Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная теория категорий. Монография
.pdf
объектов в D служат их единичные морфизмы в C. Подкатегория D категории C называется полной, если HomD(A, B) =
= HomC(A, B) для любых объектов A и B из D.
Примеры
(1a) Категория множеств Set. Объектами категории
Set служат множества, морфизмами — отображения мно-
жеств. Композиция морфизмов — это стандартная композиция отображений. Единичным морфизмом множества A служит тождественное отображение множества A в себя.
(1b) Категория конечных множеств FinSet. Это пол-
ная подкатегория категории множеств, объектами которой
служат конечные множества.
(1c) Категория групп. Объектами этой категории слу-
жат группы, морфизмами — гомоморфизмы групп. Композиция морфизмов — это стандартная композиция гомоморфизмов. Единичным морфизмом группы G служит
тождественное отображение группы G в себя.
(1d) Категория топологических пространств.
Объекты этой категории — топологические пространства,
морфизмы — непрерывные отображения топологических
пространств.
(1e) Категория графов. Объекты этой категории — (на-
правленные) графы, морфизмы — гомоморфизмы графов.
Граф G задается множеством вершин V(G), множеством дуг
V(G) и отображениями s, t: E(G) → V(G). Дуга e ∈ E(G) соединяет вершину s(e) с вершиной t(e). Гомоморфизм графов
G → G′ определяется парой отображений f
: V(G) → V(G′) и
0
f1 : E(G) → E(G′), сохраняющих структуру графа в том смысле, что если ребро e ∈ E(G) соединяет вершины v и w графа
G, то ребро f1(e) соединяет вершины f0(v) и f0(w) графа G′.
По-другому это можно выразить, потребовав, чтобы для любой дуги графа G выполнялись условия (s′ f1)(e) = (f0 s)(e)
и (t′ f1)(e) = (f0 t)(e).
Приведенные выше примеры являются примерами,
так называемых, конкретных категорий, объекты которых
имеют базовые множества, а морфизмы являются отображениями между этими базовыми множествами, сохраняющими «структуру».
Ниже мы приведем примеры категорий другого типа.
11
Примеры
(2a) Моноидом называется множество M с заданной
на нем ассоциативной бинарной операцией (умножением),
имеющей двустороннюю единицу e ∈ M. Моноид M можно
рассматривать как категорию с одним объектом. Морфизмы
этой категории — все элементы моноида. Композицией служит умножение. Единичным морфизмом единственного объекта этой категории является единица e. Заметим, что для
любой категории C множество автоморфизмов HomC(A, A)
любого ее объекта A является моноидом относительно композиции.
(2b) Частично упорядоченное множество (P, ≤) можно
рассматривать как категорию. Множество объектов этой категории совпадает с множеством P. Для любых x, y ∈ P множество морфизмов из x в y содержит единственный элемент
x → y, если x ≤ y, и пусто в противном случае.
(2c) Категория бинарных отношений RelSet. Объектами
категории RelSet являются множества, морфизмы (бинарные
отношения или соответствия) из X в Y — это подмножества
R декартова произведения X × Y. Для соответствий R ⊆ X × Y
и S ⊆ Y × Z их композиция T = R ; S ⊆ X × Z определяется
формулой
T = {(x, z) | ∃y ∈ Y(x, y) ∈ R & (y, z) ∈ S}.
Единичным морфизмом множества X служит «диагональ»
ΔX = {(x, x) | x ∈ X}.
(2d) Категория матриц Matr. Объекты категории
Matr — целые положительные числа. Множество морфиз-
мов Matr (m, n) — это множество прямоугольных числовых
матриц, имеющих n строк и m столбцов. Композиция морфизмов — произведение матриц, единичный морфизм объекта n — единичная матрица порядка n.
Замечание. Общее понятие категории требует некоторого расширения обычной аксиоматики Цермело—Френкеля. Чтобы избежать парадоксов типа парадокса Рассела, мы
считаем, что в общем случае объекты категории составляют
класс, который, вообще говоря, может не быть множеством.
