Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебник
.pdf
Все перечисленные выше средние относятся к степенным сред-
n
k
x
i
n
n
ним.Онирассчитываютсяпо первичным (несгруппированным)данным,иихобщаяформулаимеетвид
n
k
x
∑
i
k
1
i
=
x
=
k
, (1.1)
где
−средняявеличина;
k
x
−вариантаосредняемогопризнакавстепени k;
k –показательстепенисредней;
n–числовариант(илиобъемвыборки).
Средняяарифметическаяприменяется,когдаобъемсовокупности
представляетсобойсуммувсехиндивидуальныхзначенийварьирующегопризнака.Следуетотметить,чтоесливидсреднейвеличиныне
указывается, то подразумеваетсясредняя арифметическаявеличина.
Онапредставляетсобойотношениеобъемазначенийпризнакаиобъемасовокупности.
Приk=1формула(1.1)преобразуетсяиполучаетсясредняяарифметическаяпростая:
x
∑
i
i
1
=
x
=
. (1.2)
Дополнимзадачу1.1опроизводственномстажерабочихбригадышахтеров– 8, 2, 6, 1, 4, 2, 10, 5, 4 и 6 лет вопросом об
оценкесреднегостажаработы.
Решение
Объемвыборки(количестворабочихвбригаде)равен10.
Среднеезначение:(8+2+6+1+4+2+10+5+4+6)/10=4,8года.
Поформуле(1.2)вычисляютсятакжесредниевхронологическом
ряду, если интервалы времени, за которое представлены значения
признака,равны.
31
Объем реализованной продукции предприятия мине-
22
1
x
x
n
xf
∑
∑
ii
xw
∑
∑
;.
ii
xf
n
∑
рально-сырьевогокомплексазапервыйкварталсоставил47млнруб.,
за второй −54 млн руб.,за третий− 65млн руб. иза четвертый −
58млнруб.Оценитьсреднеквартальныйоборот.
Решение
Среднеквартальныйоборотсоставляет(47+54+65+58)/4=56млнруб.
Если в хронологическом ряду приведены моментные показатели
(значения признака на определенный момент времени), то при вычислениисреднейонизаменяются полусуммамизначенийна начало
иконецпериода.
Если моментов больше двух и интервалымежду ними равны,то
среднеевычисляетсяпоформулесреднейхронологической:
1
xx x
+ +++ +
x
хрон
=
23 1
...
−
n
n
−
,
гдеn–числомоментоввремени.
В случае когда данные сгруппированы по значениям признака
(т.е.построендискретныйвариационныйрядраспределения),средняя
арифметическаявзвешеннаярассчитываетсясиспользованиилибочастотf
,либочастостейнаблюденийwiконкретныхзначенийпризнака
i
хi,числокоторыхkзначительноменьшечисланаблюденийn:
ii
x
арифм
=
x
арифм
=
;
f
i
w
i
гдеk–количествогруппвариационногоряда;
i –номергруппывариационногоряда.
Поскольку∑f
=n,∑wi =1,
i
ii
x x xw
= = ∑
арифм арифм
32
Рассчитатьсреднийстажрабочихвбригадепоранжи-
11 22 42 51 62 81 101
10
года;
⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅+ ⋅ +⋅+ ⋅
года;x
1 0,1 2 0, 2 4 0,2 5 0,1 6 0,2 8 0,1 10 0,1 4,8 .
годаx =⋅+⋅ +⋅ +⋅+⋅ +⋅+⋅=
годаx =⋅+⋅ +⋅ +⋅+⋅ +⋅+⋅=
xf
n
∑
,
ii
x xw= ∑
i
x
2
ii
ab
рованномувзадаче1.1ряду:1,2,2,4,4,5,6,6,8,10лет.
Решение
Объемвыборкиравен10.
Сгруппируемисходныеданныезадачивтабл.1.7.
