Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебник
.pdf
миимвероятностями,можноутверждать,чтосвероятностнойточки
x
/
xa
n
−
x
101,5 100
/ 1 / 25
xa
n
−−
зренияслучайнаявеличинаописанаполностью.
Длявыборкиобъемаnвычисляетсявыборочноесреднее
.Предполагаемое значение генеральной средней – а. Граничные точки: z
(для правосторонней проверки), – zα(для левосторонней проверки),
±zα(длядвустороннейпроверки).Значениеzαопределяетсяпостати-
стическим таблицам нормального законараспределения.Статистика
z
=
.
σ
. Фасовочная машина наполняет мешки с углем со
среднимвесом100 кг.Машинаработаетсостандартнымотклонениемσ=1кг.Вслучайнойвыборкеобъемомn =25мешковсреднийвес
=101,5кг.Надолиотрегулироватьавтомат?Доверительнаявероят-
ностьр=0,95.
Решение
Н0: длянормальнойсовокупностигенеральнаясредняяа=100кг.
Н1: а ≠ 100кг.
Проводитсядвусторонняяпроверка:
α=(1–р)/2=(1–0,95)/2=0,025,следовательно, zα=1,96.
Тогдаграничныеточки:±1,96.
Статистика
z
= = =
σ
7,5.
Таккакначисловойоси7,5лежитправееобоихзначений±1,96,то
гипотеза Н0 отклоняется и принимаетсягипотеза Н
Автомат нужно
1.
отрегулировать.
α
Еслидисперсиягенеральной совокупностиσ
нопроизвестиее оценку,используявыборочноестандартноеотклонениеs.Вэтомслучаевместостатистикиzиспользуетсяt-распределение
сn – 1степенямисвободы.Граничныеточки:t
2
неизвестна,то мож-
(дляправосторонней
α,n–1
61
проверки),−t
/1
xa
sn
−
1414 1500
/ 90 / 10
xa
sn
−−
ней проверки). Значение t
цамраспределенияСтьюдента. Статистика
(длялевостороннейпроверки),± t
α,n–1
определяется по статистическим табли-
α,n-1
(длядвусторон-
α,n–1
t
=
.
−
.Дляодноговидаоборудования,применяемоговшах-
те, установлен нормативный срок использования: а = 1500 ч. Для
испытания новой партии взята выборка n = 10 шт. Среднее время
пользованияоборудованиемввыборкеравно1414чс исправленным
среднимквадратическимотклонениемs = 90 ч. Свидетельствуютли
этиданныеотом,чтоожидаемыйсрокиспользованияоборудования
изменилсяпосравнениюснормативнымсроком1500ч?
Решение
Нулевой гипотезой является предположение о том, что выборка
былавзятаизгенеральнойсовокупностисосредней1500ч.
H
: выборочное среднее согласуется с выборкой, взятой из нор-
0
мальнойгенеральнойсовокупностисосредней1500ч, т.е.а=1500ч;
Н1: выборкавзятаиз совокупности, котораянеявляетсянормально
распределенной сосредней1500ч, т.е.а≠1500ч.
ИзгипотезыН1следует,чтоиспользуетсяиспытаниесдвумяграницами, из H0 − что распределение выборочных средних также являетсянормальнымраспределениемсосредней1500ч, стандартной
ошибкой90ч. Поскольку σ − неизвестна,тодляиспытаниягипотезы
используемстандартное t-распределениесчисломстепенейсвободы,
равным10−1= 9.
Решениепринимаетсяпри5%-номуровнезначимости.
Используетсятаблицаt-распределения: t
= ±2,26. Граничные
0,05,9
значениястандартногораспределенияпоказанынарис.1.2.
t-статистика:
Проверочнаястатистика–3,0,меньшеграничногозначения–2,26.
Этоозначает,чтовероятностьР(x <–3,0)<0,025.
Результатзначимна5%-номуровне.Посколькурезультатявляетсязначимым,имеетсяоснованиесчитать,чтовыборканесогласуется
снулевойгипотезой.Гипотезаотклоняется.
62
t
= = = −
3.
Рис.1.2.Граничныезначенияt-распределения
Β
x
Β
y
при5%-номуровнезначимостииt-статистика
Такимобразом,менее0,05составляетвероятностьпоявлениявыборочнойсредней1414ч.длявыборкиобъемом10ед.,взятойизнормальнойгенеральнойсовокупностисосредней1500ч.
Следовательно,среднийсрокиспользованияоборудования несоответствуетсреднемунормативномусроку.
