Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладная философия интеграционной механики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

3.2. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КАК ПРИМЕР КОМПАКТНОГО СЖАТИЯ 61

Используя в качестве базовой информации массу m и радиус-вектор r, а также системный оператор (3.6), законы векторной динамики Ньютона можно представить в сжатом виде в форме (3.7), которую далее будем именовать информационным компактом динамики Ньютона.



−→ d/dt



r



mrm˙rm



0 r × m˙rr × m¨r



←−

r





r



r



(3.7)

Раскроем смысл информационного компакта динамики Ньютона. Первая строка компакта (3.7) образована применением к базовой информации r математических операторов d/dt и, размещенных в первой строке си- стемного оператора (3.6). При этом, применяя к r математический оператор d/dt, получаем соответственно вектор скорости˙r и вектор ускорения¨r.Об-

ратно, применяя к¨r математический оператор, получаем соответственно

r и

r. Итак, первая строка компакта образована кинематическими характе-

ристиками движения r,V и a.

Вторая строка компакта образуется путем умножения элементов первой строки на скалярный коэффициент m (массу). Получаем ряд, состоящий из следующих величин: mr — статический момент точечной массы относительно некоторого центра, m˙r — вектор количества движения точки, m¨r — вектор, равный по величине и направлению силе, действующей на точку массой m, имеющей ускорение¨r. Третья строка компакта получена векторным умножением на элементы второй строки компакта. При этом получаем ряд, состоящий из: r × mr =0, r × mr — вектора кинематическо- го момента, относительно некоторого центра; r × mr = m

(F ) — вектора

момента силы относительно некоторого центра.

Рассмотрим законы динамики Ньютона, сжатые посредством компакта (3.7). Применим первую и вторую строки системного оператора (3.6) ко вто-

рой и третьей строкам компакта. Действительно, d записывая это выражение в виде – d/dt(mV )=F , а затем, переходя к интегральной форме mV

− mV1=

математическое выражение теоремы об изменении движения материальной





Fdt, убеждаемся в том, что получено

/dt2(mr)=m¨r,или,

точки: приращение вектора количества движения точки за некоторый про-

62 ГЛАВА 3

межуток времени равно импульсу равнодействующей приложенных к точке сил за этот же промежуток времени. При этом, если t

≈ t1,то

называется конечным импульсом мгновенной силы или ударом. Применяя



оператор суммы, получим Q =m жения системы материальных точек иR =

— главный вектор количества дви-





F — главный вектор внеш-





Fdt

них сил, действующих на систему. Тогда dQ/dt =R, и с учетом того, что Mr

=mkrkи MVc=m



, имеем Mac=R,т.е.математиче-

ское выражение теоремы о движении центра масс системы материальных точек: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, под действием силы, равной главному вектору внешних сил, приложенных к точкам системы. Таким образом, реализована третья строка системного оператора (3.6).

В частном случае равенства нулю главного вектора внешних сил получаем закон сохранения количества движения и закон сохранения движения



центра масс: m

+ mV0= const и ac=0илиVc= const. Таким обра-

зом реализуется вторая строка системного оператора (3.6). Подобные рассуждения можно применить и к третьей строке компакта. Действительно,

d/dt(r×m = m



F )=r×F , или, записывая это выражение в виде d/dt(r×m

(F ), убеждаемся в том, что получено математическое выражение тео-



V )=

ремы об изменении кинетического момента материальной точки: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-либо неподвижного центра, равна изменению момента действующей на точку силы относительно того же центра. Применяя оператор



суммы, получимL

=(rk× m

движения системы точек и M сил, действующих на систему. Тогда dL

— главный вектор момента количества

=m0(Fk) — главный момент внешних

/dt =M0, т.е. получено матема-

тическое выражение теоремы об изменении кинетического момента механической системы.

В частном случае равенства нулю главного момента внешних сил получаем закон сохранения кинетического момента системы: dL



= const.

/dt =0,т.е.

