Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебник
.pdf
Коэффициентконтингенциивсегдаменьшепомодулюкоэффици-
45 26 12 32
45 26 12 32
⋅−⋅
⋅+⋅
45 26 12 32
⋅−⋅
ab
ab
−
+
ентаассоциацииидаетболеекорректнуюоценкутеснотысвязи.
.Оценитьсвязьмежду способомподготовкикзачету
ирезультатомзачета(табл.1.24)спомощьюкоэффициентовассоциациииконтингенции.
Таблица 1.24
Способподготовки Зачет Незачет
Полекциям 45 12
Поучебникам 32 26
Решение
a =45, b =12,c =32,d =26.
Коэффициентассоциации
K
= =
a
0,51.
Коэффициентконтингенции
K
кон
(45 12)(32 26)(45 32)(12 26)
++++
=
0,25.
Обакоэффициента положительные,изначениекоэффициентаконтингенцииблизкокнулю(ондаетболеекорректнуюоценкутесноты
связи),следовательно,связьмеждупризнакамислабаяпрямая.
Еслипо каждому из анализируемых признаковвыделяется число
группболеедвух,тонаправлениесвязиможетоцениваться
.
Коэффициент Фехнера – это наиболее простой показатель для
измерениятесноты зависимостимеждудвумяпеременными.Он основан на сравнении знаков отклонений индивидуальных значений
каждого признака от средних значений. Коэффициент Фехнера вычисляетсяпоформуле
K
=
Ф
,
гдеа −числосовпаденийзнаков;
b −числонесовпаденийзнаков.
71
Коэффициент Фехнера может изменяться в пределах от –1 до 1. Так
x
y
i
xx−
i
yy−
14
14
+
как он зависит только от знаков и не учитывает, на сколько сами отклонения отличаются от средних значений, коэффициент Фехнера характеризует не столько тесноту связи, сколько ее наличие и направление.
Задача 1.18. С помощью коэффициента Фехнера оценить наличие
и направление связи между признаками x и y по данным табл. 1.25.
Таблица 1.25
х
i
y
i
3 2 7 2 4
7 8 4 4 1
Решение
Средние значения переменных x и y равны соответственно
= (3+2+7+2+4)/5 = 3,6 ,
= (7+8+4+4+1)/5 = 4,8.
Отклонения значений переменных от собственных средних пред-
ставлены в табл. 1.26:
Таблица 1.26
–0,6 –1,6 3,4 –1,6 0,4
2,2 3,2 –0,8 –0,8 –3,8
Число совпадений знаков (считается по столбцам) а = 1 (5-й столбец),
число несовпадений знаков (считается по столбцам) b = 4 (остальные
столбцы).
Тогда коэффициент Фехнера
K−= = −
Ф
0,6.
Коэффициент меньше нуля, следовательно, связь между переменными обратная.
Более точно теснота связи может быть измерена с помощью коэффициентов, рассчитанных на основе критерия χ
После того как с помощью критерия χ
2
.
2
установлена связь между
переменными, оценивается сила этой связи с помощью коэффициен-
тов Крамера, взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.
Коэффициент Крамера рассчитывается по формуле
2
72
V
=
min( 1, 1)
n rc
⋅ −−
χ
,
гдеχ2 − значениестатистики;
−−
2
2
0
()
,35 49.
ff
f
Ε
Ε
−
χ= =
∑
n − объемвыборки;
r ис −соответственночислострокистолбцоввтаблицесопря-
женности.
Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона:
2
χ
2
χ+
.C
n
=
Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова:
2
K
=
Ч
χ
( 1)( 1)
nr c
.
. По данным задачи 1.16 определить на основе кри-
терия χ
2
коэффициентыКрамера, взаимной сопряженности Пирсона
иЧупрова.
Решение
Прирешениизадачи1.16полученастатистика
ИспользуемэтозначениедлявычислениякоэффициентовКрамера,взаимнойсопряженностиПирсонаиЧупрова.
