Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная теория категорий. Монография
.pdf
коединица сопряжения, то U(ε
) : U(F(U(F(C)))) → UF(C).
F(C)
Таким образом, для каждого объекта C ∈ Ob C получаем естественный морфизм µC : T2(C) → T(C).
Эти морфизмы определяют естественное преобразование
µ : T2 ⇒ T (34)
которое называют умножением.
Комбинируя умножение с функтором T, можно полу-
чать различные естественные преобразования вида µ : Tn ⇒ T.
Например, морфизмы
µ
: T3(C) = T2(T(C)) → T(T(C)) = T2(C)
T(C)
задают естественное преобразование µ
: T3 ⇒ T2.
T
Беря его композицию с умножением (34), получаем
естественное преобразование
µ µ
: T3 ⇒ T. (35)
T
Морфизмы
T(µ
) : T3(C) = T(T2(C)) → T(T(C)) = T2(C)
C
также задают естественное преобразование T(µ) : T3 ⇒ T2, а его
композиция с умножением — естественное преобразование
µ T(µ) : T3 ⇒ T. (36)
Монадой в категории C называют эндофунктор T : C →
→ C вместе с единицей η : 1
⇒ T и умножением µ : T2 ⇒ T,
C
удовлетворяющие следующим условиям:
µ µ
µ η
= µ T(µ). (37)
T
= 1 = µ T(η). (38)
T
Условие (37) означает, что умножение µ в монаде ассо-
циативно: композиции в левой и правой частях (37) соответствуют двум способам «расставить скобки».
Примеры
(17a) Пусть P: Sets → Sets — ковариантный булеан на ка-
тегории множеств. Множеству X функтор P ставит в соответствие множество P(X) всех подмножеств множества X, а отображению множеств f : X → Y — отображение P(f) : P(X) →
→ P(Y), при котором P(f)(X′) = f(X′) для всех X′ ⊆ X. Пусть
ηX : X → P(Y) — синглетон, т.е. ηX(x) = {x} для всех x ∈ X.
Элементы множества P2(X) — семейства подмножеств множества X. Для семейства подмножеств (X′i)
полагаем
i ∈ I
41
µ
iI
XX
(
)
∈
AA
AA
TT
AA
AA
aa
a
↓↓
Xi
′
iI
∈
=
′
. Тройка P, η, µ задает монаду в категории
i
множеств.
(17b) Рассмотрим функтор List : FinSets → FinSets на
категории конечных множеств. Конечному множеству X функтор List ставит в соответствие множество P(X) всех конечных
списков из элементов множества X (включая пустой список).
Всякое отображение множеств f : X → Y очевидным образом
распространяется на списки. Единицу ηX : X → List(X) опреде-
лим на множестве X так, что ηX(x) = [x], т.е. элементам множества X сопоставляются одноэлементные списки. Умножение
µX : List2(X) → List(X) списку списков ставит в соответствие
список, полученный конкатенацией. Например,
[[b, a, c], [b, a, c], [], [c], [dada]] [b, a, c, b, a, c, c, dada].
Несложно проверить, что этим определяется монада в
категории конечных множеств.
Каждая монада может быть представлена парой сопряженных функторов. Более точно, если T, η, µ — монада в категории C, то существуют категория D и функторы F : C → D
и U : D → C, такие что F U и монада T, η, µ порождена
этим сопряжением. Категория D определена неоднозначно.
Имеются две такие в определенном смысле полярные категории (как правило, различные) с соответствующими сопряженными функторами: категория Эйленберга-Мура и категория Клейсли.
Категория Эйленберга-Мура C
T
. Объектами катего-
рии CT служат T-алгебры: пары вида (A, a), где A ∈ Ob C и
a : TA → A (здесь и далее для сокращения обозначений мы
не заключаем в скобки аргументы функтора монады), такие
что a ηA = idA и a µA = a Ta (39).
η
A
→
||
T
=
2
a
T
↓
T
µ
A
→
→
. (39)
Морфизм T-алгебр f : (A, a) → (B, b) определяется морфизмом f : A → B, перестановочным с операциями, т.е., таким, что f a = b Tf (40).
