Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная теория категорий. Монография
.pdf
Непосредственно из определений вытекает, что
∈∈
∈
iI
iI
iI
AB
),
AB
),
R(A) ⊆ B тогда и только тогда, когда A ⊆ R
•
(B).
Если рассматривать упорядоченные множества P(X) и
P(Y) как категории, то функтор R: P(X) → P(Y) сопряжен слева к функтору R
•
: P(Y) → P(X).
Далее, для A ⊆ X положим
↑
R
(A) = {y ∈ Y | (a, y) ∈ R для всех a ∈ A}.
Точно так же, если B ⊆ Y, то
↓
R
(B) = {x ∈ X | (x, b) ∈ R для всех b ∈ B}.
Отображения P(X) → P(Y) и P(Y) → P(X), при которых
A R
↑
(A) и B R↓(B) образуют соответствие Галуа:
↓
A ⊆ R
(B) тогда и только тогда, когда B ⊆ R↑(A).
Тем самым, в P(X)и в P(Y) возникают операторы замы-
кания:
A A
= R↓(R↑(A)) и B B = R↑(R↓(B)).
Формальным контекстом называется тройка K = (G, M, I),
где G — множество объектов, M — множество признаков (атрибутов), I ⊆ G × M — бинарное отношение.
Для формальных контекстов мы будем писать A′ и B′
вместо I↑(A) и I↓(B) в тех случаях, когда это не ведет к недоразумениям
Формальным понятием относительно заданного кон-
текста называется пара (A, B), где A ⊆ G, B ⊆ M и при этом
A = B′ и B = A′.
Множество A трактуется как объем (или, в другой терминологии, экстент) а B — как содержание (интент) формального понятия (A, B).
На множестве формальных понятий можно определить
отношение порядка, считая, что
(A
, B1) ≤ (A2, B2) тогда и только тогда, когда A1 ⊆ A
1
2
(равносильно — B1 ⊇ B2).
Снабженное этим порядком множество формальных
концепций образует полную решетку:
∧=∩∪
AB
(,
ii
i
;
i
∨=∪∩
AB
(,
ii
∈
∈
iI
i
∈iI
iI
i
.
81
Решетку формальных концепций относительно кон-
текста K = (G, M, I) будем обозначать Con(K).
Пример 1. Пусть множество объектов G состоит из трех
фигур:
равносторонний треугольник (РТ),
прямоугольный треугольник (ПТ),
прямоугольник (П),
квадрат (К),
ромб (Р),
а множество атрибутов M из четырех признаков:
имеет три вершины (В3),
имеет четыре вершины (В4),
имеет прямой угол (ПУ),
все стороны равны, (СС)
все углы равны (УУ).
Отношение объект-признак I, представлено следующей
таблицей:
G \ M В3 В4 ПУ СС УУ
РТ 1 1 1
ПТ 1 1
Пр 1 1 1
Кв 1 1 1 1
Ро 1 1
Наименьшим элементом решетки понятий является
(∅, M), наибольшим — (G, ∅). Приведем еще в качестве примера одну из цепочек возникающих формальных понятий:
(∅, M) ≤ ({PT}, {B3, CC, УУ}) ≤ ({PT, Кв}, {CC, УУ}) ≤
≤ ({PT, Кв, Po}, {CC}) ≤ (G, ∅),
имеющих очевидную интерпретацию.
Пример 2. Пусть P — частично упорядоченное множе-
ство. Рассмотрим контекст
F(P) = (P, P, ≤ ).
Если A ⊆ P — экстент, то A′ — множество всевозможных верхних граней, т.е., b ∈ A′ в том случае, когда a ≤ b для
всех a ∈ A. Обратно, если B ⊆ P — интент, то B′ содержит все
82
a ∈ P для которых a ≤ b при любом b ∈ B. Отсюда следует,
()
()
()
2
AG
()
1
что решетка понятий относительно контекста F(P) образована сечениями упорядоченного множества P. Таким образом,
решетка понятий в этом случае оказывается пополнением
Дедекинда-Макнейла упорядоченного множества P. В частности, если P — полная решетка, то решетка понятий изоморфна P.
