Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
11
Определение. События H1, …, Hn образуют полную группу попарно
несовместимых событий, если в результате опыта должно произойти ровно
одно из них, т.е. если
Н
1
+ Н2 + ... + Hn = Ω и HiHj = Ø (i ≠ j).
События H1, …, Hn, образующих полную группу попарно несовместимых
событий, принято называть гипотезами.
Определение. Событие A влечет событие B (A является подмножеством
множества B), если из того, что происходит событие A, следует, что происходит
событие B; записывают A ⸦ B.
Определение. Если одновременно
AB
и
BA
, то в этом случае собы-
тия A и B называют равносильными, при этом пишут А = В.
Пример 1.5. Если A — событие, состоящее в том, что взятое наудачу из-
делие первого сорта, а B — изделие качественное (не брак), то в том событие A
влечет событие B: A ⸦ B.
Свойства операций над событиями:
1)
A B B A+ = +
;
11)
A+ =
;
2)
AB BA=
;
12)
AA=
;
3)
( ) ( )
AB С A B C+ + = + +
;
13)
AA+ =
;
4)
( ) ( )
AB С A BC=
;
14)
AA+ =
;
5)
( )
A B C AC BC+ = +
;
15)
=
;
6)
( )( )
AB C A C B C+ = + +
;
16)
=
;
7)
A A A+=
;
17)
AA =
;
8)
AA A=
;
18)
\A B AB=
;
9)
AA+ =
;
19)
A B AB+=
;
10)
A =
;
20)
AB A B=+
.
Пример 1.6. Пусть подбрасывается игральный кубик. Рассмотрим следу-
ющие события:
A — выпало более трех очков, т.е. A = {4, 5, 6};
B — выпало четное число очков, т.е. B = {2, 4, 6}.
12
Тогда:
C = A + B = {2,4.5.6},
D = AB = {4,6},
E = A – B = {5};
3,2,1=−= AA
.
Пример 1.7. Пусть A, B, C — три произвольных события. Найти выраже-
ния для событий, состоящих в том, что:
а) произошло ровно одно событие;
б) произошло, хотя бы, одно событие;
с) произошли ровно два события;
д) произошли, хотя бы, два события;
е) ни одно событие не произошло;
е) произошло не более двух событий.
Решение. Обозначим события A, B и
C
, состоящие в том, что соответ-
ствующие события A, B, и C не произошли.
а) произошло ровно одно событие — это сумма событий:
ABC ABC ABC++
;
б) произошло, хотя бы одно событие — это сумма событий:
A B C++
;
с) произошли ровно два события:
ABC ABC ABC++
;
д) произошли, хотя бы, два события — это сумма событий:
AB + BC + AC;
е) ни одно событие не произошло:
A B C A BC+ + =
;
13
е) произошло не более двух событий — ни одно событие не произошло
или произошло ровно одно событие:
ABC ABC ABC ABC+++
.
1.2. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ
Определение. Алгеброй (алгеброй событий) S, называется непустое
система подмножеств множества Ω, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1)
S
;
2) если
AS
, то
AS
;
3) если
AS
и
BS
, то
A B S+
.
Определение. σ-алгеброй событий , называется непустое система подмножеств множества Ω, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1)
;
2) если
A
, то
A
;
3) если
12
, ,..., ,...
n
A A A
, то
12
... ...
n
A A A+ + + +
(вместе с любым
счетным набором событий σ-алгебра содержит их объединение).
Определение. Числовая функция Р(А), заданная на σ-алгебре , называется вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:
1. Аксиома неотрицательности. Для любого события A:
P(A) ≥ 0.
2. Аксиома нормированности. Вероятность достоверного события рав-
на 1, т.е.
( )
1P =
.
3. Аксиома сложения (теорема сложения для несовместных собы-
тий). Если
,AB
и
AB =
, то
( ) ( ) ( )
P A B P A P B+ = +
.
14
Из сформулированных выше аксиом можно вывести ряд очевидных
свойств вероятности:
1. Вероятность противоположного события A:
( )
( )
1P A P A=−
. (1.1)
2. Вероятность невозможного события:
( )
0P =
. (1.2)
3. Если событие A влечет за собой событие B
( )
AB
, то
( ) ( )
P A P B
.
