Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Доказательство совпадает с доказательством леммы 1.3, так















как поведение процесса ()t тока событий идентично поведению процесса ()t

для обобщённого асинхронного по-

для асинхрон-

ного потока.

Следствие леммы 3.2. Для обобщённого асинхронного потока событий априорные финальные вероятности состояний процесса

()t совпадают с априорными финальными вероятностями

 для асинхронного потока, представленными формулами (1.4).

Замечание 3.1. Сопровождающий случайный процесс ()t

для

обобщённого асинхронного потока событий не совпадает с интенсивностью потока, так как, например, если при переходе процесса

()t из состояния

инициируется (с вероятностью

S в состояние 2S дополнительное событие

) в первом состоянии, то интен-

сивность потока в состоянии стоянии

S интенсивность потока есть

S есть

p  ; аналогично в со-



q . Тогда средняя



интенсивность обобщённого асинхронного потока равна

 

 

11 22

  

12 12



.pq

Для других возможных вариантов инициирования (с соответствующими вероятностями) дополнительных событий интенсивность потока не совпадает с процессом ()t ; при этом средняя ин-

тенсивность потока

для всех вариантов определяется по вышеприведённой формуле. То есть средняя интенсивность потока не зависит от инициирования дополнительных событий в том или

ином состоянии (в состояния

S в

Замечание 3.2. При 0pq

S или в 2S ) при переходе процесса ()t из

S , , 1,2ij

, ij.

 имеет место асинхронный поток

событий.

121

Отметим, что в определении обобщённого асинхронного потока







в явном виде не оговаривается, в каком состоянии процесса ()t наступает дополнительное событие при переходе процесса ()t состояния

S в состояние

S , , 1,2ij

, ij. Несущественность

из

данного обстоятельства при аналитическом решении задачи об оценке состояний объясняется тем, что наступление события и переход процесса ()t

из состояния

в j, , 1, 2ij, ij, происхо-

дят мгновенно. Указанное обстоятельство должно учитываться при имитационном моделировании обобщённого асинхронного потока событий.

Будем рассматривать описанный обобщённый асинхронный поток событий, функционирующий в условиях неполной наблюдаемости потока. После каждого зарегистрированного в момент вре-

мени

t события наступает время фиксированной длительности T

(мёртвое время), в течение которого другие события исходного обобщённого асинхронного потока недоступны наблюдению (теряются). По окончании периода мёртвого времени первое наступившее событие снова создает период мёртвого времени длительности рис. 3.1, где

T и т. д. Вариант возникающей ситуации приведён на

S и 2S – состояния сопровождающего случайного

процесса ()t ; дополнительные события, которые могут наступать в момент перехода процесса ()t буквой

, из состояния 2S в 1S , отмечены буквой q ; штриховкой

из состояния

S в 2S , отмечены

обозначены периоды мёртвого времени; чёрными кружками обозначены события обобщённого асинхронного потока, недоступные наблюдению;

, , ..., , ...

tt t – моменты наступления событий в

наблюдаемом потоке.

Описанная схема формирования наблюдаемого потока событий в условиях непродлевающегося мёртвого времени справедлива на протяжении всей третьей главы.

122

















Рис. 3.1. Формирование наблюдаемого потока событий

Замечание 3.3. Если рассмотреть обобщённый асинхронный поток при отсутствии мёртвого времени, то аналогично асинхрон-

ному потоку (лемма 1.2) последовательность ная моментами наступления событий

женной цепью Маркова. В случае наличия мёртвого времени последовательность

событий в наблюдаемом потоке вложенную цепь Маркова за счёт эффекта мёртвого времени.

Необходимо по наблюдениям процесса ()t (потока) в момент окончания наблюдений. Для вынесения решения о состоянии процесса ()t времени

wtwtttPt ttt  , 1,2i



iim im

в момент времени наступивших за время



требуется определить апостериорные вероятности

| | ,..., , ( ) | ,..., ,

||1wtw t .

t , порождённая моментами наступления





tt t , тем более образует

значение процесса ()it ( m – количество

событий наблюдаемого потока); при этом

, , ..., , ...

tt t , является вло-

, , ..., , ...

tt t оценить состояние

, , ..., , ...

t , порождён-





в момент

, того, что

123

Решение о состоянии процесса ()t

































































выносится по критерию максимума апостериорной вероятности на основании сравнения вероятностей

|wt и

|wt .

3.2.2. Исходные предпосылки для вывода апостериорной вероятности

Момент вынесения решения о состоянии процесса ()t

(пото-

ка) принадлежит интервалу

, 1, 2,...k  , между соседними



событиями наблюдаемого потока. Для начального интервала

,tt момент



t и моментом наступления первого события наблюдаемого

ния

потока

t .

Рассмотрим интервал

го есть

  , 1,2,...k

даемое в момент времени времени длительности

будет лежать между моментом начала наблюде-

1kk k



t событие порождает период мёртвого

T , то

, значение длительности которо-



. С другой стороны, так как наблю-

T, где

– значение дли-

тельности интервала между моментом окончания периода мёртвого времени

бивается на два смежных: первый – полуинтервал рой – интервал апостериорной вероятности

()t на полуинтервале

ципиально разные. Действительно, на полуинтервале

tT и моментом 1kt, то есть интервал

tTt

 . Подчеркнём, что условия нахождения

tt T

|wt первого состояния процесса

и интервале



tTt

 прин-

tt T

раз-



, вто-



поток принципиально недоступен наблюдению, в то время как на

tTt

интервале дения вероятности

 поток наблюдаем. Кроме того, для нахож-



|wt необходимо точно знать значение T

124

либо предварительно осуществить оценку





























отсутствие такой информации делает невозможным нахождение явного вида апостериорной вероятности

|1 |wt wt . Здесь предполагается, что значение T



известно точно.

3.2.3. Вид апостериорной вероятности на временных интервалах наблюдаемости потока

Следуя методике, приведённой в главе 2 для асинхронного,

синхронного, полусинхронного и MAP-потока событий, получим явный вид апостериорной вероятности

процесса ()t на интервалах событий, функционирующий в условиях непродлевающегося

мёртвого времени фиксированной длительности наблюдению.

Выведем рекуррентное соотношение для апостериорных вероятностей состояний обобщённого асинхронного потока событий. Как и в главе 2 (параграф 2.1) введём в рассмотрение двумерный

()

случайный процесс

()t в момент времени

r , где



() ()

tlt i    ; ( )

,tt и



()

T . В противном случае

|wt

|wt первого состояния

tTt

 , когда поток

()

  – значение процесса

,1,2

T , доступен

rrt



 – чис-

ло событий потока, наступивших на интервале времени

(( 1) , )ltlt длительности

Лемма 3.3. Случайный процесс

асинхронного потока событий является марковским процессом.

Доказательство марковости двумерного случайного процесса

()

r аналогично доказательству марковского свойства процес-



()

са

r для асинхронного потока событий (лемма 2.1).



()

r для обобщённого



125

Для марковского процесса





























r , 0, 1lm



 , имеет место ре-

()

куррентная формула (2.6) для апостериорных вероятностей состояний дважды стохастических потоков событий. Следует напомнить, что наблюдение за потоком осуществляется на интервалах времени ( ,( 1))(, )mt m t tt t, 1, 2,...m  .

Количество событий в наблюдаемом потоке, наступивших на интервале (,(1))mt m t, состоит из событий пуассоновского

потока интенсивности () ных событий, инициируемых в моменты перехода процесса ()t из состояния

S в состояние

mt, 1, 2i  , либо из дополнитель-

S , , 1,2ij

, ij, либо из тех и дру-

гих. В силу сказанного инициирование дополнительных событий

(1) ()



отражается в вероятности перехода

 в форму-



ле (2.6); наступление событий пуассоновского потока отражается в вероятности

pr r

|,,

 в (2.6), где





rr – число со-

() ( 1)

бытий пуассоновского потока, наступивших в наблюдаемом потоке на интервалах (( 1) , )mtmt

В силу малости величины (аналогично для

r). Количество переходов процесса ()t

интервале (,(1))mt m t более одного имеет вероятность ()ot Ситуация, когда на интервале времени длительности

, ( ,( 1) )mt m t

число событий 0

 соответственно.

или 1

одновре-

на

менно наступает событие пуассоновского потока и происходит переход процесса ()t

из состояния

S в

S (с инициированием

дополнительного события либо без его инициирования), имеет вероятность ()ot , , 1,2ij

Рассмотрим переходную вероятность

() ( 1)

pr r

 в (2.6).

|,,





, ij.

(1) ()







126





(1) ()





































Утверждение 3.1. Условная вероятность

 для

обобщённого асинхронного потока событий принимает вид

(1) () (1) ()

mm mm



prp



|, |

 , 0;1d  .

Во-первых, справедливо

(1) () (1) ()

mm mm



prp

|, |

 .

Действительно, число событий пивших на интервале времени (( 1) , )mtmt

(1)



(( 1) )

, 1, 2j

ние

мени (1)mt (процесс ()t

(1)m 

 влияет только значение

()t в момент времени

tmt

r наблюдаемого потока, насту-

, не влияет на значе-

, процесса ()t

в момент вре-

«живёт своей жизнью»); на значение

()

   , 1, 2i



, процесса

Во-вторых, подчеркнём, что дополнительное событие на интервале (,(1))mt m t наступает (либо не наступает) при переходе

процесса λ(t) из состояния

тельство нужно отразить в вероятности

(1) () (1) ()

mm mm





, 0;1d

ход процесса ()t из состояния времени

tmt

, в состояние

мени (1)ttm t    , при этом

(1) () (1) ()

mm mm





, если имеет место переход про-

цесса λ(t) из состояния

тие не инициируется);

