Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная философия интеграционной механики
.pdf
2.4. МНОГОКРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОГО ПРИЕМА 41
Относительную деформацию запишем через производную:
du
∂u
=
dx
= ε. (2.9)
∂x
В формуле (2.9) явно просматривается прием сжатия информации, вместо
двух величин du и dx переходим к одной
∂u
∂x
.
Закон Гука — закон линейного изменения силы относительно перемещения, закон линейного изменения напряжения относительно деформации
(рис. 2.5 и 2.6). Роберт Гук — автор более 500 открытий, но чаще всего его
имя вспоминают только по предложенному данному закону и дискуссии по
закону всемирного тяготения с И. Ньютоном.
Рис. 2.6
На рисунке 2.6 введено понятие напряжения:
∂u
σ = E ·
∂x
.
Зависимость силы от напряжения:
N = σ · F,
где F — площадь поперечного сечения.
Линейная зависимость изменения упругой силы N :
∂N
dN =
∂x
dx.
Волновое уравнение приводится к виду
∂N
dx = ρF dx
∂x
2
∂
∂t
N
, (2.10)
2
42 ГЛАВА 2
где еще присутствует линейный размер dx, но сокращая на dx,мынеуточ-
няем, какими малыми параметрами характеризуется выделенный элемент.
Итак, при постоянстве FE, получаем
EF
∂
∂x
2
u
2
= ρF
∂
∂t
2
u
.
2
Сокращая на F , получим выражение (2.8). Очень интересно сосчитать,
сколько раз применялась линейная зависимость при выводе волнового уравнения (2.8).
Рассмотрим аналогию продольных и крутильных колебаний прямых
балок, что позволяет сопоставить эти колебания и дать оценку нелинейным колебаниям пространственного винтового тонкого бруса, которые будут рассмотрены в пятой главе. Свободные продольные колебания стержня
(балки) описываются волновым уравнением:
2
u
∂
=
2
, (2.11)
2
∂t
где u = u(x, t), a
∂2u
2
a
1
∂x
2
= E · ρ−1, a1— скорость распространения продольной
1
деформации. Вывод уравнения (2.11) нами уже дан.
Для крутильных колебаний математическая запись аналогична:
∂2ϕ
2
a
1
∂x
2
где a
= G· ρ−1, a2— скорость распространения крутильной волны дефор-
2
2
ϕ
∂
=
2
∂t
2
(2.12)
мации.
Волны в деформируемом теле двух видов: бегущие и стоячие. Для
исследования решения волнового уравнения с целью анализа бегущих волн
применяется метод разрывных функций (метод Даламбера):
U = f(x − at)+ϕ(x + at), (2.13)
где f(x − at) —прямаяволна,ϕ(x + at) — обратная волна.
Мы имеем дело с линейной задачей, так как обе функции f и ϕ неза-
висимые и каждая из них удовлетворяет волновому уравнению
2
f(x − at) ·
a
1
2
(x − at)
∂
2
∂x
2
f(x − at)=a
a
1
= f(x − at) ·
2
f(x − at).
1
2
(x − at)
∂
∂t
,
2
Интересен парадокс — функция f может быть любая.
2.4. МНОГОКРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОГО ПРИЕМА 43
Для волновых процессов необходимо знать фазовые скорости и групповые скорости. Но для волновых уравнений (2.11) и (2.12) фазовые и групповые скорости равны. Групповая скорость — это скорость группы волн,
с ней распространяется импульс удара. Очень важно, что в теории упругости в 1840 году Пуассон показал наличие только двух волн деформаций —
волна расширения и волна сдвига [56]. Применение декартовых координат
приводит к трем перемещениям и трем вращениям для тела.
В конце XIX века знаменитый механик и математик А. Ляв [153] дал
только аналитическое решение (опубликовано для инженеров в [129]) для
бегущих волн в винтовом тонком брусе, где все виды колебаний могут быть
рассмотрены на основе только двух волн деформации, отсутствие физики
явлений пространственных колебаний и численных расчетов существенно
повлияли на применение данной теории. Задача пространственных колебаний винтового тонкого бруса является нелинейной задачей. На кафедре
теоретической механики и ТММ ИжГТУ создан комплекс программ для
исследования явлений нелинейных колебаний, где на основе двух волн деформации можно проанализировать продольные, крутильные, поперечные
колебания. Взаимосвязанные нелинейные задачи на основе единой физики
для пружинных механизмов стали основой создания интеграционной механики объекта. Краткий компакт этих задач будет в дальнейшем рассмотрен
в пятой главе.
