Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебник
.pdf
Здесьчислонаблюденийпокадойгруппеопределяетсяпоформуле
/.
n nN N=
ii
При механическом отборе в выборку включаются единицы гене-
ральнойсовокупности,взятыечерезопределенныйинтервал.
При серийном отборе генеральную совокупность делят на оди-
наковыепообъемусерии(группы)ипроизводятвыборкуслучайным
повторным или бесповторным способом не единиц совокупности,
асерий;внутрисериипроизводитсясплошноеобследованиевсехпопавшихвнееединиц.
Всюпродукциюнапредприятииминерально-сырьевого
комплекса производят 100 станков; тогда генеральная совокупность
состоитиз 100 единиц. Если отобратьизнее 12 станков,получается
выборочная совокупность; вся продукция, попавшая в эту выборку,
обследуетсяполностью.
Комбинированный отбор предполагает комбинацию серийного
отбора с индивидуальным (например, собственно-случайным) отборомвнутри серий.По степени охвата единиц исследуемой совокупностиразличаютбольшиеималые(n <30)выборки.
Рассчитанные по материалам выборочного наблюдениястатистические показатели не будут точно совпадать с соответствующими
характеристикамигенеральной совокупности. Величинаэтих отклонений называется ошибкой наблюдения и складывается из ошибки
регистрациииошибкирепрезентативности.
Ошибкирегистрациисвойственнылюбомунаблюдению(сплошному
инесплошному),ионивызванынеточностьюисходнойинформации.
Ошибки репрезентативности свойственны только выборочному наблюдению.Онихарактеризуютстепеньрасхождениямеждузначениями
показателя,полученными в выборочнойи генеральнойсовокупностях
в условиях одинаковой точности единичных наблюдений, и вызваны
тем,чтообследуетсяневсясовокупность,атолькоеечасть,отбираемая
случайно.Расчетэтойошибкисоставляетсутьвыборочногометода.
Пусть распределение значений количественного признака в выборкеизвестно и записано какдискретное распределение втабличнойформе(табл.1.17).
51
Таблица 1.17
11
()
;.
mm
nn
m
1 (1 )
npq p p
n
nn
−
(1 )
ww
n
−
x
σ
Вариантыx
Итого N
…
x
i
x
1
x
2
m
Частотаn
n
1
n
2
…
n
m
i
Тогдавыборочныесреднееидисперсиятакогораспределениярас-
считываютсяпоследующимформулам:
xn x x n
∑∑
ii i i
ii
= =
xs
= =
2
2
−
Выборочная доля (или относительная величина альтернативного
признака)определяется как отношениечисла m членоввыборочной
совокупностисизучаемымпризнакомкееобщемуобъемуn:
wn=
,
ислужитодновременновыборочнойсреднейдоли.
Дисперсияотдоли
D Dm
= = =
w
22
,
поэтомувыборочнаядисперсиядолиопределяетсятак:
2
s
=
w
.
Распределение признака в генеральной совокупности считается
неизвестным, поэтому в выборочномметодевеличины
,s2,wиs
2
рассматриваются как оценки параметров генеральной совокупности,
а именно: генеральных средней и дисперсии, обозначаемыхкак a и
2
генеральнойдолиp =M / N(гдеM–доляединиц,обладающихданнымпризнакомвгенеральнойсовокупности),являющейсяматематическиможиданиемвыборочнойдоли,игенеральнойдисперсиидоли
w
,
52
2
(1 )
pp
n
−
{ }
θ
(,)
n
n
γγ
1
2
+γ
σ=
w
соответственно.
Состоятельность выборочных оценок, вычисляемых по правилу
арифметическойсредней,доказанавзаконебольшихчиселитеореме
Чебышева.
Предельнаяошибкарепрезентативности∆дляпараметраθопределяетсякакинтервальнаяоценкаспомощьювероятностногоравенства:
где
–выборочнаяоценкапараметраθ;
{ },PPθ−θ ≤∆ = θ−∆≤θ≤θ+∆ =γ
γ–доверительнаявероятность(надежностьоценки),равная0,90,
0,95,0,975илидаже0,99.
Интервал
θ−∆ θ+∆
называется доверительным интервалом
оценкипараметраθ.