S в

S , , 1,2ij

, ij. Это обстоя-

(1) ()



:

, если осуществлён пере-

S , имеющего место в момент

S , имеющего место в момент вре-

, , 1, 2ij;

S в состояние iS (дополнительное собы-

(1) () (1) ()

mm mm



||0

  в слу-

чае перехода процесса ()t циированием дополнительного события, 1, 2i

из состояния iS в состояние iS с ини-

127

Если









































процесса ()t из состояния циируется с вероятностью 1

S в 1S не инициируется с вероятностью 1 q. Если

()ij, то на интервале (,(1))mt m t при переходе

0d 

S в 2S дополнительное событие не ини-

; соответственно, при переходе ()t из

дополнительное событие инициируется с вероятностью

()ij, то

при пере-

ходе процесса ()t из состояния

q при переходе ()t

стью

из 2S в 1S . Утверждение доказано.

Утверждение 3.2. Условная вероятность

S в 2S ; соответственно с вероятно-

() ( 1)

pr r





|,,



для обобщённого асинхронного потока событий принимает вид

() ( 1) ()

mm m

pr r pr

|,, |

 .



mm m



Имеем, во-первых,

так как число событий интервале (,(1))mt m t, не зависит от числа событий пивших на интервале (( 1) , )mtmt состояниях

S в 2S процесса ()t



Так как на значение процесса ()t



() ( 1) () ( 1)

mm mm

pr r pr

|,, |,

 ,

mm m



r наблюдаемого потока, наступивших на



r , насту-

, поскольку потоки событий в

() ( 1)





(1) () ()

mm m



prpr

 



 





 

|, ,

(1) () ()

mm m



пуассоновские. Во-вторых,

() ( 1)



() ( 1)









в момент времени (1)mt

(3.1)



число событий тервале (,(1))mt m t, не влияет, то

(1) ()

p  . В силу этого из (3.1) следует



. Утверждение доказано.





r наблюдаемого потока, наступивших на ин-

(1) ()



()



() ( 1)







128

С учётом утверждения 3.1 и утверждения 3.2 справедливое для























апостериорных вероятностей состояний дважды стохастических потоков событий рекуррентное соотношение (2.6) в случае обобщённого асинхронного потока событий принимает вид

(1)



wtt















 



() ( 1) () ()

mmm m

wtp pr



|||

 

  

() ( 1) () ()

mmm m

wtp pr

 

  





|||



0;1d



(3.2)

Рассмотрим поведение апостериорной вероятности на временном интервале (, )tt t



ком;

tT – момент окончания периода мёртвого времени длительно-

сти

t ; 1kt – момент времени наступления очередного события пото-



t – момент времени наблюдения первого события потока;

T , порождённого событием, наступившим в момент времени

tTt

 , где

ка, 1,2,...k  . Отметим, что события в моменты времени могут быть событиями пуассоновских потоков с параметрами

 , либо дополнительными событиями. Таким образом, на

либо

 , расположенном на интервалах

t – момент времени начала наблюдения за пото-

,tt и



tt t

интервале (, )tt t нет событий потока. Последнее означает, что в

(3.2)

 и

10mr

Для определённости в левой части и в числителе формулы (3.2)

(1)



(( 1) )

положим значение

    в момент времени

(( 1) )tt m t    .

Лемма 3.4. Поведение потока на начальном интервале наблюдения

|wt для обобщённого асинхронного

,tt и на интерва-



129





























tTt

лах

 , 1,2,...k





, между моментом окончания периода

мёртвого времени и моментом времени наступления очередного события наблюдаемого потока определяется дифференциальным уравнением Риккати

dw t





       



12 1 2 1 2

    



12 1 2 1

pqw t q

(1 2 ) |

qwt

|(1).

(3.3)

Доказательство. В состоянии

пуассоновский поток событий с параметром

условные вероятности



S процесса ()t имеет место

, следовательно,

()

, 1, 2i

, того, что на

интервале (, )tt t не наступит событие пуассоновского потока с параметром состояние

 при условии, что в момент времени t имеет место

S , выпишутся в виде

()

0| 1 ( )

retot

  , 1, 2i



mi i



 

. (3.4)

С учётом определения обобщённого асинхронного потока событий ситуации, когда за промежуток времени длительности

место переход процесса λ(t) из состояния

S в

S , , 1, 2ij

имеет

, и допол-

нительное событие при этом не инициируется, имеют вероятности

(1) ()

ppe

 



021

(1) ()

pqe

 



012

|(1)1

(1 ) ( ),

ptot



|(1)1



(1 ) ( ) ,

qtot





(1) ()

 



011 1



(1) ()

 



022 2

|1(),

|1().

 

etot

 

etot

tmm

 

tmm

 

(3.5)

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]