Не акцентируя внимания на возникающих здесь проблемах
оснований, мы будем считать, что это означает необходимость соблюдать определенную «гигиену», не используя кон-
12
струкции типа «категория все категорий» и т.п. В частности,
в определении категории мы потребовали, чтобы морфизмы
из A в B образовывали множество, т.е. чтобы HomC(A, B)
было множеством. Иногда это требование не включается в
определение категории, а категории, удовлетворяющие ему,
называют локально малыми. В этом смысле все рассматриваемые в книге категории являются локально малыми.
Категория называется малой, если класс ее объектов
образует множество.
Моноиды и частично упорядоченные множества явля-
ются примерами малых категорий.
С каждой категорий C связана дуальная категория Cop.
Объекты дуальной категории те же, что и объекты исходной
категории, а морфизмы считаются действующими в противоположном направлении: морфизм f : A → B в категории C
задает дуальный морфизм f
op
: B → A в категории Cop. Еди-
ницей объекта A в Cop служит морфизм, дуальный единичному морфизму объекта A в C. Композиция в Cop определяется
формулой
op
gop = (g f)
f
op
для любой пары компонируемых морфизмов.
1.2. Функторы
Функтор F из категории C в категорию D задается па-
рой отображений Ob C → Ob D и Mor C → Mor D, для обозначе-
ния которых мы будем использовать один и тот же символ F.
Эти отображения должны быть согласованы с операциями в
категориях:
если f : A → B — морфизм в категории C, то Ff : FA →
→ FB;
F(1
) = 1
A
, для любого объекта A категории C;
F(A)
F(g f) = F(g) F(f) для любых компонируемых мор-
физмов категории C.
Для функтора F из категории C в категорию D исполь-
зуется обозначение F : C → D
Примеры
(3a) Тождественный функтор idC : C → C категории C
задается тождественными отображениями на объектах и на
морфизмах.
13
(3b) Стирающий функтор U : Gr → Set из категории
групп Gr в категорию множеств Set ставит в соответствие
группе G множество ее элементов, гомоморфизму групп
G → H — соответствующее отображение множеств. Подобным образом стирающие функторы определяются и для других конкретных категорий.
(3c) Функтор свободного объекта. Для конечного множества X обозначим через F(X) свободную группу, порожденную множеством X. Всякое отображение множеств f : X → Y
порождает гомоморфизм групп F(f) : F(X) → F(Y). Тем самым
получается функтор F : FinSet → Gr из категории множеств в
категорию групп.
(3d) Булеан. Определим функтор P : Set → Set, беря в
качестве P(X) множество всех подмножеств множества X.
Если f : X → Y — отображение множества X в множество Y,
то P(f)(U) = f(U) для всех U ⊆ X.
Функторы вложения. Если C′ — подкатегория катего-
рии C, то отображение, тождественное на объектах и на морфизмах, задает функтор вложения C′ → C.
В частности, функтор Γ : Set → RelSet, сопоставляющий отображениям множеств их графики и тождественный
на объектах, является вложением.
Функторы, определение которых приведено выше, называются ковариантными.
Контравариантный функтор сохраняет единицы и
композицию, но обращает стрелки (морфизмы). Таким образом, контравариантный функтор F из категории C в категорию D — это (ковариантный) функтор F : Cop → D из дуальной
категории Cop в категорию D.
Примеры
(4a) Контравариантный булеан P : Setop → Set. Пусть,
как и выше, P(X) — множество всех подмножеств множества X. Для отображения f : X → Y определим P(f) : P(Y) →
→ P(X), полагая P(f)(V) = f–1(V) для всех V ⊆ Y.
(4b) Функтор (–)* : Vectop → Vect, где Vect — катего-
рия векторных пространств над полем k ставит в соответствие линейному пространству V сопряженное пространство
V* = Hom(V, k). Если f : V → W — линейное отображение, то
f* : W* → V* определяется формулой f*(α)(v) = α(f(v)).
14
(4с)
Инволюция
в категории бинарных отношений.
Инволюция # : RelSetop → RelSet — тождественное отобра-
жение на множествах. Если R ⊆ X × Y — бинарное отношение,
R# ⊆ Y ×
X — обратное отношение, т.е. R# = {(y, x) | (x, y) ∈ R}.