Предельнаяошибка∆длясреднейколичественногопризнакавусловияхслучайнойповторнойбольшой(n> 30) выборкирассчитываетсяпоформуле
2
σ
.
t
∆=
i
Всоответствиисцентральнойпредельнойтеоремой
2
{ } 2 () 1 ,ФPa x t t
− < = −=γ
σ
гдеtγ–квантильстандартногонормальногораспределенияΦ(tγ),кото-
рыйопределяетсяизформулы
поизвестнойправойчастиспомощьютаблицэтогораспределения.
()
t
Φ=
γ
53
Величинаμназываетсясредней квадратической ошибкойвыбор-
n
nN
n
γγ
pp
n
pp
n
pp n
nN
∆
2
()
кидлясреднейпризнака(среднейошибкойвыборки):
2
σ
µ=
.
Прислучайномбесповторномвыборе
2
σ
( )(1 ) .
µ= −
n
Предельная ошибка∆p для доли определяется исходя из вероят-
ностногоравенства
(1 )
pp
{ } 2() 1 .
Pp w t t
− < =Φ −=γ
−
Равенство получено из интегральной предельнойтеоремы Муав-
ра–Лапласа.
Следовательно,
(1 )
∆=
p
t
−
γ
.
Средняяошибкадлядоливслучаеповторнойвыборки
Длябесповторнойвыборки
Приизвестныхзначенияхпредельнойошибкиидоверительнойве-
роятностиминимальныйобъемвыборки,которыйобеспечиваеттребуемуюточность, равендлясредней и долисоответственно(например,приповторномотборе)
54
(1 )
−
(1 ) .
t p1 p
γ
=
∆
.
−
2
p
µ=
p
(1 )
µ= −
p
t
σ
γ
n
=
−
2
n
p
2
и
Вслучаемалойвыборкиметодикавычисленийсреднейипредель-
Pt
<=γ
x
()
1
m
ii
x xn
n
−
22
1
n
ss
n
−
ww
n
nN
нойошибоквыборкисущественноиная.
Величинапредельнойошибкисреднейколичественного признака
получаетсяспомощьюследующеговероятностногоравенства:
xa
−
гдеt
{ },
2
sn
/
x
–квантильраспределенияСтьюдентас(n –1)-йстепенью
γ,n–1
,1
n
γ−
свободы(этозначениепоизвестнымзначениямγиnопределяетсяспомощьютаблиц);
2
–несмещеннаяоценкагенеральнойдисперсии,вычисляемая
s
поформуле
2
−
∑
2
i
=
1
=
s
x
исвязаннаясвыборочнойдисперсиейs2соотношением
Длядоливслучаенеизвестнойгенеральнойдолирсредняяошибкаповторнойвыборкиоцениваетсякак
соответственно,длябесповторнойвыборки
Примеханическомспособеформированиявыборочнойсовокупности используются те же формулыдля нахождения ошибки выборки,
чтоиприсобственнослучайномотборе.
(1 )
−
.
−
(1 ).
=
x
µ=
p
(1 )
µ= −
ww n
p
;
55
Для типической выборки при повторном отборе в формуле пре-
σ
ww
; ,
ww
nn
σ−
nn
∑∑
nn
∑
i
∑∑
N
mM
22
()
xxm
∑
i
x
∑
дельной ошибки используется либо среднее групповых дисперсий
2
ввыборке
,либодоля
(1 )
:
−
2
tt
∆= ∆=
γγ
(1 )
22
где
σ= σ
ii i
шихввыборкуизi-йгруппы,причем
,
здесьn
– числоединицсовокупности,попав-
i
2
;
=
i
–выборочная
σ
дисперсияпризнакавi-йгруппе;
(1 ) (1 ) .
w w w wn n−= −
i ii i
Вслучаебесповторногоотборавеличины∆умножаетсяна
Присерийнойвыборке,проводимойвосновномкакбесповторная,
формулаошибкивыборкидляравновеликихсерийимеетвид
2
δ
t
∆= −
γ
m
(1 ),
где
δ= −
здесь
i
–среднеезначениепризнакавi-йсерии;
–межгрупповая(междусериями)дисперсия,
x xm=
/
i
–общее
среднеевыборочнойсовокупности;
m–числосерий,отобранныхввыборочнуюсовокупность;
M –числосерийгенеральнойсовокупности.
n
.
1
−
Частогенеральнаясовокупностьподчиняетсязаконамраспределе-
нияснекоторымипараметрами[4,8].
