Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная теория категорий. Монография
.pdf
Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Финансовый университет)
Кафедра математики и анализа данных
В.Б. Гисин
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ
КАТЕГОРИЙ
Монография
Москва
2025
УДК 512.581
ББК 22.1
Г51
Рецензенты:
Поляков Николай Львович — кандидат физико-математических
наук, доцент, доцент Департамента математики Факультета экономических наук Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»;
Чечкин Александр Витальевич — доктор физико-математических
наук, профессор кафедры математики и анализа данных Финансового университета при Правительстве Российской Федерации.
Гисин В.Б.
Г51 Прикладная теория категорий: Монография // В.Б. Гисин. — М.: Прометей, 2025. — 166 с.
ISBN 978-5-00172-808-5
Теория категорий служит языком, который используется для описания общей структуры абстрактных математических систем. Возникнув
в недрах гомологической алгебры, теория категорий помимо чисто математических приложений нашла применение в информатике и в теории
искусственного интеллекта. Цель этой книги — познакомить читателя с
современными понятиями теории категорий на конкретных примерах и
показать, как они могут работать на практике. Для понимания материала
достаточно знакомства с основами общей алгебры. Лишь в отдельных параграфах используются более сложные концепции современной математики.
Эти места могут быть пропущены при чтении без значительного ущерба для
понимания существа дела и основных приложений. В то же время, компактное изложение современных представлений теории категорий может
оказаться полезным и для профессионального математика.
Книга предназначена для исследователей в области информатики и
прикладной математики, студентов, магистрантов и аспирантов, обучающихся по математическим специальностям.
ISBN 978-5-00172-808-5
Издательство «Прометей», 2025
Гисин В.Б., 2025
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................................................................5
1. Основные понятия теории категорий ................................. 10
1.1. Категории ...............................................................10
1.2. Функторы ...............................................................13
1.3. Свойства объектов и морфизмов .................................16
1.4. Произведения, уравнители и универсальные квадраты
1.5. Категории соответствий ............................................28
1.6. Естественные преобразования. Представимые
функторы. ..............................................................31
1.7. Пределы и копределы ...............................................34
1.8. Сопряженные функторы............................................36
1.9. Монады, алгебры, коалгебры .....................................40
1.10. Категории элементов и сопряжение по Исбеллу ..........44
1.11. Расширение Кана ...................................................47
1.12 Моноидальные категории .........................................48
1.13. Декартово замкнутые категории ............................... 53
1.14. Топосы .................................................................. 54
2. Категории и базы данных.................................................57
2.1. Категорная модель баз данных ...................................57
2.2. Обновления баз данных с заданной схемой ................... 62
2.3. Обмен данными ........................................................ 63
3. Кластеризация ............................................................... 71
3.1. Схемы кластеризации и теорема о невозможности ........71
3.2 Категория разбиений .................................................73
4. Категорные методы в теории формальных понятий .............79
4.1 Формальные понятия .................................................80
4.2. Категория формальных контекстов ............................. 83
4.3. Моноидальная структура категории контекстов ...........88
5. Категорная теория систем ................................................ 91
5.1. Понятие системы......................................................91
5.2. Категория схем ........................................................94
5.3. Категория линз ........................................................ 99
5.4. Динамика детерминированных систем ...................... 104
5.5. Системы в условиях неопределенности ...................... 107
6. Теория категорий и моделирование естественного языка .... 116
6.1. Дистрибутивные модели .......................................... 118
6.2. Структурно-логические модели ................................ 122
6.3. Предгруппы .......................................................... 123
6.4. Дистрибутивная композиционная категорная модель
значения (DisCoCat) ............................................... 126
6.5. Обогащенные категории и семантика языковых
моделей ................................................................ 129
...21
3
7. Теория категорий и машинное обучение .......................... 140
7.1. Общая схема обучения ............................................ 140
7.2. Категории параметризаций и алгоритмов обучения ..... 142
7.3. Декартовы дифференциальные категории .................. 145
7.4. Категория обучаемых алгоритмов ............................. 151
7.5. Развертывание нейронных сетей в категории
конечномерных пространств .................................... 156
Литература ..................................................................... 159
4
Предисловие
Теория категорий имеет достаточно много содержательных приложений в самых разных областях математики.
Казалось бы, абстрактная математическая теория далека от
проблематики других областей знания. Однако система понятий, язык и аппарат теории категорий оказываются полезным инструментом исследования в информатике, лингвистике, теории искусственного интеллекта и даже в естественных
науках. Автор не стремился к тому, чтобы рассказать обо
всех приложениях. В предлагаемой книге рассказывается
о приложениях в информатике, теории систем и машинном
обучении. Методы теории категорий находят применение в
программировании и квантовой физике. Заинтересованный
читатель может познакомиться с актуальными исследованиями в этом направлении по книгам [Milewski, 2019, Yanofsky,
2022] и [Coecke, 2010]. В ряде случаев теория категорий пре
доставляет исследователю удобный язык для постановки задач и описания результатов, но не является инструментом
исследования.