Если будем рассматривать стоячие волны, то решение волнового уравнения будем искать в виде (индекс 1 у a убираем)
U = X(x) · T (t). (2.14)
Одно и то же волновое уравнение решается по-разному, так как цели задач
различные. Если нас интересует удар, то применяют метод Даламбера, если собственные частоты — то метод Фурье (2.14). В соответствии с (2.14)
в каждом сечении своя амплитуда, но все сечения стержня колеблются по
времени одновременно.
Волновое уравнение
∂2u
2
a
∂x
2
u
∂
=
∂x
,
2
2
подстановкой (2.14) сводится к равенству
2
a
X(x) · T (t)=¨T (t) · X(x), (2.15)
44 ГЛАВА 2
разделим на U = X · T :
¨
2
a
X(x)
X
T
=
. (2.16)
T
Чтобы привести (2.8) к двум независимым уравнениям, имеющим математическую оболочку линейного осциллятора, приравняем отношение
2
(2.16) к −p
Пока у нас −p
:
¨
X(x)
2
a
X
2
просто постоянная, квадрат в постоянной потому, что
T
=
T
= −p
2
.
дифференциальное уравнение для второго порядка, а минус «−», так как
мы уже заранее знаем решение дифференциального уравнения. Как видим,
элементы информационной механики существовали всегда. Единые волновые уравнения привели к двум независимым дифференциальным уравнениям:
X
2
p
+
X =0, (2.17)
2
a
2
¨
T + p
T =0. (2.18)
Уравнения (2.17) и (2.18) имеют одинаковую оболочку решения:
X = C
T = D
p
x + C
cos
1
a
cos pt + D2sin pt. (2.20)
1
p
x, (2.19)
sin
2
a
Собственную частоту (p — собственная частота, как окажется это в дальнейшем) найти аналитически из (2.19) нельзя, а экспериментально (физически)
можно. Собственная частота p определяется из уравнения (2.20) с учетом
конкретных условий заделки, такие условия называются краевыми. При
краевых условиях жесткой заделки
x =0,X=0; x = l, X =0. (2.21)
Из первого условия получаем
0=C
Из второго —
· 1+C2· 0; C1=0.
1
p
0=C
l;
sin
2
a
2.4. МНОГОКРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОГО ПРИЕМА 45
получаем граничное уравнение
p
sin
l =0. (2.22)
a
Снова пользуемся приемами информационной механики, нам известен
ответ для (2.20):
p
l = π · n (n =1...∞). (2.23)
a
Из (2.23) легко определяется собственная частота
πna
p =
. (2.24)
l
Оказывается, что для каждой формы колебаний своя частота, поэтому правильная запись (2.23)
πna
. (2.25)
=
p
n
l
Как доказать, что мы рассматриваем линейную задачу. Возьмем отношение
n-ной собственной частоты к основной, где n =1:
p
n
= n. (2.26)
p
0
Итак, (2.26) дает линейный частотный спектр, что можно было предсказать
заранее, так как в основе получения всех компонентов решения лежала
прямая линия. Аналогично решение и для крутильных колебаний.
ГЛАВА 3
Системные информационные операторы
для образования
3.1. Основные группы системных операторов
Системные операторы интеграционной механики можно разбить на
шесть групп:
• операторы информации общего анализа (общий оператор информации
нулевого действия);
• системные операторы количественной оценки (основной оператор теоретической механики и ему подобные);
• операторы информационного канала (диалектическая система координат, информационная плоскость, информационная матрица, блок информационных матриц);
• операторы формирования информации (идеальная информация, идеальная теория, скользящая теория, основная информация, информационный рупор, пирамида информации, нулевой вектор информации,
обратный вектор информации, вектор информации в диалектическом
противоречии, бифуркационные координаты, квантовый вектор информации, ген информации);
• комбинированные системные операторы (блок информационного поиска, модуль управления);
• оператор комплексного анализа объекта с учетом особенностей нагружения (аналитико-конструкторский алгоритм).
Операторы информации общего анализа
Первая группа операторов информации общего анализа, которые несут
качественный подход системного анализа. В этой группе два оператора информации. Оператор информации общего плана, где не конкретизируется
сам объект, а предлагается рассмотреть формулу, закон, явление на основе
3.1. О СНОВНЫЕ ГРУППЫ СИСТЕМНЫХ ОПЕРАТОРОВ 47
Рис. 3.1
трех компонент: математической, физической, системной (диалектическая
логика, методы поиска новых идей на основе системного подхода). На рисунке 3.1 представлен данный оператор с его тремя компонентами. Графически он представлен в виде формальной плоскости, где каждая компонента различна, но суть его применения — в единстве каждого явления, объекта в применении математической, физической и системной информации
к рассматриваемому предмету, явлению. Этот оператор имеет практическое
значение в педагогике преподавания теоретической механики. Второй оператор этой группы незначительно конкретизирован, т. е. оператор информации нулевого действия (рис. 3.2) имеет те же три компоненты, но условия
по каждой компоненте — равенство и равенство нулю. В каждом явлении,
объекте, естественно, своя информация по условию равенства и равенства
нулю. В теоретической механике: математическая компонента — математическое равенство левой и правой частей информации; нуль — это точка отсчета информации; физическая компонента — равенство представляет
сохранение физического состояния объекта, т. е. однородность материала
объекта (абсолютно твердое тело, деформированное тело, жидкое, газообразное однородное состояние); физический нуль, т. е. условие равновесия
системы, объекта; диалектическая компонента — сжатие информации, что
приводит к компактному изложению информации, но относящейся к объекту, над которым не происходит действия физического изменения.