42
TT
T
AB
AB
ab
f
↓↓
AA
AB CC
→→→TT T
µ
→
f
T
→
. (40)
Морфизмы T-алгебр называют гомоморфизмами. Еди-
ничные гомоморфизмы задаются единичными морфизмами
из C, композиция гомоморфизмов — композицией морфизмов в C.
Функтор U : C
T
→ C, U : (A, a) A, «стирает», алгебра-
ическую структуру. Сопряженный к нему слева функтор
F : C → CT наделяет объект A структурой «свободной» T-ал-
гебры:
AA
FTT,:µ
(
2
→
.
A
)
Категория Клейсли CT. Объекты категории CT — те
же, что и объекты категории C. Далее, по определению
HomCT(A, B) = HomC(A, TB). Единичным морфизмом объек-
та A в категории CT является морфизм ηA ∈ HomC(A, TB).
Композицией морфизмов f : A → TB и g : B → TC в категории
CT служит морфизм h = µC Tg f (41).
Функтор F : C → C
fg
T
2
C
тождествен на объектах. Если
T
(41)
f : A → B — морфизм в категории C, то F(f) = ηB f : A → B →
→ TB морфизм в категории CT. Функтор U : CT → C переводит
объект A категории CT в объект TA категории C. Морфизму
f : A → TB в категории CT функтор U ставит в соответствие
морфизм U(f) = µB T(f) : TA → T2B → TB в категории C.
Пример 18. Пусть P: Sets → Sets — ковариантный бу-
леан (пример 3f). Для любого множества X отображения
X → PY находятся во взаимно однозначном соответствии с
бинарными отношениями на X × Y. Если f : X → PY то
R
= {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ f(x)}.
f
Обратно, если R ⊆ X × Y, то f
(x) = {y | (x, y) ∈ R}.
R
Несложно убедиться, что композиции (41) соответствует
композиция бинарных отношений. Таким образом, категория бинарных отношений является категорией Клейсли для
ковариантного булеана.
43
Комонады в категории D определяются двойственным
C
образом. Пусть по-прежнему F U — пара сопряженных
функторов. Положим G = F U : D → D. Коединица сопряже-
ния ε дает естественное преобразование
ε : 1
⇒ G, (42)
D
а композиция δ = F * η функтора F с единицей сопряжения
η — преобразование
δ : G ⇒ G
2
. (43)
В общем случае эндофунктор G : D → D с парой преобра-
зований (42), (43) образует комонаду, если
δ
δ = G(δ) δ (44)
G
и
εG δ = 1G = G(ε) δ (45)
Конструкция, двойственная построению Эйленберга-Мура, приводит к категории так называемых коалгебр и
представлению комонады как комонады соответствующего
сопряжения. Аналогичное утверждение справедливо для категории Клейсли.
1.10. Категории элементов и сопряжение по Исбеллу
Пусть C — малая категория. Контравариантные функторы из C в категорию множеств Set вместе с естественными преобразованиями образуют категорию, которую мы
обозначим Set
ется в категорию Set
op
C
. По лемме Йонеды категория C вкладыва-
op
C
как полная подкатегория. Объекту A
категории C соответствует при этом функтор HA : Cop → Set
такой, что HA(X) = HomC(A, X) для любого объекта X из C.
Назовем это функтор функтором Йонеды. Оказывается,
любой контравариантный функтор P из C в категорию множеств Set может быть представлен как копредел представимых функторов вида HA. Таким образом, категория C оказывается плотной подкатегорией в категории Set
op
C
.
Для доказательства этого факта строится так называе-
мая категория элементов функтора P, которую принято
обозначать
P
(см. [Loregian 2021]).
∫
Объектами этой категории служат пары вида (x, A), где
A — объект категории C и x ∈ P(A). Морфизм f: A′ → A из C
44
задает морфизм f : (x′, A′) → (x, A) в категории
C
PC
C
YC Set
: →
C
C
YY
PP
AA
AA
xx
AA
↓↓
()(
)
()
ηη
P(h)(x) = x′. «Стирание» элементов x дает функтор
π:
f : A′ → A (см. [Awodey 2010]).