Таблица 1.7
x
i
f
i
W
i
1 2 4 5 6 8 10
1 2 2 1 2 1 1
0,1 0,2 0,2 0,1 0,2 0,1 0,1
Рассчитаемсреднееарифметическое:
а)сиспользованиемчастот:
x
= =
арифм
4,8
б)сиспользованиемчастостей:
арифм
Простая форма среднего применяется, когда среднее вычисляется по первичным (несгруппированным) данным. Взвешенная форма–прирасчетесреднегоповторичным(сгруппированным)данным.
В последнемслучае данные представленыв виде интервальныхрядовраспределенияиприрасчетесреднейарифметическойвкачестве
значенияпризнака принимаетсясерединаинтервалаисходяиз предположения о равномерном распределении единиц совокупности на
данноминтервале.Расчетведетсяпоформулам:
ii
x+=
;
арифм
,
i
здесьa
иbi–нижняя
i
x
арифм
=
где
–серединаинтервала,
иверхняяграницыинтервалов(приусловии,чтоверхняя
границаданногоинтерваласовпадаетснижнейграницейследующегоинтервала).
33
Как отмечалось выше, среднее арифметическое применяется для
υ
∑
υ
12
11
1
n
1
11
ii
n
xx
∑
∑∑
n
1
ii
n
расчетасреднегозначенияпризнакавтехслучаях,когдаизвестныего
варианты x иих частоты f. Еслистатистическая информация не содержитчастотfпоотдельнымвариантамxсовокупности,апредстав-
ленакакихпроизведениеxf,применяетсяформуласреднейгармони-
υ
ческойвзвешенной.Введяобозначае
fx=
какчастное:
.
=xf,можнополучитьчастоту
Подставив эти выражения в формулу средней арифметической
взвешенной,получимформулусредней гармонической взвешенной:
x
гарм
где
υ
–объем(вес)значенийпризнакапоказателявинтервалесно-
i
i
=
υ
i
∑
x
i
меромi(i =1,2,…,k).
Такимобразом,средняягармоническая применяется втехслуча-
ях,когдасуммированиюподлежатнесамиварианты,аобратныеим
величины:
xx
...,
,,
.
x
Втехслучаях,когдавескаждойварианты равенединице,т.е.об-
ратныезначенияиндивидуального признака встречаются поодному
разу,применяетсясредняягармоническаяпростая
x
гарм
= =
.
Формула(1.1) преобразуется в формулудлярасчета средней гар-
моническойвеличиныприk=–1:
34
x
гарм
n
1
−
x
∑
1
−
1
i
=
=
или
x
гарм
=
n
∑
=
,
1
x
(1.3)
где
1
12
12
nn
nn
xx
+
1
m
i
fn
nn
–отдельныевариантыобратногопризнака,встречающие-
x
i
сяпоодномуразу;
n–числовариант.
Еслиподвумчастямсовокупностичисленностьюn
иn2имеются
1
средниегармонические,тообщаясредняяповсейсовокупностирассчитываетсяпоформуле
x
гарм
=
12
+
гарм гарм
иназываетсявзвешенной гармонической средней изгрупповыхсредних.
Среднее геометрическоеиспользуетсядляанализа динамики яв-
лений и определения среднего коэффициента роста. При расчете
среднего геометрического индивидуальными значениями признака
выступаютотносительныепоказателидинамики,построенныеввиде
цепныхвеличин.
Средняягеометрическаяпростаярассчитываетсяпоформуле
геом
n
x xx x= ⋅ ⋅⋅
12
... .
n
(1.4)
Средняягеометрическаявзвешенная
f
m
... ,
m
где
∑
ff
n
x xx x= ⋅ ⋅⋅
геом
.
=
i
=
12
12
Среднее квадратичное применяется,когдавкачествевариантиспользуются отклонения фактических значений признака от средней
арифметическойилиотзаданнойнормы.
Среднееквадратичноепростое
∑
2
x
i
.
(1.5)
35
22 2
xx x
+ ++
12
2
x
= =
кв
...
n
Среднееквадратичноевзвешенное
ii
fn
ii
m
fn
1
n
i
=
∑
11
/ (/)
mm
ii
1
i
11
mm
ii
∑∑
11
mm
ii
∑∑
∑∑
22 2
xf xf xf
11 22
2
x
= =
кв
∑
...
i
+ ++
nn
∑
2
xf
.
