Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
61
Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез (одного из
событий, образующих полную группу событий):
H0 — ноль попаданий;
H1 — одно попадание;
H2 — два попадания;
H3 — три попадания.
Вероятности гипотез:
( )
( )( )
( )
( )( )( )
0 1 2 3
1 1 1 1 0,3 1 0,9 1 0,7 0,021P H p p p= − − − = − − − =
;
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 1 1 0,247P H p p p p p p p p p= − − + − − + − − =
;
( )
( )
( ) ( )
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 0,543P H p p p p p p p p p= − + − + − =
;
( )
3 1 2 3
0,189P H p p p==
.
Условные вероятности:
( )
( ) ( )
( )
0 1 2 3
0; 0,6; 0,9; 1.P A H P A H P A H P A H= = = =
Вероятность поражения цели:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
0
0 0 1 1 2 2 3 3
0 0,021 0,6 0,247 0,9 0,543 1 0,189 0,8259.
kk
k
P A P H P A H
P H P A H P H P A H P H P A H P H P A H
=
==
= + + + =
= + + + = •
Пример 15. В первой урне 3 белых и 3 черных и 5 красных шаров. Во
второй — 5 белых, 3 черных и 7 красных шаров. Случайным образом была вы-
брана урна, из которой случайным образом извлекли два шара. Найти вероят-
ность того, что оба шара красные.
Решение. Искомое событие:
A — выбранный шар оказался черным.
62
Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез (одного из
событий, образующих полную группу событий):
H1 — выбрали первую урну;
H2 — выбрали вторую урну.
Вероятности гипотез:
( ) ( )
12
1
2
P H P H==
.
Для нахождения условных вероятностей применим классическое опреде-
ление вероятности:
( )
( )
2
5
1
2
11
2
7
1
2
15
5! 11! 4 5 2
:;
2!3! 2!9! 10 11 11
7! 15! 6 7 2
:.
2!5! 2!13! 14 15 5
C
P A H
C
C
P A H
C
= = = =
= = = =
Используя формулу полной вероятности, получим:
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2
1 2 1 2 1 1 16
.
2 11 2 5 11 5 55
P A P A H P H P A H P H= + =
= + = + = •
Пример 16. Банк выдает 40 % всех кредитов юридическим лицам,
а 60 % — физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,1; а для физического лица эта вероятность составляет
0,05. Найти вероятность того, что очередной кредит будет погашен в срок.
Решение. Рассмотрим событие:
А — выданный кредит будет погашен в срок.
Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез (одного из
событий, образующих полную группу событий):
H1 — кредит был выдан юридическому лицу;
H2 — кредит был выдан физическому лицу.
Вероятности гипотез:
( ) ( )
12
40 60
0,4, 0,6
100 100
P H P H= = = =
.
63
Условные вероятности:
P(A | H1) = 0,1 — вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если
он был выдан юридическому лицу;
P(A | H2) = 0,05 — вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу.
Для вычисления вероятности события A применим формулу полной вероятности:
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 2 2
0,4 0,1 0,6 0,05 0,07.P A P H P A H P H P A H= + = + =
Пример 17. В урне находится один шар, о котором известно, что он либо
белый, либо черный. В урну положили черный шар, а потом после тщательного
перемешивания вынули один шар, который оказался черным. Найти вероят-
ность того, что в урне остался черный шар.
Решение. Пусть событие А заключается в том, что вынутый шар оказался
черным. Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез (одного
из событий, образующих полную группу событий):
H1 — изначально в урне находился белый шар;
H2 — изначально в урне находился черный шар.
Вероятности гипотез:
( ) ( )
12
11
,.
22
P H P H==
Условные вероятности:
P(A | H1) = 0,1 = 1/2 — вероятность извлечь черный шар, при условии того, что изначально в урне находился белый шар;
P(A | H2) = 1 — вероятность извлечь черный шар, при условии того, что
изначально в урне находился черный шар.
Тогда вероятность искомого события (H2 | A) определяется по формуле
Байеса:
( )
( )
( )
( )
22
2
1 0,5 2
1 0,5 0,5 0,5 3
P H P A H
P H A
PA
= = =
+
.
