Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная теория категорий. Монография
.pdf
Глава 5. Категорная теория систем
В категорной теории систем реализуется попытка применения методов теории категорий к общей теории систем.
Теория категорий ориентирована на то, чтобы выявлять
свойства систем, фокусируясь не на содержании объектов,
составляющих системы, а на том, как объекты соотносятся друг с другом. Таким образом, категорная теория систем
сосредоточивается в первую очередь на способах взаимодействия систем друг с другом и их окружающей средой.
Любая система взаимодействует со своим окружением через интерфейс, который может быть описан отдельно
от самой системы. С точки зрения внешнего наблюдателя
достаточно знать, что происходит на интерфейсе. Системы
взаимодействуют с другими системами через соответствующие интерфейсы. Чтобы понять строение сложных систем,
нужно установить, как взаимодействуют их интерфейсы.
Возможность формировать составные системы из взаимодействующих компонентов называют модульностью. Изучение
модульности — основная проблема категорной теории систем. В теории категорий модульность описывается в терминах композиции морфизмов. Композиция морфизмов оказывается своеобразной схемой сборки системы из подсистем.
5.1. Понятие системы
Детерминированная система (автомат Мура) X со-
стоит из следующих компонентов:
множество внутренних состояний S;
множество значений входных переменных X
ных переменных — X
функция вывода ϕ
функция перехода ϕ
in
Пару
X
out
X
out
;
out
: S → X
in
: S × X
out
in
;
→ S;
будем называть интерфейсом системы X.
Для системы X будет использоваться обозначение
in
и выход-
91
in
:.
ϕ
out
ϕ
S
S
Предполагается, что сначала выполняется ϕin, затем ϕ
←
→
in
X
out
X
out
Примеры
(1a) Машина Тьюринга. Будем использовать следую-
щее представление Машины Тьюринга. Машина Тьюринга
состоит из бесконечной ленты, разбитой на ячейки, в которых записаны символы некоторого алфавита A, например,
A = {0, 1, _}, содержащего пробел. Ячейку с пробелом будем
называть пустой. Над одной из ячеек, называемой обозреваемой, располагается считывающая головка. Лента может
перемещаться относительно считывающей головки за один
такт работы на одну ячейку вправо или влево. В начальный
момент времени при запуске машины Тьюринга считается,
что обозревается ячейка с номером «ноль». При сдвиге ленты вправо номер обозреваемой ячейки уменьшается на единицу, при сдвиге влево — увеличивается. Информация на
ленте определяется содержимым ячеек и задается отображением вида t : → A. Можно (и мы будем) считать, что на
ленте имеется лишь конечное число непустых ячеек. Обозреваемая ячейка задается своим номером n. В целом состояние
ленты можно описать парой (n, t) ∈ × A, где n — номер
обозреваемой ячейки, а t ∈ A таково, что t(i) — символ, записанный в ячейку с номером i. Представим ленту как дискретную систему T, для которой × A — множество состояний, T
out
= A × и T
in
= D × A, где D = {–1, 0, 1}. Лента
функционирует в соответствии со следующими функциями
выхода и перехода:
in
τ
((n, t), (d, a)) = (n + d, t′),
out
τ
(n, t) = (t(n), t),
где t′(i) = t(i), если i ≠ n, и t′(n) = a. В соответствии с этими функ-
циями лента помещает в обозреваемую ячейку полученный на
входе символ a и смещается так, что обозреваемой становится
одна из соседних ячеек, или остается на месте. На выход выдается обновленная лента и символ в обозреваемой ячейке.
Считывающую головку также представим как дискрет-
ную систему, которую мы обозначим G. Головка имеет набор
собственных внутренних состояний Q, состояние системы G
92
.
описывается парой (a, q) ∈ A × Q. Функции вывода и пере-
:,
nm
(
)
,,
хода могут быть представлены матрицей со строками, помеченными элементами алфавита, и столбцами, помеченными
элементами множества внутренних состояний. В ячейке
(a, q) указываются новое внутреннее состояние q′
ходной символ c′
∈ A и смещение d′
a, q
∈ D. На вход систе-
a, q
∈ Q, вы-
a, q
мы G подается символ алфавита a. Если q — текущее состояние системы G, на выход выдаются символ c′
d′
∈ D, а внутренне состояние q сменяется состоянием
a, q
q′
. Таким образом, G
a, q
out :
g
(A × Q × D) → D × A и перехода g
in
= A, G
out
= D × A, а функции вывода
in
: (A × Q) × A → A × Q и
и смещение
a, q
перехода имеют следующий вид:
in
g
(c, q, a) = (a, q′
out
(a, q) = (d′
g
a,q
, c′
a,q
a,q
),
).
Композицию систем T и G можно получить, используя выход (d, a) системы G в качестве входа для системы T, а выходной
символ a системы T в качестве входного символа для системы G.
Ниже будет показано, как эта композиция может быть представлена в категории соединительных схем (пример 5).
(1b) Дифференциальная система первого порядка
(с обыкновенными уравнениями) может быть представлена
в следующем виде:
in
ϕ
out
ϕ
n
n
m
←
k
→
где n — число переменных состояния, m — число параметров, k — число выходных переменных. Отображение
in
ϕ
: n × m → n покомпонентно составлено из уравнений
in
=
ϕ
yyyp p
ii
,...,;,...
11
i = 1, ..., n.
Пример 2 (модель Гудвина).
Пусть v — коэффициент занятости, а u — доля выпуска, получаемая работниками. Тогда в соответствии с моделью Гудвина
11
ν
uuv
vu
=−+−−
σσ
ργα
=−−
(
αβ
)
,
93
=−
где α — темп роста производительности труда;
β — темп роста трудовых ресурсов;
ρv – γ — темп роста заработной платы;
σ — коэффициент пропорциональности, связывающий
темп роста выпуска с долей капиталистов в выпу-
q
1
u
1
)
(
ске, такой, что
q
σ
.
Здесь n = 2, m = 5, k = 2 (при условии, что на выходе
выдаются значения u и v).
Как и в случае машины Тьюринга в категории соединительных схем и эту систему можно факторизовать (представить
в виде композиции боле простых систем), см. далее пример 6.
5.2. Категория схем
Пусть C — малая категория с конечными произведениями. Конечное множество A с отображением τ : A → Ob C будем называть типизированным множеством (или C-типи-
зированным множеством, если требуется явное указание на
категорию). Для a ∈ A будем называть τ(a) типом элемента a.
Если (A, τ) и (A′, τ′) — типизированные множества, отображе-
ние f : A → A′, сохраняющее типы, будем называть морфизмом типизированных множеств. Таким образом, f : (A, τ) →
→ (A′, τ′) — морфизм типизированных множеств, если
t′(f(a)) = τ(a) для любого a ∈ A.
Обозначим через TFinSet категорию конечных типизированных множеств и их морфизмов. Если требуется явно указать категорию C, будем использовать обозначение TFinSetC.
Используя типизированные конечные множества,
определим категорию соединительных схем W. Объектами
этой категории служат пары вида
in
out
, X
),
где X
in
= (A, τ) и X
X = (X
out
= (A′, τ′) — типизированные множества.
Такие пары будем называть боксами. Элементы множеств A и
A′ будем называть портами соответственно входа и выхода.
Морфизмы в категории W — соединительные схемы.
Соединительная схема Φ : X → Y задается сохраняющим
типы отображением
in
таким что ϕ(Y
94
out
ϕ: X
) ⊆ X
out
Y
.
out
→ X
out
Yin,
Последнее условие позволяет разложить отображение ϕ
f
g
на компоненты
in
in
ϕ
так, что ϕ = (ϕ
: X
in
, ϕ
→ X
out
out
).
Будем говорить, что порт a ∈ X
том b ∈ X
out
Yin, если ϕ(a) = b.
Yin, ϕ
out
: Y
in
out
Y
out
→ X
, (1)
out
соединен с пор-
Соединительная схема как бы выявляет внутри бокса
Y бокс X и указывает связь портов. Сами по себе боксы представляют интерфейс соответствующих систем.
Пример 3. На рис. 1 внешний контур относится к Y.
Внутренний — к X.
Y
a
b
Рис.1. Соединительная схема Φ: X → Y
X
c
d
h
k
Далее,
in
X
= {a, b}, X
out
= {c, d}, Y
in
= {f, g}, Y
out
= {h, k},
ϕ(a) = g, ϕ(b) = d, ϕ(h) = c, ϕ(k) = d.
Так как f ∉ Im ϕ, информация, идущая от этого порта,
аннулируется. Выходное значение порта d выдается на выход и используется в качестве входного боксом X.
Единичный морфизм id
ется тождественным отображением X
: X → X в категории W зада-
X
in
X
out
→ X
out
X
in
.
Определим композицию соединительных схем. Пусть
Φ : X → Y и Ψ : Y → Z. Тогда, кроме отображений (1), имеем
также отображения
in
in
ψ
: Y
→ Y
out
Zin, ψ
out
: Z
out
→ Y
out
.
95
in
l
ω
= X
Положим ω
in
out
→ X
out
Z
out
= ϕ
in
определяется как композиция четырех
→ ψ
out
: Z
out
→ X
out
. Компонента
отображений:
in
in
out
(a) ϕ
(b) id
(c) id
: X
Xout
Xout
(d) id
= (id
Xout
y
ϕ
Zin
→ X
out
: X
, id
in
: X
id
out
Xout
Y
in
Zin
X
): X
→ X
: X
out
out
in
;
out
out
Z
X
Y
Y
in
out
out
out
→ X
→ X
Z
Z
out
in
out
in
;
out
→ X
X
Zin, где
—
out
Z
in
отображение, тождественное на обоих слагаемых.
Соединительная схема Ω: X → Z, задаваемая отображени-
ем ω = (ωin, ω
out
), принимается в качестве композиции Ψ Φ.
Непосредственная проверка показывает, что так определенная композиция ассоциативна, а единичные морфизмы обладают необходимыми свойствами.
Пример 4. На рис. 2, 3 представлены соединительная
схема Y → Z и композиция X → Z = X → Y → Z, где X → Z —
соединительная схема из примера 3 (рис.1).
;
Z
f
Y
l
96
g
Рис. 2. Соединительная схема Y → Z
Z
a
Y
b
Рис. 3. Соединительная схема X → Z
h
k
c
d
m
n
m
n
Здесь
{}
in
Y
= {f, g}, Y
out
= {h, k}, Z
out
= {m, n}, Z
in
= {λ},
ψ(m) = h, ψ(n) = k, ψ(f) = λ, ϕ(g) = λ.
in
Для композиции ω = (ω
out
ω
out
ω
in
ω
(a) = ∇(id
ωin(b) = ∇(id
in
(
ψin(ϕin(a)))) = ∇(id
Z
out
(id
X
(m) = ϕ
(n) = ϕ
out(ψout
out(ψout
out
(ϕin(b)))) = ∇(id
X
out
, w
) получаем:
(m)) = ϕ
(n)) = ϕ
in
(
ψin(g))) = ∇(id
Z
X
out
out
out
(h) = c,
(k) = d;
in
Z
out
(
(d))) = ∇(d) = d.
X
(1)) = ∇(1),
Категория боксов и соединительных схем имеет струк-
туру симметричной моноидальной категории. Нейтральным
объектом служит «пустой» бокс (∅, ∅), который мы будем
обозначать O. Моноидальная операция определяется как
дизъюнктное объединение входных и выходных портов соответственно:
X
⊕ X2 = (X
1
in
1
X
in
out
, X
2
1
X
out
).
2
Очевидно, X ⊕ O = X для любого бокса X.
Если соединительные схемы Φ
даны отображениями ϕi : X
in
i
: Xi → Yi, i =1, 2, за-
i
Y
i
out
→ X
out
i
Y
in
i
, то
Φ1 ⊕ Φ2 : X1 ⊕ X2 → Y1 ⊕ Y2 задается отображением
ϕ
ϕ2 : X
1
out
Y
1
1
X
in
2
Y
out
2
→ X
out
1
Y
1
in
X
out
2
Y
in
.
2
in
Несложно убедиться, что
X ⊕ O = X= O ⊕ X;
(X ⊕ Y) ⊕ Z = X ⊕ (Y ⊕ Z);
X ⊕ Y = Y ⊕ X
для любых боксов X, Y и Z.
Моноидальная структура и композиция позволяют
проводить декомпозицию систем.
Пример 5. Представим машину Тьюринга M как ком-
позицию систем G и T. Будем считать, что машина Тьюринга
после включения в качестве результата выдает на каждом
шаге ленту с записанной на ней информацией. Таким образом, в рассматриваемой модели машина Тьюринга это бокс
без входов с одним выходом:
∅
M
=
.
t
M
97
Далее, бокс T имеет два входа — направление сдвига и
{}
{}
{}
{}
l
t
символ для записи в обозреваемую ячейку, а на выходе — новое состояние ленты и символ, прочитанный в новой обозреваемой ячейке:
in
ma
,
TinT
outTout
,
T
.
T
=
ta
Бокс G получает на входе символ и формирует на выходе направление сдвига и передаваемый символ:
in
aa
,
TinT
outGout
,
G
G
=
ma
На рис. 4 представлены отображения
M
out
→ T
out
G
out
и T
in
G
in
→ (T
out
G
out
) Min,
задающие морфизм T ⊕ G → M в категории боксов и соединительных схем.
t
a
m
a
out
T
out
T
in
T
in
T
out
t
M
Рис. 4. Морфизм T ⊕ G → M
На рис. 5 морфизм T ⊕ G → M представлен соединительной схемой (для удобства восприятия бокса произведение T ⊕ G изображено парой контуров).
M
in
G
a
G
Рис. 5. Декомпозиция машины Тьюринга
98
out
t
T
out
a
T
out
m
G
out
a
G
out
m
G
out
a
G
in
m
T
T
in
a
t
in
m
T
in
a
T
in
a
G
out
t
T
ou
t
M
out
a
T
5.3. Категория линз
Aa
aA
,.ττ
(
)
(
)
∈
∏
PP
↓↓
AA
,,
ττ
ττ
,.ττ ττ τ
(
)
=
(
)
=
(
)
≅
(
)
×
(
)
∈∈
∏∏∏∏
12 12
12
Пусть (A, τ) — C-типизированное множеств, так что
отображение τ каждому элементу a множества A ставит в соответствие объект τ(a) категории C. Положим
P
Если f : A → A′ — типизированное отображение, семейство проекций
p′
: P(A′, τ′) → τ′(a′), a′ = f(a), a ∈ A,
a′
задает морфизм
P(f) : P(A′, τ′) → P(A, τ),
для которого диаграммы вида
→
′′
)
(
p
′
fa
)
коммутативны при всех a ∈ A.
Нетрудно заметить, что P сохраняет композицию и,
значит, является контравариантным функтором из категории типизированных множеств в категорию C.
Иногда, когда это не мешает однозначному пониманию,
мы будем вместо P(A, τ) писать просто P(A).
Функтор P строго моноидален в том смысле, что переводит дизъюнктные объединения в произведения.
В самом деле, если например, A = A1 A2 дизъюнктное
объединение типизированных множеств (A1, τ1) и (A2, τ2), то отображение типизации τ : A → C совпадает на A1 с τ1, а на A2 с τ2 .
Значит,
P Aa aaa
aA aA AaAaA
Рассмотрим теперь в категории W соединительную
схему Φ : X → Y, задаваемую отображениями ϕ
out
→ X
получаем морфизмы
in
P(ϕ
in
Y
и ϕ
) : P(X
out
(
fa a
′
)
(
()
∈∈
out
: Y
) × P(Yin) → P(Xin) и P(ϕ
out
→ X
=
P
f
()
α
Y
→
out
. Применяя к ним функтор P,
)
(
p
a
(2)
)
(
out
) : P(X
out
in
) → P(Y
: X
in
out
→
).
99
Положим для краткости
:,
BC
fg
:,
CA
CAB
++
× → ×
→→−A .
P(X
out
) = X+, P(Xin) = X– (3)
и аналогично для Y. Далее, пусть
P(ϕ
in
) = f и P(ϕ
out
) = f#. (4)
Тогда оказывается, что соединительная схема Φ : X → Y
дает нам пару морфизмов:
f
#
: X+ × Y– → X– и f : X+ → Y+. (5)
Формулы (5) служат мотивировкой следующего опре-
деления.
Пусть A–, A+, B–, B+ — объекты декартовой категории C.
Линза
#
f
f
−
A
:
+
A
−
B
←
+
→
B
задается парой морфизмов f : A+ → B+ и f# : A+× B– → A– в
категории C. Морфизм f будем называть прямым, а морфизм
f# возвратным.
При категорном подходе линзы служат основой для моделирования двунаправленных потоков информации. Определим композицию линз.
Пусть
#
f
f
−
A
+
A
−
B
←
+
→
B
#
g
g
−
B
:
+
B
−
C
←
+
→
C
линзы в категории C. Положим
+++
hA
#
+−
hA
:
−
id g
→→
id fid
× →××
+
A
AC
#
×
По определению, композиция линз задается формулой
## #
g
g
#
где h и h
100
определены формулами (6) и (7), см. рис. 6.
,
×
+−
#
+−
f
f
f
h
=
,
h
(6)
B
(7)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]