Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная философия интеграционной механики
.pdf
3.3. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИКО-КОНСТРУКТОРСКОГО АЛГОРИТМА 151
20) Планируем проводить расчет напряжений в пружине с учетом контактных деформации, поэтому перейдем к эквивалентному напряжению по
гипотезе максимальных касательных напряжений, МПа:
σ =2τ
.
31
21) Заканчиваем расчетную методику для первого этапа определением свободной высоты пружины, мм:
H
= d(ip+ ψ)+λ + h + h31.
01
Этап 2. Расчет по синтезированной теории удара без учета контакт-
ных деформаций, но с заменой части контактных деформаций межвитковым давлением по гипотезе формирования межвиткового давления.
Учтем отрицательный эффект проектирования пружин без соударения
витков: неравномерность напряженного состояния по винтовой линии пружины, при многократном ударе вибрационные напряжения возрастают [80].
Вся сложная теория нелинейной статики сжимается в практической задаче
до одного коэффициента K
.
t
Отметим оригинальный парадокс для теории упругости: наличие на
наружной поверхности пружины напряжений больше, чем на внутреннем
волокне витка (если K
<Kt). Решение теории упругости не опровергает-
w
ся, так как в самом сечении витка напряжение на внутреннем волокне всегда больше, чем на наружном. Наличие искажения винтовой линии пружины может привести к явлению, когда в другом сечении витка на наружном
сечении витка напряжение может быть больше, чем в другом сечении на
внутреннем волокне витка. Этот экспериментальный эффект присутствует
в поле экспериментальных явлений [118]:
1
= σ · Kt.
σ
Для неустойчивых пружин K
принимаем равным 1,2–1,3. В случае
t
устойчивых пружин данный коэффициент выбирается из таблиц, приведенных в [80]. Точное решение определяется с применением программного
комплекса (нелинейная задача статики). Наша задача на втором этапе проектирования — превратить отрицательный эффект (коэффициент K
увели-
t
чивает напряжение, но при этом не влияет на энергию пружины) в положительное явление.
152 ГЛАВА 6
22) Определяем конструкторский коэффициент
K
= P31· (P2)−1.
k1
23) Коэффициент возрастания касательных напряжений за счет пространственной деформации при динамическом нагружении обозначим K
24) При статическом нагружении K
Сравниваем K
с коэффициентом Kk1. Принимаем Kd=1,2,намуже
d
= Kt.
d
d
известно, что будем проектировать пружинный механизм с большим
числом рабочих витков, пружина будет неустойчивая. Если K
то продолжаем расчет, если K
>Kk1, то полагаем Kd= Kk1иснова
d
<Kk1,
d
продолжаем расчет.
25) Занижаем величину силы сжатия до соприкосновения витков
.
P
32
= P31· K
−1
d
.
При занижении силы максимального сжатия пружины сохраняем постоянным рабочее усилие пружины P
.
2
26) Величина максимальных касательных напряжений при статическом
сжатии до соприкосновения витков выбирается меньшей, чем τ
31
на Kd, но при этом учитываем рост максимальных касательных напряжений за счет эффекта неравномерности напряженного состояния
по винтовой линии и неплотного сжатия витков:
τ
32
= τ31· K
−1
· Kd= τ31.
d
27) Эквивалентное напряжение в пружине совпадает с расчетом первого
этапа
=2τ31.
32
28) h
29) H
σ =2τ
=(P31− Kd· P2) · (Kd· F1)−1.
32
= d(ip+ ψ)+λ + h + h32.
02
Второй этап расчета закончился выполнением поставленной задачи на
50 %, так как нам удалось сократить габариты, сохранить рабочие параметры пружины и пружинного механизма, но нами не решена задача повышения долговечности пружины.
Этап 3. Расчет пружинного механизма с учетом инерционного соуда-
рения витков.
3.3. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИКО-КОНСТРУКТОРСКОГО АЛГОРИТМА 153
Цель этапа повысить долговечность пружины при дальнейшем умень-
шении ее параметров. Это достигается задержкой контактной теории удара В. А. Карпунина [68], при этом снижается скорость соударения витков
пружины. Заменяем опасную зону (величину максимальных касательных
напряжений на внутреннем волокне витка пружины) на менее опасную величину максимальных напряжений в точке контакта (K
=1). Дальнейший
w
расчет приведем без комментариев, которые аналогичны замечаниям к первому и второму этапам расчета.
30) Энергия витков пружины после остановки груза на ограничителе
=0,5(P32+ P2) · h32.
E
в.2
31) Скорость движения витков до соприкосновения
в.2
· Q
1,04
−1
пруж
.
2g)−2.
32) V
33) K
34) P
35) h
36) H
37) E
38) V
39) τ
40) τ
41) σ
=(E
V
32
.
