Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная философия интеграционной механики
.pdf
5.2. ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 91
5.2. Первый уровень взаимосвязанных нелинейных задач
5.2.1. О приемах творчества в задаче взаимосвязанных
пространственных колебаний винтового тонкого бруса
Рассмотрим приемы творчества, использованные при создании теории
пространственных колебаний винтового тонкого бруса. Учет особенности
объекта. Первая задача — убрать нелинейности в исходной постановке задачи. Можно записать уравнения в неподвижной системе или в подвижной
системе координат. В последнем случае число нелинейностей значительно
уменьшается. Это общепринятый прием, поэтому отличие числа нелинейности при неподвижной системе координат и подвижной системе координат
даже не подсчитываем. Итак, приняли подвижную систему координат, что
привело к уменьшению числа нелинейностей, но это число уменьшенных
нелинейностей нам неизвестно.
Следующая особенность в исходных уравнениях: уравнения Кирхгофа–Клебша представлены двенадцатью дифференциальными уравнениями
и тремя алгебраическими зависимостями. Классические уравнения пространственного бруса описываются шестью уравнениями равновесия:
∗
∂Q
∂s
∂Q
∂s
∂Q
∂s
χ
∗Q∗
∗Q∗
∗Q∗
− r∗Q
ρ
− r∗Q
χ
− r∗Q
χ
+ q
∗
ξ
+ q
∗
ρ
+ q
∗
ξ
∗
ρ
∗
ξ
= a
= a
= a
1
2
3
∂2u
∂t
∂2v
∂t
∂2w
∂t
,
2
,
2
,
2
где все величины со звездочками обозначают конечные значения сил, моментов, главных компонентов кривизны и кручения. Кроме уравнений равновесия Кирхгофа–Клебша необходимы три уравнения, определяющие зависимость углов вращения недеформированного состояния малого элемента от перемещений:
∂v
∂w
∂s
∂ϕ
∂s
+ r
u − p0w; ϕ =
0
∂s
− q
u + p0v; δp =
0
+ r
θ − p0γ; δr =
0
θ = −
0=
δq =
∂M
∂s
∂M
∂s
∂M
∂s
χ
ξ
ρ
∗
∗
∗
− Q
+ Q
− q
∗
− r∗M
ξ
∗
+ r∗M
χ
∗M∗
+ p∗M
χ
∂u
∂s
∂θ
∂s
∂γ
∂s
− r
− r
− q
∗
+ q∗M
ξ
∗
− p∗M
χ
∗
ξ
v + q0w;
0
ϕ + q0γ;
0
θ + p0ϕ.
0
= a
∗
ρ
ρ
6
∗
∂2γ
= a
= a
∂t
∂2θ
;
4
2
∂t
∂2ϕ
5
2
∂t
,
2
(5.1)
(5.2)
;
92 ГЛАВА 5
Чтобы связать силовые параметры с приращениями кривизны и кручения, применяется гипотеза Бернулли–Эйлера:
−1
· Mξ; δp = B
ξ
−1
· Mχ, (5.3)
χ
где B
−1
δr = C
и Bχ— соответственно жесткость при изгибе относительно осей ξ
ξ
· Mρ; δq = B
и χ, C — жесткость при кручении.
Рис. 5.1
Система из трех групп уравнений (5.1), (5.2), (5.3) использовалась в работах [80, 81, 101]. В компактном матричном виде эта система представлена
в [80]:
ρ — направление касательной к геометрической оси центров тяжести сечений тонкого стержня;
χ — направление нормали;
ξ — направление бинормали (рис. 5.1).
∂Y
i
+ |A|·Y
∂s
∂X
i
∂s
где Y
∂2X
=a
i
−|B|·X
= Qχ; Y2= Qξ; Y3= Qρ;
1
Y
= Mχ; Y5= Mξ; Y6= Mρ;
4
X
= u; X2= v; X3= w;
1
X
= θ; X5= ϕ; X6= γ.
