Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная теория категорий. Монография
.pdf
Соответствие ε ∈ RelC(X, X), которое рефлексивно, сим-
CD
FG
FG
FG
XX
YY
ff
↓↓
α
метрично и транзитивно будем называть отношением эквивалентности на объекте X.
Если f : X → Y — функциональный морфизм, соответ-
ствие ε = f ; f# является отношением эквивалентности на X.
Если при этом f — морфизм категории C, отношение эквивалентности ε = f ; f# будем называть конгруэнцией. Если к
тому же f ∈ E, объект Y будем называть E-фактор-объектом
(или просто фактор-объектом) объекта X и писать Y ≈ X / ε.
Замечание. Естественно, фактор-объекты определены
с точностью до изоморфизма.
1.6. Естественные преобразования. Представимые
функторы.
Пусть C, D — категории, и
Естественное преобразование α : F ⇒ G функтора F в функтор
G задается указанием для каждого объекта X категории C мор
физма αX : F(X) → G(X) в категории D так, что квадраты вида
(
)
(
(
коммутативны для любого морфизма f : X → Y категории C
Естественное преобразование α : F ⇒ G называется есте-
ственным изоморфизмом, если все αX — изоморфизмы.
Примеры
(11a) Пусть C — категория с конечными произведе-
ниями и A — объект категории C. Рассмотрим функтор
(–) × A : C → C, который морфизму f : X → Y ставит в соответствие морфизм idA × f : X × A → Y × A. Пусть a : A → B — мор-
физм в C. Тогда морфизмы αX = idX × a : X × A → X × B задают
естественное преобразование α : X × A → X × B.
(11b) Пусть B = {0, 1} упорядоченное множество, рас-
сматриваемое как категория. Функтор F из B в категорию C
задается морфизмом f : X0 → X1 так, что F(0) = X0, F(1) = X1
и F(0 ≤ 1) = f. Если F, G : B → C — функторы, то естественное
)
)
X
→
α
Y
→
F
→
→
пара функторов.
G
)
(
)
(
(17)
)
(
-
.
31
преобразование α : F ⇒ G определяется парой морфизмов α0
XY
XY
fg
00
11
α
↓↓
и α1, делающих диаграмму (18)
0
→
коммутативной. Категорию, объекты которой функторы из
B в C, а морфизмы — естественные преобразования, называют категорией стрелок и обозначают C
Пример 12. Для векторного пространства V обозначим
*
через V
первое, а через V** второе сопряженное к V. Форму-
ла v αV(v)(f) = f(v) задает линейное отображение αV : V →
→ V**. Тем самым определяется естественное преобразова-
ние α : 1
→ (–)** тождественного функтора 1
Vect
второго сопряженного (–)**. Если ограничиться конечномерными пространствами, α оказывается естественным изоморфизмом.
Замечание. Последний пример показывает, как тео-
рия категорий придает точный смысл неформально понятной «естественности» изоморфизма V ≅ V**. В то же время,
конечномерное пространство V и его сопряженное V
изоморфны, но для построения изоморфизма нужно выбрать
базисы, и изоморфизм зависит от этого выбора. В этом смысле изоморфизм V и V* не является «естественным».
Понятие естественного изоморфизма позволяет ввести
понятие эквивалентности категорий, которое адекватным
образом описывает категории с неразличимым алгебраическим строением.
Эквивалентность категорий задается парой функторов
F : A → B и G : B → A с естественными изоморфизмами
α : 1
Для эквивалентных категорий мы будем использовать
обозначение A B.
Если A
op
B, то, допуская некоторую вольность речи,
будем говорить, что категории категория B двойственна категории A.
Пример 13. Пусть X — компактное (отделимое) тополо-
гическое пространство, а C(X) — пространство непрерывных
32
(18)
α
1
→
→
⇒ G F, β : 1B ⇒ F G.
A
.
в функтор
Vect
*
также
комплекснозначных функций на X. Пространство снабжается естественной структурой коммутативной банаховой алгебры с инволюцией. Если f : X → Y — непрерывное отображение в категории компактных топологических пространств,
формула C(f) : ϕ ϕ f задает гомоморфизм C(f) : C(Y) →
→ C(X). Этим определяется контравариантный функтор из
категории компактных топологических пространств в категорию коммутативных унитарных C*-алгебр. В соответствии
со знаменитой теоремой Гельфанда-Наймарка этот функтор
устанавливает эквивалентность категорий.
Пусть C — категория, и A — объект в C. Определим
ковариантный функтор HA : C → Set, полагая HA(X) =
= HomC(A, X), если X — объект категории C. Если f : X → Y —
морфизм в C, то
A
H
(f) : HomC(A, X) → HomC(A, Y)
отображение множеств, при котором H
A
(f)(x) = f x : A → Y
для x : A → X.
