Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие
.pdf
С учётом явного вида выписанных вероятностей и сделанного
m
переобозначения
находим числитель
)(
A и знаменатель 1B в (2.51) в виде
1
||
ttwttw
, 2,1i ,
kiki
AP wtt P wtt
11111 1 2112 2
BPwttP
(|) | (| ) |
1(|) | 1(|)
11 021 1 2 012
kk
|().
wtttot
2
(),
tot
k
k
(2.52)
Подставляя (2.52) в (2.51), учитывая при этом, что
(
0t
t
и
0
12
kk
0
t
, и переходя к пределу при
)|(1)|(
ttwttw
одновременно), получим утверждение
леммы. Лемма доказана.
Замечание 2.7. В точке
бытия MAP-потока), апостериорная вероятность
i -го состояния процесса )(t
t
, ...,2,1
k (момент наступления со-
k
twi|
, 2,1i ,
для MAP-потока событий терпит
разрыв первого рода (имеет место конечный скачок).
Апостериорная вероятность )|(
,
полуинтервалах
tt
, ...,2,1
k , между моментами наступле-
1
kk
ния соседних событий потока и на интервале
tw
как функция времени на
1
),(
tt
, где
10
t
– мо-
0
мент времени начала наблюдения за потоком, определяется формулами (2.46), (2.47), (2.50) для случая задания параметров потока
0)|()|(
PPa . Формула (1.11) для
2102120121
априорной финальной вероятности первого состояния сопровождающего процесса )(t
twtw .
задаёт начальное значение вероятности
)0|()0|(
10101
Таким образом, результаты лемм 2.15 и 2.16 позволяют сфор-
мулировать следующую теорему.
Теорема 2.6. Поведение апостериорной вероятности )|(
tw
на
1
временной оси для MAP-потока событий определяется выражениями
101
(|)
wt
wwwt wwwt e
12 1 21 1
(| 0) (| 0)
ww t ww t e
21 11
kk
( | 0) ( | 0)
kk
k
(| 0) ,
wt
10 1
(| ) (|) (| )(| 0)
PPPwt
2 012 1 2 1021 2012 1
wwwt wwwt e
12 1 1 21 1 1
21 1 2 11 1 1 21 1 2 1
1(|) (|) (|)(|0)
PPPwt
(| 0) (| 0)
ww t ww t e
211 111
kk
(| 0) (| 0)
kk
1111 2122
(| 0)
wt
k
1
()()
aw w t t
21
()()
aw w t t
21
0,1,...,
1(|)
P
2122
1(|) 1(|)
PP
(| 0)
wt
1
1
1, 2,...,
k
k
1, 2,...,
k
()( )
aw w t t
21 1
()( )
aw w t t
21 1
k
k
kk
kk
k
,
,
(2.53)
k
(2.54)
,
1
w
1
2
a
1
2
2
a
2
2
12 2012 12 12012021
2(|) 4 (|)(|),
PPP
w
12 2012 12 12012021
2 (|) 4 (|)(|),
PPP
aPP
121021 2012
(|) (|)0,
102
где 10
w , 12w при
1
ttt , ...,1,0k
1kk
; 10
w , 0
0a
.
1
w при
2
0
a
Доказательство проводится объединением формул (1.11),
(2.46), (2.47) и (2.50).
Замечание 2.8. В формуле пересчёта (2.50) положим
)|()|(
PP
(| 0) , 1,2,....
wt wk
, )|()|(
211111
1
k
P
1(|)
PP . Тогда имеем
(|)
11 1
P
01 2
120210
Данный факт свидетельствует о том, что апостериорная вероят-
ность )|(
процесса )(t не зависит от предыстории: поведение )|(
сле момента
в момент наступления события потока
Итак, при выполнении условий
tw первого состояния сопровождающего случайного
1
tw
по-
1
t
зависит только от значения
k
PP MAP-поток событий является стационар-
)|()|(
120210
( | 0) const
wt w
t
для любых k ,
k
1
k
k
PP
...,2,1
211111
)|()|(
ным ординарным потоком с ограниченным последействием или
потоком типа P (потоком Пальма) [2].
. Особый случай, когда в (2.44) коэффициент
II
PPa .
0)|()|(
2102120121
Лемма 2.17. Решение дифференциального уравнения (2.44) для
случая, когда 0)|()|(
PPa , имеет
2102120121
вид
;
.
,
(| ) (| )
PP
(|) (|) ,
wt wt e
11
20 1 2 20 1 2
bb
Pb ;
Доказательство. Так как коэффициент
)|(2
210221
k
ttt , ...,1,0
kk
k
1
a
()
bt t
k
(2.55)
.
, то уравнение
0
(2.44) принимает вид
103
или
dt
)|(
tdw
1
)|(
tdw
1
dt
Ptbw
PtwP
),|()|(
21021
)|()|()|(2
21021210221
где
Pb .
)|(2
210221
Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем:
dw t
(|)
bw t P
(|) (| )
12012
1
wt t CC
ln ( | ) ln , 0,
bb
C – произвольная постоянная.