Пример 3. Пространство Rn с отношением ортогональ-
ности ⊥ определяет контекст (Rn, Rn, ⊥). Формальные понятия относительно этого контекста имеют вид (V, V⊥), где V —
подпространство пространства Rn, а V⊥ — его ортогональное
дополнение.
4.2. Категория формальных контекстов
Объектами категории формальных контекстов Cxt яв-
ляются формальные контексты K = (G, M, I). Морфизм контекста K
ется бинарным отношением (многозначным отображением)
R : G1 G2, удовлетворяющим следующим условиям:
тые множества.
щее условиям (C1) и (C2), будем называть замкнутым.
го отображения условие (C2) можно заменить условием
лений следует, что для A ⊆ G1 и B ⊆ M2 условие R(A) ⊆ B′
равносильно условию A ⊆ R•(B′).
любом A ⊆ G1. Покажем, что если выполняется C2, то верно и
обратное включение. Для этого достаточно показать, что
RA RA
ния последнее условие (при B = [R(A)]′) равносильно тому, что
A ⊆ R•([R(A)]″). Множество
Значит, в силу (C2) множество
= (G1, M1, I1) в контекст K2 = (G2, M2, I2) зада-
1
(C1) R(g) замкнуто для любого g ∈ G1;
(C2) отображение R•: P(G2) → P(G1) сохраняет замкну-
Многозначное отображение R: G
Покажем, что в определении замкнутого многозначно-
RA RA
=
)
(C2a)
Прежде всего, заметим, что непосредственно из опреде-
Далее, очевидно, R(A) ⊆ R(A), так что
⊆
(
)
(
, т.е. R(A) ⊆ [R(A)]″. С учетом сделанного замеча-
для любого множества A ⊆ G1.
RA RA G
(
G2, удовлетворяю-
1
RA RA
⊆
)
(
′′
=
)
•
RR
⊆
)
(
)
(
замкнуто.
⊆
замкнуто.
при
83
Кроме того,
()
()
••
BB
(
)
BB
()
BB
()
RB
••
()
()
()
()
()
()
A
⊆ R•([R(A)]″).
Обратно, предположим, что выполняется условие
(C2a). Произвольное замкнутое множество в G2 имеет вид B′
для некоторого B ⊆ G2. Покажем, что R•(B) замкнуто в G1
при любом B ⊆ G2. Так как R(R•(B′)) ⊆ B′, а множество B′
замкнуто, имеем
•
RR
и
()
ARRA RRA⊆
•
RR
⊆
′
′
, тем более,
⊆
)
(
⊆
′
′
)
(
. Тогда согласно (C2a) также
RR
(
•
()
)
и, следовательно,
⊆
′
′
. Но отсюда сле-
дует, что
морфизмы контекстов K1 = (G1, M1, I1) в K2 = (G2, M2, I2)
и K2 = (G2, M2, I2) в K3 = (G3, M3, I3), их композицией, т.е. морфизмом контекста K1 = (G1, M1, I1) в контекст
K3 = (G3, M3, I3), служит многозначное отображение
T : G1 G3, такое что
для всех g ∈ G1.
достаточно проверить, что композиция T : G1 G3 является
замкнутым многозначным отображением.
ственно из определения. Покажем, что T удовлетворяет условию (C2a). Для любого A ⊆ G1 имеем:
(2) применительно к A
RB
Если R : G1 G2 и S : G2 G3 задают соответственно
Для доказательства корректности этого определения
То, что T удовлетворяет условию (C1) следует непосред-
Далее, используя (C2a) применительно к S и R, а также
⊆
′
)
(
TA Ta SRa
(
SRaS Ra SRA
=
aA aA
∈∈
′
)
(
, так что R•(B) замкнуто.
Tg SRg
=
)
(
=
)
aA aA
∈∈
)
(
()
, получаем:
=
)
(
=
)
(
(1)
()
=
)
(
=
)
(
(2)
.
)
((
SRASRA SRASRA TA
()
что и завершает доказательство.
84
=
)
(
)
(
=
=
()
=
()
,
Композицию замкнутых соответствий, задаваемую фор-
()
()
()
()
()
1
()
()
()
(.
