Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная философия интеграционной механики
.pdf
5.2. ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 111
m(S0)
m(S
12,3
0)12,5
m(S
= C1· R
0)12,6
ВформулеC
Перейдем к безразмерным значениям ¯m(S
3
· (12 cos α0)−1· [−3 · (6 + 10 · sin2α0+35μ · cos2α0×
0
2
× sin
α0)+(2πi)2sin2α0· (2 + μ · cos2α0)] · 2πi;
= −C1· R
— параметр жесткости сечения проволоки.
1
C
1
C
3
C
5
2
· 0, 25(cos α0)−1· [4 + 15μ · sin2α0· cos2α0]2πi;
0
= C1· R
= δ(C1· R
= δ(C1· R
= δ(C1· R
2
· 0, 25μ · sin α0(cos2α0− 4sin2α0) · 2πi;
0
m(S
3
)−1·¯C1; C2= δ(C1· R
0
3
)−1·¯C3; C4= δ(C1· R
0
3
)−1·¯C5; C6= δ(C1· R
0
0)12,4
= −m(S0)
7,3
0)i,j
Система (5.37) будет иметь вид
где
¯m(S0)
j
¯
=¯f2=¯f3=¯f4=0,¯f5=cosα0,¯f6=sinα0.
f
1
·¯Cj=¯fi(i, j =1,...,6), (5.40)
i,j
Силовые параметры определяем в безразмерном виде:
3
Q
· R
χ
0
=¯C
· cos 2πi +¯C2· sin α · sin 2πi +¯C3(− cos α) · sin 2πi;
δEJ
Q
ξ
δEJ
Q
ρ
δEJ
· R
· R
1
3
0
=¯C
(− sin α · sin 2πi)+¯C2(cos2α +sin2α · cos 2πi)+
1
+¯C
· sin α · cos α · (1 − cos 2πi);
3
3
0
M
δG · J
+¯C
+¯C
cos α · sin 2πi +¯C2· sin α · cos α · (1 − cos 2πi)+
=¯C
1
+¯C
(sin2α +cos2α · cos 2πi);
3
2
· R
χ
0
=(1+μ)
p
· (cos α · sin 2πi +sinα · tg α · 2πi · cos 2πi)+
2
+¯C
· (sin α · sin 2πi − sin α2πi · cos 2πi)+
3
· cos 2πi +¯C5sin α · sin 2πi −¯C6cos α · sin 2πi];
4
2
cos
cos2α
α
0
[−¯C
· tg α · 2πi · sin 2πi+
1
и¯Fj,тогда
3
)−1·¯C2;
0
3
)−1·¯C4;
0
3
)−1·¯C6.
0
(5.39)
112 ГЛАВА 5
2
Mξ· R
0
δG · J
=(1+μ)
p
M
δG·J
+2πi[cos 2πi ·¯C
+cos2πi[−¯C
+¯C
[sin 2α(1 − cos 2πi)+sin2α · tg α · 2πi · sin 2πi]+
−¯C
2
+¯C
+¯C
4
2
·R
ρ
0
p
(1 − 2sin2α)+¯C3sin 2α +¯C5· 0, 5 · sin 2α +¯C6sin2α};
2
2
α
cos
0
[cos α · sin 2πi +tgα · sin α · 2πi · cos 2πi]−
{−¯C
cos2α
[sin 2α(1 − cos 2πi)+sin2α · 2πi · sin 2πi]+
3
1
· [− sin α · sin 2πi]+¯C5[cos2α +sin2α · cos 2πi]+
+¯C
[sin α· cos α·(1− cos 2πi)]};
6
2
α
cos
0
=(1+μ)
sin α +sin2πi · (−¯C3sin α · cos α +¯C2sin2α)]+
1
(1−2sin2α)−¯C3sin 2α−¯C5·0,5sin2α+¯C6cos2α]+
2
sin α =sinα
cos2α
{sin 2πi(−¯C
(1 − m),
0
sin α +¯C4cos α)+
1
m — степень сжатия.
