Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие
.pdf
)()(
t
Рассмотрим вероятность
Компонента
щего времени
l
tlrr
l)(
tlt
, ml ,0 ; при этом ttmt
окончания наблюдений. Значит,
l
)(
tl
r
1
t
. Тогда
m
t
,
m
t
rrtt
2 , ..., ( )
2
m
m
mm
является функцией времени
m
m
(1)rl t вектора
t
(0)
rtr
0
,
rt r t
1
r
, то есть вектор наблюдений mr
.
В этой связи можно записать
()
m
(|)
wt . Аналогично для апостериорной вероятности
)1(
m
w r имеет место равенство
|
1
m
m
)1(
r .
m
1
m
)1(
|)(|
m
m
l
)(
t
m
l
(1) ( )
, ...,
m
() ()
mm
wwt rr
ttwttw
||()
10
r зависит от теку-
m
)(
t
mm
, откуда находим
m
w r
m
– момент
0
)1(
m
|
m
С учётом вышеизложенного рекуррентное соотношение (2.5)
для апостериорных вероятностей
)(twm
)|(
,
m
|)1(
запишется в виде
)(...,),(),(||
trtrtrww
r .
0,rt
1
ttw
(1)
m
wtt
2
m
()
22
mm
() ( 1)
11
() ( 1) () () ( 1)
mmm mm
wtp rpr r
1
||,|,,
() ( 1) () () ( 1)
mmm mm
wtp rpr r
||,|,,.
Замечание 2.1. Компонента
)...,,,(
rrrr может принимать значения 0
10 mm
|(2.6)
mm m
1
mm m
r вектора наблюдений
l
1
r или 1
l
1
r .
l
51
Случаи
t
j
j
стохастических потоков имеют вероятность )( to
...,3,2lr
в силу определения различных типов дважды
.
2.2. Оптимальная оценка состояний
асинхронного потока
Исследуется асинхронный поток событий, математическое
описание которого приведено в параграфе 1.2. Наблюдения за
потоком производятся на интервале времени
наблюдениям ...,...,,,
ttt оценить состояние сопровождающего
21 k
процесса )(t (асинхронного потока) в момент окончания
наблюдений.
Для вынесения решения о состоянии процесса )(t
времени
что в момент времени
необходимо определить апостериорные вероятности
, 2,1
значение процесса it )( (m – количе-
t
11
ство событий потока, наступивших за время
twtw .
1)|()|(
21
Решение о состоянии принципиально ненаблюдаемого (скрыто-
го) марковского процесса )(t
выносится по критерию максимума
апостериорной вероятности на основании сравнения вероятностей:
если
цесса есть
стояния есть
, 2,1,
ˆ
t, 1, 2i
()
ˆ
t, 1,2j
()
)|()|( twtw
ji
i
ji ,
; если (|) ( |)
i
, то оценка состояния про-
wtw t
, то оценка со-
ij
.
2.2.1. Дифференциальное уравнение
для апостериорных вероятностей
Лемма 2.1. Случайный процесс
l
r,)( для асинхронного
потока событий является марковским процессом.
tt ,
. Требуется по
0
в момент
ttttPtttwtw
,...,,|)(),...,,|()|(
mimii
l
i , того,
); при этом
t
52
Доказательство. Первая компонента
p
ляется марковской, так как процесс )(t
)(l
процесса
l
r,)( яв-
l
для асинхронного потока
является марковским (лемма 1.1). Вторая компонента
l
r,)( также марковская, так как для асинхронного потока
l
S
событий в состоянии
сопровождающего случайного
1
процесса )(t имеет место пуассоновский поток с параметром
в состоянии
параметром
состояний процесса )(t
S
процесса )(t – пуассоновский поток с
2
. Компонента lr – число событий на интервале
2
tltl ,)1( – не влияет на компоненту
)(l
, так как смена
происходит в произвольные моменты
r процесса
l
1
времени, не связанные с моментами наступления событий
асинхронного потока (процесс )(t
)(l
Компонента
процесса
не влияет на компоненту lr в силу конструкции
l
r,)( . Лемма доказана.
l
Рассмотрим переходную вероятность
(1) ()
mm
|,
r
pr r
m
() ( 1)
mm
|,,
в формуле (2.6).
1
mm
Утверждение 2.1. Условная вероятность
«живёт своей жизнью»).
(1) ()
mm
pr r
,|,
1
mm
)()1(
mm
rp ,|
для
m
асинхронного потока событий принимает вид
)()1()()1(
mm
prp
m
Действительно, поскольку случайный процесс
марковским, то на значение компоненты
tmtt )1(
влияет только значение
tmt ; компонента
r не влияет на компоненту
m
mm
|,|
.
l
r,)( является
l
)(l
в момент времени
)(l
в момент времени
)1( m
в силу
леммы 2.1. Утверждение доказано.
