Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная теория категорий. Монография
.pdf
+
A
+
–
C
:,
:,
A
B
gf
+
C
+
f
–
Рис. 6. Композиция линз
+
B
#
g
#
f
–
B
A
Рутинная проверка показывает, что композиция линз
ассоциативна, а линзы вида
−
p
2
id
+
A
A
+
A
←
→
−
A
+
A
где возвратный морфизм — это проекция p2 : A+ × A– → A–,
являются единичными морфизмами.
Таким образом, линзы образуют категорию, которую мы
будем обозначать Lens, используя обозначение LensC, когда
необходимо явно указать категорию C. Объекты этой категории иногда называют
жениями
, используя этот более близкий к линзам термин.
аренами
, мы будем называть их
изобра-
Непосредственно из определения следует, что детерминированная динамическая система
#
S
f
f
:
S
←
→
−
X
+
X
представляет собой линзу с функцией вывода f : S → X+ в качестве прямого морфизма и функцией перехода f# : S × X– → S
в качестве возвратного.
Точно так же являются линзами дифференциальные
системы вида
#
f
f
имеющие n переменных состояния, m параметров и k выходных переменных.
n
n
m
←
→
k
101
Используя декартову структуру базовой категории C,
−−
++
1
1
2
2
−−
−−−
++
12
vv
−
uu
(
)
категорию линз можно снабдить тензорным произведением,
превращающим ее в моноидальную категорию.
Для изображений
−
A
+
A
−
B
,
+
B
полагаем
−
A
+
A
−
B
⊗
B
+
AB
=
AB
×
.
×
Если
#
f
1
f
1
−
A
1
:
+
A
−
B
←
1
+
→
B
и
#
f
2
f
2
−
A
2
:
+
A
←
→
−
B
2
—
+
B
линзы, то
###
f
1
f
1
f
2
⊗
f
2
A
=
A
=
−
1
+
1
AA
h
h
A
⊗
A
×
12
:
++
AA
×
12
−
←
2
+
→
2
B
B
B
←
1
→
BB
−
1
+
1
−
B
2
⊗
+
B
2
×
B
2
×
таково, что
+
+
+
h = f1 × f2 : A
#
#
h
= (f
#
× f
) i : (A
1
2
× A
2
+
) × (B
2
→ B
–
1
1
+
× A
1
1
× B
× B
+
2
–
) → A
2
,
–
× A
1
где
+
i : (A
+
× A
1
2
) × (B
–
–
× B
) → (A
1
2
+
–
× B
1
1
) × (A
+
× B
2
канонический изоморфизм.
Пример 6. На примере модели Гудвина мы покажем,
как выглядит декомпозиция системы в категории линз. Чтобы не загромождать обозначений, мы рассмотрим модель, в
которой исключены все переменные, кроме v (коэффициент
занятости) и u (доля работников в выпуске). Эти переменные
удовлетворяют системе уравнений
1
u
102
v
=
σ
uv
=−+
ραγ .
αβ,
−+
(
)
=
–
2
2
) —
–
,
Рассмотрим системы
id
33
:,
,.
#
f
3
U
=
←
→
fid
=
,
V
=
#
g
3
←
→
gid
=
такие, что возвратные отображения f# : × 3 → и g# : ×
× 3 → заданы следующими формулами:
#
f
(v, ε, α, β) = εv – (α + β)v;
#
(u, ε, α, β) = ηu – (α + γ)u.
g
Коэффициент ε трактуется как результат действия
факторов, способствующих росту занятости, коэффициенты
α (темп роста производительности труда) и β (темп роста рабочей силы) отражают противоположную тенденцию. Аналогичные роли играют во второй формуле коэффициент η и
коэффициенты α и γ.
Тензорное произведение систем U и V имеет следующий
вид:
#
h
UV
⊗=
×
×
←
→
×
,
×
где возвратное отображение × × 3 × 3 → × определя-
ется формулой
(v, u, ε, α, β, η, α, γ) (εv – (α + β)v, ηu – (α + γ)u).
Зададим линзу
#
h
h
6
2
5
←
2
→
полагая h = id и
#
hvu
,,,,,, ,,,,
(
для возвратного отображения h
Нетрудно проверить, что композиция
#
h
h
εαβηγ
UV
():
⊗
u
−
1
=
)
σ
#
: 2 × 5 → 6 = 3 × 3.