64
Пример 1.8. Компания «Космос» закупила продукцию компании «Ори-
он» с трех ее филиалов: 1 000 единиц продукции с филиала «Орион-1»,
2 000 единиц продукции с филиала «Орион-2», 2 000 единиц продукции с филиала «Орион-3». Доля брака на филиалах составляет 2, 4 и 5 % соответствен-
но. Для контроля качества случайным образом выбрали одну единицу продукции. Она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена
на филиале «Орион-1».
Решение. Рассмотрим событие:
А — извлеченная деталь оказалась бракованная.
Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез (одного из
событий, образующих полную группу событий):
H1 — извлеченная деталь изготовлена на филиале «Орион-1»;
H2 — извлеченная деталь изготовлена на филиале «Орион-2»;
H3 — извлеченная деталь изготовлена на филиале «Орион-3».
Вероятности гипотез:
( )
1
1000 1000 1
1000 2000 2000 5000 5
PH = = =
++
;
( )
2
2000 2000 2
1000 2000 2000 5000 5
PH = = =
++
;
( )
3
2000 2000 2
1000 2000 2000 5000 5
PH = = =
++
.
Условные вероятности (заданы изначально):
( ) ( )
( )
1 2 3
2 4 5
,,
100 100 100
P A H P A H P A H= = =
.
Используя формулу полной вероятности, найдем вероятность того, что
извлеченная деталь оказалась бракованная:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2 3 3
1 2 1 4 1 5 11
.
5 100 5 100 5 100 500
P A P H P A H P H P A H P H P A H= + + =
= + + =
65
Используя формулу Байеса, найдем вероятность того, что извлеченная
бракованная деталь изготовлена на филиале «Орион-1»:
( )
( )
( )
( )
11
1
12
2
5 100
11 500 11
P H P A H
P H A
PA
= = =
.
66
4. СХЕМА БЕРНУЛЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ
4.1. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Схема Бернулли проведения независимых испытаний состоит в том, что
производится п одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с одной и той же вероятностью р (0 < p < 1) и не происходит с вероятностью q = 1 – p. Требуется найти вероятность pn(m) того, что
в п независимых повторных испытаниях событие А произойдет ровно m раз.
Поступим следующим образом: исход, при котором событие А происходит, будем называть «успехом» и обозначать символом 1, а исход, при котором
событие А не происходит, — «неудачей» и обозначать символом 0.
Пространство элементарных исходов каждого отдельного испытания состоит из двух исходов 1 и 0. Очевидно, пространство элементарных исходов
п испытаний Бернулли содержит 2n последовательностей из п символов 1 и 0.
Так как испытания независимы, то вероятности перемножаются, т.е. вероят-
ность любой конкретной последовательности есть произведение, полученное
при замене символов 1 и 0 вероятности на p и q соответственно. Таким образом,
вероятность исхода (11001 … 0111) равна:
( )
11001...0111 ...P ppqqp qppp=
.
Но на практике нас, как правило, интересует не порядок появления успе-
хов в последовательности п испытаний Бернулли, а их общее число.
Теорема. Вероятность pn(m) того, что в n испытаниях Бернулли число
успехов равно m, вычисляется по формуле Бернулли:
( )
m m n m
nn
p m C p q
−
=
. (4.1)
где p — вероятность «успеха», а q = 1 – p — вероятность «неудачи».
Доказательство. Событие «в п испытаниях Бернулли число успехов
равно m и число неудач — n – m» содержит столько элементарных исходов,
сколько существует способов размещения m символов на п местах, т.е.
m
n
C
.
67
А так как вероятность конкретной последовательности, содержащей m символов 1, равна hmq
n – m
, то в итоге получаем:
( )
m m n m
nn
p m C p q
−
=
.
Замечание. Значения выражения (4.1) можно определить, используя
функцию БИНОМ.РАСП из Excel, в которой аргумент «Интегральная» должен
равняться 0 (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Значение вероятности, найденной по формуле Бернулли
Вероятность того, что при n независимых повторных испытаниях событие А произойдет хотя бы один раз:
( ) ( )
1 1 0 1
n
nn
p m p q = − = −
. (4.2)
Вероятность того, что при n независимых повторных испытаниях событие
А произойдет не менее m1 и не более m2:
( ) ( )
22
12
11
m m n m
n
mm
nn
m m m m
p m m m p m C p q
−
==
= =
. (4.3)
Замечание. Значения выражения (4.3) можно определить, используя
функцию БИНОМ.РАСП.ДИАП.