Аналогичнополучаетсясредняякубическаявеличина,когдаk=3.
Такимобразом,каждаяизсреднихможетприобретатьдвеформы:
простую и взвешенную. Последняя форма считается по сгруппиро-
ванным данным,представленным ввидедискретныхилиинтервальныхрядовраспределения:
m
k
xf
∑
1
i
x
=
=
k
k
m
∑
i
,
f
i
1
=
(1.6)
гдеf
–частотаповторенийi-гозначенияпризнака;
i
.
m–числоразличныхзначенийпризнака,причем
∑
i
=
i
1
=
Формулыдлярасчетаивидыстепенныхсреднихсведенывтабл.1.8.
Таблица 1.8
Видстепенной
средней
простойсредней взвешеннойсредней
Формуладлярасчета
Гармоническая
Геометрическая
Арифметическая
Квадратичная
Кубическая
36
/ (1 )
xn x
=
n
x xx x=
x xn
=
∑
x xn
=
∑
3
x xn
=
∑
n
=
n
i
=
n
i
=
12
1
1
i
...
n
/
i
2
/
i
3
/
i
x f fx
=
i ii
∑∑
= =
m
f
i
∑
1 12
i
−
x xx x
=
x xf f
=
= =
x xf f
=
= =
3
x xf f
=
f
ff
m
...
m
12
/
ii i
2
/
ii i
m
3
/
ii i
i
=
1
Всегдавыполняютсяследующиенеравенства:
.
x x x xx≤ ≤ ≤≤
гарм геом арифм кв куб
Этосвойствостепенныхсреднихвозрастатьсповышениемпоказателястепени определяющейфункцииназывается правилом мажорантностисредних.
Особымвидомсреднихвеличинявляютсяструктурные средние.
Они применяютсядля изучения внутреннего строения иструктуры
рядовраспределениязначенийпризнака.К такимпоказателям относятсямодаимедиана.Ониявляются характеристикамицентрагруппированияпризнакаввариационномряду.
Мода (Мо)–этонаиболеечастовстречающеесязначениепризнака
уединицсовокупности.
Еслипризнакимеетдискретныйхарактер,томодаравназначению
признака,котороеповторяетсянаиболеечасто.
Вгруппеиз11студентовполученыследующиебаллы
затест:95,94,83,97,99,95,86,95,90,95,86(максимальноечисло–
100баллов).Найтимоду.
Решение
Модаравна девяностапяти,так как число 95 встречалось наиболеечасто–4раза.
Размеробуви11девочексоставляет:35,33,34,33,35,
34,33,34,32,36,32.Определитьмоду.
Решение
Поскольку наибольшую частоту имеют два соседних размера
обуви−33и34,томодальноезначениебудетравно(33+34)/2=33,5.
Некоторыераспределенияявляются бимодальными.Этоозначает,
чтоониимеютдвемоды.Какправило,этонаблюдаетсявтомслучае,
когдараспределениеявляетсясуммойиликомбинациейдвухразличныхраспределений.
38 студентов имеют размеры обуви, представленные
втабл.1.9.
Размеробуви 38 39 40 41 42 43 44
Частота 2 4 9 5 7 9 2
Таблица 1.9
37
По данным табл. 1.9 определяются два значения моды: 40 и 43.
ff
−
Оказалось, что ввыборку попали данныео размере обуви молодых
людейидевушек.Воднувыборкуобъединеныдваразныхраспределения.Поэтомуданныедолжныбытьподеленынадвечасти(дветаблицы),длякаждойизкоторыхнадонайтимоды.
Модуинтервальногорядараспределенияможноопределить дву-
мяспособами:
1)прямымрасчетом;
2)погистограмме.
Модальным интерваломназываетсяинтервал,которомусоответ-
ствуетмаксимальнаячастота.
