дисперсией DX случайной величины X называется матема-
тическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего мате-
матического ожидания:
( )
2
X X X=−D M M
. (5.32)
115
Теорема (основные свойства дисперсии). Пусть X — случайная величи-
на, имеющая дисперсию, a, b и C — постоянные. Тогда:
1) дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. для любого действи-
тельного C:
0C =D
;
2) дисперсия является неотрицательной величиной, т.е.
( )
0X D
;
3) для любых действительных чисел a и b справедливо равенство:
( ) ( )
2
aX b a X+=DD
;
4) если случайная величина X2 имеет математическое ожидание, то
( )
( )
2
2
X X X=−D M M
; (5.33)
5) для взаимно независимых случайных величин X и Y справедливо ра-
венство:
( )
.X Y X Y+ = +D D D
1. В самом деле,
( ) ( )
22
00C C C C C= − = − = =D M M M M
.
2. Используя определение дисперсии и свойство неотрицательности ма-
тематического ожидания неотрицательной величины, легко получить, что
( )
2
0
0X X X
= − D M M
.
116
3. Используя определение дисперсии и свойства ожидания, можно по-
лучить:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
22
2 2 2
.
aX b aX b aX b aX b a X b
a X X a X X a X X a X
+ = + − + = + − − =
= − − = − =
D M M M M
M M = M M M M D
4. Используя определение дисперсии и свойства ожидания, можно по-
лучить:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
22
2
2
2
2 2 2
22
2
2
2.
X X X X X X X
X X M X
X X X X X
= − = − + =
= − + =
= − + = −
D M M M M M
M M M M
M M M M M
5. Если X и Y независимые случайные величины, то и случайные величи-
ны
XX−M
и
YY− M
будут независимыми. Тогда, используя свойства мате-
матического ожидания, получается:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
22
22
2
2.
X Y X Y X Y X X Y Y
X X X X Y Y Y Y
X X X Y Y Y X Y
+ = + − + = − + − =
= − + − − + − =
+ − − + = +
D M M M M M
M M M M M M M
= D M M M M D D D
Свойство 5 справедливо для суммы не только двух, но и любого числа
попарно независимых случайных слагаемых.
Дисперсию дискретной случайной величины можно найти, используя одну из следующих формул:
( )
2
kk
k
X x X p= −
DM
; (5.35)
( )
2
2
22
k k k k
kk
X X X x p x p
= − = −
D M M
. (5.36)
117
Дисперсию непрерывной случайной величины можно найти, используя
одну из формул:
( ) ( )
2
X x X p x dx
+
−
=−
DM
; (5.37)
( )
( ) ( ) ( )
2
2
22
X X X x p x dx xp x dx
+ +
− −
= − = −
D M M
. (5.38)
Очевидно, что дисперсия DX имеет размерность квадрата случайной величины X. Для практических же целей удобно иметь числовую характеристику,
размерность которой совпадает с размерностью X.
Определение. Средним квадратичным отклонением случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:
X
X
= D
.
Пример 5.17. Найти дисперсию случайной величины X — число успехов
в схеме Бернулли (т.е. случайной величины, распределенной по биномиальному
закону).
Решение. Представим число успехов X в схеме Бернулли из n независи-
мых испытаний в виде:
1n
...X X X= + +
,
где Xi — случайная величина распределенные по закону Бернулли (5.5) (число
успехов в i-м испытании).
Очевидно, что:
( )
0 1 1
i
X p p p= − + =M
;
( )
2 2 2
0 1 1
i
X p p p= − + =M
;
( )
( ) ( )
2
22
1X X X p p p p pq= − = − = − =D M M
.
118
По свойству 5 дисперсии получается:
( )
1 n 1
1
... ...
n
n
i
X X X X X pq npq
=
= + + = + + = =
D D D D
.
Таким образом, дисперсия числа успехов в схеме Бернулли (дисперсия
случайной величины, распределенной по биномиальному закону) равно npq.
Пример 5.18. Найти дисперсию случайной величины X, распределенной
по закону Пуассона.