Итак, компакт (3.7) совместно с системным оператором (3.6) позволяет в наглядной сжатой форме представить основные понятия и законы векторной динамики Ньютона. При этом символ «=0» во второй стро- ке системного оператора (3.6) соответствует законам изменения (движения центра масс, количества движения, кинетического момента), а «0»—соот- ветствующим законам сохранения.

3.3. ОБЩИЙ ОПЕРАТОР ИНФОРМАЦИИ 63

3.3. Общий оператор информации в классификации

основных положений механики

3.3.1. О взаимодействии теоретической механики, теории упругости,

сопротивления материалов, прикладной теории удара в интеграционной механике

В теоретической механике интеграционная механика представлена специальными системными операторами (общий оператор информации, оператор информации нулевого действия, основной оператор теоретической механики).

Все компакты, которые будем рассматривать, имеют единую структуру — общий оператор информации с дополнительным внутренним делением. Прежде всего необходимо ясно представлять взаимосвязанность теоретической механики с другими разделами общей механики (теория упругости, сопротивление материалов, прикладные теории удара).

Интеграционная механика рассматривает больший круг задач, поэтому необходим специальный компакт физических тел. Компакт физических тел состоит из трех групп тел (физическая группа тел, математическая группа тел, системная группа тел). Каждая из групп разбивается на две подгруппы, в результате имеем шесть подгрупп физических тел:

1) физико-математическая группа тел;

2) физико-системная группа тел;

3) математико-физическая группа тел;

4) математико-системная группа тел;

5) системно-физическая группа тел;

6) системно-математическая группа тел (табл. 3.1).

В данном параграфе рассмотрим физико-математические тела и физико-системные тела.

Физико-математическая группа тел включает в себя абсолютно твердое тело и деформируемое тело, при этом тело может быть интегральным (большое тело) или дифференциальным (малое тело). Физико-системная группа тел представляет синтез физико-математических тел с использованием идей системного подхода (абсолютно твердое тело плюс пластика при ударном нагружении; абсолютно твердое тело плюс упругая деформация в месте контакта; деформируемое тело плюс принцип освобождения от связей и т.д.).

64 ГЛАВА 3

Введение в классификацию абсолютно твердого тела малого тела (дифференциальное тело) позволяет убрать парадокс, который имеет место в классической теоретической механике. Малое тело в классической механике может только перемещаться в отличие от малого тела в механике деформируемых тел. Материальная точка, которая имеет возможность только перемещаться, а не вращаться, перенесена в математико-системные тела.

Комплекс физико-системных тел представляет четыре группы тел, две относятся к абсолютно твердым телам, но с малой добавкой пластического тела (стереомеханическая теория удара Ньютона, коэффициент восстановления, который всегда меньше единицы из-за наличия пластических деформаций). Второй вариант, когда не учитывается общая деформация тела по сравнению с местной деформацией тела в упругой зоне контакта. Это характерно для контактной теории Герца. Эти две группы относятся к физикосистемным телам, которые обозначены (+ −). Именно к этим группам относится коэффициент β, определяющий возможность применять основные положения классической механики. Но и для деформируемых тел (обозначено − +), где габариты тел небольшие, также при выполнении условия коэффициента β можно применять механику Ньютона. Сопротивление материалов (тела − +) использует физико-системные тела, где используются отдельные положения теории упругости, но с существенным упрощением технических задач за счет применения принципа освобождения от связей. Часто применяется синтезированная теория удара Сирса, где все тело деформируемое и учитывается волновой процесс, а в месте контакта волновым процессом пренебрегают и используют контактную теорию Герца.

