Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Отметим, что понятия, касающиеся процесса ()t




, – «остаться в
состоянии
1, 2i , в рассматриваемой постановке задачи являются эквива- лентными.
Подставляя (3.4) и (3.5) в (3.2), учитывая введённые обозначе­ния, находим числитель A и знаменатель B в (3.2) в виде
     
Bpwtqwttot
где
wtw t, 1, 2i
Подставляя (3.6) в (3.2) и учитывая, что
1
   
чаем (с точностью до членов ()ot
wttwt pw t qwt
         
  
11111222
Выполняя несложные преобразования и учитывая при этом, что
21
предельного перехода при
ма доказана.
Будем рассматривать два случая задания параметров обобщён­ного асинхронного потока событий.
I.
Общий случай, когда в уравнении (3.3) коэффициент
12 1 2
Явный вид апостериорной вероятности
S » и «переход процесса ()t из состояния iS в iS »,
i
Aw tp pr
  
wtp pr
  
||1|(),
wt wt qw ttot
 
1111 22

    
1| |(),

111 22 2

||

ii
1| |(),Bpwtqwttot
111 22 2

|| | |
     

11 1 2 2
|1 |wt wt, сведём последнее равенство в результате
|| 0|
1011 1 1
|| 0|
 
2012 1 2
m
 
|(1) | ().
wt qw ttot
0t
0apq       .
m
m
.
) равенство (3.2) в виде
2
к уравнению Риккати 3.3. Лем-
(3.6)
полу-
|wt
1
|1 |wt wt , принимающей значение
21
|
wtT
,
1
k
131
1, 2, .. .k , в момент окончания мёртвого времени
p
p
tT, задаётся
k
следующей леммой.
Лемма 3.5. Поведение апостериорной вероятности
|wt как
1
функции времени между моментом окончания периода мёртвого времени
tT и моментом времени 1kt, 1, 2,...k
k
, наступления
очередного события наблюдаемого потока определяется формулой
|
wt

1
aw w t t T



21

ww w t T w w w t T e


12 1 21 1

ww tT ww tTe

21 11


||
 
kk
aw w t t T


|| ,
 
kk
1

wq
1121 2
2
a
       

1212 12
(1 2 )
2
4(1)(1),
21
1

wq
2121 2
       

1212 12
2
a
(1 2 )
2
4(1)(1),
k
(3.7)
1

q
k
(3.8)
q
0apq
2
0w
при
;
0a
01w,
где
tTtt
 , 1,2,...k
1
1
|wt .
2
1kk
   ,
12 1 2
1w при
;
wtT
; 101w,
0a
– начальное условие для
1|k
Доказательство. В (3.3) обозначим коэффициенты
apq      ,
12 1 2
    ,
121 2
(1 2 )bq
(1 )cq

2
и проинтегрируем уравнение (3.3) методом разделения перемен­ных с учётом того, что в момент времени
tT, 1, 2,...k
k
, окон­чания периода мёртвого времени апостериорная вероятность пер­вого состояния процесса ()t
принимает значение
wtT
1|k
:
132
|

p
wt
1

aw t w w t w
|
wtT tT


11
kk
||
   
 
111 2
 
|
dw t

1
t
dt
, (3.9)
w , 2w – корни уравнения
где
1
2
||aw t bw t c . Находим
11
  
w
1,2
Dqqpq
          

121 2 212 1 2
       

Очевидно, что
12 1 2
(1 2 ) 4 (1 )
1212 12
, значит корни
0D
ные. С целью исследования корней
Если
1.
(0) 0f при 1q
. В рассматриваемом случае функция
1
выпуклой, следовательно,
Если
2.
(1) 0f  . Функция
0w  , 101w.
2
, тогда
0a
ww. При этом 2(0) (1 ) 0fq
12
; 1(1) (1 ) 0fabc p
01w ,
, тогда
0a
ww. В случае 1 показано, что (0) 0f  ,
21
|fw t является вогнутой, следовательно,
1
(1 2 )2qD
a
2
2
4(1)(1).
12
w и 2w рассмотрим случаи:
1
 
