Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная теория категорий. Монография
.pdf
Заметим, что если (E, M)—разложение, то M = E⊥ и
E = M⊥. Разложение всякого морфизма f вида f = m p опре-
делено однозначно с точностью до изоморфизма.
Примеры
(9a) В категории множеств все мономорфизмы и все эпиморфизмы строгие. То же верно для категории абелевых групп.
(9b) Менее тривиальный пример доставляет кате-
гория абелевых групп без кручения. Мономорфизмами в
этой категории являются гомоморфизмы с нулевым ядром.
Гомоморфизм f : X → Y является эпиморфизмом, если фактор-группа Y / f(X) периодическая. Гомоморфизм f : X → Y
является строгим мономорфизмом, если он инъективен и
фактор-группа Y / f(X) не содержит периодических элементов, и строгим эпиморфизмом, если он сюръективен. Пары
классов (Epi, Mons) и (Epis, Mon) дают ортогональные разложения категории абелевых групп без кручения.
(9c) Категория векторных пространств с выделен-
ным подпространством. Объекты этой категории пары вида
(E, F), где E — векторное пространство, а F ⊆ E — его подпространство. Морфизмы из (E, F) в (E′, F′) — это такие линейные отображения f : E → E′, что f(F) ⊆ F′. Морфизм f : (E, F) →
→ (E′, F′) является мономорфизмом, если он инъективен и
строим мономорфизмом, если к тому же f(F) = f(E) ∩ F′. Морфизм f—эпи морфизм, если f(E) = E′ и строгий эпиморфизм,
если кроме того f(F) = F′. Так же, как и в категории абелевых
групп без кручения, Пары классов (Epi, Mons) и (Epis, Mon)
дают орто гональные разложения.
1.4. Произведения, уравнители и универсальные квадраты
В этом разделе мы рассмотрим несколько важных частных случаев пределов и копределов. Общее понятие предела
и копредела будет введено в 1.7.
Начнем с понятия произведения.
Произведением объектов X1 и X2 в категории C называ-
ется объект P этой категории с парой морфизмов pi : P → Xi,
i = 1, 2, называемых проекциями, обладающий следующим
свойством:
для любого объекта U категории C и морфизмов
fi : U → Xi, i = 1, 2, существует единственный морфизм
f : U → P такой, что pi f = fi, i = 1, 2.
21
Произведение определено с точностью до изоморфизма
PX
iI=∈
∏
PX
iI=∈
∏
QY
iI=∈
∏
ff
iI=∈
∏
Объект, являющийся произведением объектов X1 и X2, принято обозначать X1 × X2. Если X1 = X = X2, то для обозначения произведения вместе с X × X используется также обозначение X2.
Морфизм f : U → X1 × X2, для которого p1 f = f1 и p2 f =
= f2, будем обозначать 〈f1, f2〉.
В категории множеств декартово произведение мно-
жеств A и B является их произведением в категорном смысле. То же верно для большинства конкретных категорий.
Если рассматривать частично упорядоченное множество A
как категорию, произведением элементов a, b ∈ A как объектов этой категории служит точная нижняя грань a ∧ b (если
она существует).
Заметим, что порядок проекций существен. Пусть
p1 : P → X1 p2 : P → X2,
проекциями. Если поменять порядок проекций, то, как легко
видеть, P будет играть роль произведения X2 × X1. Существует
морфизм s : P → P, такой что p1 s = p2 и p2 s = p1. Очевидно,
s2 = idP, так что s является изоморфизмом.
Понятие произведения можно распространить на любое
семейство объектов категории C. Произведением семейства
объектов Xi, i ∈ I, называется объект P с семейством проекций pi : P → Xi, i ∈ I, обладающий следующим свойством:
для любого объекта U категории C и семейства мор-
физмов fi : U → Xi, i ∈ I, существует единственный морфизм
f : U → P такой, что pi f = fi для всех i ∈ I.
Для произведения используется традиционное обозна-
чение
и другие его версии. Если семейство I конеч-
i
— произведение с соответствующими
.
но, произведение может быть обозначено так же, как и в случае двух объектов. Например, X1 × X2 × X3.