при котором Y(A) = HomC(–, A). Если f : A′ → A — морфизм
категории C, то Y(f) = Y(A′) ⇒ Y(A) — естественное преобразование такое, что
для всех α : X → A′ ∈ Y(A′)(X).
∫
при котором η(x)A(idA) = x.
В соответствии с (26) имеем
справедливость этого соотношения для сужения этих естественных преобразований на A′ применительно к id
коммутативна. Это означает, что
и
получаем
т.е.,
→
∫
Обозначим через
По лемме Йонеды каждому объекту (x, A) из категории
P
соответствует естественное преобразование η(x) : Y(A) ⇒ P,
Пусть f : (x′, A′) → (x, A) — морфизм из категории
Покажем, что η(x) Y(f) = η(x′). Достаточно установить
Так как η(x) — естественное преобразование, диаграмма
Поскольку
, при котором f : (x′, A′) → (x, A) переходит в
(α) = f α ∈ Y(A)(X)
Y(f)
X
Y(f)
(idA′) = f id
A′
AA
)
(
)
(
(
η(x)
[Y(A)(f)(idA)] = P(f)[η(x)A(idA)].
A′
Y(A)(f)(id
P(f)[η(x)A(idA)] = P(f)(x) = x′,
[η(x) Y(f)]
(
′
′
′
)
)
←
η(x)
A′
= f ∈ Y(A)(A′).
A′
Y
Af
f
P
)
(
←
) = idA f = f
A
(f) = x′,
A′
(idA′) = η(x′)(idA′).
P
∫
op
C
вложение Йонеды,
A′
)
(
)
(
)
(
, если
∫
.
P
.
45
Морфизмы η (x): Y(A) ⇒ P являются компонентами
YS
C
C
tS
CC
*
op
ко-конуса в Set
P
. Нетрудно показать, что функтор P с морфизмами
∫
C
диаграммы
π : P
∫
→
et
op
C
со схемой
η(x) : Y(A) ⇒ P служит ко-пределом этой диаграммы.
Таким образом, каждый контравариантный функтор
из категории C в категорию множеств является ко-пределом
представимых функторов. Это позволяет рассматривать категорию Set
op
C
как ко-пополнение категории C. При этом,
если даны ко-полная категория E и функтор Φ : C → E, его
можно единственным образом (с точностью до естественного
изоморфизма) продолжить до функтора Φ* : Set
op
C
→ E, со-
храняющего ко-пределы. В частности, если имеется функтор
Φ : C → D, его можно продолжить, переходя к ко-пределам,
до функтора Φ* : Set
(C)
где Y
(D)
и Y
— соответствующие вложения Йонеды.
Вместе с вложением Йонеды Y: C → Set
op
C
→ Set
op
D
так, что Φ* Y
(C)
(D)
= Y
op
C
рассмотрим
Φ,
ко-вложение Йонеды Z: C → (SetC)op, при котором Z(X) =
Hom(X, –). По двойственности, категория (SetC)op полна и
является пополнением категории C относительно пределов в
том же смысле, в котором категория Set
нением категории C относительно копределов.
Для функтора F: Cop → Set из Set
op
C
является попол-
op
C
определим функтор
F* : C → Set из SetC, полагая
F*(X) = Nat(F, Y(X)).
Этим задается контравариантный функтор (–)* из кате-
op
C
гории Set
Аналогично для функтора G : C → Set из SetC определим функтор G* : Cop → Set из Set
Соответствие G G
ктор (–)* из категории SetC в категорию Set
в категорию SetC.
(X) = Nat(Z(X), G).
G
*
задает контравариантный фун-
*
op
C
формулой
op
C
.
Заметим, что между множествами Nat(F*, G) и
Nat(F, G*) имеется естественное (по F и по G) биективное со-
ответствие. Иными словами, пара функторов
Se
op
→
←
−
()
−
()
∗
(
et
op
)
образует сопряженную пару (–)* (–)*.
46
1.11. Расширение Кана
Пусть даны функторы F : C → E и K : C → D. Левым
расширением Кана функтора F вдоль функтора K называ-
ют функтор Lan
F : D → E с естественным преобразованием
K
η : F ⇒ LanKF K такие, что любые функтор G : D → E и есте-
ственное преобразование γ : F ⇒ G K однозначно пропускаются через η (в том смысле, что однозначно определено естественное преобразование ϕ : LanKF ⇒ G, такое что ϕK η = γ).