4
=
i
i
i
2
∂t
Y
i
; i =(1, 2,...6),
H
i
(5.4)
(5.5)
5.2. ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 93
Матрица A включает в себя главные компоненты кривизны и кручения
деформированного состояния:
где r = r
+ δr; q = q0+ δq; p = p0+ δp; p0, q0, r0— кривизны и кручения
0
0 −rq 000
r 0 −p 00 0
−qp 0000
A =
0 −10 0−rq
100r 0 −p
000−qp 0
, (5.6)
недеформированного состояния,
cos α
sin α
0
r
=
0
α
— угол подъема винтовой линии тонкого бруса при недеформированном
0
состоянии;
где D
— средний диаметр винтового тонкого бруса.
0
R
0
R
0
0
,q0=
=0,5D0,
cos α
R
2
0
,
0
Матрица B является транспонированной матрицей A,гдеглавныекомпоненты кривизны и кручение соответствуют недеформированному состоянию:
B =
0 r
−r
0
q
0
0000r
000−r00 p
000q0−p00
−q0010
0
0 p0−10 0
−p0000 0
0
. (5.7)
−q
0
0
5.2.2. Математическое единство основных физических задач
винтового тонкого бруса
Поиск математического единства последовательной цепочки основных
физических задач (рис. 5.2) целесообразно вести в матричном исчислении.
В теории винтового тонкого бруса (технический аналог цилиндрических
пружин) выбор матричного исчисления как основного для модульных задач
был наиболее важным и трудным. Для нелинейных задач построить фундаментальную матрицу решения нельзя, но для системы дифференциальных
уравнений с «замороженными» коэффициентами это сделать можно.
Для решения системы (5.4) надо преодолевать несколько видов нелинейности. Если бы исходные уравнения пространственного бруса были бы
94 ГЛАВА 5
Рис. 5.2
записаны в неподвижной системе координат [29], то пришлось бы преодолевать дополнительные математические нелинейности.
Учтем особенность цилиндрической пружины (типовой прием системного анализа — учет особенности объекта) наличие больших перемещений
при малых деформациях пружины. Поэтому исходные уравнения равновесия сил и моментов можно линеаризовать по известной методике [141, 146]:
∗
= Q
Q
χ
∗
= Q
Q
ρ
∗
= Q
Q
ξ
+ Qχ,M
χ
0
+ Qρ,M
ρ
0
+ Qξ,M
ξ
0
∗
χ
∗
ρ
∗
ξ
= M
= M
= M
χ
0
ρ
0
ξ
0
+ Mχ,
+ Mρ,
+ Mξ.
(5.8)
Учтем физику колебания как движение около статического равновесия,
поэтому выполняются условия
∂Q
∂s
∂Q
χ
0
=
∂s
∂Q
ρ
0
=
∂s
∂M
ξ
0
=
∂s
∂M
χ
0
=
∂s
∂M
ρ
0
ξ
=
0
=0. (5.9)
∂s
Влиянием сдвиговой деформации и инерционных членов, учитывающих вращения элемента пружины, пока пренебрежем.
