Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебник
.pdf
Перцентили −значения признака, делящие ранжированный ряд
30 20
64 20
−
1
D
на 100 равныхчастей. Перцентиль Рm показывает точку,ниже которойнаходитсяm,%,значений.ДлянахожденияперцентиляPmнужноупорядочитьвариантыповозрастаниюиумножитьобъемвыборки на m.Полученное значение показывает номер соответствующего
перцентиля.
Определить перцентиль P
длявариационного ряда,
15
составленного поданным о заработной платерабочих предприятия
минерально-сырьевогокомплекса(табл.1.11).
Таблица 1.11
Заработнаяплата,
тыс.руб.
Частота 20 44 70 34 22 10
Накопленнаячастота 20 64 134 168 190 200
0–5 5–10 10–15 15–20 20–25 25–30
Решение
Поданнымтабл.1.11определим P15:m =15%,тогда для объема
выборкиn =200получимm·n=30.Встрокенакопленныхчастот30
лежитвинтервале20<30<64,т.е.попадаетвинтервал5–10.Следо-
5 (10 5) 6,1.
вательно,
P−=+ −=
15
Перцентили P10, P20,…, P80, P
называются децилями и обозна-
90
чаются D1, D2, …, D9 соответственно. D1 и D9 называются нижним
иверхнимдецилямисоответственно.
Перцентили P25, P50, P75 называются квартилями и обозначаютсяQ1,Q2,Q3соответственно.Q1и Q3называютсянижнимиверхним
квартилямисоответственно.
При изучении многих социально-экономических показателей
дляхарактеристикидифференциацииопределяетсядецильный коэф-
фициент дифференциации:
KD=
д
9
.
41
Определитьдецильный коэффициент дифференциации
180 168
190 168
−
22, 7
5
11
=+−
∑
33
(3 / 4 ) / ,
Qx h n S f
=+−
∑
x
Kддлявариационногоряда,составленногоподаннымозаработнойплате
рабочихпредприятияминерально-сырьевогокомплекса(см.табл.1.11).
Решение
D
20 (25 20) 22,7;
D−=+ −=
9
=5;
1
K = =
д
4,55.
Нижеприводятсяформулыдлярасчетанижнегоиверхнегоквар-
тилей:
где
Q QQ
33 1
Q QQ
−нижняяграницаинтервала,содержащегонижнийили
Q
1,3
−
−
( /4 )/ ;
Qx h n S f
11 1
верхнийквартиль;
−накопленнаячастотаинтервала,предшествующегоин-
1QS−
1,3
тервалу,содержащемунижнийиливерхнийквартиль.
Вариация эторазличиевзначениикакого-либопризнакауразных
единиц данной совокупности в один и тот же период или момент
времени.Исследованиевариациивстатистикеимеетбольшоезначение,
таккакпомогаетпознатьсущностьизучаемогоявления[2,9,11].
Средняя величина дает обобщающую характеристику признака
изучаемойсовокупности,новариантыотдельныхединицсовокупности
различаются междусобой. Необходимоизмерять вариациюпризнака
всовокупности.Дляэтойцелиприменяетсярядпоказателей.
По размеру этих показателей можно судить о типичности и надежностисреднейвеличины,найденнойдляданнойсовокупности,и
охарактереоднородностисамойсовокупности.
42
xx
n
∑
ii
i
∑
Размах вариации−это разностьмежду максимальным и мини-
мальнымзначениямипризнакавсовокупности:
R=x
max
–x
min
.
Размахвариацииявляетсясамойгрубойоценкойрассеянияипоказываетлишь крайние отклонения признака, но не отражает отклоненийвсехзначенийпризнака.
Среднее по совокупности отклонение значения признака от его
среднегоуровняизмеряетсядвумяследующимипоказателямивариации:
• среднеелинейноеотклонение;
• среднееквадратичноеотклонение.