Двойственным образом определяется правое расши-
рение Кана. Функтор RanKF : D → E вместе с естественным
преобразованием ε: RanKF K ⇒ F называется правым рас-
ширением Кана, если для любых функтора G : D → E и есте-
ственного преобразования δ : G K ⇒ F существует и единственно такое естественное преобразование ψ : G⇒ RanKF,
что δ ψK = ε.
Опишем построение левого расширения Кана в случае,
когда категория C малая, а категории E кополная.
Пусть D — объект категории D. Определим категорию
K ↓ D. Объектами этой категорию служат морфизмы вида
K(C) → D, где C — объект в категории C. Множество морфиз-
мов из f : K(C) → D в f′ : K(C′) → D — это множество морфизмов h : C → C′, для которых f′ K(h) = f. Композиция морфиз-
мов в K ↓ D совпадает с композицией в C.
Пусть JD : (K ↓ D) → C — стирающий функтор, такой
что JD(K(C) → D) = C. Композиция F JD : (K ↓ D) → C → E
задает в E диаграмму со схемой K ↓ D. В качестве LanKF(D)
возьмем копредел этой диаграммы. Таким образом,
Lan
F(D) = colim(F JD).
K
Морфизмы η
ствующих конусов F J
: F(C) → LanKF(K(C)) берутся из соответ-
C
F(C)
⇒ colim(F J
F(C)
).
Двойственным образом строятся категории D ↓ K, сти-
рающий функтор JD : (D ↓ K) → C и
Ran
F(D) = lim(F JD),
K
если категория E полна.
Пример 19. Рассмотрим категории Q и R
, связанные
>0
с упорядоченными множествами рациональных и положительных действительных чисел, и функтор (монотонное отображение) exp: Q → R>0, такой, что exp(q) = 2q. Расширение
47
exp вдоль вложения K : Q → R множества Q в множество дей-
BAIB
BA
AB
↓↓
⊗⊗
λρ
CD
⊗α α
CD
↓↓
()
()
ствительных чисел R дает
Lan
exp(x) = sup {2q | q ≤ x} = 2
K
x
и
RanK exp(x) = inf{2q | q ≥ x} = 2x.
Если F : C → D и G : D → C пара сопряженных функторов,
F G, с единицей η : 1C ⇒ G F и коединицей ε : F G ⇒ 1D,
то функтор G с естественным преобразованием η — это левое
расширение Кана функтора F вдоль тождественного функтора 1C, а функтор F с естественным преобразованием ε — пра-
вое расширение Кана функтора G вдоль тождественного функтора 1D, т.е.
G = Lan
, F = RanG1D.
F1C
1.12. Моноидальные категории
Моноидальной называется категория C, снабженная
бифунктором тензорного произведения, в которой выделен
объект I (единица) и естественные изоморфизмы
α : (–) ⊗ ((–) ⊗ (–)) ⇒ ((–) ⊗ (–)) ⊗ (–),
ρ : (–) ⊗ I ⇒ (–) и λ : I ⊗ (–) ⇒ (–),
удовлетворяющие перечисленным ниже соотношениям:
(1) для любых объектов A и B категории C коммутативна диаграмма
α
AIB
AI
⊗⊗
(
)
,,
→ ⊗
(
⊗
)
AB AB
⊗ ====== ⊗
(47)
(2) для любых объектов A, B, C, D категории C коммутативна диаграмма
A
BC DAIB
ABCD ABCD AB
⊗⊗
⊗
)
(
()
αα α
AB CD ABCD
,, ,,
⊗ ⊗
ABCD AB
⊗⊗
)
(
()
,, ,,
← ⊗⊗⊗
⊗→ ⊗
(
()
α
D
⊗
ABC
,,
→ ⊗
)
(
(
Моноидальная категория называется симметричной,
если в ней для всех пар объектов A, B имеются естественные
изоморфизмы σ
: A ⊗ B → B ⊗ A, удовлетворяющие есте-
A,B
ственным соотношениям:
48
⊗⊗
)
(
⊗
)
)
(48)
⊗
σ
α
C, A, B
σ
B,A
A ⊗ B, C
σ
α
= id
A,B
A, B, C
A ⊗ B
= (σ
, λA σ
A, C
A,I
⊗ B) α
= ρA,
A, C, B
(A ⊗ σ
B, C
).