Решение. Как известно, распределение случайной величины X, распреде-
ленной по закону Пуассона, задается соотношением (5.7). Математическое
ожидание
X
=M
было найдено в примере 5.9. Определим момент второго по-
рядка:
( )
( )
( )
1
2 2 2
0 0 1
2
0 0 0
1
1
! 1 !
1.
! ! !
mm
mm
m m m
k k k
k k k
X
X m P X m m e m e m k
mm
k e k e e X
k k k
−
−−
= = =
− − −
= = =
= = = = = = + =
−
= + = + = + = +
M
M
M
Используя (5.36), получаем:
( )
( )
2
2 2 2
X X X
= − = + − =D M M
.
Таким образом, дисперсия случайной величины X, распределенной по по-
казательному закону, как и математическое ожидание, совпадает с параметром λ.
Пример 5.19. Найти дисперсию случайной величины X, имеющей гео-
метрическое распределение.
Решение. Как известно, распределение случайной величины X, имеющей
геометрическое распределение, задается соотношением (5.9). Математическое
ожидание MX = q / p было найдено в примере 5.10.
119
Найдем момент второго порядка:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
0 0 0
0 0 0
2 1 2
0 0 0
2
2 2 2
3
2 3 2
11
11
1
1 2 2 2
.
1
1
m
m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
X
q
X m P X m m p p q p m pq
m m m pq m m pq mpq
q
pq m m q mpq pq q
p
q q q q q
pq pq pq
q p p p p p p
q
= = =
= = =
−
= = =
= = = − = = − = =
= − + = − + =
= − + = + =
= + = + = + = +
−
−
M
M
Используя (5.36), получаем:
( )
( )
2
2
2
2
22
2
.
q q q q
X X X
p p p p
= − = + − =
D M M
Пример 5.20. Найти математическое ожидание случайной величины X,
равномерно распределенной на отрезке [a, b].
Решение. Случайна величина, равномерно распределенная на отрезке
[a, b] задается плотностью распределения (5.16). Математическое ожидание
2
ab
X+=M
было найдено в примере 5.11.
Найдем момент второго порядка:
( ) ( )
2 3 3 3 2 2
22
()
3 3 3
b
b
a
a
x x b a a ab b
X х р х dх dx
b a b a b a
+
−
− + +
= = = = =
− − −
M
.
Используя (5.38), получим:
( )
( )
( )
2
2
22
2
2
.
3 3 12
ba
a ab b a b
X X X
−
+ + +
= − = − =
D M M
120
Пример 5.21. Найти математическое ожидание случайной величины X,
распределенной по нормальному закону с параметрами (a, σ2).
Решение. Случайна величина, распределенной по нормальному закону
с параметрами (a, σ2) задается плотностью распределения (5.19). Математиче-
ское ожидание
Xm=M
было найдено в примере 5.12.
Используя (5.37), получим:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
22
22
()
22
2
2
2
22
2 2 2 2
22
1
0
1
2
,
22
1
0
22
xm
tt
tt
X x X p x dx x m e dx
xm
t x m t
tt
e dt d e
dx d m t dt
t
e e dt
−
+ +
−
− −
+ +
−
−
− −
+
+
−−
−
−
+ =
= − = − =
−
= = +
= = = − =
= + =
−
= + = + =
DM
Таким образом, дисперсия нормально распределенной случайной величи-
ны равно
2
X=D
.
Пример 5.22. Найти дисперсию случайной величины X, распределенной
по показательному закону с параметром λ.
Решение. Случайна величина, распределенной по показательному закону
с параметром λ задается плотностью распределения (5.17). Математическое
ожидание
1X
=M
было найдено в примере 5.13.
Найдем момент второго порядка:
( )
2
2 2 2
0
2
2
0
0 0 0
1
, 2 ,
( ) ,
22
2 0 2 .
xx
xx
x x x x
u x du xdx
X х р х dх x e dx dv e dx
v e dx e
x e e xdx xe dx x e dx
+ +
−−
−
−−
+ + +
+
− − − −
==
= = = = =
= = −
= − − − = + = =
M
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]