Рассмотрим формирование опорных витков пружины как статическую
задачу с симметричными краевыми условиями:
S =0: ϕ = U =0; γ = ±ψ; θ = β; V =
S = S
: ϕ = U =0;γ = ±ψ; θ = β; V = −
0
δ
cos α; W =
2
δ
cos α; W = −
2
δ
2
sin α;
δ
2
sin α.
Нормируемость решения позволяет получить исходные уравнения для
определения постоянных¯C
часть f
f
2
f
3
имеет вид
i
= −
β · R
=
δ
= −
f
4
f
= −
1
β · R
δ
β · tg α
+
β · R
· sin α
· cos α
δ
(±ϕ) · R
δ
δ
· sin 2πi +
0
0
(i =1...6) по уравнению (5.40), где правая
i
±ψ · R
δ
δ
±ψ · R
δ
· sin α
· (1 + sin
· cos α
0
2
· sin 2πi;
0
· cos α0· (1 − cos 2πi);
α0+cos2α0· cos 2πi);
· cos 2πi);
0
· (1 − cos 2πi) −
· sin 2πi +
0
±ψ · R
· 2πi · sin 2πi +0, 5 · sin 2πi · sin(α0− α)+
· R
0
· (sin α · sin 2πi − 2πi · sin α
5.2. ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 113
2
f5= −
+0,5[cos α
(±ϕ) · R
+
f
6
+0, 5[sin α
(±ϕ) · R
+
δ
Положим
β · R
0
· [cos α
δ
· cos(α0− α)+cos2πi · sin α0· sin(α0− α) · cos α]+
0
[cos 2α
δ
β · R
=
0
[sin α
δ
· cos(α0− α) − cos α0· sin(α0− α) · cos 2πi · sin α]+
[sin 2α
0
· sin 2πi +2πi
0
· (1 − cos 2πi)+2πi · sin2α0· sin 2πi];
0
· sin 2πi +2πi · sin α0· cos 2πi]+
0
(1 − cos 2πi) − 2πi · sin α0× cos α0sin 2πi].
β · R
δ
0
=
β
m · 2πi · tg α
sin
cos α
0
α
0
· cos 2πi]+
.
По аналогии с (5.35) можно рассмотреть разнообразные геометрические краевые условия. В опорной работе [155] для каждого вида краевых
условий решение получалось заново, с разложением самого искомого решения и краевых условий в ряд по малому параметру, а в работе [154] прямо
утверждается о затруднении применения вычислительной техники в связи
с плохой обусловленностью решения.
Физическое понимание процесса пространственного искажения проведем по простейшей методике (всего разработано четыре методики [80]).
На рисунках 5.5 и 5.6 представлены графики изменения силовых пара-
◦
метров вдоль винтовой линии пружины при i =3, α =6
, m =0.Модуль
вектора силы остается постоянным. Значение крутящего момента по общепринятой методике (нанесено штрихпунктирной линией) определяется по
известной формуле Рело:
2
M
δGJ
· R
ρ
cos α
0
=
p
0
. (5.41)
2πi
p
Эквивалентное напряжение на рисунке 5.6 определяется по энергети-
ческой теории прочности
σ
и дано в виде отношения σ · σ
¯
M
σ
σ
экв
· 2πi
ρ
=
cos α
0
∗
=(σ2+3τ2)
−1
,где
ст
3+4
·
¯
M
χ
¯
M
ρ
3+4· tg
1/2
2
+
2
2
¯
M
ξ
¯
M
ρ
1/2
α
0
. (5.42)
1/2
114 ГЛАВА 5
Рис. 5.5. Нелинейная статика
Эффект изменения жесткости всей пружины, определяемой по стандартной методике, незначительный. В интегральном смысле эффект пространственного искажения и не замечался инженерами, но при использовании тензометрической аппаратуры этот эффект легко фиксируется.
5.2. ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 115
Рис. 5.6. Изменение силовых параметров по винтовой линии пружины
5.2.6. Управление эффектом пространственного искажения по длине
пружины
Как отмечалось ранее, пространственное искажение «прячется» вовнутрь при определении интегральной жесткости пружины, поэтому длительное время игнорируется в фундаментальной научной литературе [127,
128]. Постараемся сформировать краевые условия так, чтобы зависимость
неравномерности распределения крутящего момента по винтовой линии
116 ГЛАВА 5
пружины «вывернулась» по сравнению с графиком на рисунке 5.6. По основной (по четвертой [80]) методике на рисунке 5.7, показано влияние угла
β на неравномерность распределения μ
эффект «выворачивания» кривой на рисунке 5.7. При β =1
по длине пружины. Наблюдается
ρ
◦
наблюдается
условие равнопрочности. Предложение о создании искусственного наклона
опорных поверхностей для снижения неравномерности касательных напряжений дано в [152].
