Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная теория категорий. Монография
.pdf
Единица ηV : K → V ⊗ V* и коединица eV : V ⊗ V* → K
Vi
i
ee
1
=⊗
=
BAAB
fA
∗∗
∗∗
↓↓
λ
()
∗∗
()
AB
BI
fA AI AA BIBB
: ⊗ →⊗ ⊗ →⊗
задаются формулами
n
η
()1
∑
∗
i
, eV(e
*
⊗ ej) = e
i
*
(ej),
i
*
где e
— линейный функционал на V, такой что e
i
*
(ej) = δij, i,
i
j = 1, ..., n.
(20b) Категория бинарных отношений Rel. Объектами
этой категории служат множества, морфизмами — бинарные отношения со стандартной композицией. Моноидальная
структура задается декартовыми произведениями множеств
с одноточечным множеством {*} в качестве единичного объекта. Сопряженным для множества X является само это множество, единица и коединица имеют следующий вид:
η
= {*} × ΔX, eX = ΔX × {*},
X
где Δ
= {(x, x) | x ∈ X}.
X
Пусть f : A → B — морфизм в компактной замкнутой
категории C. Коммутативная диаграмма (55) определяет
морфизм сопряженных f* : B* → A*.
∗∗
BI
∗∗
AAI
Соответствие f f
∗
B
→ ⊗→ ⊗⊗
1
−
ρ
∗
A
← ⊗
← ⊗⊗
*
задает контравариантный функтор
∗
B
η
⊗
A
∗
fB
⊗⊗
∗
AA
⊗
ε
B
ABA
(55)
(–)* : Cop → C.
Далее, морфизму f : A → B соответствуют морфизмы
f : I → A* ⊗ B и f : A ⊗ B* → I, представленные на диаграммах (56) и (57).
∗
∗
Af
⊗
∗
∗
. (56)
ε
B
. (57)
fI AA
η
→ ⊗ → ⊗
:
fABB
⊗ → ⊗→
:
∗
A
fB
⊗
∗
Обратно, морфизму f : I → A* ⊗ B соответствует морфизм f : A → B, представленный композицией (58), а морфиз-
му f : A ⊗ B* → I — композицией (59).
Af
⊗
B
∗
⊗ε
A
(58)
51
fA AI AB BIBB
fB
: ⊗ →⊗ ⊗ →⊗
AIAA
rr
(
)
(
)
⊗⊗ηε
AAIA
ll
(
)
(
)
⊗⊗ηε
AAIA
rr
rr
(
)
(
)
A
⊗
η
Этим устанавливается естественная биекция
Hom
по всем переменным биекция
а также естественные изоморфизмы (61)—(63) (см. [Kelly,
1980]):
A
(A ⊗ B)
A– B ≅ A
A
симметричности моноидальной категории оказывается избыточным. В общем случае, если моноидальная категория C,
вообще говоря, несимметрична, место сопряженного объекта занимают правый и левый сопряженные.
зывать соответственно левым и правым сопряженными, если
имеются естественные левые и правые единицы и коединицы:
удовлетворяющие тождествам аналогичным тем, которые
представлены диаграммами (53) и (54). А именно, каждая
из представленных ниже четырех композиций дает соответствующий единичный морфизм:
AAIAAAAA
⊗ →⊗ ⊗
(A ⊗ B*, I) ≅ HomC(A, B) ≅ HomC(I, A* ⊗ B). (60)
C
Аналогично можно показать, что имеется естественная
Hom
Из (63), в частности, вытекает, что
Для категориальных грамматик Ламбека требование
Пусть A объект категории C. Объекты Al и Ar будем на-
η
A
e
A
B
(A ⊗ B, C*) ≅ HomC(A, (B ⊗ C)*),
C
l
: I → A ⊗ Al, η
l
: Al ⊗ A → I, ε
A
rr
∗
**
≅ A, (61)
*
≅ A* ⊗ B*, (62)
*
⊗ B. (63)
*
≅ A– I. (64)
r
: I → Ar ⊗ A,
A
r
: A ⊗ Ar → I,
A
⊗
⊗
⊗ → ⊗
A
(59)
;
AIAAAAAA
⊗ → ⊗
52
A
rr
AIAAAA
rr
AA
⊗⊗
ll
⊗⊗⊗
rr
⊗⊗η
⊗ → ⊗
A
rr
ε
A
→ ⊗
A
→ ⊗
⊗
;
;
AA
ll
ll
ll
(
)
(
)
BA
B
⊗⊗η
ll
AAIAAA
ll
AAAI
⊗
A
⊗ →⊗⊗
ll
ε
⊗ →⊗
A
.