3.3.2. Математическое моделирование, системные и линеаризованные

теории в классификации физических тел

Математико-физическая группа тел предназначена для переноса комплексных задач колебаний, статики, устойчивости, удара (модель эквивалентного стержня в цилиндрических пружинах переносит созданный математический аппарат теории прямых балок на цилиндрические пружины). Эта группа тел существенно использует единство математической оболочки решения, например, волновое уравнение, для различных физических задач. В таблице 3.2 (математико-физические тела) представлены условия формирования модели эквивалентного бруса для цилиндрических пружин. Высота стержня (балки) и пружины одинакова, жесткости стержня и пружины равны (продольная, крутильная, поперечные в двух плоскостях), массы

3.3. ОБЩИЙ ОПЕРАТОР ИНФОРМАЦИИ 65

стержня и массы пружины также равны. Но физически эти модели не эквивалентны, что приводит к дополнительным парадоксам в пружинах по отношению к хорошо известной теории прямых балок. Очень часто для анализа параметрических колебаний конкретная задача упрощается, чтобы использовать готовую математическую оболочку (уравнение Матье и его графическое решение в виде диаграммы Айнса–Стретта).

Таблица 3.2

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

Абсолютно

твердое тело

Теоретическая

механика

ФИЗИКО-СИСТЕМНЫЕ ТЕЛА

Абс. тв. тело

+ пластика

(стереомех.

теория удара).

Абс. тв. тело

+упругоетело

(контактная

теория Герца).

Прикладные задачи удара

(процесс не

волновой)

ТЕЛА

−

Деформируемое

тело

Теория

упругости

− +

(−)

Деформируемое

тело

+ принцип

освобождения от

связей.

Сопротивление

материалов

МАТЕМАТИКО-

ФИЗИЧЕСКИЕ

ТЕЛА

Масса,

жесткость,

высота стержня

и пружины

равны.

Математическое

моделирование

физических задач

МАТЕМАТИКО-

СИСТЕМНЫЕ

ТЕЛА

c — жесткость

невесомой

пружины.

Тон кая

нерастяжимая нить

как абсолютно

твердое тело.

Составление

уравнений

движения

СИСТЕМНО-

ФИЗИЧЕСКИЕ

ТЕЛА

Контактная теория

Гер ца

СИСТЕМНО-

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ТЕЛА

Линеаризованная теория

удара

66 ГЛАВА 3

Математико-системная группа тел представлена материальной точкой, невесомой пружиной, гибкой нерастяжимой невесомой нитью (жесткость на растяжение бесконечна, поперечная жесткость нулевая) и другими аналогичными телами.

Эта группа тел представлена для составления уравнения движения. Обычный прием — вся масса абсолютно твердого тела сосредоточивается в центре тяжести, а упругие тела не учитывают массу тел, а только жесткость. Сюда отнесены абсолютно жесткие тонкие нити, для которых линия действия силы и линия действия скорости точек отслеживает форму этой нити.

Системно-физическая группа тел, в отличие от первых четырех групп, где были единичные тела, представляет системы тел, имеющих единый физический процесс. Например, неупругий удар груза по стержню, система тел теоретической механики.

В таблице 3.2 для системно-физических тел приведена зависимость контактной силы от сжатия двух тел (контактная теория Герца). В этом случае имеем дело с двумя телами из группы физико-системных тел, так как имеем систему тел.

Системно-математическая группа тел представляет систему тел, где возможна замена точного решения задачи (удар двух тел по контактной теории Герца) на систему тел другой физической природы (линеаризованная теория удара). Эта группа тел позволяет создавать эффективные инженерные методики. В кратком комплексе [91] по удару нами рассмотрена линеаризованная теория удара, но для получения простой и эффективной теории удара потребовалось и знание самой точной теории (в данном случае теории Герца). Две различные физики объединены в линеаризованной теории удара. Классический пример системно-нелинейной задачи.

3.3.3. Классификация движения тел на основе общего оператора

информации

По аналогии с шестью группами тел, сил, векторов рассмотрена классификация компакта движения: физико-математическое движение — обычное классическое движение (динамика); физико-системное движение — колебание (движение около статического равновесия); математико-физическое движение — статическое равновесие (статика); математико-системное движение — динамическое равновесие (антирезонанс); системно-физическое движение — классическая кинематика, сложное движение, система

3.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ 67

движений (инерционное движение); системно-математическое движение — приведение сложного движения к простому, условное равновесие по Даламберу. В таблице 3.3 приведена классификация компакта движения тел на основе общего оператора информации.