Двойственным образом определяется контравариантный функтор HA : Cop → Set:
H
(f) : HomC(X, B) → HomC(Y, A),
A
(f)(y) = y f : A → X для y : Y → B.
H
A
Функторы, эквивалентные функторам вида H
A
и HA,
называются представимыми.
Для пары функторов F : C → Set и G : C → Set обозначим
через Nat(F, G) совокупность все естественных преобразований функтора F в функтор G.
Лемма Йонеды утверждает, что для любого функтора
F : Cop → Set и любого объекта A категории C имеется есте-
ственное взаимно однозначное соответствие (изоморфизм)
множеств:
Nat(HA, F) ≅ F(A). (19)
При изоморфизме (19) естественному преобразованию
ϕ : H
→ F ставится в соответствие элемент ϕA(idA) множе-
A
ства F(A). Обратно, пусть a ∈ F(A) и X — объект категории C.
Зададим отображение ϕ
aX
: HA(X) → F(X), полагая ϕ
a
(f) =
X
= F(f)(a) для морфизмов f : X → A, составляющих множество
HA(X).
Подставив в (19) F = HB, получаем
Nat(H
, HB) ≅ HomC(A, B). (20)
A
33
Таким образом, ставя в соответствие объекту катего-
CD
рии C представимый функтор HA : Cop → Set, мы получаем
вложение категории C в категорию функторов из Cop в категорию множеств (с естественными преобразованиями в качестве морфизмов) в качестве полной подкатегории.
Естественные преобразования можно комбинировать с
F
функторами. Пусть
→
→
G
— пара функторов, а α : F ⇒
G — естественное преобразование. Если H: D → D′ — некото-
рый функтор, то
H* α : H F ⇒ H G —
естественное преобразование, такое что
(H * α)
= H(αX) : H(F(X)) → H(G(X))
X
при всех X ∈ Ob C.
Если же H : C′ → C, то
α * H : F H ⇒ G H —
естественное преобразование, при котором
(α * H)
Y
= α
: F(H(Y)) → G(H(Y))
H(Y)
для любого Y∈ Ob C′.
Наряду с обозначениями H * α и α * H мы будем также
использовать обозначения H(α) и α
соответственно.
H
пределов в категориях. В этом разделе вводится общее понятие предела и копредела.
зывать диаграммой со схемой I в категории C. Если A — объект категории C, постоянный функтор, отображающий все
объекты категории I в A, а все морфизмы — в id
значать DA. Чтобы не загромождать обозначения, мы будем
писать вместо DA просто A в тех случаях, когда из контекста
ясно, о чем идет речь. Далее, всякий морфизм f : X → A в категории C можно рассматривать, как естественное преобразование DX в DA, и обратно.
конусом над D с вершиной A. Конус α : A → D называется
34
1.7. Пределы и копределы
В 1.4 были рассмотрены несколько видов пределов и ко-
Функтор D : I → C, где I — малая категория, будем на-
, будем обо-
A
Естественное преобразование вида α : A ⇒ D называют
пределом
↓↓
(
)
(
)
DD
10
01
DD
01
n
диаграммы D, если для любого конуса β : B ⇒ D су-
ществует единственный морфизм f : B → A такой что α f = β .
Примеры
(14a) Пусть категория I представляет собой дискретное двоеточие, т.е. категорию с двумя объектами 0 и 1, в которой нет других морфизмов, кроме единичных. Пределом
диаграммы D : I → C в этом случае является произведение
A = D(0) × D(1).
(14b) Если I — категория, все объекты и морфизмы которой (кроме единичных) представлены на (21):
1 → 0 ← 2. (21)
Пределом D : I → C является декартов квадрат (22).
A →
D
2
)
(
(22)
→
f
→
(14c) Пусть
I =
— категория, которая состоит
→
g
из пары параллельных стрелок. Пределом диаграммы D : I →
D
f
)
(
→
→ C служит уравнитель A → D(0) пары
(
)
→
D
g
(
)
(
)
.
Заметим, что любые произведение, декартов квадрат
или уравнитель могут трактоваться как соответствующие
пределы.
Двойственным образом определяются копределы:
ко-конус α : D → A называется копределом диаграммы D, если для любого ко-конуса β : D ⇒ B существует единственный морфизм f : A → B такой что f α = β.
Пределы диаграмм называют также проективными
пределами, а копределы — индуктивными пределами.
Пределы бесконечных диаграмм вида (23)
A
← A1 ← A2 ← ... (23)
0
называют обратными и используют для них обозначение
lim
A
.