−1
пр. гр.
−1
k
−1
32
)0,5.
+ τd.
.
= Vв; Kp= V31· V
31
>Kk>Kd.
k1
= P31· K
33
=(P31− Kk· P2) · (Kk· F1)−1.
33
= d(ip+ ψ)+λ + h + h33.
03
=0,5(P33+ P2) · h33.
в.3
=(E
33
= τ31· K
33
1
= τ31· Kd· K
33
2
=4(τ
−1
k
· 2g · Q
в.3
−1
.
k
1
)2+ (1156)2· (V32− V33)
33
42) Определяем эквивалентное напряжение в точке контакта витков
σ
=(σ2)−2.
Т3
43) Определяем максимальные касательные напряжения на внутреннем
волокне витка:
τ
=(τ31· Kd· K
33
−1
+ τd) · Kw.
k
44) Определяем эквивалентное напряжение на внутреннем волокне витка:
σ
=2τ33.
3
ГЛАВА 7
Бифуркационая логика интеграционной
механики и основания математики
7.1. Отличие интеграционной математики от математики
интеграционной механики объекта
В математике интеграционной механики объекта мы имеем реальный
физический объект, описываемый классическими уравнениями Кирхгофа–
Клебша с разнообразными краевыми условиями. Поэтому математика интеграционной механики является частью интеграционной механики. Рассмотрим особенности бифуркационной логики на примере интеграционной
математики.
Интеграционная математика — это отдельная наука, которая рассматри-
вает математику как объект в информационной пирамиде, где грани: классическая математика, классическая физика, классическая философия. Основания классической математики являются одним из объектов математики.
В данной главе рассматривается только та часть интеграционной математики, объектом которой является основание математики. Естественно, что
математику как объект можно поместить в информационную пирамиду, где
грани: прикладная философия, физика, механика, математика. Возникают
четыре раздела математики: математика для математики, математика для
физики, математика для философии, математика для механики. Это проблемы настоящего и будущего развития математики.
Математика интеграционной механики объекта имеет свои основные
признаки: математическое единство различных физических задач, обязательное решение взаимосвязанных нелинейных задач, преодоление плохой
обусловленности взаимосвязанных нелинейных задач объекта, использование системных методов решения, апробация методов решения интеграционной математики объекта на специальном математическом полигоне.
7.2. О ПРОБЛЕМАХ ОСНОВАНИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ 155
Интеграционная математика не требует жестких признаков математики
интеграционной механики объекта. Если математика интеграционной механики из трех своих аспектов — применение, понимание, изобретение —
в большей степени упор делает на изобретение в области математики, то
интеграционная математика — на понимание самой математики, по крайней
мере в рамках анализа оснований классической математики.
7.2. О проблемах оснований классической математики
Проблемы основания математики имеют обширную библиографию,
поэтому для удобства анализа парадоксов математики основные ссылки будем делать на четыре источника [1, 47, 130, 137], где есть широкая и подробная библиография.
Рассматривая интеграционную механику, мы уделили много внимания
влиянию особенности объекта на методику его исследования. Простые примеры из арифметики:
1) «смешав 1 л спирта с 1 л воды, мы получим 1,8 л спиртовой смеси»
[47, с. 110], т. е. 1+1=2;
2) «футбольная арифметика»: определение числа забитых и пропущен-
ных мячей в двух матчах (первый — 1:2; второй — 2:3,вцелом—3:6);
сложение дробей в «футбольной арифметике» отличается от классического.
Два этих веселых примера психологически готовят нас к пониманию
парадоксов математики. Очень важно понимать, откуда и как возникла
классическая математика.
Данный параграф — не исследование по всей истории математики и ее
основам, поэтому отметим только фрагменты становления математики. Желающих глубже изучить эту проблему отсылаем к работам [1, 47, 130, 137].
Математика Пифагора привела к музыке сфер, к гармонии в природе
и к числу как основе гармонии.
Основателями математики были философы и разнообразно одаренные
люди. Б. Паскаль изобрел счетную машину, установил основные положения
теории вероятности, отвечая на просьбу азартного игрока в кости кавалера де Мере. Паскаль был популярным литератором. Б. Декарт, основатель
аналитической геометрии, был известным философом, искал общий метод
мышления, занимался географией, ботаникой, медициной.
Оригинально возникло дифференциальное и интегральное исчисление
у Г. Лейбница (философ, историк, математик, изобретатель счетной маши-
156 ГЛАВА 7
ны и идеи парового двигателя, лингвист, биолог, геолог, дипломат) как попытка найти универсальный язык, выражающий изменение и движение.
В истоках математики мы видим философский поиск общего мышле-
ния, опыт, эксперимент, число. Основания математики — это синтез математики, физики, философии.