1
()
()
∈∈iIiiI
AA
мулой (1), будем обозначать символом и писать T = S R.
Композиция морфизмов ассоциативна. В самом деле,
пусть Ri : Gi G
в контекст Ki = (G
RRRgRR Rg RRRg
(
(
321321 321
Используя (1) имеем:
задает морфизм контекста Ki = (Gi, Mi, Ii)
i+1
, M
i+1
)
(
)
)
, I
i+1
=
), i = 1, 2, 3. Тогда
i+1
(
(
(
)
=
)
)
)
(
.
(3)
RRRg RRRg
Точно так же
RR Rg RRRg RRa
()
32 1321 32
=∪
aR g
что для любого формального контекста справедливы соотношения вида
которые легко проверяются непосредственно.
K = (G, M, I) задается многозначным отображением Δ : G G
таким, что Δ(g) = g. Несложно проверить, что Δ замкнуто,
а Δ R = R и R Δ = R для любого морфизма контекстов R,
если соответствующие композиции определены.
g содержит все такие объекты, у которых набор признаков
полностью совпадают с набором признаков объекта g. Такие
объекты неразличимы в заданном формальном контексте.
Очевидно подмножества g образуют разбиение пространства
признаков G. Если считать объекты, имеющие одни и те же
признаки, эквивалентными, можно перейти к фактормножеству пространства объектов, в котором каждый объект
будет одноточечным замкнутым множеством. В этом случае
единичный морфизм такого контекста будет задаваться тождественным отображением пространства объектов в себя.
RRaRRa RRRg
()
32 32 321
(
))()
В последней цепочке равенств мы воспользовались тем,
Из (3) и (4) следует, что R3 (R2 R1) = (R3 R2) R1.
Единичный морфизм формального контекста
Замечание. Для любого объекта g ∈ G его замыкание
()
321321
=
)
(
()
=∪
)
(
aR g
∈
=
)
(
∪=∪
(
()
.
)
(
=∪
)
aR g
∈∈()
1
=
)
(
,
(5)
i
)
(
)
(
=
(4)
85
Пусть R : G1 G2 морфизмы контекста K1 = (G1, M1, I1)
в контекст K2 = (G2, M2, I2). Обозначим через R#: M2 M1
многозначное отображение, задаваемое уравнением
R
для всех m ∈ M
.
2
#
(m) = R↑(m′)′ (6)
Можно показать, что
R(g) = R
для любого g ∈ G
1
#↑
(g′)′ (7)
Для произвольного формального контекста K = (G, M, I)
будем называть контекст
K# = (M, G, I†).
инволюцией контекста K.
Из (6) и (7) вытекает, что если R : G
G2 — морфизм
1
контекста K1 = (G1, M1, I1) в контекст K2 = (G2, M2, I2), то
R# : M2 M1 — морфизм контекста K
текст K
#
= (M1, G1, I
1
†
).
1
#
= (M2, G2, I
2
†
) в кон-
2
Более того, инволюция (–)# сохраняет композицию и
единицы:
если R и S — компонируемые морфизмы контекстов,
то (S R)# = R# S#, и (ΔG)# =
ΔM для любого контекста
K = (G, M, I).
Таким образом, инволюция определяет контравариантный функтор (–)#: Cxtop → Cxt такой, что (–)##— тождественный функтор категории контекстов.
Приведем эквивалентные определения морфизмов в
категории контекстов, также используемые в научной литературе (см. [Ganter 2024, Mori 2008, Tull 2020, Moshier 2024,
Jipsen 2012]).
В первом издании (1999) фундаментального труда [Ganter
2024] понятие морфизма появилось под названием «связь»
(bond). Чтобы не использовать нагруженный смыслами термин
связь, морфизмы по [Ganter 2024] будем называть бондами.
Пусть K1 = (G1, M1, I1) и K2 = (G2, M2, I2) — контексты.
Бондом называется соответствие D : G1 M2 такое, что S(g)
замкнуто в M2, а S†(m) замкнуто в G1, каковы бы ни были
g ∈ G1 и m ∈ M2.