35
В качестве примера рассмотрим диаграмму
lim
A
AA
nn
n
=∞0
CD
DC
FG
FG
()
()
↓↓
,,
′′
()
0 ← / p ← / p
в категории колец, где — кольцо целых чисел, а p — про-
стое число. Как известно, ее обратным пределом является
кольцо целых p-адических чисел
Копределы бесконечных диаграмм вида (25)
A
называют прямыми пределами и используют для них обо-
значение
Например, если (25) последовательность вложений
n
→ A1 → A2 → ... (25)
0
.
2
← ... (24)
, так что
p
p
n
p= lim/
.
подмножества в объемлющее множество, то
Категория, в которой любая диаграмма имеет предел
(копредел) называется полной (соотв. кополной). Говорят,
что категория конечно полна (или имеет конечные пределы), если в этой категории любая конечная диаграмма имеет
предел. Категория конечно полна если в ней любая пара объектов имеет произведение и для любой параллельной пары
морфизмов существует уравнитель. Двойственным к конечной полноте является понятие конечно кополной категории.
Соответственно, категория конечно кополна, если в ней для
любой пары объектов существует копроизведение, а для любой параллельной пары морфизмов — коуравнитель.
1.8. Сопряженные функторы
Функторы F : C → D и G : D → C называются сопряжен-
ными, если для любой пары объектов C ∈ Ob C и D ∈ Ob C
между множествами Hom
естественное взаимно однозначное соответствие. Естественность здесь понимается в том смысле, что квадраты
HomCDHom
HomCD
коммутативны для любых γ : C′ → C ∈ Mor C, δ : D → D′∈ Mor D.
36
(
−
δγ δγ
)
(
F
′
(
(
D
(F(C), D) и HomC(C; G(D)) имеется
D
)
)
←→
,
←→
′
))
lim
(
−
)
(
HomC D
G,
C
(
=
∪
)
(26)
)
.
Функтор F называют левым сопряженным к функто-
FF
()
()
ε
GG
DD
()
ру G, а функтор G — правым сопряженным к F. Правый сопряженный функтор к функтору F определен однозначно с
точностью до естественного изоморфизма. То же верно для
левого сопряженного функтора к функтору G.
Для обозначения сопряжения будем использовать обозначение F G.
Если D = F(C), образ id
Hom
D
(F(C), F(C)) ↔ HomC(C, G(F(C))) (27)
относительно соответствия
F(C)
задает морфизм
η
Совокупность морфизмов η
: C → G(F(C)) (28)
C
определяет естественное
C
преобразование
η : 1
⇒ G F (29)
C
называемое единицей сопряжения F G.
Аналогичным образом определяется коединица сопряжения
ε : F G ⇒ 1
(30)
D
Для единицы и коединицы сопряжения выполняются
следующие соотношения, называемые тождествами сопря-
жения:
F
η
→
)
η
G
()
→
)
C
D
G
GGF
()
)
(
()
)
(
()
FF
CCCid
(
G
D
(
C
F
()
→
G
()
ε
D
→
=
)
(
(
F
C
()
(31)
id
=
)
G
D
Верно и обратное. Если имеются естественные преобразования (29) и (30), удовлетворяющие тождествам (31),
то F G.
Примеры
(15a) Важный класс примеров дают пары «стирающий
функтор» — «функтор свободного объекта». Например,
пусть U : Vect → Set — стирающий функтор из категории
векторных пространств над полем в категорию множеств.
Определим функтор F : Set → Vec, беря в качестве F(S) векторное пространство с базисом S — множество формальных
конечных сумм вида k1s1 + k2s2 + ... + knsn, где s1, s2, ...,
sn ∈ S, k1, k2, ..., kn ∈ . Всякое отображение множества S
37
в векторное пространство V естественным образом поднимается до линейного отображения F(S) в V, чем и устанавливается естественное взаимно однозначное соответствие
Set(S, U(V)) ≈ Vect(F(S), V).
(15b) Частным случаем сопряжения является соответ-
ствие Галуа. Пусть A и B — частично упорядоченные множества, трактуемые как категории, а f : A → B и g : B → A —
монотонные отображения. Сопряженность f g означает, что
f(a) ≤ b равносильно a ≤ g(b) для любых a ∈ A, b ∈ B. Предположим, что в B любое семейство элементов имеет точную
нижнюю грань. Тогда, зная g : B → A, можно определить
f : A → B так, что f окажется левым сопряженным к g. Достаточно положить
f(x) = inf {y ∈ B | x ≤ g(y)}.
Двойственным образом:
g(y) = sup {x ∈ A | f(x) ≤ y}
дает функцию g : B → A, для которой f : A → B является левым сопряженным.
(15c) Пусть L — полная вполне дистрибутивная решет-
ка. Импликация в такой решетке может быть определена
формулой
a b = sup {u ∈ L | u ∧ a ≤ b}.
Для x, y ∈ L условия a ∧ x ≤ y и x ≤ a y равносильны.
