Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие
.pdf
и подставив вычисленную постоянную C в (2.25), получим
функцию )|(
tw , заданную в явном виде (2.24). Лемма доказана.
1
Применение формулы (2.24) для определения поведения апо-
ttw
),( ttt
, пред-
tt ,
0
)|(
tw
стериорной вероятности )|(
требует знания значения )|(
tw ,
)|(
1 k
Рассмотрим случай 1
...,1,0k
. Перейдем к нахождению 1(|), 1,2,....
r в (2.20), что соответствует наступ-
1m
на интервале наблюдения
1
tw
при ktt , то есть
1
wtk
лению события синхронного потока на интервале
t
положим, в момент времени
)1(
ние
m
.
1
Лемма 2.8. В момент времени
. Будем считать, что в (2.20) значе-
k
t
наблюдения события в син-
k
1 k
k
хронном потоке для апостериорной вероятности первого состояния процесса )(t имеет место формула пересчёта
tw
1
k
)0|(
k
twtw .
12
)0|(1)0|(
kk
1212
tw
1212
k
Доказательство. Рассмотрим два смежных интервала ),(
, длительности которых есть ttt
k
),( ttt
и
)0|()1(
twqpq
k
(2.26)
...,,2,1,
)0|(
tt и
k
tttt
k
k
соответственно (рис. 2.2). Тогда, с учётом сделанных обозначений,
рекуррентное соотношение (2.20) примет вид
2
wttp pr
m
()
1
22
mm
() ( 1)
11
() ( 1) () () ( 1)
mmmmm
||1|,
km
() ( 1) () () ( 1)
mmm mm
wttp pr
(| )
wt t
||1|,
km
1
k
11 1
(2.27)
.
1
Исследуем одну из вероятностей, например,
)1(
m
)(
mm
1
rpp
11
m
)(
,|1|
1
)1(
m
в формуле
1
71
(2.27). Совместная вероятность события
(1)
m
– процесс )(t
1
в момент времени t принимает значе-
()
m
,1,
r
11
m
ние
, и на интервале
1
го потока с параметром
)(t принимает значение
)(
m
1
m
)(
1
),( ttt
наступает событие пуассоновско-
, и в момент времени tt
1
– представляется в виде
1
)1(
m
rp
,1,
11
m
)1(
prp
1
1
)(
1
)1(
mmmm
процесс
),,(),|1(
1
откуда следует, что
)(
rp
1
m
)(
)1(
mm
1
),|1(
1
m
p
rp
11
m
)(
mm
1
)1(
m
,1,
)1(
1
),(
1
или
)1(
rp
rp
1
m
)(
1
)1(
),|1(
1
1
mmm
p
)1(
1
)(
mm
|,1
1
)(
mm
1
.
)|(
1
Из последнего равенства находим
)1(
mm
)(
1
rp
m
1
rpp
m
11
)1(
)(
mm
)(
|,1
1
mm
)1(
),|1()|(
1
1
1
– совместная условная вероятность того, что на интервале времени
),( ttt
наступит событие пуассоновского потока с параметром
, и процесс )(t перейдёт из первого состояния в первое; веро-
1
t
ятность этой возможности есть
1
11 ()
te p p t o t
11
.
Или
(1) () () (1)
mm mm
(|)(1|,)
ppr
pr p t o t
111 1 1
(1) ()
mm
1, | 1 ( ) .
1111
m
m
72
Аналогично с использованием описанной выше методики вы-
пишутся все остальные переходные вероятности в формуле (2.27):
)1(
m
)1(
m
)1(
1
m
)(
mm
2
1
1
1
2
)(
mm
)(
mm
)1(
rpp
11
m
)1(
)1(
2
)(
mm
2
rpp
12
m
)(
mm
1
rpp
12
m
)(
mm
)(
)(
)(
)1(
mm
,|1|
1
11
mm
,|1|
2
22
mm
,|1|
2
22
2
),(|,1
totprp
)1(
)1(
1
),(|,1
totqrp
2
).(1|,1
totqrp
Учитывая явный вид выписанных вероятностей и сделав
переобозначение
находим числитель
()|m
wtt
A и знаменатель 1B в (2.27) в виде
1
ik
|, 2,1i ,
22111
kk
22111
kk
ttw
ki
totttwqttwpA
).(||
totttwttwB
),(||1
(2.28)
Подставляя (2.28) в (2.27), с учётом условия
при
(
0t
t
12
kk
и
0
t
и выполняя предельный переход
)|(1)|(
ttwttw
одновременно), докажем утвержде-
0
ние леммы. Лемма доказана.