Бонд D : G1 M2 продолжает в G1 × M2 системы замыкания из G1 и M2 в следующем смысле: если A × B ⊆ G1 × M2,
86
то и A × B ⊆ G1 × M2. Более того, сформулированное свойство
()
Rg
12
()
()
является для бондов характеристическим.
Если соответствие R : G1 G2 замкнуто относительно
контекстов K1 = (G1, M1, I1) и K2 = (G2, M2,I2), то
D(g) = R(g)′ (8)
задает бонд D : G
Обратно, если D : G1 M2 — бонд, то
R(g) = D(g)′ (9)
задает замкнутое соответствие R : G
Композиция бондов определяется формулой
для всех g ∈ G
тексты, а D1 : G1 M2 и D2 : G2 M3 — бонды.
Имеется еще один эквивалентный подход к определе-
нию морфизмов в категории контекстов.
Соответствие Чу между контекстами K1 = (G1, M1, I1)
и K2 = (G2, M2, I2) задается парой соответствий R : G1 G2 и
S : M2 M2 таких, что
(Chu1) R(g) и S(m) замкнуты соответственно в G2 и M1;
(Chu2) условия m ∈ R(g)′ и g ∈ S(m)′ равносильны для
любых g ∈ G
Компоненты R и S# соответствия Чу замкнуты. Обратно, если R — замкнутое соответствие, то пара (R, R#) является соответствием Чу.
Множество морфизмов между произвольными контекстами K1 = (G1, M1, I1) и K2 = (G2, M2, I2) упорядочено по
включению. Используя (1), несложно установить, что композиция морфизмов в категории контекстов монотонна:
если R1, R2 : G1 G2 и S : G2 G3 — морфизмы соответствующих контекстов и при этом R1 ⊆ R2, то S(R1(g)) ⊆ S(R2(g)),
а, значит, и
M2.
1
DDgDDg
(
(
, где Ki = (G
1
и m ∈ M2 .
1
SR gS
)
(
)
21 21
i+1
⊆
G2.
1
↓
=
)
, M
i+1
)
(
, т.е. S R1 ⊆ S R2.
)
(
(10)
, I
), i =1, 2, 3, — кон-
i+1
Точно так же, если R : G1 G2, S1, S2 : G2 G3 и
S1 ⊆ S2, то S1 R ⊆ S2 R.
Таким образом, категория контекстов является упорядоченной категорией с инволюцией и к ней применима алгебраическая техника, развитая в [Calenko, 1984].
87
4.3. Моноидальная структура категории контекстов
22
(
)
(
)
(
)
(
)
,,
gg
23
()
()
)
(
)
21
,,
(
)
(
)
Пусть K
ные контексты, а R : G1 M2 — многозначное отображение,
задающее морфизм K1 = (G1, M1, I1) в K
делим бинарное отношение J ⊆ (G1 × G2) × Hom
считая, что ((g1, g2), R) ∈ J тогда и только тогда, когда
(g2, m) ∈ I2 для всех m ∈ R(g1), т.е. g2 ∈ [R(g1)]′. С учетом (8)
последнее условие равносильно тому, что (g1, g2) ∈ D, где
D — бонд, соответствующий R.
Положим
K
Если K
ные контексты, R1 : G1 G3 и R2 : G1 G4 замкнутые многозначные отображения, то многозначное отображение
такое, что
замкнуто и задает морфизм K1 ⊗ K2 → K3 ⊗ K4.
Так определенное тензорное произведение ассоциативно. Ассоциатор
задается многозначным отображением
Единицей тензорного умножения служит одноточечный контекст Ι = ({*}, {*}, id*) с морфизмами λ : Ι ⊗ K → K и
ρ : K ⊗ I, задаваемыми многозначными отображениями
Моноидальная структура в категории контекстов симметрична. Соответствующие изоморфизмы K1 ⊗ K2 → K2 ⊗ K
задаются многозначными отображениями
= (G1, M1, I1) и K2 = (G2, M2, I2) — формаль-
1
#
2
⊗ K2 = (G1 × G2, Hom
1
= (G
i
RRgg Rg Rg
α : K
, M
, I
i+1
R
⊗
1212 11
1
α gggg
i+1
⊗ R2 : G1 × G2 G3 × G
1
⊗ (K2 ⊗ K3) → (K1 ⊗ K2) ⊗ K
,, ,,.