1
111
1
P
(| )
20 1 2
dt C
ln ,
1
Потенцируя последнее уравнение, в результате несложных пре-
tw
образований находим функцию )|(
)|(
tw
1
P
(2.56)
в явном виде
1
)|(
2102
b
Ce
bt
,
где C – произвольная постоянная.
Предположим, что значение апостериорной вероятности
tw в момент времени
)|(
1
)|()|(
twtw при
11 k
tt
,
k
tt
. Это позволяет найти значение про-
k
, известно, то есть
...,1,0k
извольной постоянной C в (2.56) в виде
twC
1
k
P
)|(
)|(
bt
2102
b
k
e
,
k
,
...,1,0
и выписать функцию )|(
tw
, определённую в (2.55). Лемма дока-
1
зана.
104
Отметим, что формула пересчёта (2.50) апостериорной вероят-
ности )|(
tw в момент времени
1
тия потока имеет место и для случая
t
,
k
, наступления собы-
...,2,1k
.
0a
Результаты лемм 2.16 и 2.17 позволяют сформулировать сле-
дующую теорему.
Теорема 2.7. Поведение апостериорной вероятности )|(
,
временных полуинтервалах
tt
,
1
kk
...,1,0k
, для
a
опреде-
0
ляется явной формулой
(|)
wt
1
(| ) (| )
PP
20 1 2 20 1 2
bb
(| 0) ,
wt
10 1
(| ) (|) (| )(| 0)
PPPwt
21 1 2 11 1 1 21 1 2 1
(| 0) ,
wt e
k
1
0,1,...,
k
1(|)
P
2122
1(|) 1(|)
PP
1111 2 122
(| 0)
wt
1
k
1(|)
P
2012
1, 2,...,
k
bt t
()
k
k
tw
на
1
(2.57)
,
(2.58)
(| 0)
wt
(| ) (| )
PP
2012 2012
bb
где
Pb ;
(| 0) ,
wt e
11
k
1
k
1, 2,...,
210221
k
)|(2
ttt , ...,1,0
1
kk
k
()
bt t
1
kk
.
(2.59)
Доказательство осуществляется объединением формул (1.11),
(2.50) и (2.55).
105
Замечание 2.9. В формуле пересчёта (2.58) для случая
w
положим 0)|()|(
PP . При соотношении пара-
21121111
0
a
метров потока, определяемом последним равенством, (2.57) и
(2.58) выпишутся в виде
(| ) (| )
PP
(|) , ;
wt e ttt
11 01
(|) , ,
wt w e ttt
1 1
20 1 2 20 1 2
bb
(| ) (| )
PP
20 1 2 20 1 2
bb
()
bt t
()
bt t
k
0
kk
(2.60)
(2.61)
определена формулой (1.11).
1
Pb , ...,2,1
(| 0) , 1,2,...,
wt wk
k
1
Полученный результат говорит о том, что вероятность )|(
не зависит от предыстории; её поведение для любых
определяется значением
Таким образом, при выполнении условия
(| )0P
20 1 2
и 0)|()|(
)|(2
k ;
210221
(|)
P
11 2
1(|)
P
01 2
.
PP MAP-поток со-
(2.62)
k ,
k
121021
21121111
(|)P
tw
1
...,2,1
бытий становится стационарным ординарным потоком с ограниченным последействием или потоком типа P (потоком Пальма) [2].
2.5.3. Алгоритм вынесения решения о состоянии потока
и численные результаты оптимального оценивания
Полученные для общего случая задания параметров в уравне-
нии (2.44) (
121021
(|)aP
(| )0P
20 1 2
) формулы
(2.47), (2.50), (2.53), (2.54) и (1.11) позволяют сформулировать
следующий алгоритм расчёта апостериорной вероятности )|(
tw
1
,
106
и алгоритм вынесения решения о состоянии процесса )(t
потока) в любой момент времени
1) в момент начала наблюдения 0
значения апостериорной вероятности )0|(
:
t
t в качестве начального
0
tw выбирается
01
априорная финальная вероятность
1
P
)|(1
2212
PP
;
)|(1)|(1
22121111
(MAP-
2) по формуле (2.53) для
)|(
tw в любой момент времени t,
1
дения первого события потока;
3) по формуле (2.54) для
)|(
tw в момент времени 1t ; здесь )0|()|(
1
4) по формуле (2.50) для
w и 2w определены в (2.47);
k
1
k
орной вероятности в момент времени
)0|(
вие
tw для )|(
11
5) по формуле (2.53) для
ttt , где 2t – момент наступления второго события потока,
21
tw
на интервале
1
k
рассчитывается апостериорная вероятность )|(
При расчёте апостериорных вероятностей )|(
в произвольный момент времени t прини-
twtw
)|(1)|(
12
вычисляется вероятность
0
k
ttt , 1t – момент наблю-
10
1
рассчитывается вероятность
1
twtw ;
1111
производится пересчёт апостери-
t , то есть начальное усло-
1
, tt ;
21
в любой момент времени t,
1
tw
и т. д.