ют произведения
делен морфизм f : P → Q, такой что qi f = pi fi для всех i ∈ I,
где pi : P → Xi, qi : Q → Yi — проекции. Для этого морфизма
будем использовать обозначения
22
Если fi : Xi → Yi, i ∈ I, — набор морфизмов и существу-
и
i
, то однозначно опре-
i
или обозначения
i
типа f1 × f2 : X1 × X2 → Y1 × X2 для конечных семейств. Заме-
XY
XY
XY
тим, что произведение ассоциативно, так что в расстановке
скобок в произведении нет необходимости. Если, например,
fi : Xi → Yi, i =1, 2, 3, то морфизмы
p
p
1
p
: (X1 × X2) × X3 → X1 × X2 → X1,
12
p
2
: (X1 × X2) × X3 → X1 × X2 → X
12
p3 : (X1 × X2) × X3 → X
2
3
задают естественный изоморфизм (X1 × X2) × X3 → X1 × X2 × X3.
Терминальный объект категории (если он существует)
является произведением пустого семейства множеств.
Категория, в которой любое конечное семейство объектов, имеет произведение, называется декартовой. Более
подробно декартовы категории будут рассмотрены в 1.13.
Введем понятие уравнителя.
Пару морфизмов категории C с общей областью и общей
кообластью будем называть параллельной парой (стрелок
или морфизмов).
Пусть
f
→
→
—
g
параллельная пара морфизмов. Объект U с морфизмом
u : U → X называется
уравнителем
пары (f, g), если U — максимальный подобъект объекта X такой, что сужение морфизма
f на этот подобъект совпадает сужением на него морфизма g.
Иными словами, u : U → X — уравнитель параллельной
f
пары
→
→
g
, если
-f u = g u
-для любого морфизма v : V → X такого, что f v = g v
существует единственный морфизм h : V → U, для которого
v = u h.
f
Если
→
→
— пара отображений в категории мно-
g
жеств, ее уравнителем служит множество U = {x | f(x) = g(x)} с
вложением U → X. Если X и Y — топологические пространства
23
,
а f и g — непрерывные отображения, их уравнителем в катего-
XZY
fg
→←
DY
sg
XZ
↓↓
↓↓
′
DY
sg
XZ
′
−
′
→
ht
||
sg
XZ
↓↓
рии топологических пространств служит множество U, наделенное индуцированной топологией подпространства.
Уравнитель какой-нибудь параллельной пары морфиз-
мов, называют регулярным мономорфизмом. Всякий регулярный мономорфизм ортогонален всем эпиморфизмам, и,
значит, является строгим.
Введем еще один тип предела — декартовы квадраты.
Пусть дана пара морфизмов с общей кообластью
. Коммутативный квадрат (2)
t
→
f
→
(2)
называется декартовым, если для любого коммутативного
квадрата (3)
t
→
′
′
f
→
(3)
существует единственный морфизм h : D′ → D такой, что
s h = s′ и t h = t′ (см. (4)).
DtY
Если (2) — декартов квадрат, морфизм t называют подъ-
емом морфизма f вдоль g.
Это определение мотивировано следующим примером.
Пусть Y и Z — множества, g : Y → Z — отображение, и X ⊆ Z.
Тогда квадрат (5)
−
gX Y
в котором f и t — вложения подмножеств, является декартовым.
24
sDg
′
s
↓
f
t
>→
f
>→
→
X
−−
1
)
(
(4)
↓
Z
(5)
Если в категории C существуют конечные произведе-
DtY
Yg
−→
||
DY
↓↓
XZY
fg
→←
XY
ния и уравнители, на любой паре морфизмов с общей кообластью можно построить декартов квадрат. Его строение дает
диаграмма (6)
где p и q — проекции, k : D → X × Y — уравнитель параллель-
ной пары (g q, f p), s = p k, t = q k.
Пусть 1 — терминальный объект категории C. Комму-
тативный квадрат (7)
является декартовым тогда и только тогда, когда D — произведение объектов X и Y с проекциями p и q.