Моноидальную категорию называют строгой, если
A ⊗ I = A = I ⊗ A и (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) (49)
для любых объектов A, B, C. В общем случае моноидальная
категория эквивалентна строго моноидальной категории.
Это позволяет заменить условия когерентности (47),
(48) тождествами (49). Чтобы не загромождать обозначения
мы так и будем поступать в дальнейшем.
С учетом этого тождества, определяющие симметричность, приобретают следующий вид:
σ
σ
B, A
σ
A ⊗ B, C
A, B
= (σ
= id
A, C
, σ
A ⊗ B
⊗ idB) (idA ⊗ σ
= idA = σ
A, I
B, C
I, A
).
,
Моноидальная категория называется замкнутой (слева)
если для каждого объекта A категории C функтор A ⊗ (–) обладает правым сопряженным. Этот функтор можно рассматривать как «внутренний» Hom-функтор. Обозначим через
A– C его значение на объекте C. В силу сопряженности имеется естественный изоморфизм
Hom(A ⊗ B, C) ≅ Hom(B, A– C). (50)
Ели моноидальная категория симметрична, то имеется
также естественный изоморфизм
Hom(A ⊗ B, C) ≅ Hom(A, B– C).
Любая категория с конечными произведениями является моноидальной относительно (декартовых) произведений. Если в этом случае категория оказывается замкнутой,
ее называют декартово замкнутой категорией. В случае декартово замкнутых категорий наряду с A– C используется
обозначение C
A
.
Подставляя в (50) A– B вместо B и заменяя C на B,
получаем
Hom(A ⊗ (A– B), B) ≅ Hom(A– B, A– B).
Морфизм ev
при этом единичному морфизму id
: A ⊗ (A– B) → B, соответствующий
A, B
A
, называется морфиз-
B
мом вычисления. Сопряженность (50) позволяет построить и
ряд других естественных морфизмов, например,
,
49
A ⊗ (A– B) ⊗ (B– C) → C,
IAAA
(
)
↓↓
(
)
AAAA
∗∗
∗∗
(
)
↓↓
∗∗
(
)
и т.п.
Если моноидальная категория симметрична, функтор
C A– C является правым сопряженным и к функтору
B B ⊗ A. В общем случае это не так. Будем говорить, что
мноидальная категория
замкнута (справа
), если для каждо-
го объекта A функтор (–) ⊗ A обладает правым сопряженным.
Значение этого функтора на объекте C будем обозначать C –A.
Моноидальную категорию будем называть замкнутой,
если она замкнута и справа, и слева.
Про симметричную моноидальную категорию гово-
рят, что она компактна и замкнута, если в этой категории
каждый объект A обладает сопряженным объектом. Объект
A* называется сопряженным к объекту A, если существуют
морфизмы
η
: I → A* ⊗ A (51)
A
(единица) и
ε
: A ⊗ A* → I (52)
A
(коединица) такие, что коммутативны диаграммы (53) и (54):
ρη
AA
id
AIA
AA
→⊗→⊗⊗
A
−
1
λ
A
← ⊗←
A
⊗
A
⊗
ε
A
⊗
∗
α
∗
,,
AA A
∗
AA A
⊗
(53)
λ
∗∗
AI
id
A
∗
A
∗
A
→ ⊗→ ⊗
1
−
ρ
∗
∗
A
←
AAI AAA
⊗← ⊗⊗
∗
A
⊗
η
A
∗
⊗
A
ε
∗
A
1
−
α
AAA
,,
⊗
(54)
Примеры
(20a) Категория FdVK конечномерных векторных
пространств над полем K. Объектами этой категории слу-
жат конечномерные пространства V с выделенным базисом
V
{e
1
текста ясно, о каком пространстве идет речь). Сопряженным
к V служит пространство линейных отображений из V в K.
50
V
, ..., e
} (мы будем опускать верхний индекс, если из кон-
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]