КоэффициентКрамера:
КоэффициентвзаимнойсопряженностиПирсона:
Коэффициентвзаимнойсопряженности Чупрова:
V = =
225 min(4 1,4 1)
C = =
35,49
⋅ −−
35,49
35,49 225
K = =
Ч
35,49
−−
225( 4 1)( 4 1)
0,23.
0,37.
+
0,13.
73
Рассчитанныезначениякоэффициентовсвидетельствуютоналичии
2
1,
∑
∑
xy
dN N= −
=α− −
2
S
y
N
y
N
слабойсвязимеждурезультатамисдачиэкзаменовпоматематикеистатистике.(Известно,что коэффициентвзаимной сопряженности ЧупровавсегдаменьшекоэффициентавзаимнойсопряженностиПирсона.)
Количественнойоценкойсвязимеждупорядковыми данными служаткоэффициенты корреляции рангов Спирмена и Кендалла.
Порядковые данные − это данные, получаемые в результате упорядоченияи ранжирования, т.е.присвоения каждомупоследующему
значениюранга (места) большего, чем предыдущий.Ранг – этопорядковыйномерединицысовокупностивранжированномряду.Ранжироватьобапризнаканеобходимоводномитомженаправлении.
После ранжирования совокупности подвум признакам определяетсяранговый коэффициент Спирмена:
6
rnn= −
s
d
2
( 1)
−
где2d
−суммаквадратовразностейрангов;
n−общеечисловариант,имеющихобапризнака(числонаблюдений).
Статистика
Ранговый коэффициент корреляции Кендалла определяется
поформуле
гдеS = P+Q –суммаположительныхиотрицательныхбаллов
(фактическаясуммарангов),здесьP–числослучаевдлякаж-
значения
дого
высокогопорядка(этибаллыучитываютсясознаком«плюс»);
Q−числослучаевдлякаждогозначения
дующихнаблюденийменьшепозначению(баллыучитываются
сознаком«минус»).
74
−разностьранговкаждойпарызначенийxиy;
Tt k rn
кр кр s
( , ) (1 ) / ( 2 ) ,
rnn=
Ke
( 1)
−
,
гдеk = n – 2.
,когдарангпоследующихнаблюденийболее
,когдарангпосле-
Ниже рассматривается вычислениеобоих ранговых коэффициен-
N
N
xy
dN N= −
d
товнапримерезадачи1.20.
.Оценитьтеснотусвязимеждуобъемомвыпускапро-
дукции(y,млнруб.)истоимостьюосновныхпроизводственныхфондов (x, млнруб.)по данным 10предприятийминерально-сырьевого
комплекса(табл.1.27)спомощьюкоэффициентовкорреляцииСпирменаиКендалла.Доверительнаявероятностьр=0,95.
Таблица 1.27
Вмлнруб.
Номер
предприятия
1 1,8 4,4
2 1,5 3,9
3 3,8 8,2
4 3,1 6,5
5 3,0 7,0
6 3,5 6,1
7 2,2 3,5
8 2,6 4,3
9 2,0 3,8
10 2,3 4,8
Объемвыпуска
продукции
Стоимостьосновных
производственныхфондов
Решение
Поданным табл. 1.27 составляетсятабл.1.28с ранжированными
признакамиирасчетнымипоказателями.
Таблица 1.28
X Y
1 2 3 4 5 6 7 8
1,5
3,9
1,8
4,4
2,0
3,8
2,2
3,5
2,3
4,8
2,6
4,3
3,0
7,0
3,1
6,5
3,5
6,1
3,8
8,2
– – – – – Σd
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
y
3
5
2
1
6
4
9
8
7
–2
–3
1
3
–1
2
–2
0
2
0
2
4
9
1
9
1
4
4
0
4
0
2
=36 P=35 Q=–10
Подсчетбаллов
+ −
7
5
6
6
4
4
1
1
1
–
2
3
1
0
1
0
2
1
0
–
75
КоэффициенткорреляцииранговСпирмена:
∑
2 2 25
S
⋅
2
6
1 1 6 0, 78;
rnn=− =−⋅ =
s
d
2
( 1)
−
10 (100 1)
⋅−
36
2,31 (1 0,78 ) / (10 2) 0,51 0,78,
T = − −= <
кр
2
гдеграничнаяточкаtкр(0,05,8)=2,31.