4. Для каждого события A справедливо неравенство:
( )
01PA
. (1.3)
5. Вероятность суммы (объединения) двух произвольных (необязательно
несовместных) событий:
( ) ( ) ( ) ( )
P A B P A P B P AB+ = + −
. (1.4)
Докажем эти свойства:
1. Используем очевидное свойство суммы противоположных событий
AA+ =
. Тогда, используя аксиому нормированности и аксиому сложения
(теорема сложения для несовместных событий), получим:
( )
( )
( )
( )
1 P P A A P A P A= = + = +
.
Из двух последнего равенства следует, что
( )
( )
1P A P A=−
.
15
2. Используем очевидное свойство
+=
и теорему сложения для
несовместных событий, получим:
( ) ( ) ( ) ( )
P P P P = + = +
,
откуда и следует данное свойство.
3. Представим событие B в виде суммы двух несовместных событий:
B A AB=+
,
( )
A AB =
.
Используя теорему сложения для несовместных событий, получим:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
P B P A AB P A P AB P A
= + = +
.
4. Так как всегда
A
, то с учетом предыдущего свойства получим:
( ) ( ) ( )
01P P A P= =
.
5. С учетом соотношений:
A + B = A + (B – A) и B = (B – A) + AB
и используя аксиому сложения, находим:
P(A + B) = P(A) + P(B – A) и P(B – A) = P(B) + P(AB).
Откуда получаем:
P(A + B) = P(A) + P(B ) – P(AB).
16
2. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ
2.1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть
n
,...,,
21
=
— конечное пространство, элементарные события
которого образуют полную группу попарно несовместимых событий и все они
равновозможны:
( ) ( )
( )
12
1
...
n
p p p
n
= = = =
.
Тогда вероятность Р(А) события A равна отношению числа элементарных
событий ω, входящих в событие A (или числу исходов, благоприятствующих
событию A), к общему элементарных событий в Ω (к числу всевозможных исходов):
( )
A
m
PA
n
==
. (2.1)
Равенство (2.1) принято называть классическим определением вероятности (формулой Лапласа).
Пример 2.1. Из колоды карт (32 листа) наудачу выбирается одна карта.
Определить вероятность того, что она окажется тузом (событие А).
Решение. Число всевозможных исходов — n = 32.
Число благоприятных исходов равно числу тузов, т.е. m = 4.
Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:
( )
41
32 8
m
PA
n
= = =
.
Пример 2.2. Среди 8 экзаменационных билетов 3 «хороших» и 5 «пло-
хих» билетов. Найти вероятность того, что студенту, выбирающему билет вторым, достанется «хороший» билет.
Решение. Составим вспомогательную таблицу. Строками этой таблице
является выбор первого студента, а столбцами — выбор второго студента.
17
1-й студент
2-й студент
1 2 3 4 5 6 7
8
1
–
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(1,7)
(1,8)
2
(2,1)
–
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(2,7)
(2,8)
3
(3,1)
(3,2)
–
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(3,7)
(3,8)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
–
(4,5)
(4,6)
(4,7)
(4,8)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
–
(5,6)
(5,7)
(5,8)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
–
(6,7)
(6,8)
7
(7,1)
(7,2)
(7,3)
(7,4)
(7,5)
(7,6)
–
(7,8)
8
(8,1)
(8,2)
(8,3)
(8,4)
(8,5)
(8,6)
(8,7)
–
Число всевозможных исходов (заметим, что диагональные элементы от-
сутствуют ввиду того, что двое студентов не могу одновременно взять один
и тот же билет) — n = 56.
Будем считать, что «хорошими» билетами являются первые три билета.
Тогда благоприятными исходами являются первые три столбца.
Следовательно, число благоприятных исходов — m = 7 × 3 = 21.
Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:
21 3
56 8
m
p
n
= = =
.
2.2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
2.2.1. Выборки и генеральная совокупность
Исходное множество A = {a1, …, an}, состоящее из n элементов, будем
называть генеральной совокупностью объема n. Из данного множества будем
производить отбор его элементов (образовывать его подмножества).
Определение. Подмножество, состоящее из m элементов, выбранных из
генеральной совокупности, называется выборкой объема m.