2
←
2
→
v
αβραγ
5
— (8)
2
103
это линза с прямым отображением (v, u) (v, u) и возврат-
,.
dt
,,
:,
AB
:.
+− −
ным отображением
vu
(
εαβηγ
)
σ
−+
vvvu u,,,,,,
αβ ραγ
)
(
−+
(
)
1
−
u
Таким образом, система уравнений в модели Гудвина
представлена композицией линз (8).
5.4. Динамика детерминированных систем
Пусть
#
S
f
f
:
S
←
→
−
X
— некоторая дискретная система
+
X
.
Ее траектория задается схемой, состоящей из пары отображений p : → X– и v : → X+, значения которых будем обозначать соответственно pi и vi, и начальным состоянием s0 .
Траек-
тория состоит из последовательности состояний и выходов:
s
= f#(pi, si), f(si) = vi, i = 0, 1, ... .
i+1
Замечание. Понятие траектории введено для случая,
когда система рассматривается над категорией множеств
(или другой конкретной категорией). Это сделано, чтобы
не загромождать обозначений.
Если речь идет о дифференциальной системе, отображения p и v из предыдущего определения заменяются гладкими функциями p : → X
–
и v : → X+. В этом случае тра-
ектория — это дифференцируемая функция s : → S, для
которой
#
fps
()
tt
ds
t
=
)
(
в паре с функцией выхода f(st) = vt.
Чтобы определить морфизмы в категории систем с учетом системной динамики, нам потребуется понятие чарта.
Чарт
−
f
A
f
+
A
−
B
→
→
(9)
+
B
связывающий арены в декартовой категории, задается парой морфизмов
f : A
104
+
→ B+,
fA
×→
Определим композицию чартов. Если даны чарт (9) и чарт
:,
:.
×
×
Δ
:,
:.
:,
:.
−
f
B
f
+
B
−
C
→
+
→
C
их композиция
h
g
=
h
g
:
−
f
A
f
+
A
−
C
→
+
→
C
задается морфизмами
−
A
+
A
+
→ C+ и
ff g
−
A
+
A
→
→
−
A
+
A
+− −
служит чарт
h = g f : A
+−
hA A AAA BB C
×→ ××→ ×→
id
++−
Единичным морфизмом арены
p
−
A
id
где p
: A+× A– → A– — проекция на второй множитель.
A–
Определим теперь категорию дискретных детерминированных систем Sys. Объектами этой категории служат системы, т.е., линзы вида
#
S
f
f
S
←
→
−
X
(10)
+
X
Для обозначения систем мы будем использовать заглавные буквы, набранные прямым полужирным шрифтом, без
указания компонентов, если они ясны из контекста.
Пусть даны системы S
#
S
←
f
1
f
1
1
S
→
1
и S2:
1
−
X
1
+
X
1
#
S
f
2
f
2
2
S
2
←
→
−
X
2
+
X
2
Морфизм систем S1 → S2 задается чартом интерфейсов
−
f
f
X
1
:
+
X
1
→
→
−
X
2
(11)
+
X
2
105
и морфизмом поведения ϕ : S1 → S2 такими, что выполняют-
SX
SX
11
22
↓↓
SX
22
×
××
×
Δϕ
1 2
↓↓
SS
{}
:.
ся следующие условия:
(a) квадрат
f
1
→
ϕ
+
f
f
2
→
+
коммутативен;
(b) коммутативна диаграмма
f
11
# #
f
11 2
11 1
¾¾¾¾¾¾¾¾
1
−
SX SSXSXX
×→ ×× → ×× → ×
f
−
1
1
21 1
ϕ
→
+−
1
−
f
Чарт (11) будем называть чартом поведения ϕ.
Композиция морфизмов систем получается как композиция соответствующих чартов интерфейсов и морфизмов поведения. Единичный морфизм системы задается единичным
чартом интерфейсов и единичным морфизмом состояний.
Пример 7 (дискретное время). Обозначим Time систему, у которой множество состояний и множество выходов —
это множество натуральных чисел , а множество входов
содержит единственный элемент τ, который назовем тиком:
next
id
←
τ
→
Отождествляя × {τ} с , будем считать, что возвратное
отображение next: × {τ} → задается формулой next(n) = n + 1.