1.13. Декартово замкнутые категории
Категория C называется декартово замкнутой, если
она удовлетворяет следующим условиям:
(CC-1) В C имеется терминальный объект 1, т.е. такой
объект, что для любого объекта A множество Hom
(A, 1) со-
C
стоит ровно из одного морфизма !A : A → 1.
(CC-2) Каждая пара объектов A и B обладает в категории C произведением A × B
(CC-3) Для любого объекта A функтор (–) × A : C → C
обладает сопряженным справа функтором.
Функтор, сопряженный справа к функтору (–) × A называет экспонентой и обозначают (–)A. Коединицу сопряжения (–) × A (–)A будем обозначать ev. Таким образом,
ev : B
A
× A → B. (65)
Если f : C × A → B, соответствующий ему при сопряжении морфизм будем обозначать λf : C → B
A
. Второе из тож-
деств сопряжения (50) приобретает в этом случае следующий
вид: ev (λf × A) = f, т.е. диаграмма (66) коммутативна при
любых A, B ∈ Ob C.
fA
CA
×→ ×
×λ
f
A
ev
↓
(66)
B
Вообще говоря, морфизм ev в (65) зависит от A и B.
Если из контекста не ясно, о каких объектах идет речь, мы
A
будем писать
ev
.
Примеры
(21a) Главный пример декартово замкнутой категории — категория множеств Set. Естественное взаимно однозначное соответствие Hom
(C × A, B) ≅ Hom
Set
(C, BA) уста-
Set
навливается так, что (λf)(c)(a) = f(c, a) при f : C × A → A.
53
(21b) Категория графов также декартово замкнута. Опи-
↓↓
YY
XX
ff
η
шем построение экспоненты. Пусть G и H — графы. Множество вершины графа HG — это множество V(H)
V(G)
, т.е. вер-
шина графа HG задается отображением f : V(G) → V(H). Дуги
представляют собой тройки вида (σ, ϕ, τ), где σ, τ : V(G) → V(H),
ϕ : E(G) → E(H) такие, что sH(ϕ(e)) = σ(sG(e)) и tH(ϕ(e)) = τ(tG(e))
для любой дуги e ∈ E(G). Естественно, началом дуги (σ, ϕ, τ)
является σ, а концом τ. Коединица ev : HG × G → H строится следующим образом. Пусть f : V(G) → V(H) вершина графа
HG, а v — вершина графа G. Тогда ev0(f, v) = f(v). Далее, если
(σ, ϕ, τ) ∈ E(HG) и e ∈ E(G), то ev1((σ, ϕ, τ), e)) = ϕ(e). Пусть теперь f : A × G → H — гомоморфизм графов. Укажем, как строится гомоморфизм λf : A → HG. Если a ∈ V(A), то (λf)0(a)(v) =
= f0(a, v) для всех v ∈ V(G). Пусть e ∈ E(A) — дуга с началом
a ∈ V(A) и концом b ∈ V(A). Тогда (λf)1(e) = ((λf)0(a), f1(e, –)(λf)0(b)).
В декартово замкнутой категории имеются следующие
естественные изоморфизмы:
(1) 1A ≅ 1, A1 ≅ A
A × B
(2) C
(3) BA × CA ≅ (B × C)
≅ (CB)
A
A
Если, кроме того, в категории имеется инициальный
объект и существуют суммы, то
(4) A0 ≅ 1
(5) C
A + B
≅ CA + C
B
1.14. Топосы
Пусть C — конечно полная категория. Если X — объект
категории C, мономорфизмы µ′ : X′ → X и µ″ : X″ → X эквивалентны и задают один и тот же подобъект объекта X, если
имеется изоморфизм i : X′ → X″ такой, что µ″ i = µ′. Будем
дополнительно предполагать, что семейство подобъектов
любого объекта категории C является множеством.
Обозначим через Sub (X) множество подобъектов объек-
та X. Пусть µ : X′ → X — подобъект объекта X, а f : Y → X —
морфизм. В декартовом квадрате (67)
54
→
′
′
µ
→
′
(67)
против мономорфизма µ расположен мономорфизм η. Можно
↓↓
YY
(
)
(
)
C
(и мы будем) считать, что η : Y′ → Y — подобъект объекта Y.
Будем называть его прообразом X′ и обозначать f–1(X′), если
мономорфизмы-вложения определены контекстом.
Взятие прообраза задает отображение Sub(f) : Sub(X) →
→ Sub(Y). Таким образом, получаем контравариантный фун-
ктор Sub : Cop → Set.
Классификатором подобъектов в конечно полной категории C с терминальным объектом 1 называется объект Ω с
морфизмом true : 1 → Ω такой, что для любого объекта X всякий его подобъект µ : X′ → X является прообразом 1 относитель-
но некоторого однозначно определенного морфизма χ : X → Ω.
Более точно последнее условие можно сформулировать
следующим образом. Для любого мономорфизма µ : X′ → X
существует единственный морфизм χ : X → Ω такой, что квадрат (68)
декартов.
Морфизм χ : X → Ω называется характеристическим
морфизмом подобъекта µ. Если требуется явно указать соответствующий подобъект, будем писать χ
Классифицирующий объект и вложение в него терминального объекта определены однозначно с точностью
до изоморфизма. Мономорфизмы µ′ : X′ → X и µ″ : X″ → X
эквивалентны тогда и только тогда, когда их характеристические морфизмы совпадают. Таким образом, для любого
объекта X множества Sub(X) и HomC(X, Ω) = HΩ(X) находятся во взаимно однозначном соответствии. Это соответствие
естественно в том смысле, что для любого морфизма f: Y → X
диаграмма (70)
Subf Homf
коммутативна.
µ
→
′
Y
′
true
→
1 Ω
SubX Ho mX
(
SubY HomX
≅
)
↓↓
≅
)
(
χ!
,
C
,
(
C
,
(
(68)
или χX′.
µ
Ω
Ω
)
(70)
Ω
)
55
Это означает, что функтор Sub ≅ HΩ представим и пред-
ставляет его классификатор подобъектов Ω.
Конечно полная декартово замкнутая категория C называется топосом, если в ней имеется классификатор подобъектов.
Пример 22. Категория множеств Set является топосом.
Классификатором подобъектов служит двоеточие 2 = {0, 1} с
подобъектом {1} ⊂ 2.
Пусть C — малая категория. Тогда категория функторов и естественных преобразований SetC является топосом.
Произведения и уравнители в SetC строятся пообъектно. Пусть F, G : C → Set. Тогда (F × G)(A) = F(A) × G(A) для
любого объекта A категории C и аналогично для уравнителей.
Функтор GF : C → Set строится следующим образом. Если
A ∈ Ob C, в качестве GF(A) берется множество всех естествен-
ных преобразований функтора HomC(A, –) × F в функтор G.
Далее, пусть f : A → B морфизм в категории C и
α : HomC(A, –) × F ⇒ G — естественное преобразование.
Тогда β = [GF(f)](α) — это естественное преобразование
HomC(B, –) × F в G такое, что βX = αX HomC(f, X) × id
F(X)
.