Нельзя недооценивать прикладное значение теории категорий в этой сфере. Теория категорий, используемая как
математический жаргон, может оказаться полезной при соз
дании объединяющей понятийной парадигмы, подобной той,
которой стала в начале прошлого столетия теория множеств.
Отбирая материал для книги, автор стремился к тому,
чтобы показать применение аппарата теории категорий в
действии, когда он выступает не только в роли языка, но и
позволяет проникнуть в существо проблемы и дать подходы
к ее решению. Безусловно, на отборе материала отразились
научные интересы автора. Недавно вышедшая книга [Fong,
2018] также посвящена приложениям теории категорий.
Предлагаемая книга отличается от [Fong, 2018] как по содержанию, так и по форме подачи материала. Книга [Fong,
2018] может служить прекрасным введением в теорию категорий для прикладников. Желание не перегружать читателя
математическим аппаратом в [Fong, 2018] приводит к тому,
-
-
5
что намечаемые приложения не доводятся до значимых результатов. Не перегружать читателя техническими сложностями ставил своей задачей и автор настоящей книги.
Пожертвовав отчасти широтой охвата материала, автор старался представить приложения теории категорий в выбранных разделах так, чтобы они доходили до некоторого конечного результата (в то мере, конечно, насколько это возможно
в такой абстрактной области как теория категорий).
Небольшой обзор прикладной теории категорий, который дается ниже, ни в коей мере не претендует на полноту.
В последние два десятилетия произошли довольно существенные сдвиги в понимании того, где и как могут быть использованы методы теории категорий. Автор надеется, что книга
даст представление о тех идеях, которые лежат в их основе.
Теория категорий возникла в середине XX века и первоначально развивалась в недрах гомологической алгебры.
На этом этапе одной из основных задач теории категорий
было формирование общего понятийного каркаса для различных классов математических объектов, к которым и
относилось название «категория». Взгляд на алгебры и
пространства с высоты, на которой элементы этих структур
становились неразличимы, и оставалось фиксировать лишь
свойства, проявляющиеся во взаимодействии, привел к ряду
глубоких обобщений и формированию системы общих понятий, связывающих самые разные разделы математики. Язык
теории категорий проник во многие области так называемой
чистой математики и стал своеобразным дополнением языка теории множеств. Понятие функтора послужило своеобразным мостом, позволяющим переносить задачи из одной
области в другую, где для их решения имеется или может
быть создан развитый и эффективный аппарат. Для некоторых разделов современной математики такая возможность
стала определяющей. Понятие естественного преобразования формализовало и придало точный смысл естественности
ряду конструкций, естественность которых ощущалась интуитивно. Понятие сопряженного функтора позволило выявить общие закономерности формирования математических
структур. Приложения теории категорий здесь не выходят
за рамки собственно математики (см. [Маклейн, 2004] или
более современную книгу [Riehl, 2017]).
6
Почти одновременно стали развиваться два направления, в которых категории выступали как модели аксиоматических теорий. Первое из них связано с поиском аксиоматического описания класса категорий, которое является полным в
том смысле, что оно дает адекватное и исчерпывающее «безэлементное» описание конкретных категорий этого класса.
Ставшие здесь классическими результаты Фрейда [Freyd,
1964] и Гротендика [Гротендик, 1961] относятся к категориям абелевых групп и категориям модулей. В исследованиях
Д.А. Райкова, М.Ш. Цаленко и автора этих строк были аксиоматически охарактеризованы категории бинарных отношений [Calenko, 1984]. С последним направлением связаны
многочисленные исследования по применению категорных
методов в теории реляционных баз данных [Fong, 2018].
Второе направление связано с введенным Гротендиком
в математический оборот понятием топоса (см. [Джонстон,
1986]). Помимо того, что топосы открыли принципиально новые направления исследований в алгебраической геометрии и
некоторых других областях математики, они стали эффективным инструментом логических исследований, позволяя строить интерпретации достаточно широкого класса логических
систем. Именно это направление практически сразу после своего возникновения оказалось связанным с приложениями за
пределами собственно математики — программированием и,
более широко, с наукой о вычислениях [Lawvere, 1963].
Методологическая связь между теорией языков программирования и теорией категорий обусловлена тем, что
обе теории, по сути, являются теориями функций. Понятие
морфизма обобщает теоретико-множественное описание
функции в очень широком смысле, что обеспечивает единое
понимание различных подходов к семантическому исследованию программ. С положением дел в этой области можно
познакомиться по книгам [Pavlovic, 2024, Yanofsky, 2022,
Asperti, 1991].
Одна из интересных тенденций в прикладной теории
категорий, возникшая сравнительно недавно, — рассматривать категории как некоторое обобщение (или спецификацию) графов. Над произвольным графом можно построить
«свободную» категорию путей. Отношение эквивалентности
на множестве путей определяет фактор-категорию, которую
7
можно трактовать как граф с дополнительными тождествами
.