Фасовочнаямашинадолжнанаполнятьмешкиуглемпо
100кг. Как узнать,действительнолигенеральнаясовокупностьподчиняетсяэтомуправилу?Сэтойцельюпроводятиспытаниегипотез.
56
Из генеральной совокупности производится выборка объема n.
Дляэтойвыборки вычисляются нужныехарактеристики.Затемформулируютсядвегипотезы:основнаяH
иальтернативнаяH1.
0
H
:генеральнаясредняяа =100.Альтернативнаягипотеза
0
вэтомпримереможетбытьсформулированаоднимизтрехспособов:
а)H
:а >100(правосторонняяпроверка);
1
б)H
:а <100(левосторонняяпроверка);
1
в)H
:а≠100(двусторонняяпроверка).
1
Исследовательзадаетдоверительнуювероятностьр−величину,котораяотражаетстепеньуверенностиисследователяврезультатеиспытания.Дляодностороннейпроверкиα=1–р,длядвустороннейпроверки α = (1–р)/2.Величина1 –р называетсяуровнем значимости.
Поα иn(взависимостиотвидарешаемойзадачи)потаблицамнаходятодну(дляодностороннейпроверки)илидве(длядвусторонней
проверки)граничныеточки,которыенаносятначисловуюось.
Порезультатамвыборкивычисляетсястатистика.Формуладля
вычисления статистикизависит от видарешаемой задачи. Значение
статистики наносят на числовую ось. В зависимости от взаимного
расположениястатистикииграничныхточеквозможенодиниз трех
вариантов:
1) принимаетсяH
;
0
2) отклоняетсяH0 ибезвсякойпроверкипринимаетсяH1;
доказательство является неубедительным, нужно больше дан-
3)
ныхдляпринятиярешения.
• правееграничнойточки−принятиеН
• левее−отклонениеН
ипринятиеН1свероятностью1 – р.
0
свероятностьюр;
0
• левееграничнойточки−принятиеН
свероятностьюр;
0
• правее−отклонениеН0ипринятиеН1свероятностью1– р.
• междуграничнымиточками−принятиеН
свероятностьюр;
0
• левеелевойграничнойточкииправееправойграничнойточки−
отклонениеН0ипринятиеН1свероятностью(1– р)/2.
57
Чем выше доверительная вероятность, тем шире область принятия Н0.
Конечной целью обработки информации методами математической статистики, если речь идет о больших выборках, является получение закона распределения исследуемой случайной величины. Это
связано с тем, что закон распределения является фактически тем аппаратом, который позволяет определить вероятность появления (или,
наоборот, непоявления) случайной величины в тот или иной период
времени или вероятность того, что случайная величина попадет в тот
или иной интервал ее возможных значений. Этот этап статистической
обработки является одним из наиболее важных, так как ошибка при
выборе того или иного закона распределения приводит к ошибкам
при дальнейшем решении практических задач.
Если проанализировать все этапы статистической обработки,
то можно сделать вывод, что наиболее ответственными являются этапы, на которых решаются следующие задачи.
1. Возможно ли объединение нескольких малых или средних вы-
борок в одну?
2. Отбрасывать или учитывать резко отличающиеся результаты?
3. Справедливо ли сделанное предположение о законе распределе-
ния случайной величины?
Эти этапы более подробно рассматриваются ниже.
1. Так как для установления закона распределения необходимы
большие выборки, то на практике часто встает вопрос об объединении
нескольких выборок, каждая из которых мала для решения поставленной задачи, и получении одной общей выборки, удовлетворяющей
предъявленным к ней требованиям. Поэтому любое из неправильных решений (как положительное, так и отрицательное) по поводу
объединения выборок приводит к нежелательным результатам, или
к невозможности установить закон распределения, если выборки не
объединяются, или к неправильному выводу о характере закона распределения.
Для решения этой задачи используют критерии, с помощью которых в разных формулировках дается ответ фактически на один и тот
же вопрос: принадлежат или не принадлежат исследуемые выборки
одной генеральной совокупности, т.е. автоматически решается задача о возможности или невозможности их объединения. Как правило,
все эти критерии основаны на сравнении выборочных характеристик
(выборочных дисперсий или средних величин) между собой или с со-
58
ответствующими генеральными характеристиками. В большинстве
0
2
min
1
i
=
случаевиспользованиеэтихкритериевпредполагаетнормальныйили
логарифмически нормальный закон распределения для каждой выборки.Придругихжезаконахраспределенияэтикритериинекорректныиихиспользованиеможетпривестикошибочнымрезультатам.