Категорию, в которой на любой паре морфизмов вида
вают категорией с декартовыми квадратами. Таким обра-
зом, категория с конечными произведениями и уравнителями является категорией с декартовыми квадратами. Верно и
обратное, в категории с конечными произведениями и декартовыми квадратами любая пара параллельных стрелок
имеет уравнитель. В качестве уравнителя пары
можно взять подъем морфизма 〈idX, f〉 : X → X × Y вдоль мор-
физма 〈idX, g〉 : X → X × Y в соответствующем декартовом
квадрате.
k
sX
↓
X
−−
×
p
f
→
p
→ 1
X
q
(6)
↓
→
Z
q
(7)
можно построить декартов квадрат, назы-
f
→
→
g
25
Так, если квадрат
DX
pg
XX
↓↓
XY
XY
XY
q
→
1
X
f
1,,
X
→×
Y
декартов, то p = q : D → X является уравнителем пары
f
→
→
.
g
Двойственными к произведениям, уравнителям и декартовым квадратам являются соответственно копроизведения, коуравнители и кодекартовы квадраты.
Копроизведением объектов X1 и X2 в категории C на-
зывается объект S этой категории с парой морфизмов mi :
Xi → S, i = 1, 2, называемых инъекциями, обладающий сле-
дующим свойством:
для любого объекта U категории C и морфизмов
fi : Xi → U, i = 1, 2, существует единственный морфизм
f : S → U такой, что f mi = fi, i = 1, 2.
Объект, являющийся копроизведением объектов X1 и
X2, будем обозначать X1 X2. Морфизм f : X1 X2 → U, для
f
которого f m1 = f1 и f m2 = f2, будем обозначать
f
1
2
или,
для экономии места, 〈f1, f2〉t. Остальные определения, связанные с копроизведениями, получаются по двойственности, а
обозначения аналогичны обозначениям для произведений.
В категории множеств копроизведением множеств A
и B является их дизъюнктное объединение A B. В категории векторных пространств копроизведение векторных пространств E и F — это их прямая сумма E ⊕ F.
f
Пусть
→
→
g
— параллельная пара морфизмов. Объ-
ект U с морфизмом w : Y → W называется коуравнителем
f
пары морфизмов
26
→
→
g
, если w f = w g и для любого
морфизма v : Y → V такого, что v f = v g существует един-
XY
ZY
ft
XW
↓↓
ZY
ft
XW
↓↓
−→
||
ственный морфизм h : W → V, для которого v = h w (8).
Пример 10. Коуравнители в категории множеств.
Пусть X и Y — множества, а f : X → Y и g : X → Y — отображе-
ния. Обозначим через ~ минимальное (по включению) отношение эквивалентности на Y, при котором f(x) ~ g(x) для любого x ∈ X. Фактор-множество U = X / ~ с каноническим
отображением w : Y → W является коуравнителем пары
f
→
→
в категории множеств.
g
Пусть дана пара морфизмов с общей областью f : Z → X
и g : Z → X. Коммутативный квадрат (9)
называется кодекартовым, если для любого коммутативного квадрата вида (10)
существует единственный морфизм h : W → W′ такой, что
h s = s′ и h t = t′ (см. (11)).
f
→
XY W
→
g
w
→
v
↓
V
g
→
s
→
g
→
s
′
→
ZgY
t
fWt
s
↓
X
−−
h
↓
s
′
→
W
(8)
h
(9)
(10)
′
′
′
(11)
′
27
Кодекартовы квадраты — своеобразные амальгамы.
Yt
−→
||
ft
XX
↓↓
∪
DY
gg
XZ
′
↓↓
В кодекартовых квадратах производится «склейка» элементов, имеющих «общего предка». В категории с копроизведениями и коуравнителями кодекартов квадрат может быть
построен дуально тому, как строится декартов квадрат.
Пусть на диаграмме
ZgY
l
fX
↓
X
−−
k
h
↓
s
→
W
k и l — канонические инъекции, а h — коуравнитель пары
(k f, l g). Тогда объемлющий квадрат кодекартов.
В качестве теоретико-множественной иллюстрации
рассмотрим диаграмму
XY Y
∩→
g
s
→
(12)
U
на которой все отображения — вложения подмножеств.
Несложно проверить, что квадрат (12) одновременно декартов и кодекартов
1.5. Категории соответствий
Назовем класс эпиморфизмов E категории C устойчи-
вым, если в любом декартовом квадрате (13)
в котором f ∈ E, также и f′ ∈ E.