Композиция функторов. Если F : C → B и G : B → A —
функторы, их композиция определяется как композиция соответствующих отображений объектов и морфизмов. Композиция G F : C → A также является функтором.
Пара функторов F : C → D и G : D → C задает изоморфизм
категорий C и D, если композиции G F : C → C и F G : D →
→ D являются тождественными функторами.
Примеры
(5a) Инволюция из примера (4с) определяет изоморфизм категории RelSet и дуальной категории RelSetop.
(5b) Категория матриц Matr изоморфна соей дуальной категории. Изоморфизм задается транспонированием
матриц.
(5с) Рассмотрим категорию множеств с выделенной
точкой Set*. Объекты этой категории — пары вида (X, aX), где
X — непустое множество и aX ∈ X — выделенная точка. Мор-
физмы f : (X, aX) → (Y, aY) — это такие отображения f : X → Y,
что f(aX) = aY. Обозначим через Setpd категорию множеств и
частичных отображений
. Объекты этой категории множе-
ства, морфизмы из X в Y — это отображения вида f : U → Y,
где U ⊆ X. Определим функтор F : Set* → Setpd. Если (X, aX) —
множество с выделенной точкой, то F(X, aX) = X \ {aX}. Пусть
f : (X, aX) → (Y, aY) — морфизм множеств с выделенной точкой.
Положим U = X \ f–1(aY) ⊆ X \ {aX} и в качестве F(f) возьмем
сужение f на U. Легко видеть, что F — функтор. Опре
делим об-
ратный функтор G : Setpd → Set*. Для множества X положим
G(X) = X {X}, {X}), где — дизъюнктное объединение
. Если f :
U → Y, U ⊆ X — частичное отображение, то
G(f): (X {X}, {X}) → (Y {Y}, {Y})
устроено следующим образом: G(f)(x) = f(x), если x ∈ U, и G(f)
(x
) = {Y} в противном случае. Нетрудно видеть, что функторы
F и G задают изоморфизм категорий Set* и Setpd.
Иногда бывает удобно использовать декартово произве-
дение категорий. Если даны категории C и D, то можно обра-
зовать категорию C × D. Объектами этой категории являются
15
пары (C, D), где C ∈ Ob C и D ∈ Ob D. Морфизмы из (C, D) в
(U, V) — это всевозможные пары морфизмов (C → U, D → V)
из категорий C и D с покомпонентной композицией. Функторы вида C × D → E называют бифункторами.
1.3. Свойства объектов и морфизмов
Одним из ключевых понятий математики является
понятие изоморфизма — неразличимости по форме. В зависимости от контекста математические конструкты могут
рассматриваться как изоморфные (т.е. неразличимые по
своим свойствам) или неизоморфные в данном контексте.
Например, между точками прямой и отрезка может быть
установлено взаимно однозначное соответствие, что делает их изоморфными множествами. В контексте теоретико-множественных свойств отрезок и прямая оказываются
в этом смысле неразличимы. В то же время, отрезок и прямая различаются по свойствам, если рассматривать их как
метрические пространства (например, отрезок компактен,
а прямая — нет), и, значит, неизоморфны как метрические
пространства. Теория категорий позволяет формализовать
подобные рассуждения, определяя «контекст» как соответствующую категорию.
Категорные свойства. Свойства объектов и морфизмов, которые определяются в терминах категорий, называется категорными. В этом разделе вводится несколько наиболее важных категорных свойств объектов и морфизмов.
Пусть f : X → Y и g : Y → X — морфизмы в категории C,
такие что g f = 1
и f g = 1Y. В этом случае морфизм f назы-
X
вают обратным g, а g — обратным f.
Если f и g взаимно обратные, будем писать g = f–1 и
f = g–1. Несложно проверить, что обратный к f морфизм
определено однозначно и (f–1)–1 = f.
Морфизм f : X → Y называют изоморфизмом, если он
обладает обратным. Объекты X и Y в этом случае называют
изоморфными и пишут X ≅ Y, если не требуется уточнить, ка-
кой изоморфизм устанавливает изоморфизм объектов.
Морфизм вида f : X → X называется эндоморфизмом.
Если эндоморфизм является изоморфизмом, его называют
автоморфизмом.
16
Примеры
(6a) Единичный морфизм любого объекта является изо-
морфизмом. Автоморфизмы любого объекта X категории C
образуют относительно композиции группу, которую мы будем обозначать AutC(X).
(6b) В категории множеств изоморфизмами являются
взаимно однозначные соответствия. В категории групп изоморфизмы — это биективные гомоморфизмы. Например,
отображение y = ln x — изоморфизм мультипликативной
группы положительных действительных чисел и аддитивной группы действительных чисел в категории групп.
(6c) В категории топологических пространств изоморфизмы — это гомеоморфизмы, т.е. биективные отображения, которые непрерывны и открыты. В то же время, тождественное отображение множества X, содержащего по крайне
мере две точки и снабженного дискретной топологией, на то
же множество с любой более слабой топологией непрерывно
и биективно, но не является изоморфизмом.
Объект T категории C называется терминальным, если
для любого объекта X этой категории имеется ровно один
морфизм вида X → T. Дуальное понятие — инициальный
объект. Объект I называется инициальным, если для любого
объекта X имеется ровно один морфизм вида I → X.
Если это не ведет к недоразумениям, терминальный
объект обозначают символом 1, а инициальный символом 0.
В категории множеств любое одноточечное множество
является терминальным объектом, инициальный объект —
пустое множество. Если частично упорядоченное множество
рассматривается как категория, инициальный объект — это
наименьший элемент, а терминальный — наибольший (естественно, если они существуют).
Все терминальные (соотв. инициальные) объекты изоморфны между собой.
Морфизм f : X → Y называется мономорфизмом, если
для любых объекта U и пары морфизмов s, t : U → X, таких
что s ≠ t, имеем f s ≠ f t.
Морфизм f : X → Y называется
эпиморфизмом
, если в
дуальной категории этот морфизм является мономорфизмом.
Иными словами f : X → Y —
эпиморфизм
, если любых объекта
U и пары морфизмов s, t : Y → U из s ≠ t следует s f ≠ t f.
17
Морфизм f : X → Y называется биморфизмом, если f од-
новременно моно- и эпиморфизм.
В дальнейшем мы, как правило, будем опускать рас-
шифровку дуальных формулировок.
Всякий изоморфизм является биморфизмом. Обрат-
ное, вообще говоря, неверно.
Примеры
(7a) В категории множеств отображение f : X → Y — мо-
номорфизм (эпиморфизм) тогда и только тогда, когда f инъективно (сюръективно). Соответственно биморфизмы — это
взаимно однозначные отображения.
(7b) В категории отделимых топологических про-
странств непрерывное отображение f : X → Y является мономорфизмом тогда и только тогда, когда f инъективно, и эпиморфизмом, если f(X) плотно в Y. Например, тождественное
вложение открытого промежутка (0, 1) в замкнутый промежуток [0, 1] является биморфизмом в категории отделимых
топологических пространств. То же верно и для вложения
множества рациональных чисел в множество действительных чисел.
Укажем некоторые свойства моно- и эпиморфизмов.
Пусть f : X → Y и g : Y → Z — морфизмы в категории C.
Тогда:
если f и g — мономорфизмы, то и g f : X → Z — моно-
морфизм;
если g f : X → Z — мономорфизм, то и f : X → Y — мо-
номорфизм;
если f и g — эпиморфизмы, то и g f: X → Z — эпиморфизм;
если g f : X → Z — эпиморфизм, то и g : Y → Z — эпи-
морфизм.
На множестве мономорфизмов с общей кообластью X
можно задать отношение предпорядка , считая, что f g,
если f : U → X пропускается через g : V → X, т.е. f = g h для
некоторого h : U → V. Это отношение стандартным образом
порождает отношение эквивалентности:
f ~ g, если f g и g f.
Класс эквивалентности по отношению ~ естественно
считать подобъектом объекта X. Отношение предпорядка
порождает отношение частичного порядка на множестве
подобъектов объекта X. Мы будем писать U ⊆ V, если U и
18
V — подобъекты объекта X и мономорфизм U → X, пред-
pm
(
)
fX
(
)
fX()
ставляющий U, пропускается через мономорфизм V → X,
представляющий V. Если m : U → X — мономорфизм, и
f : X → Y — произвольный морфизм, композицию f m : U →
→ Y будем называть сужением f на U.
В дальнейшем, говоря, что объект U есть подобъект
объекта X мы будем иметь в виду класс эквивалентности некоторого, конкретного мономорфизма f : U → X, если из контекста ясно, о каком мономорфизме идет речь.
Для обозначения мономорфизмов принято использовать стилизованные стрелки: запись f : U X означает, что
f — мономорфизм. Дуально, f : U X означает, что f — эпиморфизм.
Класс всех мономорфизмов категории C будем обозначать Mon, при необходимости указывая категорию индексом. Аналогично Epi служит для обозначения класса всех
эпиморфизмов.
Во многих конкретных категориях всякий морфизм
f : X → Y можно представить в виде композиции f = m p, где
p : X → U — эпиморфизм, а m : U → Y — мономорфизм. При
этом, если потребовать, чтобы эпиморфизм и мономорфизм
имели бы некоторый специальный вид, такое представление
оказывается единственным с точностью до изоморфизма.
Примеры
(8a) В категории множеств всякое отображение f : X → Y
можно представить в виде f = m p, где p : X → f(X) — отобра-
жение на образ, а m : f(X) → Y — вложение подмножества.
В категории множеств представление в виде композиции
эпи- и мономорфизма единственно с точностью до изоморфизма. Аналогичное разложение имеет место в категории
векторных пространств и линейных отображений.
(8b) В категории отделимых топологических пространств
и непрерывных отображений имеются принципиально различные способы разложения непрерывного отображения f : X → Y.
Рассмотрим два таких разложения. В первом случае
fX fX Y
=→
→ ,
где
цированной из Y, а m — вложение подпространства
— замыкание f(X) в Y, наделенное топологией, инду-
в Y.
19
С другой стороны, можно представить f в виде композиции
pm
(
)
XY
fg
UV
↓↓
fX fX Y
=→
где p — открытое отображение, а m — вложение подмножества с соответствующим ослаблением топологии.
Приведем теперь необходимые общие определения.
Будем говорить, что эпиморфизм p и мономорфизм m
ортогональны и писать p ⊥ m, если в любом коммутативном
квадрате (т.е. при m f = g p)
имеется диагональный морфизм h : Y → U, такой что
h p = f и m h = g. (1)
Несложно заметить, что такой морфизм h определен од-
нозначно и любое из соотношений (1) влечет другое.
Класс эпиморфизмов E и класс мономорфизмов M бу-
дем называть ортогональными и писать E ⊥ M, если p ⊥ m
для любых p ∈ E и m ∈ M.
Класс M называется
са
E, если E ⊥ M и M содержит все мономорфизмы, ортого-
нальные E. Дуально определяется ортогональное дополнение
класса мономорфизмов M. Для ортогональных дополнений
будем использовать обозначения E⊥ и M⊥. Заметим, что пересечения E ∩ E⊥ и M ∩ M⊥ содержатся в классе изоморфизмов.
Мономорфизм m в категории C называется строгим,
если он ортогонален всем эпиморфизмам, т.е. m ∈ Epi⊥.
Дуально, эпиморфизм p строгий, если p ∈ Mon⊥. Класс всех
строгих мономорфизмов будем обозначать Mons, класс всех
строгих эпиморфизмов — Epis.
Класс эпиморфизмов E и класс мономорфизмов M об-
разуют ортогональное разложение категории C, или, более
коротко, (E, M)-разложение если E ⊥ M и всякий морфизм
f : X → Y из C может быть (однозначно с точностью до изомор-
физма) представлен в виде композиции f = m p, где p : X →
→ U ∈ E и m : U → Y ∈ M. Подобъект m : U → Y объекта Y
называется M-образом морфизма f : X → Y. Mon-образ будем
называть просто образом.
20
→ ,
p
→
m
→
ортогональным дополнением клас-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]