Если трактовать L как категорию, заданную частичным порядком, это означает, что Hom
(a ∧ x, y) и HomL(x, a y)
L
либо оба пусты, либо оба содержат по одному элементу.
Эквивалентность HomL(a ∧ x, y) ≈ HomL(x, a y) естественна по x и y. Таким образом, монотонные отображения
a ∧ (–) : L → L и a (–) : L → L оказываются сопряженными:
a ∧ (–) a (–).
(15d) Предыдущий пример можно обобщить. Рассмо-
трим пару эндофункторов категории множеств в себя:
(–) × A : Set → Set, X X × A —
A
(–)
: Set → Set, Y YA = Hom
(A, Y) —
Set
Каковы бы ни были множества X и Y, имеется канони-
ческая биекция
Hom
(X × A, Y) ≅ Hom
Set
(X, YA),
Set
38
при которой отображению f : X × A → Y соответствует отобра-
жение g: X → YA, такое что g(x)(a) = g(x, a). Таким образом,
функтор (–) × A сопряжен слева к функтору (–)A.
Определение сопряженности может быть перенесено на
контравариантные функторы.
Контравариантные функторы F : Cop → D и G : Dop → C
называются сопряженными слева или справа, если для любой пары объектов C ∈ Ob C D ∈ Ob C имеется естественный
изоморфизм
Hom
(F(C), D) ≅ HomC(G(D), C),
D
или, соответственно,
Hom
(D, F(C)) ≅ HomC(C, G(D)).
D
Опишем теперь связь сопряженности с пределами и копределами.
Рассмотрим категорию диаграмм C
I
со схемой I, где I —
малая категория. Объектами этой категории служат функторы из I в C, а морфизмами естественные преобразования этих
функторов. Если в C существуют пределы диаграмм, то переход к пределу определяет функтор Lim : CI → C.
Замечание
. Чтобы отличить функтор CI → C от его значения на конкретной диаграмме со схемой I, мы использовали для
функтора обозначение Lim, так что Lim(D) = lim D. В дальнейшем мы не будем акцентировать внимание на этом различии.
Для объекта X ∈ Ob C обозначим через ΔX постоянный
функтор из I в C, отображающий все морфизмы в idX. Этим
определяется функтор Δ : C → CI. Если D : I → C и объект
A ∈ Ob C с преобразованием α : A ⇒ D — предел диаграммы D, то а для любого объекта B ∈ Ob C конус β : Δ(B) ⇒ D
однозначно определяет морфизм f : B → A такой, что β = α f.
Таким образом, Hom
(Δ(B), D) находится в естественном
I
C
взаимно однозначном соответствии с HomC(B, lim D). Это означает, что функтор предела является правым сопряжен-
ным к функтору Δ.
Двойственным образом, функтор копредела является
левым сопряженным к функтору Δ.
Сопряженные справа функторы сохраняют пределы
Более детально это утверждение можно представить следующим образом. Пусть I и C те же, что и выше, а U : C → C′ —
.
39
функтор, обладающий левым сопряженным. Если
FF
CC
()
ε
D : I → C — диаграмма в категории C, то U D : I → C′ — диа-
грамма в категории C′. При этом
lim (U D)} ≅ U(lim D).
Двойственным образом, сопряженные слева функторы
сохраняют копределы:
colim (F D) ≅ F (colim D),
где F : C → C′ — функтор обладающий сопряженным.
Пример 16. Рассмотрим функторы U : Vect
F : Set → Vect из примера (15a). Так как F U, стирающий
функтор U сохраняет произведения, уравнители, декартовы
квадраты и другие пределы, а функтор F — суммы, коуравнители (коядра), кодекартовы квадраты и другие копределы.
Например, произведение векторных пространств как множество состоит из тех же элементов, что и произведение их несущих множеств. С другой стороны, сумма множеств S и T в категории множество это их дизъюнктное объединение S T,
а F(S T) ≅ F(S) ⊕ F(T) — векторное пространство F(S T)
изоморфно сумме векторных пространств F(S) и F(T).
1.9. Монады, алгебры, коалгебры
Пусть F : C → D и U : D → C — пара сопряженных функто-
ров, в которой F U. Рассмотрим композицию T = U F : C →
→ C. Возникает вопрос, какие свойства эндофунктора
T : C → C (32)
позволяют восстановить категорию D и пару сопряженных
функторов F U.
Так, если обратиться к примеру 15a, возникает, вопрос,
можно ли по эндофунктору T : Set → Set восстановить категорию векторных пространств, т.е. для произвольного множества S некоторым естественным образом наделить множество T(S) структурой векторного пространства.
Единица сопряжения η : 1
преобразование
η : 1C ⇒ T. (33)
Если
FU
)
(
()
⇒ G F дает естественное
C
F
C
()
→
)
(
—
→ Set и
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]