Математически это приводит к выражениям a
= C
= C6=0. С учетом этого исходные уравнения (5.1) можно записать
5
= a6= a5=0и C4=
4
как
∂Q
∂S
χ
+ q
0Qρ
+ δqQ
∂Q
∂S
= a
∂Q
∂S
= a
− (r0Qξ+ δrQ
ρ
0
ξ
∂2V
2
ρ
∂2W
3
+ r
∂t
− (q
∂t
+ δrQ
0Qχ
− δrQχ+ δρQρ− r0Q
2
+ δqQ
0Qχ
− δρQξ+ δqQχ− ρ0Q
2
ξ
0
− (ρ0Qρ+ δρQ
χ
0
)+ρ0Qξ+ δρQ
χ
0
)=a
∂2U
− δqQρ+ δrQξ;
1
2
∂t
ρ
0
+ ρ0Q
χ
0
ξ
+ q0Q
ξ
0
)=
ρ
=
0
χ
;
0
;
0
(5.10)
5.2. ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 95
∂M
χ
− Q
∂S
+ q0Mρ+ δqM
ξ
∂M
ξ
+ Q
∂S
= −δrM
∂M
ρ
− (q
∂S
+ r0Mχ+ δrM
χ
+ δρMρ− r0M
χ
0Mχ
− (r0Mξ+ δrM
ρ
0
χ
0
χ
+ δqM
)+ρ0Mξ+ δρM
χ
0
)=−δρMρ+ δrMξ;
ξ
0
− (ρ0Mρ+ δρM
+ ρ0M
0
− Q
ρ
0
ξ
)=
ρ
0
;
χ
0
=
0
(5.11)
= −δρM
+ δqMχ− ρ0M
ξ
+ q0M
ξ
0
.
χ
0
В системе (5.10)–(5.11) учтены следующие геометрические соотношения [146]:
q
0Qρ
− r0Q
0
=0; q0M
ζ
0
ρ
0
− r0M
ζ
0
− Q
=0. (5.12)
ζ
0
В уравнениях (5.10)–(5.11) нелинейности существуют как в правой, так
и в левой частях. Существенно упрощает систему ограничение рассматриваемой задачи цилиндрической формой пружины
p
0
= M
= Q
χ
0
=0. (5.13)
χ
0
и круглого поперечного сечения витка.
Исходная система уравнений равновесия для цилиндрических пружин
будет следующая:
∂Q
∂S
∂Q
∂S
∂Q
∂S
∂M
∂S
∂M
∂S
∂M
∂S
χ
+ q
ξ
+ r
ρ
− q
χ
− Q
ξ
+ Q
ρ
− q
− r0Qξ+ δqQ
0Qρ
− δp · Q
0Qχ
+ δp · Q
0Qχ
+ q0Mρ+ δqM
ξ
+ r0Mχ− δpM
χ
+ δpM
0Mχ
− δrQ
ρ
0
∂2V
= a
ρ
2
0
∂2W
= a
ξ
3
0
− r0Mξ− δrM
ρ
0
ρ
0
=0.
ξ
0
2
∂t
2
∂t
=0;
ξ
;
;
0
= a
1
∂2U
∂t
ξ
0
;
2
=0;
(5.14)
96 ГЛАВА 5
Уравнения (5.14) и (5.15) упрощены за счет:
• геометрических соотношений (5.16),
• цилиндрической формы пружины (5.17),
• круглого поперечного сечения витка.
Это позволило упростить уравнения (5.14) и (5.15) на 28 нелинейных
членов. Все математические упрощения не повлияли на физическую природу винтового деформированного бруса.
В уравнениях равновесия (5.14) учтем соотношения Бернулли (5.3).
Это позволяет записать уравнения равновесия (5.14) и обе группы геометрических соотношений теории упругой линии пространственных стержней (5.2) после разделения переменных по S и t как систему:
∂Y
i
∂S
+ |A|·Y
¨
T + ω
=0; (5.15)
i
2
T =0, (5.16)
где
= Qξ; Y2= Mχ; Y3= Mρ; Y4= θ;
Y
1
= γ; Y6= V ; Y7= Qχ; Y8= Qρ;
Y
5
= Mξ; Y10= ϕ; Y11= U; Y12= W,
Y
9
0 −C
−10 q
0 −q
0 −C
00 −C
00 01000000r
A =
−r
0 C
0 r
00 0r
00 000−r
00 00000000−q00
0
1Qξ
1Qρ
0
1
000aw2r000 000
0
3
0000000000
00q0000 0−r000
0 −C3Q
0000−q100 00aw
0
1
0000100000
000 00−r2000
−q000 00 0 0 0
3
000 0q0C2Q
ξ
0
00 00−C2000
0
00 0 −10 q
0
0 aw20
ρ
0
0
0
2
0
(5.17)
= q0− C1M
q
1
r
= r0− C1M
1
; q3= q0− C3M
ξ
0
; r2= r0− C2M
ρ
0
;
ξ
0
.