Среднее линейное отклонение – это среднее арифметическое
из абсолютных отклонений отдельных значений от их среднейвеличины:
–длянесгруппированныхданных:
−
i
i
=
d
,
–длясгруппированныхданных:
−⋅
x xf
i
=
d
∑
,
f
i
гдеx
–значениепризнакавдискретномрядуилисерединаинтервала
i
винтервальномраспределении;
f
–частотапризнака.
i
С помощью этого показателя анализируется, например, ритмичностьпроизводства,оборотвнешнейторговлиидр.
Однаковеличинаd независитотслучайныхколебанийидаетабсолютнуюмерувариаций,таккакучитываетсуммуотклоненийтольковабсолютныхединицах.
Поэтомучащеиспользуетсядругойпоказатель–среднее квадратич-
ное (стандартное) отклонение илиегоквадрат()D
.
43
Длянесгруппированныхданныхсреднееквадратичноеотклонение
()
xx
n
()
ii
x xf
222
D xx=σ= −
2
//
iii iii
i iii
D xff xff
∑∑∑∑
σопределяетсянаосновеквадратичнойстепеннойсреднейпростой:
2
−
∑
i
σ=
i
,
для сгруппированных данных − на основе квадратичной степенной
среднейвзвешенной:
2
−
∑
σ=
i
∑
i
.
f
i
Дисперсию (как и ее корень квадратный –среднее квадратичное
отклонение)можновычислитьспомощьюболеепростойформулы:
т.е. дисперсия равнаразности средней из квадратовзначенийи квадратаихсредней(пометодумоментов).
Длясгруппированныхданныхполучаетсяаналогичнаяформула:
22
=σ= −
Рассчитатьабсолютныепоказателивариацииподан-
ным табл. 1.12 о распределении рабочих двух бригад предприятия
минерально-сырьевогокомплексапостажуработы.
Стажработырабочегоx,лет Числорабочихf,чел.
10 14
11 11
12 8
13 6
14 4
Итого 43
44
,
.
Таблица 1.12
Решение
xx−
xx
xx f
∑
∑
∑
∑
∑
∑
На основании исходных данных и результатов расчета составим
табл.1.13.
Таблица 1.13
Стажработы
рабочегоx,лет
10 14 140 –1,4 19,6 1,96 27,44
11 11 121 –0,4 4,4 0,16 1,76
12 8 96 0,6 4,8 0,36 2,88
13 6 78 1,6 9,6 2,56 15,36
14 4 56 2,6 10,4 6,76 27,04
Итого 43 491 – 48,8 11,80 74,48
Число
рабочихf,чел.
xf
x xf−
−
( )
2
( )
2
−
1.R=x
max
–x
=14– 10=4года,т.е.диапазонколебаниястажа
min
рабочихвисследуемойсовокупностисоставляет4года.
xf
491
xf= = =
2.
d
= = =
ii
43
i
||
x xf
−
i
f
i
11, 4
48, 8
43
года;
года.
1,1
В среднем на 1,1 года отклоняется стаж отдельных рабочих от
среднегостажапосовокупности.
()
2
3.
σ= = =
()
xx f
∑
1,73
σ= =
∑
2
xx f
−
i
f
i
2
−
i
f
i
74,48
43
;
1, 73
= 1,3 года.
Значениеσ=1,3годахарактеризуетколебаниестажаработырабочихвданнойсовокупности.
При сравнении вариации различных признаков в одной и тойже
совокупностиилижеприсравнениивариацииодногоитогожепризнакавнесколькихсовокупностяхвычисляются
45
Базой для сравнения служит среднее арифметическое. Относи-
R
x
x
x
σ
4
R
x
1, 3
σ
тельные показатели представляют собой выраженное в процентах
частное от деления абсолютного показателя вариации и средней
арифметической.
Различаютследующиеотносительныепоказателивариацииν:
1)коэффициент осцилляции:
ν= ⋅
100;
R
2)линейный коэффициент вариации:
d
ν= ⋅
100;
d
3)коэффициент вариации:
ν= ⋅
100.