Рассмотрим морфизм (в категории систем над категорией множеств) системы Time в систему S вида (10), задаваемый чартом
−
p
{}τ
v
→
:
→
X
+
X
и отображением состояний γ: → S. Так же как, как и выше,
будем считать, что p: → X–. Для любого момента времени
t ∈ имеем:
f(γ(t)) = v(t), f
#
(γ(t), p(t)) = γ(t + 1).
Тем самым, получается траектория системы S в соответствии с приведенным ранее определением.
106
5.5. Системы в условиях неопределенности
В детерминированной системе (10) возвратный мор-
#
физм f
: S × X– → S моделирует смену состояний системы с
учетом входной информации (параметров системы, управляющих воздействий и т.п.). В конкретных системах (в которых объекты — это структурированные множества) возвратный морфизм переводит систему из состояния s в состояние
s′ в зависимости от входного сигнала i ∈ X–. В случае неопре-
деленности паре (s, i) может отвечать не единственное состояние s′ ∈ S, а некоторый набор состояний i ∈ X–, возможно,
снабженный некоторой дополнительной структурой. В случае полной неопределенности — это просто набор возможных
состояний, подобъект объекта состояний. Если известны вероятности перехода системы в то или иное состояние, паре
(s, i) сопоставляется распределение вероятности. Промежуточный случай — паре (s, i) соответствует распределение возможностей на множестве S, когда потенциально возможным
переходам из состояния s в состояние s′ при входной информации i присваивается числовая или логическая оценка.
Приведенные соображения могут быть формализованы
построением категории систем над категорией C, в которой
задана монада M. Напомним, что монада задается естественными преобразованиями η : 1C ⇒ M (единица сопряжения) и
µ : M2 ⇒ M (умножение), удовлетворяющими естественным
условиям коммутативности:
µ µ
= µ T(µ), µ ηT = 1 = µ T(η).
T
Общая идея состоит в том, что в отличие от детерминированных систем возвратный морфизм в задающей систему
линзе
#
S
f
f
:
S
←
→
−
X
+
X
действует из S × X– в M(S), т.е. f# : S × X– → M(S).
В случае систем над категорией множеств при полной
неопределенности f#(s, i) — это подмножество в S. Таким
образом, можно считать, что M(S) — это булеан (множество
всех подмножеств) множества S. Ранее мы рассматривали
булеан как пример монады (пример 1.17a).
107
Если неопределенность стохастическая, f#(s, i) задает
iI
AA
(
)
∈
(
)
(
)
∑
(
)
()(
)
∑
распределение вероятностей в пространстве S, так что в качестве M(S) нужно брать множество все распределений вероятности на множестве S.
Для моделирования ситуации, когда состояния из
f#(s, i) имеют числовую или логическую оценку возможно-
сти, в качестве M(S) нужно брать множество всех отображений множества состояний в соответствующую числовую или
логическую шкалу.
Рассмотрим несколько монад в категории множеств, ко-
торые используются для моделирования неопределенности.
1. Ковариантный булеан. Функтор P: Set → Set сопо-
ставляет множеству A множество всех его подмножества
P(A). Если f : A → B отображение, то P(f) : P(A) → P(B) множеству A′ ⊆ A ставит в соответствие f(A′) ⊆ B. Компонента
единицы η : 1
множества A в соответствующие синглетоны: a {a} ⊆ A.
Умножение µ : P2 ⇒ P на множестве A задается формулой
µ
′
Ai
iI
∈
2. Стохастическая монада. Для конечного множества
A обозначим через Dist(A) множество всех распределений ве-
роятности на A. Покажем, что этим задается монада Dist в
категории конечных множеств.
Естественное преобразование η : 1
задавая для множества A отображение ηA : A → Dist(A) формулой ηA(a) = δa, где δa — распределение вероятности на A,
сосредоточенное в точке a, т.е. δa(a) = 1 и δa(x) = 0 при x ≠ a.
Пусть f : A → B — отображение множеств. Определим
отображение f* = Dist(f) : Dist(A) → Dist(B). Если p — распределение вероятности на A, то q = Dist(p) таково, что
Далее, пусть P — распределение вероятности на
Dist(A). Определим распределение вероятности q = µA(P) на
A формулой
⇒ P на множестве A отображает элементы
Set
=
′
.
i
→ Dist определим,
Set
qb px
=
fx b
)
(
qa Pppa
=
pA
∈
Dist
(
.
=
.
)
108
Отображения µA : Dist2(A) → Dist(A) задают естествен-
ное преобразование µ : Dist2 → Dist.