1
tw
и
1
мается решение о состоянии процесса )(t по методу максимума
апостериорной вероятности.
Для особого случая задания параметров потока в уравнении
Риккати (2.44) (
чёт вероятности )|(
a
12
tw
и алгоритм оптимальной оценки состоя-
1
ний аналогичны общему случаю
(| )0P
20 1 2
и производятся по формулам (2.57) – (2.59) и
PP
121021
0)|()|(
) рас-
21021201
(|)aP
(1.11).
107
Для иллюстрации результатов работы алгоритма оптимального
оценивания состояний дважды стохастических потоков событий с
двумя состояниями выбран MAP-поток, наиболее часто используемый в качестве математической модели реальных информационных потоков сообщений, в частности, в широкополосных беспроводных сетях вдоль протяжённых транспортных магистралей [19].
Предположение о том, что потоки сообщений (запросов, вызовов)
являются MAP-
потоками, позволяет учитывать сложный,
коррелированный характер информационных потоков в
современных телекоммуникационных сетях [20].
Для получения численных результатов разработан алгоритм оп-
тимального оценивания состояний процесса )(t
(MAP-потока
событий). Первый этап расчёта предполагает имитационное
моделирование MAP-потока событий. Второй этап –
)|(1tw
непосредственное вычисление вероятностей
)0|(
tw , )|(1tw
1k
(2.47), (2.50), (2.53), (2.54), если
(| )0P
20 1 2
PP , и определение оценки
ˆ
истинной траектории процесса )(t, полученной путём
()t
,
ttt , ...,2,1k , по формулам (1.11),
1
kk
121021
, либо по формулам (1.11), (2.57) – (2.59), если
0)|()|(
2102120121
,
(|)P
ttt
,
10
имитационного моделирования MAP-потока.
Расчёты произведены для значений параметров, представлен-
ных в табл. 2.1, и времени моделирования 20
Модельные данные
T ед. времени.
m
Т а б л и ц а 2.1
P 1,0)|(
21
5,02
(|)0,4P 2,0)|(
12 2
8,0)|(
111
P 1,0)|(
121
P 4,0)|(
211
P
120
210
P
В качестве иллюстрации на рис. 2.3 приведена траектория
(верхняя часть рис. 2.3) процесса )(t
(истинная траектория), где
108
S
S
,
– состояния процесса )(t, и траектория (нижняя часть
1
2
рис. 2.3) оценки
ˆ
, где 1S , 2S – состояния оценки
()t
ˆ
()t
Вынесение решения о том или ином состоянии процесса )(t
001,0
производилось с шагом
t . На рис. 2.3 штриховкой на оси
времени обозначены временные промежутки, на которых оценка
состояния не совпадает с истинным значением процесса )(t
(область ошибочных решений).
S
1
λ(t)
S
2
S
1
ˆ
()t
S
2
0
48
Рис. 2.3. Траектория процесса )(t и оценки
12
16
ˆ
()t
t
t
На рис. 2.4 приведена траектория поведения вероятности
tw , соответствующая полученной при имитационном моде-
)|(
1
лировании последовательности моментов времени наступления
ttt
событий ...,...,,,
21 k
.
|t)
(λ
w
1
1
.
0,5
0
48
Рис. 2.4. Траектория апостериорной вероятности
12 16
t
109
Для установления частоты ошибочных решений о состоянии
s
s
s
p
s
процесса )(t по наблюдениям за MAP-потоком событий
проведён ряд статистических экспериментов, состоящих из
следующих этапов:
,
1) для определённого набора параметров
,
)|(
P
121
,
)|(
P
120
,
)|(
P
221
,
1
2
,
)|(
P
211
)|(
P
111
)|(
P
210
осуществляется имитационное моделирование MAP-потока на
заданном отрезке времени ],0[
(время наблюдения за потоком), – отдельная
T , где mT – время моделирования
m
-я реализация (ис-
пытание модели);
2) производится расчёт апостериорной вероятности )|(
первого состояния сопровождающего случайного процесса )(t
отрезке ],0[
3) оценивается траектория процесса )(t на отрезке ],0[
4) определяется значение
тервалов, на которых значение процесса )(t
оценкой
5) вычисляется доля ошибочных решений
6) производится повторение
T ;
m
ˆ
, – для s-го испытания;
()t
T ;
d – суммарной протяжённости ин-
s
не совпадает с его
d
раз, 1,
N
ˆ
pT
s
N , шагов 1 – 5 для
;
m
tw
1
на
m
расчёта оценки полной (безусловной) вероятности ошибки принятия решения о состояниях процесса ()t
на отрезке [0, ]mT .
Результатом выполнения описанного алгоритма является вы-
ˆˆ ˆ
pp долей ошибочных решений в N испытаниях.
борка
, ,...,
12
N
По этому набору вычисляются выборочное среднее безусловной
N
1
вероятности ошибочного решения
N
дисперсия
ˆˆ
DpP
ош ош
1
N
ˆ
s
1
s
1
ˆ
Pp
ош
2
.
ˆ
N
и её выборочная
1
s
,
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]