ПустьгенеральныесовокупностиX иYраспределенынормально,
причемихдисперсииизвестны(изпредшествующегоопытаилинайденытеоретически). Из этих совокупностей извлеченынезависимые
выборкиобъемомnиm,найденывыборочныесредние
При заданном уровне значимости
αнеобходимо проверить нуле-
и
.
вуюгипотезу,состоящуювтом,чтогенеральныесредниерассматриваемыхсовокупностейравнымеждусобой,т.е.
Н
:а1=а2.
0
Альтернативнаягипотеза:
Н
:а1≠а2.
1
63
Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными
xx
=
yy
=
xy
ΒΒ
=
12
xy
DD
nm
ΒΒ
−
Β
x
Β
y
30 25
50 40
оценкамигенеральныхсредних,т.е.
и
Β
,нулевуюгипо-
Β
тезуможнозаписатьтак:
Н
:
0
.
Таким образом, требуется проверить: выборочные средние равнымеждусобой,т.е.различаются незначимо.Еслинулеваягипотеза
справедлива,тогенеральныесредниеодинаковы,ихразличиеобъясняетсяслучайнымипричинами.D
иD2−генеральныедисперсиидля
1
первойивторойвыбороксоответственно.
Граничные точки: zα(для правосторонней проверки), −zα(для левосторонней проверки), ±zα(для двустороннейпроверки). Значениеz
определяетсяпостатистическимтаблицамнормальногозаконараспре-
деления.Статистика
z
=
.
+
. Для выработки заданной нормы угля смена
изn =50чел.попервойтехнологиизатрачиваетвсреднем
(генеральная дисперсия D
всреднем
=25ч.(генеральная дисперсия D2=3). Можнолисде-
= 6),а смена из m = 40 чел.затрачивает
1
=30ч.
лать вывод, чтопо первойтехнологии требуется в среднем больше
временидлявыработкинормы?Доверительнаявероятностьр=0,95.
Решение
: а1 = а2.
Н
0
Альтернативнаягипотеза:
Н
:а1 > а
1
2.
Проводитсяправосторонняяпроверка:
α=1–р=0,05,следовательно, z
=1,96.
α
α
Статистика
z−= =
63
+
11,323.
Таккак zα< z,гипотезаН0 отклоняетсяипринимаетсягипотеза Н1
приуровнезначимости5%.Попервойтехнологиитребуетсявсреднембольшевременидлявыработкинормынаодногочеловека.
64
2
()
35,49.
Отказавшисьотпредположения о нормальномраспределениисовокупностей,проверяемгипотезуоналичиисвязимеждузначениями
двухвеличин.
Н
:нетсвязимеждузначениямидвухвеличин.
0
Н
:естьсвязьмеждузначениямидвухвеличин.
1
Составляетсятаблицанаблюдаемыхчастот.Построкамизменяютсязначенияпервойвеличины,по столбцам− значениявторойвеличины. В клетке с индексом (i,j) записывается частота f0= n
− число
ij
элементов,укоторыхзначенияпервой и второй величин равны i и j
соответственно,f0−наблюдаемаячастотасобытия.
По таблице наблюдаемых частот строится таблица ожидаемых частот;f
f
Е
− ожидаемая частота события.Должно выполняться условие
Е
≥5для каждойклеткитаблицы,иначенадо объединитьнекоторые
строкиилистолбцы.
Таблицунаблюдаемыхчастоти таблицуожидаемых частотназываюттаблицами сопряженности.
Пустьn−общеечисло наблюдений,r − числострок таблицы, с −
числостолбцовтаблицы,тогдачислостепенейсвободыm=(r–1)(c –1).
Еслиr =1,тоm=c–1.
Доверительная вероятность р, уровень значимости α = (1 – р).
Дляизвестныхзначенийαиmпотаблицеχ2-распределенияопреде-
ff
ляетсяχ
2
–этограничнаяточка.Статистика
α,m
2
χ= =
∑
−
0
E
.
f
E
СтудентыНИТУ«МИСиС»сдавалиэкзаменыпоматематикеистатистике.Естьлисвязьмеждурезультатамиэкзаменов?
Нижеприводитсятаблицанаблюдаемыхчастотполученияразныхэкзаменационныхоценок(табл.1.18).
Таблица 1.18
Экзаменационнаяоценка
поматематике
5 27 17 8 4
4 23 16 20 9
3 11 15 18 13
2 7 10 8 19
Экзаменационнаяоценкапостатистике
5 4 3 2
65
Решение
f
=25.