σ
Коэффициент вариации не только позволяет сравнивать степень
вариацииразныхпризнаков,ноиявляетсяхарактеристикойоднородностисовокупности.Совокупностьможетсчитатьсякачественнооднородной,есликоэффициентвариациинепревышает33%.
. Рассчитатьотносительные показателивариацииста-
жарабочихподанным,приведеннымвтабл.1.12.
Решение
1.Коэффициентосцилляции:
ν=⋅= ⋅=
100 100 35,1 %.
R
x
11, 4
2.Линейныйкоэффициентвариации:
d
ν=⋅= ⋅=
100 100 9,6 %.
d
1,1
11, 4
3.Коэффициентвариации:
ν=⋅= ⋅=
46
100 100 11, 4 %.
σ
x
11, 4
δ
2 22
12
m
nn n
12
, , ...,
m
xx x
n
mm
Nn
Вариацияпризнакаможетбытьобусловленанесколькимифакторами,которыеможно выделить, еслистатистическаясовокупность разбитанагруппыпокакому-либогруппировочномупризнаку(фактору).
В этом случае, наряду с изучением вариации признака в целом
повсейсовокупности(общей вариации признака),учитываетсявариацияпризнакавнутрикаждойгруппы(внутригрупповая вариация при-
знака)имеждуэтимигруппами(межгрупповая вариация признака).
Такоеизучениеявляетсяпредметомдисперсионногоанализаидостигается посредством исчисления и анализатрехвидов дисперсий:
общей(
2
σ
)межгрупповой(
общ
2
)ивнутригрупповой(2σ ):
σ =δ +σ
общ
.
Впростейшемслучае,когдаисходнаясовокупностьделитсяна m
однородныхгрупппоодномупризнаку-фактору(т.е.факторсmуровнями),распределениечислаединицпогруппамдлявыполнениядисперсионногоанализаможнопредставитьввидетабл.1.14.
Сначаланаходятmгрупповых средних каксредниезначенияпризнакавкаждойгруппе:
nn
12
xx
∑∑
ii
12
ii
12
= = =
xx x
12
, ,..., .
n
m
x
∑
i
m
i
m
m
Далее определяют общее среднее как среднее арифметическое
взвешенноеэтихчастныхсредних
j
∑∑ ∑
ji j
11 1
= = =
= =
N
m
где
=
–объемвыборки.
∑
j
1
j
=
x
общ
x xn
ij j j
m
∑
j
1
=
:
,
n
j
47
Таблица 1.14
x2x
x
22
n
22
11
n
mm
NN
11
mm
NN
22
n
Номериспытания,i
1
2
…
n
j
Итого(групповыесредние)
1 2 … m
x
11
x
21
...
x
n11
1
Уровнифактора,j
x
12
x
22
...
x
n22
…
…
…
…
…
x
1m
x
2m
...
x
nmm
m
Тогдаобщая дисперсия,отражающая вариациюпризнака за счет
всехфакторов,действующихвданнойсовокупности,рассчитывается
поформуле
j
m
σ= −
1
N
∑∑
общ общ
( ).
11
= =
ji
xx
ij
Межгрупповаядисперсияхарактеризуетвариациюзасчетпризнака-фактора, положенного в основу группировки, и исчисляется как
среднее арифметическое взвешенное квадрата отклонений частных
среднихотобщейсредней:
δ= − = −
∑∑ ∑
j
x x xx n
( )
ji j
= = =
j jj
11 1
2
общ общ
( ).
Внутригрупповая(илиостаточная)дисперсияхарактеризуетвариациюпризнака,несвязаннуюсделениемсовокупностинагруппы,и
вычисляетсякаксредняяарифметическаявзвешеннаяизвнутригрупповых(частныхгрупповых)дисперсий:
n
2 22
σ= − = σ
гдегрупповаядисперсия
j
() ,
∑∑ ∑
xx n
ji j
= = =
ij j j j
11 1
2
σ исчисляетсякаксредняяарифметиче-
j
скаявзвешеннаяквадратаотклоненийзначенийпризнака
отгрупповойсредней:
j
1
σ= − =
j ij j
48
xx j m
( ) , 1, 2, ..., .
