Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
t
p

p



 
ностью потока с параметром пуассоновского потока процесс ()t во второе с вероятностью
венств относительно
wttwt pwt w ttot
    наступит событие пуассоновского
Других возможностей не имеется.
На основании рассмотренных ситуаций выпишем систему ра-
   
w t t w t w tt p w tt
|||(1)|
1 1 11 11
   
w t t w t w ttpw ttot
||| |().
  
222211
В результате несложных преобразований находим
|| ||(),
    

111122
||||().
wttwtpwt wttot
   
  
221122
1
te t o t
11
|() |()
wt totpwttot       .
11 11
()
, и в момент времени наступления события
1
перейдёт из первого состояния
; вероятность этой ситуации равна
|
wt , 1,2,i
i
  
wttot
|(),

22


, в момент времени
tt
:
Разделив оба равенства на
и переходя к пределу при 0t
t
 ,
получим систему линейных дифференциальных уравнений отно-
|
сительно апостериорных вероятностей
1, 2i , процесса ()t
wtpwt wt
|||;||1.
wtpwt wtwtwt
 
     
21122 1 2
на интервалах наблюдаемости потока:
|||,

11122
wt состояний
i
S ,
i
Используя условие нормировки, сведём выписанную систему к одному дифференциальному уравнению относительно
dt
|
1
 
pwt

12 1 2
|
dw t
1
|wt :
171
с начальным условием



wttwt , 1,2,...k
11
kk
. Инте-
||
грируя последнее уравнение методом разделения переменных и принимая во внимание, что
   , находим (3.34).
12 12
p
Лемма доказана.
Итак, апостериорная вероятность начальным условием для
|wt , рассчитываемой по формуле
1
wtT
, являющаяся
1|k
(3.31) либо по формуле (3.32) на интервалах наблюдаемости пото- ка, вычисляется по формуле (3.34) в момент времени
tt T
,
k
1, 2, .. .k . Однако применение (3.34) невозможно без знания
wt – значения апостериорной вероятности в момент

1|k
t
k
наблюдения события потока, которое порождает период мёртвого времени фиксированной длительности
Перейдём к определению
wt , рассматривая ситуацию
T .
1|k
наблюдения одного события потока на интервале
( ,( 1))(, )mt m t tt t, допустим, в момент времени
t ,
k
1, 2, .. .k .
Лемма 3.14. В обобщённом полусинхронном потоке событий в
момент времени
t апостериорная вероятность первого состояния
k
процесса ()t задаётся формулой пересчёта
(1 ) | 0
    
|0 ,
wt


1
k
2121

22122 1
1,2,...,k
|01 |0.
wt wt
21
kk
Доказательство. Рассмотрим два смежных интервала
,ktt t , длительности которых есть

pwt

wt
k
|0
k
(3.35)
,ktt и
tt t
 
и
tt tt
k

k
соответственно. Положим также в формуле (3.26) всюду, за ис-
172
ключением знаменателя, значение

мает вид
(1)
m
 . Тогда (3.26) прини-
1
|
k
111
(1) ()
mm
p

(1) ()
mm
pd


d
 
11
, если ,


1
|,
|,0;1;
1
2
(3.36)
,
, если ,
()
m

2
1
()
m

2
2
()
m

1

22

() ( 1)
mm
 
11
Обозначим

wt t
1
() ( 1) () () ()
mmmmm
 
wttp pr I

wttp pr I
(1) ()
p


m
I
I
|||,
km m
() ( 1) () () ()
mmmmm
 

mm
|
()
m


1
()
m


A – числитель, 1B – знаменатель выражения (3.36).
1
|||,
km m
  
 
(1) ()
mm
 
0, если ,
(1) ()
mm

 
0, если .
Принимая во внимание, что событие, наступившее в момент вре-
t , может быть либо дополнительным событием, либо собы-
мени тием пуассоновского потока, выпишем числитель тель
k
B выражения (3.36):
1
A и знамена-
1
() ( 1) ()
     
Aw t tp
11 11
  
pr I w t t

mk
    
(1) () () ()
pprI

mm
mmm
mm m
() () ()
|, |
1111 2
mm m m
||
||,
121212
km



173

() ( 1) ()
p


mmm
wttp
   
1| , |
rwtt


111 2
mk
 
  
   
BAw t tp
11 1 2 1

pr I w t t

    
pprI

mm
   
Aw t tp
      
pr w t

mk
 
  
(1) () ()
 
mk
(1) () () ()
mm m
ppr

0121 2
(1) () ()
mm m
ppr

1121 2
() () ()
mm m
|, |
11 1 2
mm m m

11 21
1| , |
112 2
(1) () ()
mm m
ppr

0221 2
(1) () ()
mm m
ppr

1221 2
||
111
() ( 1) ()
mm m
() ( 1) ()
mmm
||,
2212 2
() ( 1) ()
mmm
() ( 1) ()
mm m
k
|1|
|0|;
||
km

||
k
|1|
|0|.
m
m



m
m
 
t

 
Следует напомнить, что в состоянии
S процесса ()t поведение
1
обобщённого полусинхронного потока идентично поведению син­хронного потока, в состоянии
S процесса ()t поведение обобщён-
2
ного полусинхронного потока идентично поведению обобщённого асинхронного потока. В связи со сказанным, применяя лемму 2.8, формулы (3.4), (3.5), (3.13), (3.14) с заменой в них вероятности ини­циирования дополнительного события
A и знаменатель 1B после несложных преобразований в виде
1
      