68
Наивероятнейшее число m0 наступлений события А при n независимых
повторных испытаниях определяется из неравенства:
0
np q m np p− +
. (4.4)
Пример 4.1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ни-
чейный исход партии исключен):
а) три партии из четырех или пять из восьми;
б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми.
Решение. Так как противники равносильны и ничейный исход партии исключен, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы
и р = q = 1/2:
а) вероятность выигрыша трех партий из четырех равна:
( )
34
3 3 1
44
4! 1 1 1 1
34
3! 1! 2 2 2 4
p C p q
= = = =
,
а вероятность выигрыша пяти партий из восьми равна:
( )
5 3 8
5 5 3
88
8! 1 1 6 7 8 1 7
5
5! 3! 2 2 2 3 2 32
p C p q
= = = =
.
Так как 1/4 > 7/32, то вероятнее выиграть три партии из четырех;
б) вероятность выигрыша не менее трех партий из четырех равна:
( ) ( ) ( )
3 3 1 4
4 4 4 4
34
3 3 4
4! 1 1 1 1 1 5
,
3! 1! 2 2 2 4 16 16
p m p p C p q p = + = + =
= + = + =
а вероятность выигрыша не менее пяти партий из восьми равна:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8 8 8 8 8
5 5 3 6 6 2 7 7 1 8
8 8 8
5 3 6 2 7 1 8
5 5 8 5 6 7 8
8! 1 1 8! 1 1 8! 1 1 1 93
.
5! 3! 2 2 6! 2! 2 2 7! 1! 2 2 2 256
p m p m p p p p
C p q C p q C p q p
= = + + + =
= + + + =
= + + + =
69
Для нахождения вероятности
( ) ( )
88
5 5 8p m p m =
можно воспользо-
ваться функцией БИНОМ.РАСП.ДИАП из Excel (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Значение вероятности
( )
8
58pm
Так как 93/256 > 5/16, то вероятнее выиграть не менее пяти партий из
восьми, чем не менее трех партий из четырех.
4.2. ФОРМУЛА ПУАССОНА
При больших значениях числа испытаний n применение формулы Бер-
нулли затруднительно. Поэтому применяются простые, но достаточно точные
приближенные формулы для вычисления pn(m). Пусть число испытаний n достаточно «велико», вероятность «успеха» р достаточно «мала». Пусть произведение λ = np достаточно мало (λ ≤ 5). Тогда для вероятности pn(m) удобно использовать приближенную формулу Пуассона, согласно которой:
()
!
m
n
p m e
m
−
. (4.5)
Замечание. Формула Пуассона (4.5) зависит от m и λ. Значения выраже-
ния (4.5) можно определить следующими способами:
– можно воспользоваться Приложением 1;
– используя функцию ПУАССОН.РАСП из Excel, в которой аргумент x
равен числу «успехов» m, аргумент «среднее» равен λ, аргумент «Интегральная» должен равняться 0 (рис. 4.3).
70
Рис. 4.3. Значение вероятности, найденной по формуле Пуассона
для одного успешного испытания при λ = 2
Пример 4.2. Вероятность появления бракованного изделия при массовом
производстве равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из 500
изделий окажется не более трех бракованных.
Решение. Исходные данные:
p = 0,002 — вероятность «успеха» для одного отдельно взятого испы-
тания;
n = 600 — общее число испытаний.
Так как значение
0,002 600 1,2np
= = =
достаточно «мало» (λ = 1,2 < 10), то можно применять приближенную формулу
Пуассона (4.5):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
600 600 600 600 600
0 1 2 3
1,2 1,2 1,2 1,2
3 0 1 2 3
1,2 1,2 1,2 1,2
0! 1! 2! 3!
0,3012 0,3614 0,2169 0,0867 0,9662.
p m p p p p
e e e e
− − − −
= + + + =
= + + + =
= + + + = •
4.3. ФОРМУЛЫ МУАВРА — ЛАПЛАСА
Если в схеме Бернулли n → ∞, np → ∞, nq → ∞, то следует применять
формулы Муавра — Лапласа: локальную или интегральную.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]