011
Этоозначает,что25человекполучилипятьпоматематикеиста-
тистикеодновременно.
:нетсвязимеждуоценкамипоматематикеистатистике.
Н
0
Н1:естьсвязьмеждуоценкамипоматематикеистатистике.
Рассчитываютсясуммывстрокахистолбцахтабл.1.18.Составля-
етсятаблицанаблюдаемыхчастотf0(табл.1.19).
Таблица 1.19
Экзаменационнаяоценка
поматематике
5 27 17 8 4 56
4 23 16 20 9 68
3 11 15 18 13 57
2 7 10 8 19 44
Сумма 68 58 54 45 225
Экзаменационнаяоценкапостатистике
5 4 3 2
СоставляетсятаблицаожидаемыхчастотfЕ(табл.1.20).
Таблица 1.20
Экзаменационнаяоценка
поматематике
5 68·56/225 58·56/225 54·56/225 45·56/225 56
4 68·68/225 58·68/225 54·68/225 45·68/225 68
3 68·57/225 58·57/225 54·57/225 45·57/225 57
2 68·44/225 58·44/225 54·44/225 45·44/225 44
Сумма 68 58 54 45 225
Экзаменационнаяоценкапостатистике
5 4 3 2
Сумма
Сумма
Значения ожидаемых частот округляются до одного знака после
запятой(табл.1.21).
Таблица 1.21
Экзаменационнаяоценка
поматематике
5 16,9 14,5 13,4 11,2 56
4 20,6 17,5 16,3 13,6 68
3 17,2 14,7 13,7 11,4 57
2 13,3 11,3 10,6 8,8 44
Сумма 68 64 54 45 225
Экзаменационнаяоценкапостатистике
5 4 3 2
Сумма
Доверительная вероятность р = 0,95, уровень значимости
α=1–0,95=0,05.r =4,c =4,m =3·3=9.
66
Дляαиmпотаблицеχ2-распределенияопределяется χ
E
Этограничнаяточка.
Статистика χ
2
вычисляется по результатам, представленным
втабл. 1.22.
f
0
27 16,9 10,1 6,04
23 20,6 2,4 0,28
11 17,2 –6,2 2,23
7 13,3 –6,3 2,98
17 14,5 2,5 0,43
16 17,5 –1,5 0,13
15 14,7 0,3 0,01
10 11,3 –1,3 0,15
8 13,4 –5,4 2,18
20 16,3 3,7 0,84
18 13,7 4,3 1,35
8 10,6 –2,6 0,64
4 11,2 –7,2 4,63
9 13,6 –4,6 1,56
13 11,4 1,6 0,22
19 8,8 10,2 11,82
Сумма – – 35,49
f
Е
f0– f
Е
2
= 16,95.
0,05;9
Таблица 1.22
(f0– fЕ)2/f
Е
()
Статистика
2
χ= =
ff
∑
Таккакстатистикапревосходит граничную точкуχ
2
−
E
0
35,49.
f
2
=16,95, то
0,05,9
отклоняемгипотезу Н0 и принимается гипотезаН1 на уровне значимости5%.
Следовательно,существуетсвязь между оценками,полученными
студентаминаэкзаменахпоматематикеистатистике.
Изучениестатистическихзакономерностей−важнейшаяпознава-
тельнаязадачастатистики.Этазадачарешаетсяразличнымиметодами[2,6,8]взависимостиотхарактераисходнойинформации.
67
Изучение механизма рыночных связей,взаимодействия спроса и
12
,,,
k
xx x
( ),
i i i ki
y f x ,x , ,x=
()
i i ki
f x ,x , ,x
12
, ,,
i i ki
xx x
12
, ,,
i i ki
xx x
предложения,влияния объема и структуры товарооборота на объем
и состав производства продукции, формирования товарных запасов,
издержекпроизводства,прибылиидругихкачественныхпоказателей
имеет первостепенное значение для прогнозирования конъюнктуры
рынкаиуспешноговедениябизнеса.
Объектами исследования при статистическом измерении связей
служитдетерминированностьсвязейследствияифакторов.
Признак, характеризующий следствие, называется результатив-
ным.Признаки,характеризующиепричины,называются факторными.
Связимеждуявлениямииихпризнакамиразличаютсяпостепени
тесноты, направлению и аналитическому выражению. Связь между
различнымиявлениямибываетфункциональной,т.е.жесткодетерминированной,истохастической.