Следовательно,на уровне значимости 5 % связь между объемом
выпуска продукции y и стоимостью основных производственных
фондов x существует.
ДлярасчетакоэффициентакорреляцииранговКендалла оцениваетсяобщаясуммабаллов(этибаллыданывграфах7и8табл.1.28):
S=P+Q=35+(–10)=25.
ТогдаранговыйкоэффициентКендалла
r
= = =
Ke
( 1) 10 9
nn
−⋅
0,56.
Следуетзаметить,чтокоэффициентКендаллавсегдаменьше,чем
коэффициентСпирмена.
При изучении связи экономических показателей используются
уравнениялинейнойинелинейнойсвязи.
Статистическаясвязьдвухпризнаковxиyназываетсяпарной кор-
реляцией.Влияниеженесколькихфакторовх
,х2,...,xnнарезульта-
1
тивныйпризнакyназываетсямножественной корреляцией.
При анализе связи двух признаков x и y (парной корреляции)
и оценке формырегрессионной зависимостииспользуется графическийметод.Строитсядиаграмма рассеяния,котораяявляетсягеометрическимместомточексабсциссами−значениямифакторнойпеременной и ординатами − соответствующими значениями зависимой,
результативнойпеременной.
Если точки на диаграмме рассеяния расположены достаточно
близко кпрямой линии, тодля установлениятесноты парной связи
76
признаков x и y используется линейный коэффициент корреляции
r
ˆ
22
22
1
n
nn
aa a
n
+++
n
,2
2
ˆ
1
rt
r
−
,2
2
t
/2uα
Пирсона.
Выборочнаяоценкаэтойхарактеристики
вычисляетсяпоследу-
ющимформулам:
( )( )
x xy y
−−
∑
ˆ
r
n
= =
nn
∑∑
11
ii
= =
ii
i
1
=
() ( )
22
xx yy
−−
ii
xy x y
−⋅
( )( )
xx yy
−⋅−
.
(1.9)
Чертасверхувформуле(1.9)означаетсреднееарифметическое:
a
=
12
n
.
Величина,стоящаявчислителеформулы(1.9),называетсяковари-
ациейиобозначаетсяcov(x,y):
1
x x y y xy x y
− − = −⋅
( )( ) .
∑
ii
n
i
1
=
Наличиекорреляционнойсвязимеждуисследуемымипеременны-
миустанавливаетсянаоснованииусловия
2
n
−
где
ˆ
−табличноезначениеквантилираспределенияСтьюдентас
α
n
−
>
2
,
α
n
−
(n−2)степенямисвободыиуровнемзначимости,равнымα/2.
Вальтернативномслучаенеравенствапринимаетсягипотезаобот-
сутствиикорреляционнойсвязи.
Доверительный интервал для теоретического коэффициента кор-
реляцииПирсонаrзаключенвпределах
thz
<r<thz2,
1
0, 5 ln((1 ) (1 )) ( / 3 ) (2 ( 1) )z r ru n r n
где
здесь
= ⋅ + − −− ⋅−
1,2 / 2
–квантильнормальногораспределениясуровнем
ˆˆ ˆ
α
,
77
значимостиα/2,причемзначнниеzопределяетсяпотаблицам
ˆ
1
ˆ
1
r
r
+
−
r
ˆ
r
ˆ
1,96 0,654
−
=− −− =−
1,96 ( 0,654)
−
=− +− =−
z-преобразованияФишераилипрямымвычислением:
0,5 ln .
z
= ⋅
. По данным 39 предприятий минерально-сырьевого
комплексаполученкоэффициенткорреляции
=–0,654,характери-
зующийтеснотусвязи между себестоимостьюпродукцииy ипроизводительностьютрудаx.Найти доверительную оценкудля теоретическогозначениякоэффициентакорреляцииПирсона r при5 %-ном
уровнезначимости.