Таблица 3.3

ФИЗИКО-

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ДВИЖЕНИЕ (РЕАЛЬНОЕ

ДВИЖЕНИЕ)

Деформируе-

Абс. твердое

тело.

Перемещение

+ вращение

ФИЗИКО-СИСТЕМНОЕ

ДВИЖЕНИЕ (КОЛЕБАНИЯ)

Колебания

мат. маятника.

Абс. тв. тело

мое тело.

Бегущие

волны

расширения

исдвига

Стоячие

волны.

Деформ. тело

МАТЕМАТИКО-

ФИЗИЧЕСКОЕ

ДВИЖЕНИЕ

Статический покой

МАТЕМАТИКО-

СИСТЕМНОЕ

ДВИЖЕНИЕ

Покой при создании

искусственных

условий (эффект

антирезонанса)

СИСТЕМНО-

ФИЗИЧЕСКОЕ

ДВИЖЕНИЕ

Инерциальное

движение (первый

закон Ньютона).

Сложное движение

СИСТЕМНО-

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ДВИЖЕНИЕ

Равновесие по

Даламберу, приведение сложного движения к простому

В группе физико-математических движений отдельно рассматриваются абсолютно твердые тела (перемещение и вращение) и деформированные тела, где имеют место бегущие волны (расширения и сдвига). Если применяем принцип «замораживания», то получаем движение для абсолютно твердого тела. В группе физико-системных движений также имеем колебания около статического равновесия абсолютно жестких тел. В деформируемых телах имеют место «стоячие волны», это также колебания около статического равновесия. В системно-физическое движение попадает инерционное движение, что позволяет снять отмеченный пятый парадокс.

Очень важно понимание системно-математического движения. По второму закону Ньютона движение происходит как физико-математическое. Но нам необходимо рассчитать движение, поэтому записываем условие равновесия по Даламберу, в то время как тело физически продолжает двигаться. Автор считает, что разделение движения на предложенные группы позволяет нагляднее понять суть великого подхода Даламбера. В кинематике при

68 ГЛАВА 3

движении в плоскости нами определялся мгновенный центр скоростей для конкретного звена. Но только в этой специально найденной точке наблюдается мгновенно вращение звена. В других точках в это самое время наблюдается сложное движение.

3.3.4. Классификация векторов в курсе «Теоретическая механика» на

основе общего оператора информации

Классификация векторов, представленная в таблице 3.4, имеет так же, как и предыдущие классификации, шесть групп. Физико-математическая группа — классические скользящие векторы (сила, угловая скорость и т.д.); математико-физическая группа — опорный математический вектор; системно-физическая группа — классические свободные вектора (пара сил, пара вращений); системно-математическая группа — классические закрепленные векторы, представляющие произведение других векторов с различной физикой, например, перемещение и сила; физико-системная группа векторов неявно всегда существовала, но не включалась в классическую классификацию — это вектор силы, перемещающийся по изгибающейся абсолютно жесткой нити без изменения, а также вектор скорости точек данной нити, модуль скорости не изменяется. Предыдущие пять групп из шести — это просто классификация известных векторов для удобства рассмотрения векторов на основе общего оператора информации.

Наиболее существенным уточнением классификации векторов является математико-системная группа, в которой вводятся новые вектора, позволяющие снять противоречия в классической механике. Этой группе дадим название системной группы векторов, что позволяет их отличать от классических векторов. К этой группе относятся проекции векторов: проекция векторов скорости конца отрезка на сам отрезок, скорость вдоль стержня имеет физический смысл для деформируемого стержня; проекция главного вектора момента сил на направление главного вектора сил.

Главный вектор момента сил в каждой точке имеет переменное направление, линию действия и модуль, а его проекция на направление главного вектора сил является свободным вектором. Момент силы относительно оси представляет системный вектор, где силу можно переносить вдоль плоскости по линии действия и по образующей цилиндра, которую описывает вращающийся вектор перемещения. Сами системные вектора могут быть свободными, скользящими и закрепленными. Вектор скорости точки при вращении абсолютно твердого тела относительно оси также обладает осо-

3.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕКТОРОВ В КУРСЕ «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»69

бенностями системного вектора, так как он переносится как скользящий вектор по образующей цилиндра, параллельной оси вращающегося тела. Но для максимального сохранения понятий классической механики он отнесен к системно-математической группе. Введение системных векторов позволяет дать ясную аналогию между моментом силы относительно оси и скорости точки относительно оси, а также по-иному представить физический смысл пары сил.

Таблица 3.4

ФИЗИКО-

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ВЕКТОРЫ

Скользящие векторы

перемещающийся по



F,ω

ФИЗИКО-

СИСТЕМНЫЕ

ВЕКТОРЫ

Вектор силы,

тонкой нити

МАТЕМАТИКО-

ФИЗИЧЕСКИЕ

ВЕКТОРЫ

Опорный

математический вектор



−−−−−−−−−

A =

относительно оси. Вектор

главного момента сил

вдоль главного вектора

−−−−−−−→

|−−−|

МАТЕМАТИКО-

СИСТЕМНЫЕ

ВЕКТОРЫ

Вектор силы

сил. Свободные,

закрепленные,

скользящие



СИСТЕМНО-

ФИЗИЧЕСКИЕ

ВЕКТОРЫ

Пара сил, пара

вращений. Свободные

векторы

СИСТЕМНО-

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ВЕКТОРЫ

Закрепленные векторы



(момент силы

относительно точки)



= rA×F

Для классификации векторов в классической механике вектор пары сил отнесли как свободный вектор в группу системно-физических векторов. Пара сил как свободный вектор вызывает наибольшие трудности у изучающих механику, так как имеет условную ось вращения, пара сил свободно переносится в плоскости и параллельно плоскости. Более ясного понимания возможности переноса пары сил в плоскости можно получить за счет двух новых системных векторов. Прежде всего это особый вектор силы, который можно переносить не только вдоль линии силы, но и параллельно самому себе в плоскости, параллельной заданной оси. Этот особый вектор силы не попадает под классическую классификацию векторов (скользящий, свободный, закрепленный), так как является скользящим, как обычный вектор си-

70 ГЛАВА 3

лы, свободным — можно его переносить параллельно самому себе, закрепленным — фиксирована плоскость, по которой он перемещается. Данный вектор назван системным вектором силы. Момент силы относительно оси является комбинированным системным вектором, так как представляет векторное произведение данного системного вектора силы на радиус-вектор перемещения. Этот вектор момента относительно оси является скользящим вектором, кратчайшее расстояние силы до оси вместе с перемещением вектора момента силы описывает цилиндрическую поверхность, на которую наматывается плоскость, по которой перемещается системный вектор силы.

Пара сил представляет разность двух системных векторов момента силы относительно общей оси, проходящей через центр тяжести, где модули векторов сил одинаковые, расстояния до оси вращения различны, направления взаимно противоположны. Сложность восприятия момента силы относительно оси компенсируется простотой интерпретации пары сил.

Аналогичный подход можно рекомендовать для объяснения мгновенного поступательного движения. В этом случае пара вращения также представляет собой свободный вектор и разность двух системных векторов, описывающих сложное движение твердого тела относительно двух параллельных осей, где одна из осей общая, вращения различны, а модули угловых скоростей равны.

3.3.5. Классификация сил

3.3.6. Классификация сил по А. Ю. Ишлинскому

В механике вызывают многочисленные споры понятие силы, классификация сил. А. Ю. Ишлинским [28, 29] подробно проанализированы причины появления дискуссий по понятию силы и предложена их классификация: физические силы и силы инерции. К физическим силам отнесены:

1) дальнодействия (F ) — силы тяготения, электрические, магнитные;

2) близкодействия (N ) — контактные cилы, в частности реакции связи;

поверхностные, развиваемые средой, окружающей данное тело;

3) противодействия (K) — обусловлены свойством инертности данного тела и приложены к телам, с ним взаимодействующим, ранее их называли силами инерции по Ньютону. А. Ю. Ишлинский предлагает назвать их кеплеровскими силами.

К силам инерции отнесены:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]