Функциональная связь предполагает, что каждому значению
независимого признака x соответствует одно определенное значе-
ние зависимого признака y или несколько независимых признаков
функциональносвязанныхсрезультативнымпризнакомy.
,
Функциональнуюсвязьможнопредставитьввиде
гдеyi − результативныйпризнак(i = 1,…,n);
12
факторныхпризнаков;
В экономикепримеромфункциональнойсвязиявляется
связь между оплатой трудаy ивыработкой x при простой сдельной
оплатетруда.
Стохастическая связь−этосвязьмеждувеличинами,прикоторой случайная величина y реагирует на изменение величины x или
другихвеличин
обусловленотем, чтозависимая переменная y, кромерассматривае-
мых независимых переменных, подвержена влиянию ряда неучтенныхилинеконтролируемых(случайных)факторов,неизбежныхоши-
68
12
−известнаяфункциясвязирезультативногои
−факторныепризнаки.
изменениемзаконараспределения.Это
бокизмерения.Поэтомузначениязависимойпеременноймогутбыть
12
(, ,, ) ,
i i i ki i
y fx x x= +ε
12
(, ,, )
i i ki
fx x x
12
, ,,
i i ki
xx x
предсказанысопределеннойвероятностью.
Стохастические связи проявляются во всей совокупности, а не в
каждойединицесовокупности.
Модельстохастическойсвязиимеетследующийвид:
где
наяподвоздействиемучтенныхизвестныхфакторов
−частьрезультативногопризнака,возникшаяиз-задействия
ε
i
−частьрезультативногопризнака,сформирован-
неконтролируемыхилинеучтенныхфакторов.
Частнымислучаямистохастическойсвязиявляютсякорреляцион-
ная и регрессионная связи. Корреляционная ирегрессионная связи
существуюттам,гдевзаимосвязанныеявленияхарактеризуютсяслучайнымивеличинамиипроявляютсявовсейсовокупностивцелом.
Понаправлениюдействиявыделяютсяпрямые иобратные связи:
• при прямых связях с увеличением признака x увеличивается
признакy;
• приобратныхсвязяхсувеличениемпризнакаxпризнакyумень-
шается.
.Связьпрямаямеждуавтоматизациейтрудаирентабель-
ностьюпроизводства,связь обратнаямеждууровнемфондоотдачии
себестоимостьюединицыпроизводимойпродукции.
Приисследованиистохастических связейприменяется ряд методов статистики: метод сопоставлениядвухпараллельных рядов, методаналитическихгруппировок,некоторыенепараметрическиеметоды,корреляционныйирегрессионныйанализ.
;
Обаметодаотносятсякметодамизучениястохастическихсвязей.
Методсопоставлениядвухпараллельныхрядовоснованна сопоставленииианализерядов,гдеввозрастающемпорядкерасположены
факторы, характеризующие результативный признак. Такой анализ
69
позволяетустановитьналичиесвязииеенаправление.Однакометод
ad bc
ad bc
−
+
ad bc
−
++ ++
непозволяетоценитьколичественнуюмерусвязимеждупризнаками.
Метод аналитических группировок сводится к проведению группировкисовокупностипофакторномупризнакуивычислениюсреднегоили
относительныхзначенийрезультативногопризнакадлякаждойгруппы.
Сопоставивизменениярезультативногопризнакапо мереизмененияфакторного,можноопределитьнаправление,характеритесноту
связимеждуними.Однакометоднепозволяетаналитическиоценить
влиянияфакторныхпризнаковнарезультативный.
Непараметрические методы устанавливают связь между качественными, или атрибутивными, признаками. Приизучениизависимости между качественными признаками не ставится задача представленияееуравнением.Речьидеттолькообустановленииналичия
итеснотысвязи.
Взаимосвязьмеждупеременными,каждаяизкоторыхпринимаеттолькодвазначения,определяетсяс помощью коэффициентовассоциации и
контингенции.Нижепредствленатаблицасопряженности(табл.1.23).
Таблица 1.23
х
i
y
i
a b
c d
Коэффициентассоциации
K
=
a
.
Коэффициентконтингенции
K
=
кон
( )( )( )( )
a bc d a cb d
.
Оба коэффициента могут изменяться в пределахот –1 до 1. Чем
ближепомодулюкединице,темсильнеесвязанымеждусобойизучаемые признаки. Если модуль коэффициента ассоциации больше 0,3,
то связь между качественными признаками присутствует. Положительный коэффициент указывает на наличие прямой связи, а отрицательныйкоэффициент−наналичиеобратнойсвязимеждупризнаками.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]