(1 ) | | ( ) ,
Apwttwtttot
111 22
 
Bwtt wtttot
      
111 2 2 2

где

wttwtt
||(),

kk
()
m
||
ik ik

kk



q на
, перепишем числитель
, 1, 2i
.
(3.37)
174
Подставляя (3.37) в (3.36), выполняя деление числителя и зна-


менателя на
|1|
wtt wtt
, и переходя к пределу при

21
0t

kk
(
и
t
t
, учитывая при этом, что
t
одновременно стремятся к нулю), получаем
формулу пересчёта (3.35). Лемма доказана.
Замечание 3.13. Апостериорная вероятность
S , 1,2i , кусочно-постоянного случайного процесса ()tв
ния
i
точке хронном потоке), 1, 2,...k
t (момент наблюдения события в обобщённом полусин-
k
, терпит разрыв первого рода (имеет
|
wt состоя-
i
место конечный скачок).
3.3.4. Апостериорная вероятность как функция времени
для общего и особого случаев задания параметров потока
Полученные для
|wt формулы (3.31), (3.32), (3.34), (3.35), а
1
также формула (1.9) для априорной финальной вероятности состояния
вероятности на временных участках тий принципиально ненаблюдаем, на интервалах
S процесса ()t определяют поведение апостериорной
1
,
tt T
kk
, когда поток собы-
,
tTt
,
kk
1
1, 2, .. .k , на которых поток событий доступен наблюдению, а
1
также на начальном интервале времени
,tt , на котором, со-
01
гласно замечанию 3.12, в момент начала наблюдения за потоком
0t в качестве начального значения вероятности
0
||0wtwt выбирается априорная финальная вероят-
10 10
ность
.
1
Леммы 3.12 – 3.14 и замечание 3.12 позволяют сформулировать следующие теоремы для общего случая задания параметров пото­ка:
12 2
0 (подпараграф 3.3.2).
175
Теорема 3.2. Для обобщённого полусинхронного потока собы-

тий в условиях непродлевающегося мёртвого времени фиксиро­ванной длительности
дение апостериорной вероятности
T в случае
   ,
12 2
|wt определяется выраже-
1
0
01

, пове-
ниями:
1|
wt

|1 ,
wt


1

11 |
wt tt
  

 


10 1
10 1 2 2 0
|,wt
10
2
p

12
(3.38)
| | 0 , 1,2,...,
wt wt e k
wt


11 1 1

| 0 , 1,2,...,
wt k

1
k
|1 ,
wt


1
|01 ,


1
k
2,3,....k
ttt
,
01



    

22122 1
11 |
    
(1 ) | 0
2121

wtT ttT
 

1, 2,...,k

11 |
wt T tt T
     


11 12 2 1
||0;wtwt
11 11
ptt
 
k
pwt

tttT
;
kk
1|
wtT
 
1122
kk
tTtt
1|
wt T

kkk


12
wt
1
k
 ;
11
k
k
k
|0
k
1kk
176
(3.39)
(3.40)
Доказательство осуществляется объединением формул (1.9),
(3.31), (3.34), (3.35).
Теорема 3.3. Для обобщённого полусинхронного потока событий
при наличии непродлевающегося мёртвого времени фиксированной длительности
стериорной вероятности
T в случае
   ,
12 2
|wt определяется соотношениями
1
0
01

, поведение апо-
  
 
  
1| |
ww t ww te
|,
wt


1
   
 
wt k

wt

wt wwt T wwt T
| | 0 , 1,2,...,
wt wt e k


11 1 1

| 0 , 1,2,...,

1
k
 
wwtT wwtTe
|,
1
   
  
11111
 
 
1| |
 
|0 1 | |
kk k
   


ewtT

ww t T e

 
 
1| |
    
1| |
12 2 1
10 10
wt wwte
 
10 10
|,wt


10 1
,ttt
01



    

22122 1
 
wtT wwtTe
 

(1 ) | 0
2121
kk
11
kk
11
tt T

kk
|,
11
k
||0wtwt
11 11
k
pwt

tttT
;
kk
1, 2,...,k
tTtt


1|

   

12 2 1
2
p

12
 ;

ptt
 
wt
 ;