,
53
)1()(
Утверждение 2.2. Условная вероятность
m
1
m
m
,,|
rrp
m
для асинхронного потока событий принимает вид
)1()(
m
1
m
m
m
rprrp
m
Действительно, количество событий
tmtm )1(, не зависит от числа событий mr на интервале
)(
m
|,,|
1
.
r на интервале
1m
щего процесса )(t
ром
конструкции процесса
i
tmtm ,)1(, поскольку в состоянии
имеет место пуассоновский поток с парамет-
)1( m
не влияет на компоненту
l
r,)( :
l
S
, 2,1i , сопровождаю-
i
)1( m
– в будущем,
r в силу
1m
r – в про-
1m
шлом (рис. 2.1). Утверждение доказано.
Принимая во внимание утверждения 2.1 и 2.2, запишем форму-
m|)(
tw
лу (2.6) для апостериорных вероятностей
m
|)1(
Рассмотрим случай 0
ttw
состояний асинхронного потока событий в виде
2
wtp pr
m
()
22
mm
() ( 1)
11
),( ttt
, где tmt
1
(1)
m
wtt
() ( 1) () ()
mmm m
|| |
() ( 1) () ()
mmm m
wtp pr
r в (2.7), то есть на интервале
,
|
|| |
1m
tmtt
)1(
1
m
1
m
, нет событий асинхрон-
,
.
(2.7)
ного потока. Этот случай описывает поведение апостериорной
t
t
вероятности на интервале времени между моментами
и
k
1k
...,2,1k , наступления соседних событий потока и на интервале
,
),(
tt
10
делённости в (2.7) положим
соотношение (2.7) для апостериорных вероятностей
, где
t
– момент начала наблюдения за потоком. Для опре-
0
)1(
m
. Тогда рекуррентное
1
,
m|)(
tw
54
m
|)1(
ttw
состояний асинхронного потока событий примет
вид
|
wtt
1
2
()
m
22
() ( 1)
mm
11
mm m m
() ( 1) () ()
wtp pr
1
||0|
wtp pr
mmm m
() ( 1) () ()
|| 0|
11
m
m
1
,
(2.8)
.
12
Лемма 2.2. На временных интервалах
ttwttw
)|(1)|(
),(
tt
и
10
...,2,1k , между моментами наступления соседних событий асин-
хронного потока апостериорная вероятность
удовлетворяет дифференциальному уравнению Риккати
)|(
dt
tdw
1
2
2112121
twtw
Доказательство. Рассмотрим все вероятности, входящие в
формулу (2.8).
С учётом определения асинхронного потока событий (пара-
),( ttt
граф 1.2) вероятности перехода на интервале
дающего случайного процесса )(t
S
, 2,1, ji , запишутся в виде
j
)1(
)1(
)1(
)1(
mm
)(
1
)(
2
)(
2
mm
)(
1
из состояния
t
1
tmm
2
tmm
1
t
2
11
22
11
22
сопровож-
S
в состояние
i
),(1|
totep
),(1|
totep
(2.10)
),(1|
totep
).(1|
totep
.)|()|(
21
tt
1kk
(2.9)
),(
,
)|(1tw
55
Отметим, что ситуация «остаться в состоянии
t
рассматривается как переход процесса )(t из состояния
2,1i .
S
»
i
S
S
в
i
,
i
В силу того, что в состоянии
случайного процесса )(t
тий с параметром
имеет место пуассоновский поток собы-
, условные вероятности
i
2,1i , того, что за промежуток времени длительности
наступит событие пуассоновского потока с параметром
условии, что в момент времени
S
, 2,1i , сопровождающего
i
)(
rp
1
m
m
|0
имеет место состояние
t
не
при
i
i
S
i
2,1i , выпишутся в виде
t
m
m
1
m
1
)(
)(
1
tm
2
11
22
),(1|0
toterp
).(1|0
toterp
После подстановки рассмотренных вероятностей в формулу
(2.8) и выполнения несложных преобразований числитель A и
знаменатель B примут вид
Aw tp pr
wtp pr
|||(),
wt wt w ttot
111122
Bw tp pr
wtp pr
wtp pr
wtp pr
1| |
|| 0|
11111
|| 0|
21212
m
m
|| 0|
11111
|| 0|
12111
|| 0|
21212
|| 0|
22212
wt w t
11 2 2
m
m
m
m
(2.11)
(),tot
,
,
m
где
i
)(
, 2,1
i
)|()|(
twtw
i .
56
Подставляя (2.11) в (2.8) и принимая во внимание, что
1
2211
)(||1
tottwtwB
, находим (с точностью
до членов )( to ) (2.8) в виде
(| ) (|)
wttwt
2
11 21 2 111 22
|(|)(|) (|)(|)
w t wtw t wt w t
11
().
tot
Выполняя в последнем равенстве необходимые преобразо-
twtw
вания, с учётом того, что )|(1)|(
на
t и переходя к пределу при
, получаем уравнение (2.9).
0t
, разделив обе части
12
Лемма доказана.