Замечание 2.3. В точке
twi|
ность
состояния
t
, ...,2,1
k , апостериорная вероят-
k
S
, 2,1i , процесса )(t для синхронно-
i
го потока событий претерпевает разрыв первого рода (имеет место
конечный скачок).
Формулы (2.24), (2.26) для апостериорной вероятности )|(
а также (1.7) для априорной финальной вероятности
1
tw
1
первого
,
состояния сопровождающего процесса )(t определяют поведение
апостериорной вероятности на временной оси.
73
Леммы 2.7 и 2.8 позволяют сформулировать следующую тео-
рему.
Теорема 2.3. Для синхронного потока событий поведение
tw
апостериорной вероятности )|(
на временной оси определя-
1
ется выражениями
()()
(| 0)
wt e
1
( | ) , 0,1,...,
wt k
1
1(|0)(|0)
wt wt e
11
wt
(| 0) , 1,2,...,
wt k
1
k
qpqwt
k
kk
(| 0) ,
10 1
(1 ) ( | 0)
2121
212 1
wt
1(| 0) (| 0)
wt wt e
(| 0)
wt e
11
k
11 11
kk
(| 0)
1
k
()( )
12 1
tt
12
k
()()
q
pq
12
(| 0)
wt
tt
kk
()( )
12 1
12
2
k
tt
kk
tt
k
k
,1,2,...,
k
(2.29)
(2.30)
где
ttt , ...,1,0
k .
1kk
Доказательство проводится объединением формул (1.7),
(2.24) и (2.26).
Замечание 2.4. В формуле пересчёта (2.26) положим 1
Тогда находим
,
k
1
k
. Данное обстоятельство
...,2,1
qtw
)0|(
свидетельствует о том, что апостериорная вероятность )|(
первого состояния сопровождающего случайного процесса )(t
для синхронного потока при выполнении условия 1
qp .
tw
1
qp не за-
висит от предыстории, то есть не зависит от моментов наступле-
t
ния событий до момента
,
k
k
Таким образом, при выполнении условия 1
.
...,2,1
qp синхронный
поток событий является стационарным ординарным потоком с
74
ограниченным последействием или потоком типа P (потоком
Пальма) [2].
2.3.3. Алгоритм оценки состояний
синхронного потока событий
Используя формулы (1.7), (2.26), (2.29) и (2.30), сформулируем
tw
алгоритм расчёта апостериорной вероятности )|(
принятия решения о состоянии процесса )(t
мент времени
1) в момент начала наблюдения 0
значения )0|(
:
t
t в качестве начального
0
tw выбирается априорная финальная
01
в произвольный мо-
вероятность первого состояния процесса )(t
qpq ;
2121
2) по формуле (2.29) для
tw в любой момент времени t, 10 tt
)|(
1
вычисляется вероятность
0
k
, где 1t – момент
и алгоритм
1
, то есть
наблюдения первого события потока;
3) в момент времени
формуле (2.30) для
4) по формуле (2.26) для
t вычисляется вероятность )|(1tw
1
, то есть )0|()|(
1
k
производится пересчёт апостери-
1
k
орной вероятности в момент времени
условие
tw для )|(
5) по формуле (2.29) для
вероятность )|(
)0|(
11
tw
для любого t,
1
tw
на интервале ),(21tt ;
1
рассчитывается апостериорная
1
k
twtw ;
1111
t , то есть начальное
1
ttt , где 2t – момент
21
по
наступления второго события потока, и т. д.