Укажем теперь классифицирующий объект в категории SetC. Это функтор Ω : C → Set такой, что Ω(A) = Sub(HA)
для любого объекта A категории C. Определение согласуется
с леммой Йонеды, по которой Nat(HA, F) ≅ F(A) для любого
функтора F : C → Set. Пусть f : A → B морфизм в категории C.
Тогда HomC(f, –): HomC(B, –) ⇒ HomC(A, –) — естественное
преобразование функторов. Подъем подобъектов функтора HomC(A, –) вдоль HomC(f, –) дает отображение Sub(HA)
в Sub(HB), которое и принимается в качестве Ω(f) = Ω(A) →
→ Ω(B). Терминальным объектом категории SetC служит
постоянный функтор, отображающий C в одноточечное
множество {*}. Мы будем обозначать его 1. Преобразование
true : 1 ⇒ Ω на объекте A ставит в соответствие точке * подфунктор HA функтора HA.
56
Глава 2. Категории и базы данных
2.1 Категорная модель баз данных
Реляционная модель данных доказала свою важность
для многих приложений баз данных. Дальнейшее развитие
методов обработки данных требует более гибких структур и
языков запросов. Для выражения запросов на основе сопоставления с шаблонами требуются конструкции, которые не
могут быть легко выражены в традиционных реляционных
моделях. Категорный подход создает среду, которая позволяет абстрагироваться от деталей, и по-новому взглянуть на
существующие концепции и является источником многих
интересных обобщений. Благодаря этому, аппарат теории
категорий формирует общую теоретическую основу для моделирования данных. Обобщенный взгляд на модели данных,
помимо формирования новых подходов, позволяет упростить
доказательство ряда классических теорем, которые при традиционном подходе отягощены несущественными деталями.
Внедрение модели реляционной базы данных, сочетающей математическую простоту и богатые выразительные
возможности, имело решающее значение как для исследований, так и для разработок в области баз данных. С тех пор
по разным причинам было введено значительное количество
новых формализмов. Одной из причин этого было желание
иметь возможность представлять более сложные, например,
иерархические, структуры. Общая тенденция к приданию
моделям большей структурированности обусловлена растущим интересом к моделям семантических сетей, к объектно-ориентированным моделям данных.
Необходимость включения большей структуры в схему и
экземпляры данных модели, однако, усложняют определение
данных в этих моделях и манипулирование ими. В этом контексте важны инструменты работы с данными, позволяющие
визуализировать модели. Одним из важнейших инструментов
такого рода являются графы. Чтобы выражать эффективные
запросы (основанные на сопоставлении графов с образцом),
графы также должны быть частью языка запросов.
57
Использование теории категорий в качестве основы
dc
ba
hg
↓↓
для моделей данных дает теоретическую базу для работы и
одновременно аппарат для представления данных с использованием графов. Теория категорий позволяет определять
операции единообразно, используя так называемые универсальные свойства. Объекты могут быть определены достаточно общим образом в терминах их взаимосвязи с другими
объектами вместо их явного описания на низком уровне.
Категории, которые используются в этом контексте,
являются, как правило, конечными. По существу категория
здесь — обобщение направленного графа. С каждым графом
G можно связать свободную категорию путей на этом графе.
Чтобы отличить ее от графа, будем выделять ее шрифтом и
обозначать G. Объекты категории G — вершины графа G,
морфизмы — пути, композиция морфизмов — последовательное прохождение путей. Единичным морфизмом вершины служит путь длины ноль, начинающийся и заканчивающийся в этой вершине. Гомоморфизму графов f : G → H
соответствует функтор F : G → H. В общем случае конечную
категорию C можно рассматривать как граф, «забыв» о композиции. Фактически это означает, что «забываются» некоторые тождества, связывающие параллельные пути, забывается, что некоторые диаграммы коммутативны.
Например, пусть G — граф с четырьмя вершинами и четырьмя дугами (1).
k
→
Категория G, кроме единичных, содержит шесть морфизмов: четыре пути f, g, h, k длины один и два пути k ; g и
h ; f длины два. В категории G квадрат (1) не является комму-
тативным. Требование коммутативности k ; g = h ; k сократит
число неединичных морфизмов до пяти и даст категорию, отличную от G.