Пусть C — категория с произведениями и декартовыми
квадратами, а (E, M) — ее ортогональное разложение, такое,
что класс эпиморфизмов E устойчив. Дополнительно будем
28
′
f
→
f
→
(13)
предполагать, что для любого объекта категории C класс его
XUY
fg
←→
X
WU
pg
fg
↓↓
←→
WV
us
fg
↓↓
←→
подобъектов является множеством.
В этом разделе мы опишем категорию RelC — кате-
горию бинарных отношений над C относительно (E, M).
Объекты категории RelC — те же, что и объекты категории C.
Морфизмы (соответствия) из X в Y задаются M-подобъекта-
ми произведения X × Y. Множество всех соответствий из X в
Y обозначим RelC(X, Y).
Композицию морфизмов в RelC удобно определить, ис-
пользуя описанное ниже исчисление дробей.
Пара коинициальных морфизмов
од-
нозначно задает морфизм U → X × Y, дающий в композиции
с проекциями морфизмы f и g. Дробью g / f обозначим M-об-
раз этого морфизма. Таким образом, g / f ∈ RelC(X, Y).
Отношение частичного порядка на множестве подобъ-
ектов произведения X × Y дает упорядочение соответствий
g / f ∈ RelC(X, Y). Если g / f, и g′ / f′ — соответствия из X в Y,
то g / f ⊆ g′ / f′ тогда и только тогда, когда найдутся p ∈ E и
морфизм v такие, что 〈f, g〉 p = 〈f′, g′〉 v. Если, кроме того,
можно выбрать v ∈ E, то g / f = g′ / f′, см. (14).
f
↑
′
XUY
→
v
(14)
′
′
если 〈f, g〉 ∈ M.
товых квадратов. Пусть g / f ∈ RelC(X, Y) и t / s ∈ RelC(Y, Z).
Тогда (t / s) (g / f) = (t v) / (f u), где квадрат s v = g u декартов, см. (15).
Дробь g / f ∈ RelC(X, Y) будем называть приведенной,
Композиция соответствий определяется с помощью декар-
Z
t
↑
v
→
XU Y
(15)
29
Ассоциативность композиции обеспечивается устойчи-
DY
sg
XZ
↓↓
востью класса E в декартовых квадратах. Единицей объекта
X в RelC служит idX / idX. Если f: X → Y — морфизм в катего-
рии C, его график Γ(f) = f / idX — соответствие из X в Y в категории RelC. Сопоставление морфизмам их графиков задает
функтор вложения Γ : C → RelC.
Для g / f ∈ RelC(X, Y) положим (g / f)# = f / g.
(–)# является контравариантным функтором RelC → Rel
Инволюция
op
C
,
сохраняющим упорядочение соответствий.
В дальнейшем, композицию соответствий будем записывать слева направо, используя для нее обозначение «;».
Категорию C будем считать вложенной в RelC в качестве
ее подкатегории. С учетом этого, например, g / f = f# ; g.
Как правило, для обозначения соответствий мы будем использовать строчные греческие буквы, а строчные латинские — для обозначения морфизмов категории C.
Морфизм ϕ ∈ RelC(X, Y) называется
функциональным
,
если ϕ ; ϕ# ⊇ 1X и ϕ# ; ϕ ⊆ 1Y. Если ϕ = g / f, условие ϕ ; ϕ# ⊇ 1 означает, что f ∈ E, а условие ϕ# ; ϕ ⊆ 1Y — что f — мономорфизм
.
Таким образом, все морфизмы категории C функциональны
в RelC. Функциональные морфизмы образуют в категории
соответствий подкатегорию, которую мы обозначим FRelC.
Категория C является подкатегорией категории FRelC, вообще говоря, неполной. Полной подкатегорией она будет в
случае, когда все мономорфизмы из класса E являются изоморфизмами.
Квадрат (16)
t
→
f
→
(16)
в категории C будем называть вполне коммутативным,
#
если t
; s = g ; f# в категории соответствий RelC. Всякий
вполне коммутативный квадрат коммутативен. Всякий декартов квадрат из C вполне коммутативен в RelC.
Будем говорить, что соответствие ε ∈ RelC(X, X):
рефлексивно, если ε ⊇ 1X;
симметрично, если ε = ε#;
транзитивно, если e2 ⊆ ε .
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]