11
tt T

12 2 0
  

12 2 0
12
k
|0
k
1kk
k
kk
tt
(3.41)
tt

k
     
12 2
   

12 2
tt T
k
tt T

k
(3.42)
1
2,3,...;k
(1 ) ,w  
212 2
   .
12 2
0
177
Доказательство проводится объединением формул (1.9),
(3.32), (3.34), (3.35).
II.
Особый случай, когда в уравнении (3.27) коэффициент
12 2
1.
12 2
достигается для
0a     . Здесь возможны варианты.
0   ,
01
*
 , при этом
12 2
. Очевидно, что равенство нулю

   .
12 2
0
Уравнение (3.27) примет вид
|
dw t
dt
1
    

12 2 1
|10.
wt

Интегрируя последнее уравнение и принимая во внимание, что в момент окончания периода мёртвого времени
ная вероятность
|wt принимает значение
1
tT апостериор-
k
wtT
, явля-
1|k
ющееся начальным условием для интервала наблюдаемости пото-
,
tTt , находим решение на участках наблюдаемости в виде
ка

kk
  
tTtt
где для
 , 1,2,...k
|11 | ,
wt wtTe


11
|wt .
1



1kk
k
;
wtT
1|k
12 2
– начальное условие
Замечание 3.14. На начальном интервале наблюдения
апостериорная вероятность (3.43) при няется на
времени
t ).
0
; при этом начальное условие
0k
|wt (момент времени
10
|wt рассчитывается по формуле
1
tT заменяется моментом
k
На полуинтервалах ненаблюдаемости потока
tt T
k
(3.43)
wtT
заме-
1|k
,
tt T
kk
,tt
01
, kt ,
1, 2, .. .k , – момент времени наступления события в наблюдаемом
потоке, расчёт апостериорной вероятности
|wt в произволь-
1
178
ный момент времени

|0
wt – начальное значение апостериорной вероятности
1
k
|wt в момент времени
1
производится по формуле (3.39), в которой
t
t , задаваемое формулой пересчёта.
k
Формула пересчёта (3.35) запишется в виде
wt pwt k 
| 0 | 0 , 1, 2,...,

112211
kk
1

1


(3.44)
где
  
| 0 1 1 | , 2,3,....
wt wt Te k
 

111
kk
2.
12 2
(3.27) примет вид


0   ,
. Тогда дифференциальное уравнение
1
|0dw t dt ; решение последнего уравнения
1
12 2 1
tt T
kk
(3.45)
есть
|w t const ,
1
ttt
,
01
tTtt
 , 1, 2,...k
1kk
. (3.46)
Формула пересчёта (3.35) выпишется в виде
wt p wt k 
| 0 (1 ) | 0 , 1,2,....

12121
kk
Так как (3.46), запишем
tt также находим
1
последнее в формулу пересчёта (3.47), находим
1
1



|0wt,
10 1
|wt для
11
||0wttwt
 . Подставляя
11 11 1

   , то, исходя из
12 12
p
ttt . Таким образом, для
01
|0wt –
11 1
(3.47)
начальное условие для первого интервала ненаблюдаемости, по­рождённого событием наблюдаемого потока, наступившим в мо-
мент
t . Далее при подстановке
1
описывающую поведение
1
которых исходный поток ненаблюдаем, находим
tttT  и так далее. Тогда
11
|0wtв формулу (3.39),
11 1
|wt на временных интервалах, на
|wt для
11
|wt для
11
tt .
0
179
Замечание 3.15. При рассмотренном в особом случае 2 соот-

ношении параметров потока отсутствует зависимость
, ,...,
моментов наступления событий
tt t, 1, 2,...k
12
k
, и решение о
|wt от
1
том или ином состоянии потока выносится на основании априор­ных данных.
В рассмотренных общем и особом случаях задания параметров потока точка
|wt на полуинтервале
1
tt T
является точкой сшивания решений
k
,
tt
kk
, 1, 2,...k  .
1
3.3.5. Алгоритм принятия решения о состоянии обобщённого полусинхронного потока событий
в условиях мёртвого времени
Формулы, полученные в 3.3.2 – 3.3.4, позволяют сформулиро-
вать алгоритм расчёта апостериорных вероятностей
|wt для общего случая задания параметров потока, когда в
2
уравнении (3.27) коэффициент
12 2
0a , а также на
1
|wt ,
основании вычисленных вероятностей сформулировать алгоритм принятия решения о состоянии процесса ()t
вольный момент времени
в момент времени начала наблюдения за потоком
1)
:
t
(потока) в произ-
0t
в ка-
0
честве начального значения апостериорной вероятности задаётся
|0wt p ;
10 1 2 1 2
по формуле (3.38) в случае
2)
формуле (3.41) в случае вероятность
t – момент наступления первого события наблюдаемого пото-
где
1
|wt в произвольный момент времени
1
   ,
12 2
   ,
12 2
0
0
01

01
, рассчитывается

, либо по
, 10 tt
t
 ,
ка;
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности