Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
(1) () () (1)



mm mm
Bw tp pr
      
wtp pr
      
|| 0|,

111111
wtp pr
     

|| 0|,

121112
wtp pr
     



(1) () ()
mm m
|| 0|
21212
(1) () () (1)
mm mm

|| 0|
22212


(1) () ()
mm m

1| |
    ().tot  
wt w t
  
11 2 2

m
m
m
m
Подставляя (2.33) в рекуррентное соотношение (2.31) и прини-
мая во внимание, что
1
находим (с точностью до членов )( to
  
2211
) (2.31) в виде
)(||1
tottwtwB
,
2
   
111

212
Разделив обе части последнего равенства на
условия )|(1)|(
, приходим к уравнению Риккати (2.32). Лемма доказана.
0t
, выполнив предельный переход при
twtw
12
).(||
tottwtw
и, с учётом
t
|||)|()|(
twtwtwtwttw
11221
2.4.2. Апостериорные вероятности в явном виде и формула пересчёта
Апостериорная вероятность )|(
удовлетворяющая условию )|()|(
1(|))
wt 
при
1
k
наблюдения за потоком,
tt
, ...,1,0
k , где
k
t – момент времени наступления очеред-
k
()|(1)|(
1
twtw
2(( | )
11 k
t
– момент начала
0
wt
twtw
),
12
k
tw
ного события потока, в явном виде задаётся следующей леммой.
Лемма 2.11. Поведение апостериорной вероятности )|(
tw
1
как функции времени между моментами наступления соседних
),(
событий
t и
k
t , ...,2,1
k , и на интервале
1k
tt
определяется
10
соотношениями
81
tw





)|(1
k
tw
1)|(
1

1

)|(11
211
,
(2.34)
tttw
kk
если 0
1
если 0
;
221
))((
tt

221

tw
(2.35)
)|(
 
,
221
w ;
11
etwwtww
)|()|(1
11
kk
etwwtw
)|()|(1
kk
212
ttt , ...,1,0
kk
k
))((
tt

221
k
k .
1
,
Доказательство. Коэффициенты уравнения Риккати (2.32) по-
стоянны, следовательно, оно интегрируется в квадратурах.
В (2.32) разделяем переменные, предварительно обозначив ко-
эффициенты
a
021
,
b ,
221
c , и
интегрируем с учётом начального условия )|()|(
)|(
где
tw
1

)|(
tw
1
, ww – корни уравнения 0)|()|(
21
1
2
)|(
tdw
)|()|(
t
,
dt
(2.36)
wtwwtwa
t
2111
kk
11
ctbwtaw . Нахо-
дим

w
2,1

D
2
221
2

D
221
21
,
2
.4
221212
2
twttw
:
11 kk
В зависимости от значения параметров потока
возможны различные случаи корней
2
11
0)|()|(
ctbwtaw и, вместе с тем, различные случаи ре-
, ww уравнения
,
,
1
2
21
2
шения недифференциального уравнения (2.36).
82
1. Если 0







(
221
), то
0
D
ww
21

2
21
уравнение (2.36) принимает вид
(|)
wt
1
(|)
wt t
kk
1
(|)
dw t
1
(|)1
aw t


1
t
dt
,
2
откуда следует
(|)
wt

1
(|)1
aw t


1
1
(|)
wt
1
k
.
tt

k
Выполняя в последнем уравнении необходимые преобразова-
ния, с учётом обозначения
2. Если 0
, то
a , приходим к (2.34).
221
21
ww , 1
2121
w , и
2
уравнение (2.36) принимает вид
tw
)|(
1

tw
)|(
1
tdw
)|(
1
twwtwa
11
t
dt
1)|()|(
t
kk
или
(|)
wt
(|)
wtw

1
1(|)1
aw wt



ln .
1

1
1
(|)
wt
1
k
tt
 

k
221
1
, и
Потенцируя последнее уравнение и осуществляя необходимые
преобразования, с учётом того, что
1
wa , находим
221
)|(1tw в виде (2.35). Лемма доказана.
tw
Описание поведения апостериорной вероятности )|(
любой момент времени
, согласно формулам (2.34), (2.35) (в за-
t
в
1
висимости от соотношения параметров потока), невозможно без знания )|()|(
, ...,1,0
twttw
11 kk
k
.
83
Перейдём к рассмотрению случая наблюдения одного события





),( ttt
полусинхронного потока на интервале времени
t
в момент времени
, то есть в (2.31) положим 1
k
r .
1m
, скажем,
Лемма 2.12. В полусинхронном потоке апостериорная вероят-
ность первого состояния процесса )(t в момент времени наблюдения события задаётся формулой пересчёта
)0|(1
1
)0|(
tw
k
k

twp
11
k
tw
1212
k
)0|(
(2.37)
...,,2,1,
t
k
12
Доказательство. Точка
),( ttt
на два смежных интервала: ),(ktt , ),( ttt
сти которых есть ttt
Поскольку в состоянии
)0|(1)0|(
twtw .
kk
и
k
S
1
t
разбивает интервал времени
k
k
tttt
соответственно.
k
, длительно-
процесса )(t имеет место синхрон-
ный поток, то в силу леммы 2.8 переходные вероятности процесса
l

r,)( в (2.31) равны
l
(1) () () (1)
mm mm

(|)(1|,)
ppr
        
pr p t o t


(1) () () (1)
mm mm
ppr
 


В состоянии
111 1 1
(1) ()
mm
1, | 1 ( ) ,
1111
m

pr p t o t
|1|,
211 1 2
(1) ()
mm

1, | ( ) .
1211
m
S
процесса )(tимеет место асинхронный поток,
2
m

m
поэтому на основании леммы 2.4 переходные вероятности процес-
l

са
r,)( в рекуррентном соотношении (2.31) равны
l
(1) () ()
mm m
ppr
 
     

|1|
121 2
() () (),
tot tot ot
22
m
84

(1) () ()
p
p
p

mm m
ppr
 
1()() ().
  

|1|
221 2
tot tot tot
22 2
m
Тогда числитель
A и знаменатель 1B в соотношении (2.31), с
1
учётом заданного значения компоненты
l
чайного процесса лов ),(
tt , ),( ttt
k
k
r,)( , введённых обозначений длин интерва-
l
и выписанных выражений для переходных
вероятностей, запишутся в виде
(1) ()
mm
Aw t tp
    
11 1 1
rwtt

(1| , ) |
mk
(1) () ()
ppr
    
(|)(1|)
Bw t tp
   
11 1 1
(1| , ) |
rwtt


1112
mk
(1) () ()
(|)(1|)
ppr
    
wt tp
   
(1| , ) |
rwtt
1122
mk
(1) (
(|
p
 

wt t w t ttot
       
11 2 2

|( |)

1112
() ( 1)
mm m
1| (),
   

|( |)
() ( 1)
mm
mm m
|( |)

121
k
() ( 1)
mm
m
||(),
 
kk
k
mm
121 2
pw t ttot

11
k
121 2
)()
mm
2

m
k
(1) ()
mm
m
(1) ()
mm
)( 1| )
pr

21 2
m
двумерного слу-
11mr


(2.38)


где
||
ki
)(
ttwttw
, 2,1i .
ki
m
Подставляя (2.38) в (2.31), выполняя преобразования, с учётом
равенства
(| )
wtt
 )|(1
2
ный переход при
1
k
(0, 0),tt
0t
 получим утверждение
k
, и совершая предель-
ttw
леммы. Лемма доказана.
85
Замечание 2.5. В точке
бытия потока), апостериорная вероятность состояния процесса )(t
t
, ...,2,1
k (момент наступления со-
k
twi|
, 2,1i , i -го
для полусинхронного потока событий
терпит разрыв первого рода, то есть имеет место конечный скачок.
tw
Полученные для )|( формула (1.9) для априорной финальной вероятности состояния процесса )(t
формулы (2.34), (2.35), (2.37), а также
1
первого
1
определяют поведение апостериорной
вероятности как функции времени.
Леммы 2.11 и 2.12 позволяют сформулировать следующие теоремы.
Теорема 2.4. Для полусинхронного потока событий в случае
0
поведение апостериорной вероятности )|(1tw
221
определяется выражениями
1(| 0)
wt

1
(|)1 , 0,1,...,
wt k

1
wt k
11 (| 0)

(| 0) , 1,2,...,
k
1
wt tt
    

112

(| 0) ,
wt
10 1
 
1(|0)

  

212 1
k

kk
pw t
11
wt

2

p
12
k
(| 0)
k
(2.39)
(| 0)
где
wt
1(| 0)
1,

11 (| 0)
   

ttt , ...,1,0
k
1kk

wt tt
11 12 1
.

1
k
wt
11
k
kkk

k

1, 2,...,

(2.40)
Доказательство осуществляется объединением формул (1.9),
(2.34) и (2.37).
Теорема 2.5. Для полусинхронного потока событий в случае
поведение апостериорной вероятности )|(1tw
0
221
определяется выражениями
86
(|)
wt
1(|0) (|0)
ww t ww t e
   
 
1(|0) (|0)
   
 
11
kk
wt wwt e
11
kk
k
(| 0) ,
wt

10 1
1(|0)
pw t
 
(| 0) , 1,2,...,
wt k

k
1
1(| 0) (| 0)
ww t ww t e
 
 
1(| 0) (| 0)
  
 
11 11
kk

wt wwt e
11 11
kk


  

212 1
(| 0)
wt
1
1, 2,...,
k
1
0,1,...,
11

k
   
2
p

12
k
(| 0)
wt
k
()()
   
()()
   
()()
 
12 2
()()
12 2
12 2 1
12 2 1
tt
tt
tt
kk
tt
kk
k
k
,
,
(2.41)
(2.42)
w ,
212
;
1
w
ttt , ...,1,0k
1
kk
.
Доказательство проводится объединением формул (1.9),
(2.35) и (2.37).
Замечание 2.6. В формуле пересчёта (2.37) положим 1
гда имеем
ktw ,
1
ствует о том, что апостериорная вероятность )|(
0)0|(
k
. Данный факт свидетель-
...,2,1
1
стояния сопровождающего случайного процесса )(t
p . То-
tw
первого со-
не зависит
от предыстории, то есть не зависит от моментов наступления со­бытий потока до момента
Таким образом, при 1
t
,
k
k
.
...,2,1
p полусинхронный поток событий яв-
ляется стационарным ординарным потоком с ограниченным по­следействием или потоком типа P (потоком Пальма) [2].
87
2.4.3. Алгоритм оптимального оценивания





состояния потока
tw
Алгоритм расчёта апостериорной вероятности )|(
1
и алго-
ритм вынесения решения о состоянии сопровождающего процесса
)(t (потока) в любой момент времени
формулируется на
t
основании полученных формул (2.37), (2.39) – (2.42) и (1.9):
1) в момент начала наблюдения 0
значения )0|(
2) если 0
вычисляется вероятность )|(
в любой момент времени t; 10 tt , где 1t – момент
0k
tw выбирается вероятность
01
, то по формуле (2.39) для
, то )|(1tw
0
221
221
tw
1
вычисляется по формуле (2.41) для
t в качестве начального
0
p ;
2121
0
k
в любой момент времени t; если
наблюдения первого события потока;
3) если 0
вычисляется вероятность )|(
вычисляется по формуле (2.42) для
4) по формуле (2.37) для
величины роятности в момент времени
tw для )|(
11
5) в зависимости от значения величины
ле (2.39) либо по формуле (2.41) для риорная вероятность )|(
ttt , где 2t – момент наступления второго события потока, и
21
, то по формуле (2.40) для
, то в момент времени 1t вероятность )|(1tw
0
221
twtw ;
производится пересчёт апостериорной ве-
)0|(
221
tw
в момент времени 1t ; если
1
; здесь
1
k
)0|()|(
1111
в зависимости от значения
1
k
221
t , то есть начальное условие
1
tw
на интервале ),(21tt ;
1
по форму-
221
рассчитывается апосте-
1k
tw
для любого момента времени t,
1
1
k
т. д.
88
tw
t
При расчёте апостериорных вероятностей )|(
в произвольный момент времени t
twtw
)|(1)|(
12
принимается решение о состоянии процесса )(t
twtw , то оценка состояния процесса )(tесть
)|()|(
21
ˆ
()t
, в противном случае
1
ˆ
()t

.
2
и
1
: если
2.5. Оптимальное оценивание состояний MAP-потока
Исследуется MAP-поток событий, математическая модель ко-
торого изложена в параграфе 1.5. Необходимо по наблюдениям (моментам наступления событий потока) ...,...,,,

tt ,
t
,
вале
0
– момент начала наблюдения за потоком, оценить
0
состояние сопровождающего процесса )(t (MAP-потока) в мо- мент окончания наблюдений
. Правило оценивания состояний потока, основанное на критерии максимума апостериорной веро­ятности, идентично рассмотренному в параграфе 2.2 для асин­хронного потока событий.
2.5.1. Уравнение Риккати
для апостериорных вероятностей
Для реализации алгоритма оптимальной оценки состояний необходимо вывести дифференциальное уравнение, определяющее явный вид апостериорной вероятности )|( tw
i
цесса )(t , 2,1i .
Лемма 2.13. Случайный процесс
l

r,)( для MAP-потока со-
l
бытий является марковским процессом.
Доказательство. Компонента
)(l
является марковской, так как,
согласно лемме 1.10, сопровождающий случайный процесс )(t
ttt на интер-
21 k
состояния iS про-
89
является марковским процессом. Компонента
p
r также марковская,
l
так как события в MAP-потоке наступают только в момент перехода процесса )(t из состояния в состояние. Этот момент смены состо-
яний принадлежит интервалу том окончания того или иного состояния процесса )(t длительность участка стационарности процесса )(t
tltl ,)1( и определяется момен-
. Поскольку
в первом со-
стоянии является случайной величиной с экспоненциальной функ­цией распределения
(1)
() 1
Ft e
1
     

11 21 0 21
,
, во вто-
0t
(|) (|)
PPt
ром состоянии – случайной величиной с экспоненциальной функ-
(| ) (| )
PPt
     
цией распределения момент окончания
(2)
() 1
Ft e
-го, 2,1i , состояния процесса )(tне зави-
i

2
сит от предыстории. Значит, компонента тории. Первая компонента
ции, не влияет на компоненту
l

r,)( влияет на
l
)(l
в силу того, что с наступлением (ненаступ-
)(l
процесса
r . Вторая компонента lr процесса
l
лением) события связана смена (несмена)

21 12 0 12
r не зависит от предыс-
l
l
r,)( , в силу конструк-
l
-го, 2,1i , состояния
i
,
, то
0t
процесса )(t . Таким образом, двумерный случайный процесс
l

r,)( является марковским процессом. Лемма доказана.
l
(1) ()
mm
Рассмотрим переходную вероятность
(1) ()
mm

|,
r
m
m
1
m
rrp в рекуррентном соот-
m
pr r
)1()(
m
,,|
ношении (2.6) для апостериорных вероятностей
m
|)1(

ttw
состояний изучаемых дважды стохастических по-
,|,

1
mm
m|)(
tw
,
токов событий с двумя состояниями.
(1) ()
mm
Утверждение 2.5. Переходная вероятность
() ( 1)
mm
pr r
 для MAP-потока событий принимает вид
|,,
1
mm
pr
|,

m
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности