Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная философия интеграционной механики
.pdf
3.1. О СНОВНЫЕ ГРУППЫ СИСТЕМНЫХ ОПЕРАТОРОВ 51
теграционной механики объекта, область их применения — интеграционная математика;
• квантовый вектор информации; данный оператор сжимает и компонует
информацию и передает ее без изменения в виде импульса информации на задачи объекта исследования;
• ген информации; оператор сжимает информацию, нацеленную на объект и реальные экспериментальные явления, которые необходимо объяснить в физической и математической моделях.
В теоретической механике основной информацией является сила и мо-
мент силы, в механике деформируемого тела — волна расширения и волна
сдвига. В случае рассмотрения динамики в курсе теоретической механики
основной информацией является масса и перемещение, основная информация определяется самим объектом и целью задачи исследования.
Комбинированные системные операторы
Комбинированными системными операторами являются последние
три типовых приема. Разработка модуля управления решением сложной задачи является неформализованным приемом. Если рассматривается задача
удара, то основанием ее является теоретическое решение этой задачи при
ударном нагружении, а гранями информационной призмы — теория колебаний, теория устойчивости, теория статики. Особенность «сильного» модуля
управления в том, что каждая модульная задача сама в свою очередь является наиболее цельной задачей. Из каждой модульной задачи выделяется
«ген» информации, который определяют при выделении наиболее важной
информации из модульной задачи с одновременным подтверждением из
эксперимента. Основная наша задача — видеть, как объект разрушается как
целое (на теоретическое обоснование и экспериментальные явления) и одновременно восстанавливается через эти связи, которые и определяются
геном информации. Выделенные «гены» из модульных задач объединяются
в единой гипотезе, где они должны дополнять друг друга, что и составляет
модуль управления решением сложной задачи. Прием разработки модели
идеальной теории заимствован из методов технического творчества [3, 4],
но он модернизирован для применения к задачам динамики и прочности,
к прикладной математике. В нем сконцентрирован прием Д. Пойя: «Чтобы
решить задачу, надо знать ответ». Эти методы правдоподобных рассуждений приведены в работах [51, 52]. Признаки идеальной теории: простота; информативность; преодоление существенного противоречия; наличие
опорных решений, которые до этой теории уже хорошо известны; превра-
52 ГЛАВА 3
щение вреда в пользу; системная организация создания теории. В самой
работе мы неоднократно покажем практическое применение идеальной теории как в теоретической механике, так и в динамике машин.
3.2. Классическая механика как пример компактного
сжатия образовательной дисциплины
3.2.1. Сжатие аксиом статики
Аксиоматика статики соответствует вузовскому учебнику. Оператор
информации нулевого действия и его количественный аналог — основной
оператор механики — объясняют все аксиомы статики.
Первая аксиома: система двух сил, приложенных к одному твердому
телу, действующих по одной прямой в этом теле и равных по величине,
но противоположно направленных, эквивалентна нулю. Эта аксиома есть
нулевой оператор информации, а точнее — его математическая компонента — нулевой вектор. Нулевой вектор широко используется в [47]. Один из
соавторов книги [47] М. А. Павловский присутствовал на совместном семинаре Академии наук СССР и Министерства высшего образования СССР, где
обсуждались проблемы преподавания теоретической механики (1990 г.), руководил семинаром академик АН СССР Александр Юльевич Ишлинский.
М. А. Павловский выступал после автора и рассказал о нулевом векторе
и его применении в теоретической механике, отметив, что Ижевск обогнал
авторов книги [47]. Это было первое официальное признание сжатия аксиом статики.
Вторая аксиома: механическое состояние тела не изменится, если к системе добавить или изъять из нее систему сил, эквивалентную нулю. Эта
аксиома есть нулевой вектор информации системы сил.
Третья аксиома: всякое действие вызывает равное и прямо противоположное действие. Если рассматривается одно тело, то имеем взаимодействие на него со стороны другого тела, т. е. силу, но если рассматривать
систему из двух тел, то эта аксиома опять приводит нас к оператору информации нулевого действия.
Четвертая аксиома: система двух сил, приложенных к одной точке
твердого тела, всегда имеет равнодействующую силу. Эта аксиома допускает и обратное утверждение: силу можно разложить бесчисленным количеством способов на две силы, приложенные в любой точке действия данной
силы. Эта аксиома является чисто математической компонентой оператора
информации нулевого действия.
3.2. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КАК ПРИМЕР КОМПАКТНОГО СЖАТИЯ 53
Пятая аксиома: эффект от действия связей таков же, как и от действия
определенных, дополнительных сил, которые могут быть приложены к свободному телу вместо связей. Это системная компонента оператора информации нулевого действия. В самой аксиоме предполагается сохранение действия, и это главное, а замена связей дополнительными силами позволяет
изменить только информацию, но не действие. Рассмотрение данной аксиомы в феврале 1988 года при первом чтении курса теоретической механики
привело автора к понятию оператора информации нулевого действия. Изменилась математика и физика заделки балки. Например, жесткая заделка
балки, где первоначально заданы известные нулевые перемещения и вращения, заменена на свободное перемещение и вращение тела, но прикладываются неизвестные силы и моменты. Но эти неизвестные силы и моменты
обладают размерностью соответствующих сил и моментов, которые задаются в основной информации о равновесии тела. Это главная информация,
которая сохраняется неизменной. В дальнейшем из основной информации
легко определяются неизвестные силы и моменты в заделке балки.
Шестая аксиома (аксиома отвердевания): равновесие механической системы не нарушается от наложения новых связей, в частности, равновесие
механической системы не нарушится, если все части системы связать между собой неизменно, жестко. Новые связи — это дополнительная информация, но действие — равновесие системы сил — остается неизменным.
К этой аксиоме примыкает прием расширения габаритов тела — опять это
системный прием: габариты тела расширяются, меняется информация, но
все пространство «заморожено», поэтому действие неизменно.
Применяя оператор инверсии, можно из оператора информации нулевого действия как следствия получить все аксиомы статики. Поэтому в интеграционной механике не надо отказываться от аксиом статики, так как
с их помощью легче объяснять отдельные положения статики, но, в единстве рассматривая аксиомы статики, приходим к более глубокому пониманию самой статики.
3.2.2. Методы творчества в кинематике
Ограничимся всего двумя примерами: определение ускорения для
плоской задачи; нахождение ускорение Кориолиса из заданных исходных
данных.
На рисунке 3.6 представлен плоский механизм, и необходимо найти
ускорение в центре тяжести звена AB. Для простоты его считают неве-
54 ГЛАВА 3
сомым, и всю массу сосредотачивают в центре тяжести. Это главная информация поставленной задачи. Из рисунка видно, что нам задано: ускорение в точке A ведущего звена, направление движения точки B, положение
звена AB. Продолжим поиск наглядного способа определения ускорения
вточкеC без определения ускорения в точке B. На рисунке 3.6 с использованием редуцированного ускорения показано определение модуля редуцированного тангенциального ускорения через соотношение
CA
· A
=
A
1C1
B
BA
C
A
1
C
1
1B1
.
A
O
B
1
Рис. 3.6
На рисунке 3.6 использовано редуцированное ускорение в точке A,
предложенное академиком А. П. Котельниковым:
˜a
= aA· ω−2.
A
По направлению линии действия редуцированное ускорение совпадает
с обычным, но имеет размерность перемещения. Величина ω для звена AB
3.2. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КАК ПРИМЕР КОМПАКТНОГО СЖАТИЯ 55
легко определяется из плана скоростей:
V
A
=
ω
AB
AP
,
V
где AP
— расстояние точки A до мгновенного центра скоростей, которое
V
находится на пересечении перпендикуляра к направлению скорости точки B и продолжения звена OA.
C
Рис. 3.7
Один из сатириков (Дубов, естественно, из Одессы) как-то сказал: «Если ты сделал переворот в науке, посмотри не перевернулся ли ты сам».
На рисунке 3.7 построим классическим методом план ускорения для
данного механизма. Выберем за начало координат векторов a
, aB, aCпо-
A
люс π. В этой точке нами сжата информация о начале всех трех векторов. Проводим известную линию действия, направление вектора и модуль
вектора a
проводим линию действия, направление и модуль вектора a
дикулярно ему вектор a
Определяем из пропорции нахождение точки C на векторе a
, известную линию действия вектора aB. Из конца вектора a
A
τ
до пересечения с направлением вектора aB.
BA
n
и перпен-
BA
и соединя-
BA
ем эту точку с началом векторов (полюс π). Сравнивая стандартный метод
и предложенный метод на рисунке 3.6, очевидно, что в предложенном ме-
A
56 ГЛАВА 3
тоде разнесены точки A, B, C по длине звена BA, а для того чтобы звено
BA использовалась как вектор, введены редуцированные ускорения.
Второй пример, как уже было заявлено, — из сложного движения точки. В этом случае ускорение Кориолиса определяется после достаточно
сложного вывода как дополнительное ускорение к переносному и относительному ускорению, этот вывод дан в учебной литературе [34, 39, 42].
Рассмотрим простейший пример (рис. 3.8).
Рис. 3.8
Диск вращается относительно оси с угловой скоростью ω, при неподвижном диске задано движение по диску со скоростьюV (V
—этоско-
A
рость движения точки A). Исходная информация задана не для системы
в целом, а для двух независимых подсистем. Первая подсистема — диск
только вращается, а точка A неподвижна. Вторая подсистема — диск не
вращается, а движется только точка A со скоростьюV .
Движение в первой подсистеме переносное. Движение во второй подсистеме относительное. Имеем основную опорную информацию для уско-
e
рения Кориолиса: ω
ная информация первой подсистемы),V
— угловая скорость в переносном движении (основ-
— скорость точки в относительном
r
движении (основная информация второй подсистемы). В таблице 3.1 представим эти две взаимно противоположные задачи.
К этим двум задачам добавляются их взаимосвязанные задачи: переносное движение в относительном движении; относительное движение
в переносном движении. Что считать за относительное движение, что за
3.2. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КАК ПРИМЕР КОМПАКТНОГО СЖАТИЯ 57
Таблица 3.1
Переносное движение
+
e
=0,Vr=0
ω
Относительное движение
−
=0,ωe=0
V
r
Переносное движение в относитель-
+ −
ном движении ω
Относительное движение в перенос-
− +
ном движении ω
e
×V
r
e
×V
r
переносное — это условно. Поэтому оба этих движения должны быть равными и состоять из основной информации. Само ускорение Кориолиса,
определяемое этими двумя дополнительными движениями, имеет вид
a
=2ωe×Vr. (3.1)
c
3.2.3. Системность законов Ньютона
Рассмотрим материальную точку в абстрактных условиях изолированности, т. е. бесконечной удаленности от других тел. Для такой точки характерны два состояния: первое — покой, второе — прямолинейное равномерное движение, которое называют движением по инерции. Эти два возможных состояния изолированной точки постулируются первым законом
Ньютона, или законом инерции.
Как только мы поместим точку в непосредственной близости от других
тел, действующих от нее непосредственно или посредством поля, скорость
точки в общем случае изменится. Причиной этого изменения является механическое действие на точку окружающих тел, а меру интенсивности этого действия принято называть силой. Необходимо упомянуть о том, что
движение точки по инерции возможно и в том случае, когда к ней приложены силы, но только при условии их уравновешенности. Таким образом,
если обнаруживается, что точка движется прямолинейно и равномерно, по
отношению к неподвижной системе отсчета, то это означает, что она либо
изолирована, либо приложенные к ней силы уравновешены. В связи с этим,
интересно отметить, что можно дать динамическую трактовку известной из
статики аксиомы о равновесии системы двух сил: две силы, приложенные
к абсолютно твердому телу, уравновешены в том случае, если не изменяют его скорости, т. е. не сообщают ему ускорения. Количественную связь
между приложенной к точке силой и вызываемым этой силой изменением
58 ГЛАВА 3
движения дает второй закон Ньютона, или основное уравнение динамики,
ma =F. (3.2)
Изменение движения пропорционально изменению приложенной силы
и происходит в направлении линии действия этой силы. Таким образом,
сила и вызываемое ею ускорение всегда сонаправлены.