Чтобы понять образно проблемы оснований математики, введем
несколько мышлений:
1. Мышление Пифагора («Все вещи суть числа»);
2. Мышление Лейбница (логику можно свести к числу);
3. Аксиоматическое мышление Гильберта;
4. Мышление Адамара (цель математической строгости в том, чтобы
санкционировать и узаконить завоевания интуиции; в основе математики
лежит здравый смысл и интуиция);
5. Мышление Рассела (математика есть математическая логика);
6. Мышление Вейля (математика — это вид умственной деятельности,
а не свод точных знаний; математика есть одна из естественных наук).
Чтобы не загромождать всю схему анализа оснований математики,
ограничимся тремя понятиями числа:
1) числа арифметические;
2) геделевское число, которое позволило сделать отражение математи-
ки в арифметику;
3) канторовские числа (трансфинитные ординальные числа) для оцен-
ки множества целых чисел.
Рассмотрим бифуркации, необходимые для понимания схемы основа-
ний математики:
1. Бифуркация Аристотеля (недоказуемая часть информации называ-
ется аксиомами, которые определяются посредством безошибочной интуиции; на основании аксиом дедуктивным методом строится наука);
2. Бифуркация Бернулли (различные аналитические выражения могут
порождать один и тот же ряд (1743) [47, с. 168]);
3. Бифуркация Гильберта (независимость неевклидовых геометрий от
физических явлений);
4. Бифуркация Раушенбаха (глаз человека видит дальние объекты по
геометрии Евклида, вблизи — по геометрии Лобачевского [132]);
5. Бифуркация Гаусса (геометрия есть движение).
Принятые понятия: типы мышления; бифуркации (по логике, аналити-
ческой математике и геометрии, которая взята как один из примеров для
7.2. О ПРОБЛЕМАХ ОСНОВАНИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ 157
Рис. 7.1
анализа оснований математики) — позволяют дать следующую схему оснований математики с позиции интеграционной математики (рис. 7.1). Имеем
три плоскости: чистая математика, реальная математика, физика и плоскость философская, где выделена философская бифуркация (единство логики, теории познания и диалектики). На схеме рисунка 7.1 пунктиром отмечена область, которая отнесена нами к интеграционной математике. На
схеме представлено:
1 — числа чистой математики;
2 — аксиоматика мышления Гильберта;
3 — геделевское число, используемое Геделем для доказательства не-
полноты аксиоматики;
158 ГЛАВА 7
4 — канторовские числа, используемые в теории множеств;
5 — абстрактные геометрии (топология);
6 — бифуркация Гильберта;
7 — бифуркация Аристотеля;
8 — геометрия реальной математики, включая неевклидовы геометрии
Лобачевского, Римана;
9 — арифметика реальной математики;
10 — мышление Лейбница;
11 — мышление Адамара;
12 — мышление Пифагора;
13 — доказательства Гильберта, что геометрия Евклида сводится к чис-
лу;
14 — бифуркация Раушенбаха, подход к синтезированной геометрии;
15 — синтезированная геометрия объекта;
16 — бифуркация Гаусса (геометрия есть движение);
17 — движение как часть физики;
18 — мышление Рассела (математика — это математическая логика);
19 — мышление Аристотеля (математика — часть физики);
20 — мышление Вейля (математика — одна из естественных наук).
В эпоху Пифагора (около 585–500 гг. до н. э.) математика рассмат-
ривалась как число, определяющее гармонию всей природы. В дальнейшем математика считалась частью физики. В эпоху Аристотеля (384–
322 гг. до н. э.) физика — главная наука о природе. Аристотель, находящийся
у истоков физики и философии, разрабатывает дедуктивный метод. Архимед (около 287–212 гг. до н. э.) теоремы математики доказывает с помощью
механики. Отрыв математики от физики начали Галилей и Ньютон. Р. Декарт (1596–1650), разрабатывая «правила ума», формулирует цель математики и связывает геометрию с математикой. Геометрия — наука об определении площади земельных участков — постепенно становится основой
математики. Еще в средние века алгебраические выражения решали с помощью геометрии. Гауссовский взгляд на геометрию как движение рассматривает ее как часть физики. Философия как объект исследования проявляется
во времена Аристотеля, и ее объектом является наука о мышлении. Недаром Джорж Буль (1815–1864) создает математическую логику в своем труде
«Исследование законов мышления». Саморазвитие философии в единстве
диалектики, теории познания и логики приводит к появлению математической логики Буля, канторовской теории множеств и многочисленных попыток Б. Расселя доказать замкнутость основ математики. Геделевская ариф-
7.2. О ПРОБЛЕМАХ ОСНОВАНИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ 159
метизация логики привела к доказательству неполноты классической логики. На нашей схеме видно, что бифуркация Аристотеля всегда включает
интуитивную часть в основании математики, поэтому знаменитая теорема Геделя появляется в данной схеме. Парадоксальное развитие геометрии
с бифуркациями Гильберта, Раушенбаха, Гаусса с доказательством Гильберта о сводимости геометрии Евклида к числу показывает саморазвитие
математического объекта (геометрия) и ее бифуркацию (геометрия одновременно и число, и движение и учитывает особенность объекта и независимость от физики). Математические споры между логистами (Рассел), интуитивистами (Кронекер, Пуанкаре), абстрактными формалистами (Гильберт)
об основаниях математики есть следствие бифуркационного процесса развития единой науки интеграционной математики как части интеграционной
механики.