Рис. 5.7. Изменение распределения Mρпо винтовой линии пружины по второй
методике и при различном значении β (6
◦
, 3◦, 1◦)
По предлагаемой методике просто проанализировать и другие варианты выполнения условий заделки опорных витков. Из анализа предыдущих
расчетов можно отметить, что практическое оформление параллельных торцов в пружине всегда приводит к неравномерности M
по винтовой линии
ρ
пружины.
Итак, можно подобрать краевые условия для уничтожения эффекта неравномерности напряженного состояния по длине пружины. Можно
и оставить данный эффект, но управлять им. Внешнее нагружение будем
использовать для уничтожения эффекта. Это действительно легко организовать в пружинных подвесках железнодорожных вагонов, в подвесках автомобиля. При разборке и сборке пружинных механизмов необходимо менять концы пружины, что позволит повысить ее долговечность, так как
реальные зоны максимальных напряжений будут отличаться. Возможность
дожатия пружины используем в теории удара пружин с инерционным соударением витков.
5.3. ВТОРОЙ УРОВЕНЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 117
Ранее в теории пространственных колебаний начало координат для
жесткой заделки было помещено в середину пружины, что позволило получить два независимых граничных уравнений и избежать эффекта «поцелуйчика». В статике начало координат расположено в начале пружины.
В математическом решении не закладывается симметричность решения относительно середины винтового тонкого бруса (пружины), но физически и численно это обязательно должно быть реализовано. Это обеспечивает быструю проверку правильности решения задачи и существенно
ускорило отладку программ.
5.3. Второй уровень взаимосвязанных нелинейных задач.
Синтезированная теория устойчивости винтового
тонкого бруса
Динамический анализ задач устойчивости является логическим следствием теории пространственных колебаний. Полученные таким образом
виды потери устойчивости относятся к первому уровню нелинейных задач.
Отдельно задача устойчивости не рассматривалась в первом уровне нелинейных задач.
Задачи второго уровня представляют синтез каких либо граней единой
физики объекта, в том числе физические явления, проявляющиеся при изготовлении и эксплуатации. В синтезированную теорию устойчивости входят
и задачи устойчивости механизмов, но их целесообразнее отнести к третьему уровню взаимосвязанных нелинейных задач, где имеет место многофакторное влияние физических явлений, а так же использование реального компакта прикладной философии (прикладная философия на основании
единства всех законов диалектики, элементов диалогики, эффективных методов технического творчества).
Синтезированную теорию устойчивости винтового тонкого бруса рассмотрим в несколько сокращенном виде, в более полном виде эта теория
дана в монографии [121]. Это связано с желанием автора показать формирование сложных видов потери устойчивости. Особенность синтезированной
теории устойчивости в том, что она используется в оценке предельных параметров нагружения механизмов, а это по нашей классификации — задача
третьего уровня нелинейных задач.
Первый вариант системной классификации видов потери устойчивости
[80, 81, 97, 98] представлен схематично на рисунке 5.8. За потерю упругой
устойчивости принято отклонение геометрии тонкого винтового бруса от
118 ГЛАВА 5
первоначальной формы, возникающее при динамическом и статистическом
нагружении, в процессе изготовления и в результате длительной эксплуатации.
Рис. 5.8
Первая группа — общепринятое понятие упругой потери устойчивости,
где определяются точки бифуркации уравнения упругой потери устойчивости:
1 — эйлеровская потеря продольной устойчивости тонкого винтового
бруса [147];
2 — эйлеровская продольная потеря устойчивости одного витка, но это
уже местная потеря устойчивости;
3 — местный вид потери упругой устойчивости витка тонкого винтового бруса с начальным межвитковым давлением [93], проявляется в складывании витков;
5.3. ВТОРОЙ УРОВЕНЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 119
4 — местный вид потери упругой устойчивости тонкого винтового бруса с начальным межвитковым давлением [35, 36], проявляющийся в перекосе витков;
Из четырех видов потери устойчивости в первой группе два вида получены в рамках разработки интеграционной механики (виды 2, 3). По первому виду получены существенные уточнения, в частности обнаружены два
уравнения продольной устойчивости, отличающиеся от общепринятого решения [147].