Уравнение (3.2) было бы неправильно рассматривать как определение
силы, так как действие силы в механике проявляется не только в ускорении
тел, но и в их деформациях, когда ни о каких ускорениях нет и речи.
Третий закон Ньютона говорит о том, что во взаимодействии двух тел
каждое действует на другое силой, одинаковой по величине, но противоположной по направлению. Этот закон часто называют законом о равенстве
сил действия и противодействия. Однако третий закон Ньютона имеет более глубокое физическое содержание, чем просто равенство сил действия
и противодействия. Запишем уравнение (3.2) для каждой из двух взаимодействующих материальных точек
dt
d
V
(m
)=F1и
1
1
dt
d
V
(m
)=F2. (3.3)
2
2
По третьему закону Ньютона должно выполняться равенство
F
= −F2.
1
Сложим уравнения (3.4):
d
dt
(m
V
1
1
+ m
2
V
2
)=0.
Отсюда следует, что
m
V
1
1
+ m
V
= const. (3.4)
2
2
Третий закон Ньютона можно сформулировать как требование сохранения суммы импульсов (количество движения) взаимодействующих точек
при отсутствии внешних для этой системы сил. Ньютон вывел закон сохранения количества движения из своего третьего закона. В отличие от него
Декарт считал закон сохранения движения основным законом динамики.
Применяя прием инверсии, продифференцируем по времени уравнение (3.4). В результате получим
m
+ m2a2=0.
1a1
3.2. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КАК ПРИМЕР КОМПАКТНОГО СЖАТИЯ 59
Перенесем выражение m2a2=F2в правую часть уравнения
m
= −m2a2,
1a1
и с учетом того, что
−m
2a2
= −F2,
на основании третьего закона Ньютона
−F
=F1,
2
получаем уравнение, выражающее второй закон для первой материальной
точки:
m
=F1.
1a1
ЕслиF
=0,тоm
1
V
= const или, в частном случае,V1=0,т.е.при-
1
1
ходим к первому закону Ньютона. Однако было бы неправильным считать
первый закон частным случаем второго, ибо только в случае выполнения закона инерции соотношение (3.2) приобретает однозначное физическое толкование.
y
m
V
1
P
1
1
m
2
V
2
P
2
x
Рис. 3.9. Соударение двух шаров
Покажем на примере прямого соударения двух шаров, что решение
некоторых простых задач методами классической механики невозможно
в рамках модели абсолютно твердого тела. Поскольку внешние силы для
60 ГЛАВА 3
системы двух шаров отсутствуют, то количество движения системы до и после удара должно быть одинаковым:
m
где V
01x,V02x
V
1x,V2x
— проекция скоростей шаров на ось 0x до соударения;
— проекция скоростей шаров на ось 0x после соударения.
Уравнение (3.5) содержит две неизвестные скорости V
1V01x
+ m2V
= m1V1x+ m2V2x, (3.5)
02x
и V2x,поэто-
1x
му задача становится неопределенной. Ньютон сделал возможным решение
этой задачи, введя дополнительную информацию о коэффициенте восстановления:
K =
V
1x
V
01x
− V
− V
2x
02x
.
Понятие о коэффициенте восстановления K введено Ньютоном в терминах кинематики, фактически K отражает реальные упругие свойства соударяющихся тел и определяется экспериментально. Данный пример свидетельствует о том, что еще в XVII веке Ньютон использовал приемы, которые мы сейчас называем приемами интеграционной механики, в частности
ввод дополнительной информации.
Таким образом, при системном изложении законов Ньютона нами использовались в основном два типовых приема интеграционной механики:
инверсия и ввод дополнительной информации.
3.2.4. Информационный компакт векторной механики Ньютона
Введем системный оператор, сущность которого можно представить
в виде следующего набора математических операторов и символов:
d
,
dt
0, =, 0
•,
,
(3.6)
В первой строке формы (3.6) размещены взаимно противоположные математические операторы дифференцирования и интегрирования, вторая строка символизирует равенство или неравенство нулю какого-либо математического выражения или величины, третья строка символизирует переход,
посредством математического оператора суммы, от одной материальной
точки к системе материальных точек и далее снова к материальной точке, имеющей физический смысл центра масс механической системы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]