Решение о том, какое состояние процесса )(t
данный момент времени
вероятностей )|(
tw
1
, выносится на основании сравнения
t
и )|(1)|(
12
twtw
имеет место в
.
75
2.4. Оптимальная оценка
состояний полусинхронного потока
Изучается полусинхронный поток событий, математическая
модель которого приведена в параграфе 1.4. Условия
функционирования потока и условия наблюдения за ним, а также
алгоритм оптимального оценивания состояний потока,
основанный на методе максимума апостериорной вероятности,
совпадают с рассмотренными в параграфе 2.2 для асинхронного
потока событий.
2.4.1. Вывод дифференциального уравнения
для апостериорных вероятностей
Для решения задачи об оптимальной оценке состояний
сопровождающего случайного процесса )(t
иметь явный вид апостериорных вероятностей )|(
Лемма 2.9. Для полусинхронного потока событий двумерный
l
случайный процесс
Доказательство. Компонента
r,)( является марковским.
l
)(l
процесса
марковской, так как на основании леммы 1.7 процесс )(t
(потока) необходимо
tw
и )|(2tw
1
l
r,)( является
l
– мар-
.
ковский. Компонента
)(t находится в состоянии
с параметром
1
)(t из состояния
переход происходит внутри интервала
ется моментом окончания состояния
случайного процесса )(t
S
стояния
не зависит от предыстории, так как длительность
1
участка стационарности процесса )(t в состоянии
r также марковская, так как если процесс
l
S
, то событие пуассоновского потока
1
наступает только в момент перехода процесса
S
в состояние
1
S
либо в состояние
1
S
сопровождающего
1
S
tltl ,)1( и определя-
. Этот
2
. В свою очередь момент окончания со-
S
1
76
(временного интервала, на котором значение процесса
случайная величина с функцией распределения
. В состоянии
0t
поток с параметром
от предыстории. Компонента
ции процесса
в прошлом (рис. 2.1). Компонента
S
процесса )(t имеет место пуассоновский
2
. Следовательно, компонента lr не зависит
2
не влияет на lr в силу конструк-
l
r,)( :
)(l
– в будущем, а lr по отношению к
l
)(l
r – количество событий полу-
l
)1(
1
синхронного потока, наступивших на интервале
состоянии
S
процесса )(t, – влияет на компоненту
1
)(
t ) –
1
tp
1
etF
1)(
,
)(l
–
tltl ,)1( в
)(l
, так как с
наступлением (ненаступлением) события связана смена (несмена)
состояния процесса )(t
()l
tlt. Компонента lr – количество событий на интервале
, то есть значение
)(l
в момент времени
компоненту
tltl ,)1( в состоянии
)(l
, так как смена состояний процесса )(t
S
процесса )(t – не влияет на
2
происходит в произвольные моменты времени, не связанные с
моментами наступления событий полусинхронного потока. Таким
l
образом,
r,)( – марковский процесс. Лемма доказана.
l
Согласно математической модели полусинхронного потока
событий, представленной в параграфе 1.4, в состоянии
сопровождающего процесса )(t
синхронный, в состоянии
S
процесса )(t – как асинхронный.
2
он (поток) ведёт себя как
S
1
Для полусинхронного потока рассмотрим переходную
l
вероятность двумерного случайного процесса
)1(
m
m
1
m
m
)()1()(
mm
m
1
mm
rrprprrp –
m
r,)( –
l
)1()(
m
,,|,|,|,
в рекуррентном соотношении (2.6) для апостериорных вероятностей
m|)(
tw
,
m
|)1(
ttw
.
77
Утверждение 2.4 (вытекает из утверждений 2.1 и 2.2 для
асинхронного потока и утверждения 2.3 для синхронного потока
событий). Для полусинхронного потока при переходе процесса
m
)(t из состояния
S
переходная вероятность
1
)(
(
prprr
) в состояние
1
(1) () () (1)
mm m m
|, |,,
mm m
S
, 2,1i ,
i
1
принимает вид
(1) (1) (1) (1)
mmmm
p r pr r p pr
состояние
prprrp pr
|, |,, | |, .