На этом пути появляется своеобразный графический язык
теории категорий [Hinze, 2023], который оказывается удобным в системном моделировании [Diskin, 2014, Breiner,
2023, Vidalie, 2022].
Настоящая книга организована следующим образом.
Глава 1 содержит необходимые сведения из теории категорий. Включение в книгу такой вводной главы обусловлено
двумя причинами. Во-первых, желанием сделать книгу замкнутой и содержащей необходимый материал для читателя,
который не изучал специально теорию категорий. Во-вторых, в этой главе вводятся необходимые для дальнейшего
обозначения. Приводимые примеры должны облегчить понимание абстрактных категорных концепций.
Необходимые сведения по основам теории категорий
можно найти в книгах [Pierce, 1991] и [Riehl, 2017]. В настоящей книге мы в ряде случаев приводили понятия не в
максимальной общности, как это делается, например, в указанных книгах, предназначенных прежде всего для профессиональных математиков. Уровень общности определялся
тем, как эти понятия используются в главах, посвященных
собственно приложениям.
Главы 2—7 посвящены приложениям теории категорий. В каждой главе проблематика соответствующей предметной области переводится на язык теории категорий. Тем
самым формируется соответствующий понятийный каркас,
в рамках которого формулируются задачи и описываются
пути их решения. Специфика теории категорий такова, что
вряд ли можно ожидать решения конкретной задачи с использованием теорем теории категорий. Однако использование категорного аппарата помогает выявить и уточнить существо проблемы и найти указание на пути ее решения.
Список литературы не претендует на полноту, но дает
достаточно точное представление о состоянии исследований
в соответствующей области. Есть немало прекрасных работ,
которые не включены в список литературы. Как правило, автор отдавал предпочтение работам последних лет.
Теория категорий — это прежде всего своеобразный математический язык, на котором удобно говорить о структурах.
Значительная часть теоретико-категорных теорем представляет
8
собой обоснование корректности и адекватности перевода с языка конкретной дисциплины на язык теории категорий. С учетом этого автор предпочел традиционному для математической
литературы построению текста по схеме «определение — теорема — доказательство» менее формальный подход. Доказательства выглядят скорее как обоснования, в некоторых случаях в
роли обоснования выступает некоторое построение. Для читателя, приученного к более строгому изложению, не составит труда
восстановить необходимые детали.
Формулы нумеруются последовательно внутри каждой
главы. При ссылке на формулу внутри главы указывается
номер формулы. При ссылке на формулу за пределами главы первая цифра указывает на номер главы. Например, (3.4)
указывает на формулу в главе 3. Список литературы приведен
в конце книги. Источники указаны в алфавитном порядке
.
Ссылки даются с указанием первого автора и года публикации.
9
Глава 1. Основные понятия теории категорий
AB
→
1.1. Категории
Категория
C содержит класс
объектов
Ob C и класс морфизмов Mor C. Объекты, как правило, будут обозначаться заглавными буквами латинского алфавита, морфизмы — строчными. Морфизмы в категорном контексте называют также
стрелками. Каждому морфизму f сопоставлены объекты dom f
и cod f, называемые соответственно
морфизма f. Запись f : A → B или
областью
f
и
служит для обозна-
кообластью
чения морфизма f с областью A и кообластью B. Морфизмы с
заданной областью A и кообластью B образуют множество, которое будет обозначаться в зависимости от контекста C(A, B),
HomC(A, B) или Hom (A, B). Множества C(A, B) и C(X, Y) име-
ют непустое пересечение только если A = X и B = Y.
Для любой пары морфизмов вида f : A → B и g : B → C
определена их композиция — морфизм g f : A → C. Если это
не ведет к недоразумениям, знак композиции мы будем опускать и писать просто gf : A → C. Иногда бывает удобно записывать компонируемые морфизмы последовательно. В этом
случае для обозначения композиции будет использоваться
знак «;» и композиция морфизмов f : A → B и g : B → C записывается в виде f ; g : A → C.
Композиция морфизмов ассоциативна: если f : A → B,
g : B → C и h : C → D, то
h (g f) = (h g) f
Кроме того, для каждого объекта A имеется единичный
морфизм 1
∈ Hom (A, A) такой, что f 1A = f и 1A g = g
A
для любых морфизмов f : A → B и g : B → A. Для единичных
морфизмов будет также использоваться обозначение idA.
Индекс, указывающий на объект, может быть опущен, если
из контекста ясно, о каком объекте идет речь.
Категория D называется подкатегорий категории C,
если Ob D ⊆ ObC, HomD(A, B) ⊆ HomC(A, B) для любых объектов A и B из D, и при этом композиция морфизмов в D — это
ограничение композиции из C, а единичными морфизмами
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]