2.2.2. Явный вид апостериорных вероятностей
и формула пересчёта
Явный вид апостериорной вероятности )|(
1(|)wt ), принимающей в момент времени
1
наблюдения за потоком и в моменты времени
наступления событий потока значение )|()|(
1
tt
0
tt
, ...,2,1
k ,
k
(|)wt
начала
2
11 k
twtw
,
tw
(
...,1,0k , устанавливает следующая лемма.
Лемма 2.3. Для асинхронного потока событий поведение
апостериорной вероятности )|(
),(
интервалах
tt
и
10
),(
tt
, ...,2,1
1kk
tw
как функции времени на
1
k , определяется выражением
))((
ttwwa
12
)|(
tw
(2.12)
1
w
1
1112
2
)|()|(
21
etwwwtwww
112121
kk
)|()|(
etwwtww
kk
12
21212121
k
,
))((
ttwwa
k
2
4
21
,
57
w
2
2
21
2
21212121
4
21
,
где
a , 10
21
w , 12w ;
1
ttt , ...,1,0
1
kk
k .
Доказательство. В силу того, что коэффициенты уравнения
Риккати (2.9) постоянны, оно интегрируется в квадратурах.
Проинтегрируем уравнение (2.9) методом разделения
переменных, предварительно введя обозначение: 0
b ,
2121
c .
2
a ,
21
Разделяя в (2.9) переменные и выполняя интегрирование, с учё-
том начального условия )|()|(
twttw
приходим к не-
11 kk
дифференциальному уравнению
)|(
tw
1
2
)|(
tw
1
)|(
tdw
1
)|()|(
11
t
.
dt
(2.13)
ctbwtaw
t
kk
С целью вычисления интеграла от рациональной функции в ле-
вой части (2.13) преобразуем знаменатель
2
где
w и 2w – корни уравнения
1
2
(|) (|)aw t bw t c:
11
w
2,1
D
a
2
2121
Db
22
1
0)|(
twf
,
21
D
2121
,
wtwwtwactbwtaw
(|)fw t
2
2121212
,)|()|()|()|(
211111
1
21
.44
Отметим, что
различные;
вательно, 10
ww . Очевидно, что 1
cbaf . Следо-
w .
1
, значит корни 1w и 2w действительные и
0D
21
w . Имеем:
2
12212121
cf ,
2
01
00
58
Принимая во внимание вышеизложенное, перепишем (2.13):
tw
)|(
1
)|(
tw
1
)|(
tdw
1
)|()|(
t
dt
wtwwtwa
t
2111
kk
или
)|(
tw
1
ln
wwa
12
)|(
wtw
)|(
wtw
1
11
21
)|(
tw
k
1
).(
tt
k
Выполняя в последнем равенстве необходимые преобразования,
tw
находим функцию )|(
Перейдем к определению )|(
найти значение )|(
момент времени
tw – значение апостериорной вероятности в момент
)|(
1 k
времени
t , ...,2,1k , наступления события потока и )|(01tw
k
t
значение вероятности в момент
при этом )|(1)|(
, ...,1,0
Рассмотрим случай 1
),( ttt
наступает событие потока, допустим, в момент времени
t
. По-прежнему будем считать в (2.7)
k
в явном виде (2.12). Лемма доказана.
1
tw
, ...,2,1
k . Для того чтобы
1(|)wt
) в произвольный
1
tw
(2(|)wt
1
1 k
, согласно лемме 2.3, необходимо знать
t начала наблюдения за потоком;
0
twtw
12 kk
r в (2.7), то есть на интервале
1
m
k .
m
)1(
.
1
Тогда рекуррентное соотношение (2.7) для апостериорных
вероятностей
)(
tw
|
,
m
)1(
ttw
|
состояний асинхронного
m
потока запишется в виде
|wtt
1
–
2
()
m
22
mm
() ( 1)
11
() ( 1) () ()
mm m m
wtp pr
1
.
||1|
wtp pr
12
11
() ( 1) () ()
mmm m
|| 1|
)|(1)|(
ttwttw
m
,
(2.14)
1
m
59
Лемма 2.4. В момент времени
t
наступления события в асин-
k
хронном потоке апостериорная вероятность первого состояния
процесса )(t определяется формулой пересчёта
)0|(
tw
11
1
)0|(
tw
k
k
k
tw
1212
k
)0|(
(2.15)
...,,2,1,
12
Доказательство. Момент времени
потока разбивает интервал
tt и ),( ttt
),(
k
соответственно (рис. 2.2).
k
tttt
k
, длительности которых есть ttt
)0|(1)0|(
twtw .
kk
t
наступления события
k
),( ttt
на два смежных интервала
(m)
λ
t'
mt
t''
t
k
t
Рис. 2.2. Разбиение временного интервала
λ
(m+1)t
t+t
С учётом введённых обозначений (2.14) примет вид
)|(
ttw
k
)1()(
)(
mm
1
rppttw
m
)()1()(
mm
rppttw
m
2
)(
m
2
)(
1
m
1
2
)1(
mm
1
1
k
m
k
(m+1)
1
и
k
)(
m
|1||
(2.16)
.
)(
m
|1||
1
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]