∑
n
i
1
=
j
Правилосложениядисперсийвыводитсяпутемвозведениявква-
( )( )
xx xx xx− = −+−
2 22
1 11
m mm
/.
=δσ
2
' э
R
дратобеихчастейтождества
общ общ
ij ij j j
исум-
мированияихпоi иj:
nn
jj
( ) ( ) ( ).
xx x x xx n
∑∑ ∑∑ ∑
N NN
ji ji j
11 11 1
= = = = =
− = −+ −
общ общ
ij ij j j j
(1.8)
(удвоенноепроизведениеправойчаститождественноравнонулю).
Cоотношение межгрупповой и общей дисперсий называется ко-
2
эффициентом детерминацииR
и показывает,какаядоляв общей
дисперсииприходитсянадисперсию,обусловленнуювариациейпризнака,положенноговосновугруппировки:
2 22
R
общ
Величина Rэ называется эмпирическим корреляционным отно-
шениемииспользуетсядляопределениястепенисвязимеждуизуча-
емымипризнаками:чембольшеэтотпоказательвпределахединицы,
тем теснее взаимосвязь между исследуемым явлением и группировочнымпризнаком.
ДлякачественнойоценкитеснотысвязинаосновепоказателяэмпирическогокорреляционногоотношенияможновоспользоватьсясоотношениямиЧэддока(табл.1.15).
Таблица 1.15
0,1–0,3 0,3–0,5 0,5–0,7 0,7–0,9 0,9–0,99
Силасвязи Слабая Умеренная Заметная Тесная Весьматесная
Статистическое наблюдение в зависимости от охвата единиц изучаемойсовокупностибываетсплошныминесплошным.Присплош-
ном наблюдении учету подвергаются все единицы совокупности,
апринесплошном–толькоихчасть.
Основной формой несплошного наблюдения является выборочное
наблюдение,котороеобеспечиваетслучайныйотборподлежащихобсле-
49
дованиюединиц,арезультатыраспространяютсянавсюисходнуюсовокупность.Наблюдениеорганизуетсятакимобразом,чтоотобранныеединицывуменьшенноммасштабепредставляютвсюсовокупность[4,5].
Всяподлежащаяизучениюсовокупностьединиц(объектов),изкоторыхпроизводитсяотбор,называется генеральной совокупностью,
а часть единиц, отобранныхиз генеральной совокупности для проведения выборочногонаблюдения,составляет выборочную совокуп-
ность,илипростовыборку.Числоэлементоввгенеральнойсовокупности(N)иввыборке(n)называетсяихобъемами.
По способу формирования выборки различаютследующие виды
отбора:
1)собственно-случайный;
2)типический;
3)механический;
4)серийный;
5)комбинированный.
Присобственно-случайном отборекаждая единицагенеральной
совокупности с одинаковойвероятностьюможетпопасть в выборку
как в результатесобственно-случайногоповторногоотбора(повторнаявыборка),такиспомощьюсобственно-случайногобесповторногоотбора(бесповторнаявыборка).
Притипическом отборегенеральнаясовокупностьпредваритель-
ноделитсяпоопределенномупризнакунанепересекающиесягруппы,
азатемужеобразуютсясобственно-случайныевыборки (с повторным
илибесповторнымотборомединицсовокупности)изкаждойгруппы.
.ПустьгенеральнаясовокупностьсостоитизN=10000еди-
ниц(ед.)иделитсяна5типическихгрупп;отборединицвнутрикаждой
группы производится случайным бесповторным методом пропорциональноееобъему;приэтомотбирается n=2000ед.;результатытакого
отборапредставленыввидетабл.1.16.
Таблица 1.16
Типическиегруппыi ЧисленностьгруппN
1
2
3
4
5
Итого 10000 2000
50
500
2000
3000
1500
3000
Численностьвыборкиn
i
i
100
400
600
300
600
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]