При переходе процесса )(t
111 111
mm m m
(1) (1) (1)
)()1(
mm
mmm
|, |,, | | .
212 212
m
из состояния
S
, 2,1i , переходная вероятность
i
)1()(
m
1
mm
mm m m
m
,,|,|
rrprp принимает вид
m
S
2
)(
(
) в
2
Утверждение доказано.
Принимая во внимание утверждение 2.4, запишем рекуррентное
m|)(
tw
соотношение (2.6) для апостериорных вероятностей
m
|)1(
ttw
состояний полусинхронного потока событий в
,
виде
(1)
m
wtt
2
()
m
22
() ( 1)
mm
11
() ( 1) () () ()
mmm mm
wtp pr I
1
|| |,
() ( 1) () () ()
mmm mm
wtp pr I
I
|| |, ,
()
m
|
(1) ()
mm
0, если .
1
m
1
m
, если ,
()
1
m
2
1
78
Полагая в последнем рекуррентном соотношении слева от знака
равенства, а также в числителе справа от знака равенства значение
m
)1(
, получаем
1
|
wtt
1
2
()
m
22
() ( 1)
mm
11
mm m mm
() ( 1) () () ()
|||,
wtp pr I
1
wtp pr I
I
I
111
mmm mm
() ( 1) () () ()
|| |, ,
()
m
1
()
m
, если ,
11
0, если ,
(1) ()
mm
0, если .
m
m
1
()
m
()
m
, если ,
()
m
2
1
2
1
(2.31)
Будем рассматривать случай отсутствия событий полусинхрон-
),( ttt
ного потока на интервале
дение апостериорной вероятности )|(
; этот случай описывает пове-
tw
()|(1)|(
1
twtw
12
)
на интервале времени между моментами наступления соседних
t
t
событий потока
t
– момент времени начала наблюдения за потоком. Задавая для
0
и
k
этого в (2.31) значение 0
Лемма 2.10. Апостериорная вероятность )|(
, ...,2,1
k , и на интервале
1k
r , приходим к следующей лемме.
1m
tw
1
времени между моментами наступления соседних событий
t
, ...,2,1k , и на интервале
1k
),(
tt
для полусинхронного потока
10
),(
tt
, где
10
в течение
t
и
k
удовлетворяет дифференциальному уравнению Риккати
dt
tdw
1
2
211221
twtw
.)|()|(
21
(2.32)
)|(
79
Доказательство. В силу того, что в состоянии
S
процесса
1
)(t полусинхронный поток ведёт себя как синхронный поток,
переходные вероятности на основании леммы 2.6 равны
)1(
m
1
)1(
Поскольку в состоянии
mm
)(
1
)1(
mm
)(
2
rp
m
1
rpp
m
11
)(
1
rpp
m
11
)1(
S
процесса )(t полусинхронный по-
2
)(
tmm
1
)(
mm
)(
2
mm
)1(
,|0|
1
11
mm
)1(
,|0|
1
.0|,0
1
1
),(1|,0
toterp
2
ток ведёт себя как асинхронный поток, то на основании леммы 2.2
переходные вероятности равны
)1(
)(
mm
1
rpp
12
m
)1(
)(
mm
2
rpp
12
m
)(
m
|0|
222
)(
m
|0|
2
),()(1)(
tottottot
2
).(1)(1)(1
tottottot
2222
С учётом выписанных выражений для переходных вероятно-
стей процесса
l
r,)( и переобозначения
l
)(
m
twtw
||
,
ii
2,1i , числитель A и знаменатель B в рекуррентном соотноше-
нии (2.31) принимают вид
(1) () () (1)
mm mm
Aw tp pr
|| 0|,
111111
wtp pr
(1) () ()
mm m
|| 0|
21212
wt wt w ttot
|||(),
11122
m
m
(2.33)
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]