Возможны два способа отбора элементов из генеральной совокупности:
выбор без возвращения и выбор с возвращением.
Определение. Отбор элементов, при котором каждый выбранный эле-
мент, удаляется из генеральной совокупности, называется выбором без воз-
вращения.
18
Определение. Отбор элементов, при котором каждый выбранный эле-
мент, возвращается в генеральную совокупность, называется выбором с воз-
вращением.
В первом случае выбор без возвращения, все элементы выборки различны
(т.е. нет повторяющихся элементов).
Во втором случае выбор с возвращением, в выборке могут быть повторяющиеся элементы.
В зависимости от правил выбора выборки делят на три типа: размещения,
перестановки, сочетания. В зависимости от способа выбора (без возвращения
или с возвращением) каждая выборка может быть без повторений или с повто-
рениями.
2.2.2. Основные правила комбинаторики
При решении задач комбинаторики используют правило суммы и правило
произведения.
Правило суммы. Пусть элемент A можно выбрать m способами, а объект
B можно выбрать n способами, причем выбор одного элемента исключает од-
новременный выбор другого элемента. Тогда выбор «A или либо B» можно сделать m + n способами.
Правило произведения. Если один элемент множества A1 можно выбрать
n1 способами, элемент множества A2 – n2 способами и так далее до множества
Ak, один элемент которого можно выбрать nk способами, то выбрать k элементов
в заданном порядке можно n способами, где n = n1 × n2 × … × nk.
Пример 2.3. Найти число всевозможных исходов при бросании двух иг-
ральных костей.
Решение. Очевидно, что каждый элемент пары принимает шесть значений. Следовательно, существует 6 × 6 = 36 возможных комбинаций.
2.2.3. Перестановки, размещения и сочетания без повторений
Определение. Перестановкой из n элементов называется любой упоря-
доченный набор этих элементов.
Теорема. Число различных перестановок из n различных элементов вы-
числяется по формуле:
!
n
Pn=
19
Первый элемент можно выбрать n способами, второй элемент можно выбрать n – 1 способами (так как один элемент уже выбран), третий — n – 2 способами и т.д. В итоге получим:
( )
1 2 1 n!
n
P n n= − =
.
Комбинаторный смысл числа перестановок прост — количество способов, которыми можно упорядочить конечное множество из n различных элементов.
Замечание. Очевидно, что выполняется равенство 0! = 1, так как пустое
множество (оно не содержит ни одного элемента) можно упорядочить только
одним способом — само это множество.
Замечание. Значения n! можно найти с помощью Excel, используя функцию ФАКТР.
Определение. Размещением из n элементов по m называется любой упо-
рядоченный набор, содержащий m элементов, выбранных из общей совокупно-
сти в n элементов.
Теорема. Число размещений из n различных элементов по m вычисляется
по формуле:
( ) ( )
( )
!
11
!
m
n
n
A n n n m
nm
= − − + =
−
. (2.2)
Доказательство. Первый элемент можно выбрать n способами, останет-
ся n – 1 элементов. Следовательно, второй элемент можно выбрать n – 1 способами, третий — n – 2 способами и так далее до элемента m, который выбирается n – (m – 1) = n – m + 1 способами. Согласно правилу произведения получаем:
( ) ( )
11
m
n
A n n n m= − − +
.
Приведем полученное выражение к компактному виду, умножив и разде-
лив его на (n – m)!:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1 ... 2 1
11
!
m
n
n n n m n m
A n n n m
nm
− − + −
= − − + =
−
.
20
Числитель полученной дроби является произведением натуральных чисел
от 1 до n, следовательно, получаем:
( )
!
!
m
n
n
A
nm
=
−
.
Замечание. Соотношение (2.2) можно запомнить следующим образом:
число размещений из n различных элементов по m равно произведению m последовательных натуральных чисел, из которых наибольшим является n.
Замечание. Число размещений
m
n
A
и число перестановок Pn можно найти
с помощью Excel, используя функцию ПЕРЕСТ (рис. 2.1 и 2.2).
Рис. 2.1. Число размещений
3
5
A
Рис. 2.2. Число перестановок P
5
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]