Утверждение М. Клайна [47], что существует много математик, по на-
шему мнению, спорно. Есть много объектов математики, но математика —
это саморазвивающая наука, поэтому интеграционная математика всего
ближе к мышлению Вейля, считающего математику одной из естественных наук. «Математика — такая же экспериментальная наука, как и ньютоновская механика» — интереснейший вывод М. Клайна [47, с. 382] после
многолетнего анализа оснований математики.
Информационные пирамиды строятся не только в механике. Можно
рассмотреть поэзию как пирамиду, где грани — музыка, мысль, живопись,
а основание — страсть. Так рассматривает поэзию поэт Семён Липкин: «Поэзия — итог четырех слагаемых: музыки, мысли, живописи, страсти». Нами
слагаемые в поэзии заменены на грани пирамиды.
Особенно характерна парадоксальность искусства (огромная область
теории познания) при точных методах исследования [18]. Знаменитый
портрет Ермоловой, выполненный Серовым, поражает величием, художник
изобразил знаменитую актрису сразу с трех точек зрения (лицо с уровня
пола, фигура — с высоты глаз зрителя, шлейф платья — сверху). Облик
актрисы единый, а бифуркация перспективы блестящая [18].
Парадоксы в искусстве [18]: парадокс пространства (холст плоский,
а изображение трехмерное); парадокс времени (каждый возраст имеет свое
психологическое время); парадокс движения («Дискобол» Мирона, неподвижное движение, а разве метод Даламбера составления уравнений движения не есть неподвижное движение Мирона); парадокс присутствия (безмолвные звуки на картинах Левитана); парадокс цвета (колонный зал Дома
союзов ослепляет белизной, а стены окрашены в светло-желтый цвет, пла-
160 ГЛАВА 7
фон потолка — в синевато-серый; зал белый потому, что он не белый!);
парадокс симметрии (математик Генрих Вейль в качестве классического
примера симметрии привел статую молящегося мальчика, где у мальчика
одна нога слегка подогнута, другая выпрямлена, вся фигура слегка повернута в сторону, эти отличия Г. Вейль не заметил).
Примеры из художественного творчества показывают, что источники
парадоксов не только в нашей информационной пирамиде (в математике,
физике и философии), но и в самих объектах. Математик Г. Вейль [21] изучал проблемы симметрии в искусстве, поэтому он и определил математику
как одну из естественных наук.
7.3. Бифуркационная логика объекта
Системно-нелинейные задачи характерны для математики, поэтому
должна существовать и своеобразная бифуркационная логика. Саморазвитие математики связано с саморазвитием бифуркационной логики.
Цель бифуркационной логики — раскрытие единства теории познания,
диалектики и логики в конкретных объектах и саморазвитие этого единства.
Б. Рассел [47, с. 263] отмечает, что невозможно провести четкую границу,
слева от которой находилась бы логика, а справа — математика. Предшествующий анализ оснований математики показал, что все споры между
логизмом (Б. Рассел) и интуитивизмом (Р. Декарт, Б. Паскаль, Ж. Адамар,
А. Пуанкаре) оказались наивными, так как в логике через аксиомы всегда
есть интуитивизм, а последний без логики развития мысли и анализа результатов опыта имеет ограниченное значение.
Проанализировано саморазвитие оснований математики, физики и фи-
лософии — это сделано укрупненно, в цитатном стиле, — тем не менее
просматривается «болезнь» философии в геделевской знаменитой теореме.
Интеграционная механика в сжатом виде показывает саморазвитие ос-
нования единой науки (математики, физики, философии). Поэтому схема
интеграционной механики (информационная пирамида) является основой
для бифуркационной логики, а раскрытая ее схема, называемая прикладной философией объекта, является ее сутью. Каждая грань представляет
набор свободных нитей, имеющих:
а) поперечную жесткость нулевую, а на растяжение — бесконечную;
б) информация от объекта к вершине и обратно идет по нерастяжимым
линиям;
в) перемещение нити позволяет «зацепляться» с другими объектами;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]