Непосредственная проверка показывает, что Dist явля-
ется функтором, и вместе с определенными выше естественными преобразованиями η и µ задает в категории множеств
монаду.
3. Монада нечетких множеств. Нечеткое подмноже-
ство V множества A задается функцией принадлежности
χV : A → [0, 1]. Иногда для краткости мы будем писать V(a)
вместо χV(a).
Замечание. Традиционно функцию принадлежности
принято обозначать буквой µ. Мы используем для обозначения функций принадлежности букву χ, чтобы избежать путаницы с обозначением умножения µ : T2 ⇒ T в монадах.
Обозначим через F(A) множество всех нечетких подмно-
жеств множества A. Если f : A → B — отображение множеств
и V нечеткое подмножество множества A, то W = F(f)(V) —
нечеткое подмножество множества B с функцией принадлежности
µW(y) = sup {χV(x) | f(x) = y}. (12)
Единица η : 1
→ F(A), при которых η(a) = δ
⇒ F задается отображениями ηA : A →
Set
, где δa — синглетон, такой что
a
δa(a) = 1 и δa(x) = 0 при x ≠ a. Далее, элементами множества
F2(A) являются нечеткие семейства нечетких подмножеств
множества A, т.е. отображения вида χ : [0, 1]A → [0, 1]. Зададим умножение µ : F2 → F. Пусть A — множество и χ ∈ F2(A).
Тогда µA(χ) — нечеткое подмножество Uχ множества A с
функцией принадлежности
U
(x) = sup {min (χ(γ), γ(x)) | γ ∈ F(A)}. (13)
χ
Замечание. В конструкции монады нечетких множеств
операция min (–, –) может быть заменена t-нормой. Напомним, что t-нормой называется бинарная операция * на отрезке [0, 1], превращающая его в коммутативную полугруппу с
нулем 0 и единицей 1, и монотонная по обоим аргументам.
4. Монада L-множеств. Монаду нечетких множеств
можно обобщить на случай, когда функция принадлежности принимает значения в полной вполне дистрибутивной
решетке.
109
Пусть (L, ∧, ∨, 0, 1) — полная вполне дистрибутивная
MM
MM
AA
↓↓
(
)
(
)
11
σ
↓↓
(
(
MM
MM
AA
AA
σ
MM
CA
××
↓↓
×
σ
σσ
,,
MMCA
↓↓
=×
MM
решетка. Множество A с отображением α : A → L будем называть L-множеством с носителем A и обозначать (A, α). Для
множества A пусть FL(A) — множество всех L-множеств с
носителем A. Для отображения множеств f : A → B определим отображение FL(f) : FL(A) → FL(B), полагая
[F
для всех α ∈ F
(f)(α)](y) = ∨ {α(x) | f(x) = y}. (14)
L
(A) и y ∈ B.
L
Так же, как и в случае нечетких множеств, единица
η : 1
⇒ FL задается отображениями ηA : A → FL(A), при
Set
которых η(a) = δa, где δa — синглетон, такой что δa(a) = 1 и
δa(x) = 0 при x ≠ a.
Умножение µ : F
Пусть A — множество и ϕ ∈ F
2
⇒ FL задается следующим образом.
L
2
, т.е. ϕ : FL(A) → L, тогда
L
µA(ϕ) — это такое L-множество (A, α), что
α(x) = ∨ {ϕ(γ) ∧ γ(x) | γ ∈ F
(A)}. (15)
L
Все перечисленные выше монады коммутативны. Это
означает, что для каждой из них имеется естественное преобразование σ : M(–) × M(–) ⇒ M(– × –) такое, что для любых
A, B, C коммутативны следующие диаграммы:
id
×
η
MM
AA A
× →
)
(
p
1
11 1
×
MM
)
(
p
2
)
MM
AB
×
)
(
AB AB C
M
AB
×
(
где p1 и p2 — проекции.
110
1
×
id
η
1
→
×
)
(
×
)
AB AMB
η
AB
(
(
id
××
)
(
×→
×
AB AB
)
×
)
(
=
×
)
(
=
id
→
)
→ ××
××ηη
AB
×
ABCσ,
(
BC
,
)
(
)
M
1
A
,
→ ×
M
(
1
A
,
→ ×
M
(
)
M
BC
)
(
×
)
(
σ
AB
(
(
×
BC
(
)
(
,
,
)
1
)
(
p
)
1
;
A
)
(
p
)
2
;
)
;
)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]