Вторая группа — неклассические виды упругой потери устойчивости:
5 — искажение винтовой линии при сжатии коротких цилиндрических
пружин, когда исчезает эффект бочкообразности и в дальнейшем появляется [80];
6 — искажение винтовой линии при растяжении, предсказывается теоретически [80];
7 — пространственное искажение винтовой линии бруса при статистическом сжатии [80, 121], приводящее к определенным зонам поломок.
Ранее пространственное искажение винтовой линии не рассматривалось с позиции потери упругой устойчивости [80, 81], данное искажение
винтовой линии выделено в особый вид потери устойчивости.
Пятый вид — искажение формы коротких пружин при сжатии — требует дополнительной экспериментальной проверки.
Третья группа — синтезированные виды упругой потери устойчивости,
объединение решений первой группы, когда определяются предельные параметры точек бифуркации, с физической возможностью их проявления за
счет пространственного искажения винтовой линии при несвободном сжатии:
8 — эйлеровская потеря устойчивости винтового бруса с соприкосновением витков за счет возможного дожатия после соприкосновения [80];
9 — осадка витков при сжатии с соприкосновением витков [103, 104];
10 — выскальзывание витка при сжатии с соприкосновением витков [80, 81], этот вид экспериментально выявлен при ударном нагружении
с инерционным соударением витков.
Проявление всех трех видов упругой потери устойчивости можно избежать, если создать условие равнопрочности по длине пружины.
Четвертая группа — проявление видов потери устойчивости первой
и второй группы при изготовлении и эксплуатации винтового тонкого бруса:
120 ГЛАВА 5
11 — изменение шага винтового тонкого бруса, образование зон сгущения витков в местах изгиба винтового тонкого бруса, установленного
на оправку; наблюдался этот эффект при ударном нагружении винтового
тонкого бруса;
12 — формирование межвиткового давления у одновиткового бруса,
т. е. кольца, такое, что снимается технологическая операция шлифования
кольца [65];
13 — возрастание высоты винтовой пружины вследствие нестабильного заневоливания, являющегося результатом пространственного искажения
винтовой линии пружины [80]. Второй вариант объяснения этого эффекта —
запоминание первоначальной формы (С. С. Гаврюшин).
14 — снятие пространственного искажения за счет изготовления пружин с непараллельными торцами.
Необходимо отметить два известных аналитических вида потери
устойчивости, которые не введены в системную классификацию упругой
потери устойчивости винтового тонкого бруса (цилиндрическая винтовая
пружина). Этот вид потери устойчивости пружины сжатия со специфическим поперечным сечением [148], который проявляется по Н. А. Чернышеву
только при условии жесткой заделки. В предложенной классификации этот
местный вид потери устойчивости сечения витка при сжатии, но без образования межвиткового давления. Условно его отнесем (вид 14) в первую
группу, так как необходима экспериментальная проверка. По Н. А. Чернышеву это общая потеря устойчивости, т. к. зависит от краевых условий,
а по предложенной теории — это местная потеря устойчивости сечения
витка специального профиля. Аналогично условным видом по предлагаемой классификации необходимо отнести вид потери устойчивости пружины, обнаруженный И. И. Губановой [30]. Пружина, сжатая до соприкосновения витков, при определенной критической силе резким скачком (перескок) пружина теряет эйлеровскую потерю устойчивости. Для реализации
этого вида потери устойчивости необходимы условия шарнирной заделки
по теоретическим предпосылкам работы [30]. В предложенной классификации аналогом является вид потери 8, где происходит эйлеровская потеря
устойчивости при существенной величине пространственного искажения
винтовой линии пружины. Необходимы экспериментальные исследования
этого интересного вида потери устойчивости.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]