Решение
Изтаблицz-преобразованияФишерадля
=–0,654определяется
значение z:
z=–0,7823.
Отсюда
0,7823 1,1004;
z
1
36
2 (39 1)
⋅−
0,7823 0,4470.
z
2
Потаблицамz-преобразованияФишераизначениямфункцииz1 и
оцениваютсяаргументыr1 и r2:
z
2
r
Следовательно, сдоверительнойвероятностью р =0,95можноутверждать,чтоистинноезначениекоэффициентакорреляцииПирсона
r себестоимости продукции y и производительности труда x лежит
вследующеминтервале:
–0,756<r<–0,420.
78
2 (39 1)
36
=–0,756,r2=–0,420.
1
⋅−
xbay ⋅+=
ˆ
i ii
i
b
ii
=⋅⋅
i
y
ˆ
i
y
22
i
∑
ii
ii
i ii
∑∑
∑ ∑∑
Уравнение регрессии – этоуравнение, описывающее вфункциональной форме корреляционную связь между результативным признаком yи одним факторнымпризнаком x. Оно называется уравне-
нием парной регрессии y на x. Уравнение регрессии называется
множественнымуравнениемрегрессии y их
,х2,..., xk,если количе-
1
ствофакторныхпризнаковk >1.
Простейшим парным уравнением регрессии является линейное
уравнниевида
.
ii
Такжевкачествеуравнений регрессии могутиспользоватьсядругиетипыфункций:
1)параболическая−
2)гиперболическая−
3)степенная−
ˆ
y ax
ˆ
y a bx cx= +⋅ +⋅
ˆ
ya
= +
i
b
x
2
;
;
инекоторыедругие.
Оценкапараметров регрессии a, bи c осуществляетсяметодом наи-
меньшихквадратов(МНК).Способоснованнаминимизациисуммыква-
дратовотклоненийфактическихзначений
результативногопризнака
,полученныхпоуравнению
ˆ
S yy= −→
()min
ii
оттеоретическихзначений
регрессии:
.
Вслучаепарнойлинейнойрегрессииприопределениипараметров
аиb пометодуМНКполучаетсясистеманормальныхуравнений:
y an b x
=⋅+⋅
;
yx a x b x
=⋅ +⋅
ii i i
2
.
79
ПослепримененияправилаКрамераполучаютсяследующиеоцен-
ii
∑ ∑∑
σ
1
11
i ii
ab
∑ ∑∑
23
2 23 4
i i ii
∑ ∑∑∑
ln ln ln ln .y ab x= +⋅ + ε
кипараметров:
⋅ −⋅
n yx y x
b
=
a y bx
= −⋅
ii i i
i ii
nx x
2
⋅−
∑∑
ii
2
.
;
Параметрbможновыразитьчерезкоэффициенткорреляции:
y
xy
,
.
σ
x
br
=
При определении параметров гиперболической функции система
нормальныхуравненийимеетследующийвид:
y an b
=⋅+⋅
∑∑
i
ii
y
i
=⋅ +⋅
xx
ii
При определении параметров параболы второгопорядка система
нормальныхуравненийимеетвид
y an b x c x
=⋅+⋅ +⋅
∑ ∑∑
i ii
i ii
yx a x b x c x
∑ ∑∑ ∑
=⋅ +⋅ +⋅
ii i i i
i ii i
yx a x b x c x
=⋅ +⋅ +⋅
ii i i i
Логарифмирование степенной модели по основанию е приводит
ееклинейномувиду:
80
x
i
;
.
2
x
i
2
;
;
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]