ρ
0
5.2. ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 97
Математическая громоздкость матричного исчисления для исследования пространственных колебаний компенсируется возможностью анализа
с использованием характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение системы (5.15)
det |A + λE| =0
удобнее записать в безразмерном виде, для чего внесем радиус в определяемые корни λ, освободимся от мнимости корней и учтем выражения типа
(для круглого сечения витка)
a
w2C2=w · p
1
2
−1
·4(1+μ) · R4· i
0
−1
2
,
а также введем безразмерную величину поджатия
m = Q
ξ
0
· R
2
0
· C3· q0· r
−1
. (5.18)
0
Ввод относительного поджатия m в виде (5.18) позволяет учитывать
большие перемещения при статическом нагружении. Математически это
нелинейная задача, определяемая выражением типа
sin α =sinα
· (1 + m) .
0
Ввод в исходную матрицу информации в недеформированном состоянии позволяет одновременно с анализом колебаний исследовать и единую
трактовку различных видов упругой устойчивости.
Характеристическое уравнение в неявном виде следующее:
w (2ip
0
4
−1
)
· d0−w (2ip0)
d
0,d1,d2
2
−1
· d1+ d2=0, (5.19)
= f (m, α, α0,μ) ,
где m — относительное поджатие, μ — коэффициент Пуассона.
Динамический метод (необходимо собственную частоту положить равной нулю) позволяет получить единое уравнение для различных видов
упругой потери устойчивости
=0. (5.20)
d
2
Из уравнения (2.20), полагая m =0, должно получиться характеристи-
ческое уравнение задачи статики, где так же необходимо положить m =0.
98 ГЛАВА 5
Статическая задача обладает нелинейностью в исходных уравнениях
равновесия.
Систему (5.4) для описания статики тонкого винтового бруса запишем
0
= H
;
−1
ξ
= H
−1
ρ
=0,
;
ввидеa
где
= a2= a3= a4= a5= a6=0;H
1
d¯Y
+ A¯Y =0, (5.21)
dS
B 00 0
DB 00
A =
0 NB
00DB
; D =
0 −10
100
000
B =
−q 00
0 −rq
r 00
−1
χ
0
0
N =
Y
Y
Y
−C
1
2
3
00
1
0 −C
2
00−C
= Qχ; Y4= Mχ; Y7= θ; Y10= U ;
= Qξ; Y5= Mξ; Y8= ϕ; Y11= V ;
= Qρ; Y6= Mρ; Y9= γ; Y12= W.
0
; B
3
0 −r
r
=
−q
0
0
0
0q0
00
00
,
Параметры q и r связаны нелинейно с углом α (угол винтовой линии
деформированного состояния). Первые шесть уравнений (5.21) — это уравнения равновесия сил и моментов — не зависят от последующих шести
уравнений, описывающих геометрию деформированного бруса. Итак, все
три основные задачи интеграционной механики объекта (тонкий винтовой
брус) являются нелинейными задачами.
5.2.3. Единая теория пространственных колебаний тонкого винтового
бруса на основе порождающего решения
В случае свободного движения абсолютно твердого тела оно может
перемещаться линейно и вращаться. В деформируемом теле этому соответствует две волны деформации: волна расширения и волна сдвига. Логично
5.2. ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 99
предполагать, что на основе только двух волн деформации можно рассмотреть все виды колебания тонкого винтового бруса (продольные, крутильные, поперечные, высокие серии поперечных колебаний). Такая постановка поиска единой теории взаимосвязанных колебаний находится в соответствии с классической теорией упругости [56], а также с предельными параметрами волн деформаций при рассмотрении поперечных колебаний по
балке Тимошенко [139]. Результат С. П. Тимошенко получен из анализа поперечных колебаний балок. Следовательно, в нашей постановке явного места поперечным колебаниям не находится. В длинной пружине поперечная
составляющая пространственных колебаний существенней, чем в короткой.