Таким образом, категорию можно считать графом, который дополнен тождествами, связывающими некоторые
параллельные пути.
58
f
→
(1)
Приведем краткое описание строения базы данных и свя-
занной с ней категории. База данных состоит из таблиц (отношений). Каждой таблице t соответствует вершина графа G.
Отношение связывает элементы доменов с именами c1, ..., cn
(имена доменов можно считать заголовками столбцов таблицы).
Каждая таблица t содержит первичный ключ с именем
. Для каждого столбца c таблицы t в базе данных имеется
ID
t
таблица t′ такая, что все значения в столбце c ссылаются на
некоторые значения первичного ключа в таблице t′. Такой
столбец c представлен на графе G дугой c : t → t′ с началом t
и концом t′. Если ячейки столбца содержат не ссылки, а данные, мы считаем, что t′ — это таблица из одного столбца, содержащая элементы домена с именем c.
Путь на графе G с началом в вершине t и концом в вершине v дает отображение значений первичного ключа таблицы t в значения первичного ключа таблицы v. Если такие
отображения должны совпадать для параллельных путей
(т.е. путей с общим началом и общим концом) p и q мы будем
писать p q.
Будем считать, что отношение замкнуто относительно композиции путей. Это означает, что если p и q — парал-
лельные пути из t в v и p q, а m — путь, оканчивающийся в
t, и n — путь, начинающийся в v, то m ; p ; n m ; q ; n.
В категории G, морфизмы, определяемые эквивалентными путями, будем считать равными.
Вообще говоря, граф не должен быть категорией, он
дает представление категории. Мы фактически отождествляем категорию с ее представлением. Объект в категории G должен трактоваться, скорее, как тип, а не таблица.
Мы отождествляем таблицу с ее основным столбцом id. Аналогично, если заданы объект c ∈ Ob G и функтор I : G → Set,
то элемент x ∈ I(c) правильнее называть идентификатором
строки, а не строкой. Мы, таким образом, отождествляем
строку с ее идентификатором.
Пример 1. Условная информационная система компании, имеющей филиалы в нескольких регионах страны,
представлена следующими фрагментами таблиц:
59
Таблица 1. Стационарные телефоны
ФИО сотрудника (c11) Номер стационарного служебного телефона (c12)
Иванов И.И. +74921234567
Петров П.П. +73850987654
Таблица 2. Номера телефонов
Номер телефона (c22) Внутренний номер (c27)
+74951234567 1234567 492
+73850987654 0987654 385
Региональный код (c28)
Таблица 3. Инвентарная ведомость
№
п/п
(c33)
ФИО (c31)
1 Иванов И.И. Т-137
2 Петров П.П. Т-138 Сибирский фили-
Инвентарный
номер
аппарата (c35)
Место установки-
филиал (c36)
Центральный
офис, г. Владимир
ал, г. Бийск
Регион (c34)
Владимир-
ская область
Алтайский
край
Таблица 4. Коды регионов
Регион (c44) Код (c48)
Алтайский край 492
Владимирская область 385
Для краткости обозначим таблицы t1, t2, t3, t4. Кроме
указанных имеются «инвентарная ведомость» t5; список филиалов t6; телефонный справочник внутренних номеров t7;
список активных элементов домена региональных кодов t8.
Эти таблицы составляют множество вершин графа G.
Столбцы таблиц задают дуги графа G: столбец cij соответствует дуге с началом ti и концом tj.При этом должно выполняться соотношение
c31; c12; c28 c34; c48.
Граф G с заданным на нем отношением эквивалентности путей ≅ будем называть схемой (базы данных). Чтобы
не усложнять обозначений, будем считать, что отношение ≅
на схеме замкнуто относительно композиции путей.
Гомоморфизм схем — это гомоморфизм графов, сохраняющий отношения эквивалентности.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]