Вслучаеинтервальногорядасравнымиинтерваламимодаопреде-
ляетсясогласноформуле
Mo x h
= +
0
−начальнаяграницамодальногоинтервала;
гдеx
0
( )( )
21
ff ff
−+−
21 23
,
(1.7)
h–длинамодальногоинтервала;
,f1, f3–частотымодальногоинтервала,интервала,предшеству-
f
2
ющегомодальному,иинтервала,следующегозамодальным,
соответственно.
Для определениямоды по гистограмме проводятся диагонали черезвершинысамоговысокогостолбца(соответствующегомодальному
интервалу)ивершиныдвухсоседних(слеваисправа)столбцов.Тогда
модаопределитсякакабсциссаточкипересеченияэтихдиагоналей.
Определить моду интервального ряда распределения
ростадевочекпотабл.1.10.
Таблица 1.10
РостдевочекX,см
156≤X<158
158≤X<160
160≤X<162
162≤X<164
164≤X<166
166≤X<168
168≤X<170
170≤X<172
Частота
(количестводевочек)
4
8
8
14
10
12
4
4
Накопленнаячастота
4
12
20
34
44
56
60
64
38
Решение
[ ]
( )
()()()
Moxhff ff ff
16
Количество человек
Рост
Поданнымтаблицывыделенмодальныйинтервал162≤X<164.
Тогда
=+ − −+− =
0 21 21 23
= +⋅ − − + − =
162 2 [(14 8) / (14 8 14 10)] 163,2.
Можно воспользоваться другим (графическим) способом определения моды по гистограмме.В этом случаепо данным табл.1.10
строится гистограмма(рис. 1.1). Для определения моды проводятся
диагонали через вершины самого высокого столбца. Точкаих пересеченияопределяетзначениемоды,равное163,2см,чтосовпадаетсо
значением,рассчитаннымпоформуле(1.7).
14
12
10
8
6
4
2
0
156
158
160 162 164 166 168 170
Рис.1.1.Распределениероста
Медианойраспределенияназывается такое значение,котороеделит упорядоченную последовательность значений признака на две
равныепочисленностичасти,причему однойполовиныединицсовокупности значение признака не превышает медианного уровня,
аудругой–вышеэтогозначения.
Медиана дискретного ряда распределения определяется после
расположения всех значений в порядке возрастания (ранжирования
ряда).Вслучае нечетногочислачленовn ей соответствует(n+1)/2
членряда,авслучаечетногочислачленовn,медианаравнапростой
среднейдвухчленов,стоящихвсерединерядараспределения:
39
1
22
2
nn
xx
+
,
n
[ ]
Me x h n S f
+
Me
=
.
В случае интервальногоряда распределения сначала определяют
медианныйинтервал,т.е.такойинтервал,вкоторомсумманакопленныхчастотпревышает половину общего числа наблюдений,азатем
численноезначениемедианыпоформуле
S
−
1
Me
−
f
Me
Me
2
Me x h
= +
где xMe–нижняяграницамедианногоинтервала;
h–величинамедианногоинтервала;
S
–накопленнаячастотаинтервала,предшествующегомеди-
Me–1
анному;
–частотамедианногоинтервала.
f
Me
Медиану интервального ряда распределения можно определить
такжепо кумуляте.Дляэтогоследуетпровестигоризонтальнуюлинию до пересеченияс кумулятойна высоте, равнойполовине накопленной (суммарной) частоты. Абсцисса точки пересеченияи будет
медианой.
Найти медиану ряда распределения роста девочек
поданнымтабл.1.9.
Решение
Медианныйинтервал162≤X<164.
Тогда
=+− =
Me Me Me
162 2 [ 32 – 20 / 14] 162 12 / 7 163,71.
= +⋅ = + =
( ) ( )
( 2 )/
1
−
Медиануможноопределятьтакжепотаблицекумулятивныхчастот.
Итак,медиана–этоварианта,котораяделитупорядоченныйвариационныйряднадверавныечастипообъемугруппы(выборки).
Аналогичновкаждойгруппеможнонайтиварианту, делящую ее
надвеподгруппы.Такиевариантыназываютсяквартилями.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]