Расчеты целесообразнее выполнять в безразмерном виде, поэтому
необходимо выделить опорную информацию для построения решения. Безмерная частота ищется в виде
−1
,
ω · p
0
где p
— основная частота продольных колебаний по модели эквивалентно-
0
го бруса.
Крутильные колебания по модели эквивалентного бруса
p
= n · (1 + μ)
p
0
0,5
.
Первый этап подготовки к поиску единой теории пространственных
колебаний завершен — найдены соотношения собственных частот крутильных и поперечных колебаний через основную частоту продольных колебаний.
Краевые условия, определяющие синусоидальную форму колебаний,
(0) = γ(0) = V (0) = Mχ(S0)=γ(S0)=V (S0)=0, (5.22)
M
χ
Q
(0) = ϕ(0) = W(0) = Qχ(S0)=ϕ(S0)=W (S0)=0 (5.23)
χ
позволяют получить граничное уравнение в диапазоне, где характеристическое уравнение (после освобождения корней от мнимости) имеет четыре
действительных и два комплексно-сопряженных корня, следующее
4
sin biS0·|A6| =0, (5.24)
i=1
100 ГЛАВА 5
где A6— определитель, составленный из элементов фундаментальной матрицы решения в соответствии с условием (5.24), из которого вынесены решения sin b
iS0
.
Создание единой теории пространственных колебаний целесообразнее
проводить на приведенных идеальных краевых условиях, дающих идеальной граничное уравнение, которое необычайно полюбилось математикам
и инженерам:
· S10= π · n.
k
i
Отличие sin b
безразмерная величина. Аналогично S
размерная величина. Радиус R внесен в b
от sin kiS10,втом,чтоbiразмерная величина, а ki—
iS0
— размерная величина, а S10—без-
0
.
i
Строго аналитически теория взаимосвязанных колебаний тонкого винтового бруса выполняется только для круглого сечения витка, но для качественного анализа влияния поперечного сечения витка на распределение
частотного спектра, общий вид характеристического уравнения предполагает любое поперечное сечение:
ω
2ip
0
a =(C
×[− sin
× (sin α· cos α − C
× cos
)2·C12·k2+ C32· cos4α + C12· cos2α + f·k2+cos4α;
23
b = C
2
2
− sin
α cos2)] + (−C13)·f(k2+cos4α)·(−k2+cos4α − sin2×
2
)+[−k2+(cos2α + f)·(cos2α + C13·f)]·(−k4− 3k2· cos2α ×
2
α +cos6α)+sinα·cos α(sin α· cos α − C13·d)·[−3k2×
× sin
×(cos
+ d(cos
−
2
·k
23
2
k
α· cos2α3k +cos4α− (cos4α − k2)2+sinα·cos α ×
·d) ·(−3k2− cos2α)+C23·f(−k2+cos4α −
23
4
α − k2) − k2(cos4α − cos2α· sin2α)+cos6α]+
2
α + C13·f +cos2α·C13) ·2· sin α· cos α·(cos4α − k2)};
2ip
ω
0
2
·b + N =0;
4
·a −
·C12+ C32· cos2αcos2α + f·C
×
13
(5.25)
4
N = k
·(cos2α − k2)2·{d[cos2α(1 + C13) ·2· sin α · cos α − (cos2α − k2)×
× sin α· cos α(C
+fd[2 sin α · cos α ·C
23+C13
)+f[−(C13+ C23)·(−k2+cos4α− sin2α· cos2α)+
− C13·C23· sin α − C23·C13]+
13
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]