Рис. 3.2
48 ГЛАВА 3
Операторы количественной оценки
Вторая группа — количественные системные операторы, которые явля-
ются реализацией общего оператора информации с конкретным объектом.
На рисунке 3.3 показан основной оператор теоретической механики: математическая компонента представлена сразу двумя чисто математическими операторами дифференцирования и интегрирования, оба они взаимно
противоположны; физическая компонента делегировала законы сохранения
(=0) и законы изменения (=0); системная компонента, или компонента
прикладной философии, представлена спиралью развития познания, т. е. от
единичного к общему и от него снова к единичному, но на более высоком уровне. Знак • — соответствие дискретной единичной массе, единичной силе и т. д., Σ — соответствует системе сил, системе моментов и т.д.;
— центр масс, центр тяжести, центр инерции, равнодействующая система сил, главный вектор момента, действующий на систему и т. д. Такие
количественные операторы легко создать и для других разделов механики.
Рис. 3.3
Операторы информационного канала
Третья группа — операторы информационного канала. Сюда относятся:
• диалектическая система координат представляет пересечение трех
осей в одной точке: абсолютно твердое тело и деформируемое тело;
статика и динамика; устойчивость и неустойчивость;
3.1. О СНОВНЫЕ ГРУППЫ СИСТЕМНЫХ ОПЕРАТОРОВ 49
• информационная матрица, примеры построения которой дадим в третьей главе;
• информационные плоскости, вращающиеся около неподвижной оси,
в этом операторе такие плоскости можно строить в зависимости от
сложности объекта, но, как и в информационной системе координат
обязательна противоположность свойств объекта по одной координате
при переходе через нуль;
• блок информационных матриц.
Операторы формирования информации
Наиболее обширной является четвертая группа операторов, связанных
с формированием информации. В этой группе имеем не только операторы,
обозначающие действия, но и операторы-понятия, которые вызывают определенные действия с объектом для поиска ответа на поставленную задачу.
Рис. 3.4
Рис. 3.5
Операторы формирования информации:
• идеальная информация (компактность информации, податливость, возможность переноса на другие области объекта, диалектическое единство содержания);
• идеальная теория, основные ее признаки: простота, информативность,
преодоление существующего противоречия, наличие опорных реше-
50 ГЛАВА 3
ний, которые до этой теории уже хорошо известны, превращение вреда
в пользу, системная организация создания теории;
• скользящая теория — это своеобразная касательная к блоку информации, которая несет в себе качественную информацию и в конечной
стадии позволяет получить правильную информацию, но ограниченную нашей целью;
• основная информация, т. е. такая неделимая информация, которая
и определяет сам объект, т. е. дальше основной информации сжать информацию нельзя;
• информационный рупор — это направление, формируемое как минимум компонентами оператора информации, т. е. это иной способ задания общего оператора информации, но с «легким» обозначением ребер
информации;
• пирамида информации — главный оператор формирования информации, на рисунках 3.4, 3.5 представлены две основные пирамиды (интеграционная механика — объект механики в единстве всех задач механики, каждая грань пирамиды информации есть плоская информация,
ранее найденная по принципу пирамиды информации; пирамида интеграционной механики объекта (рис. 3.5) на рисунке 3.4 является гранью пирамиды информации, построенной на основе общего оператора
информации; частным случаем пирамиды является обратная пирамида
информации, где по граням пирамиды происходит «сжатие» информации с выделением главной информации для объекта;
• нулевой вектор информации; данный оператор представляет прежде
всего конкретизация оператора информации нулевого действия, где
особо выделяется только условие «=0», т.е. сохранение информации;
если оператор информации нулевого действия является оператором качественного анализа, то оператор «нулевой вектор информации» более
удобен для количественного анализа; математической компонентой его
является понятие математического нуля, т.е. нулевой вектор;
• обратный вектор информации; оператор предназначен для расшатывания стереотипов, а также системной законченности теорем теоретической механики;
• вектор информации в диалектическом противоречии; информационные
оси и являются таким вектором информации;
• бифуркационные координаты предназначены для анализа ребер информационной пирамида при исследовании математического единства ин-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]