Наиболеечастоиспользуютсяследующиекритерии:
2
• критерии, основанные на сравнении дисперсий: критерий
2
s
max
F
max
2
s
критерийФишера(
Кочрена(
G
max
s
=
∑
2
s
1
),критерийХартлея(
2
),критерийБартлета(χ2);
2
i
2
max
n
Fs=
s
),критерий
s
2
σ
• критерии,основанныенасравнениисреднихвеличин:критерий
Стьюдента(t),критерийZ идр.
Длявсехкритериеввкачественулевойгипотезы(H
)выдвигается
0
предположение о принадлежности выборки генеральнойсовокупностиилиободнородностивыборок.
2.При наличии выборки, удовлетворяющейтребованиямотносительноеепригодностидляустановлениязаконараспределения,перед
тем как приступить к определению статистических характеристик,
необходимо проверить, принадлежат ли данной выборке ее члены,
резкоотличающиесяотбольшинстваданных,еслитаковыеимеются.
Такаяпроверкастрогообязательна,таккаклюбоеневерноерешение
вотношениирезкоотличающихсярезультатовприводиткискажению
видакривойзаконараспределенияикпоследующимошибкам,окоторыхговорилосьвыше.
Проверка также осуществляется с помощью соответствующих
критериев: критерия Груббса (для малых выборок), критерияИрвинаинекоторыхдругих.Вкачественулевойгипотезывовсехслучаях
принимаетсяпредположениеотом,чторезковыделяющиесярезультатыпринадлежатданнойвыборке.
3. Заключительной исамой трудоемкойпроверкойявляется проверка гипотез о виде функции распределения или о соответствии
другдругупредполагаемыхтеоретическогоиэмпирическогозаконов
59
распределения. Эта проверка осуществляется с помощью так называемыхкритериевсогласия.Существуюткритериидляпроверкисоответствия как предполагаемому нормальному илилогарифмически
нормальному закону распределения, так и любому другому закону
распределения.
Наиболеечастоприпрактическихрасчетахиспользуютсяследую-
щиекритерии:
2
• критерийПирсона(χ
);онсправедливприбольшихобъемахвы-
борокидлялюбыхзаконовраспределения;
• критерийКолмогорова–Смирнова(Du);этоткритерийиспользуетсядляпроверкигипотезыосоответствииэмпирическогораспределениялюбомутеоретическомузаконураспределениясзаранееизвестнымипараметрами,чтонакладываетограничениянаегоиспользование;
2
втожевремяDu являетсяболеемощным,чемкритерийχ
2
• критерий Крамера – Мизеса(ω
);данныйкритерийиспользует-
;
сядляобъемоввыборок50≤n ≤ 200иявляетсяболеемощным,чем
2
, однако при его применении требуется больший объем вычисле-
χ
ний,поэтомуприn >200этоткритерийцелесообразноиспользовать
тольковтехслучаях,когдапроверкигипотезыподругимкритериям
неприводяткбезусловнымрезультатам;
• критерий Шапиро – Уилкса (W); он предназначендляпроверки
гипотезыонормальномилилогарифмическинормальномзаконераспределенияприограниченномобъемевыборки(n ≤50)иявляетсяболеемощным,чемдругиекритерии.
Схематично порядок проведения статистической обработки информации можно представить следующим образом: после решения
вопросаобобъемевыборкиипринадлежностикнейрезкоотличающихсярезультатовстроится гистограмма, рассчитываются статистическиехарактеристикиисследуемойслучайной величины и устанавливаетсязаконеераспределения.
При решении технических и экономических задач используется
достаточноширокий круг законовраспределения,которымподчиняютсяте или иныепроцессы. К ним относятсязаконыВейбулла, Ре-
лея, экспоненциальный, γ-распределения, однако наиболее широко
применяемымявляютсянормальный(Гаусса)илогарифмическинор-
мальныйзаконыраспределения.Получивматематическоевыражение
законараспределения,т.е.соотношение,устанавливающеесвязьмеждувозможнымизначениямислучайнойвеличиныисоответствующи-
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]