1231
λ(*, g) = g
), i = 1, 2, 3, 4, — формаль-
i+1
=
=
(
, ρ(g, *) =g.
Cxt(K1
, K
×
= (M2, G2, I
#
), J). (11)
2
4
3
†
2
Cxt(K1
). Опре-
#
, K
2
),
1
σ gg gg
Таким образом, категория формальных контекстов
превращается в симметричную моноидальную категорию.
Можно показать (см. [Mori 2008]), для любых формальных
контекстов K1, K2, K3 имеет место естественных изоморфизм
Hom
Cxt(K1
88
⊗ K2, K
12
#
3
=
) Hom
.
Cxt(K1
, (K2 ⊗ K3)#).
Последнее означает, что категория контекстов K1, K2,
K3 является, так называемой, автономной категорией.
Укажем еще внутренний Hom-функтор в категории
формальных контекстов.
Пусть Ki = (G
i+1
, M
i+1
, I
), i = 1, 2, — формальные кон-
i+1
тексты. Обозначим через K1 - K2 формальный контекст, в котором множество объектов — множество бондов D : G1 G2,
множество признаков — G1 × X2, а отношение инцидентности — обращенное отношение принадлежности ∋.
Для контекста K1 - K2 имеется изоморфизм
Hom
(K ⊗ K1, K2) Hom
Cxt
(K, K1 - K2),
Cxt
естественный по всем аргументам.
Формальный контекст
{*}
⊥ = (2
, {*}, ∋)
является «дуализирующим» объектом в том смысле, что для
любого формального контекста K имеется естественный изоморфизм
(K - ⊥) K
#
.
Заключение
Формальная теория понятий имеет далеко идущие категорные обобщения. Если нужно учесть связи между объектами, не обусловленные исключительно их признаками,
можно считать, что объекты образуют некоторую категорию C. Точно так же, некоторую категорию D образуют атрибуты. Связь объектов с атрибутами устанавливается парой
сопряженных контравариантных функторов F : C
op
→ D и
G : Dop → C. Тем самым возникает аналог соответствия Галуа.
Используя изоморфизм, связанный с сопряженностью, функтор Φ: C
op
× D → Sets такой, что
Φ(C, D) = Hom
(F(C), D) = HomC(C, G(D)),
D
где C и D — объекты в категориях соответственно C и D.
можно считать аналогом матрицы, связывающей объекты и
признаки.
Аналогом формальных понятий в этом случае могут
служить пары вида
(G(F(C)), F(G(D))).
89
В общем случае аналогом такой матрицы выступают
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{}
DD
|.
функторы вида Φ : Cop × D → Sets. Если, кроме функтора Φ
имеется функтор Ψ : Dop × E → Sets, а все категории малые,
композиция функторов (произведение «матриц»)
op
C
× D → V.
op
× E → Sets
×
∈
Ob
(Ψ Φ) : C
определяется формулой
ΨΦ ΦΨ
Связать эту общую конструкцию с большими языковыми моделями можно, перейдя к обогащенным категориям
(см. раздел 6.5). В этом случае категория множеств заменяется моноидальной категорией V, а функтор Cop × D → Sets
функтором вида
В качестве V может быть взято упорядоченное числовое множество (например, множество действительных чисел
или промежуток [0,1]).
В этой ситуации категория формальных понятий начинает играть самостоятельную роль, и может быть поставлен
вопрос, например, о порождении категории формальных понятий «минимальными» пространствами объектов и признаков, когда C — это категория алгебр над монадой T S, а D —
категория коалгебр над монадой S T (см. [Pavlovic, 2020]).
Трактовка C как словаря, D — как корпуса текстов, а Φ(c, d) ∈
∈ [0, 1] как относительной вероятности появления слова c в
контексте d перекидывает прямой мостик от теории формальных понятий к дистрибутивным языковым моделям.
=
CE CD DE
,lim ,,
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]