1
1
|0fw t ,
,
|fw t
1
pq
,ww действительные и различ-
,
, (1) 0f
|fw t является
1
1w  .
2
при
В результате необходимых преобразований недифференциаль-
ного уравнения (3.9) находим апостериорную вероятность
|wt в виде (3.7). Лемма доказана.
1
Замечание 3.4. Поведение апостериорной вероятности
как функции времени на начальном интервале по формуле (3.7) при
|wtT заменяется на
10
меняется на момент
t ).
0
, при этом начальное условие
0k
|wt (момент времени
10
,tt определяется
01
|wt
1
tT за-
0
133
Вычисление

,
tTtt
времени можно без знания начального условия
апостериорной вероятности первого состояния процесса ()t момент окончания периода мёртвого времени длительности Т.
Рассмотрим смежный с интервалом
,
tt T , 1, 2,...k  , на котором события исходного обобщённого
kk
асинхронного потока не наблюдаются; событие исходного потока наблюдается лишь в граничной точке
ность первого состояния процесса ()t мент наступления события потока) будем считать известной и рав­ной
wt
1|k
 , 1,2,...k
t
3.2.4. Вид апостериорной вероятности на интервалах мёртвого времени
|wt по формуле (3.7) в произвольный момент
1
1kk
|1 |
wt wt, 1,2,...k
21
kk
, согласно лемме 3.5 невоз-
wtT
tTt

kk
t . Апостериорную вероят-
k
в граничной точке kt (мо-
– значения
1|k
,
полуинтервал
1
.
в
Лемма 3.6. Поведение апостериорной вероятности
обобщённого асинхронного потока событий на временных полу-
,
интервалах
tttT  , 1, 2,...k
kk
леммы 3.2;
Доказательство. В течение периода мёртвого времени дли-
тельности асинхронный поток событий является ненаблюдаемым. В этой связи поведение апостериорной вероятности
,
tt T аналогично поведению априорной вероятности
kk
134
tt T
kk
 
wt wt e

wt – начальное условие для
T , то есть на полуинтервале
определяется явной формулой
|| ,
11 1 1
1|k



;
1
k
определена в (1.4) согласно следствию
 
tt
12
1
,
tt T
kk
k
|wt .
, обобщённый
|wt для
1
(3.10)
|wt на
1
0


|tt первого состояния процесса ()t для обобщённого асин-
1
хронного потока событий (лемма 3.2); разница заключается в зада­нии начального значения
|wt в момент времени
1
t наступле-
k
ния события наблюдаемого потока.
Обозначим апостериорные вероятности того, что в момент времени
,
tt
место состояние времени
tt ttT 
kk
S процесса ()t, в виде
–
t
|
wt , 1,2i
i
можны следующие ситуации, связанные с поведением процесса ()t
, где
i
достаточно малая величина, имеет
t
|
wtt
. Тогда на полуинтервале
 ; в момент
i
,tt t воз-
:
в момент времени
1)
стью
|wt , и за промежуток времени длительности
1
кончится первое состояние процесса ()t
t
 
1
etot
стью
1()
 ; вероятность этой ситуации равна
1
| 1 () | | ()wt totwt wttot      ;
11 111
2)
в момент времени
|wt , и за промежуток времени длительности
2
чится второе состояние процесса ()t
t
 
2
1()
etot
, и процесс ()t с вероятностью, равной

2
значение процесса 1()t с вероятно-
t
не за-
t
с вероятностью
значение процесса 2()t с вероятно-
t
закон-
t
с вероятностью
единице, перейдёт из второго состояния в первое; вероятность описанной ситуации равна
|()|()wt tot wttot;
22 22
3)
в момент времени
стью
|wt , и за промежуток времени длительности
2
значение процесса 2()t с вероятно-
t
не за-
t
кончится второе состояние процесса λ(t) с вероятностью
t
 
2
etot
1()
 ; вероятность рассмотренной ситуации есть
2
135

| 1 () | | ()wt totwt wttot      ;




22 222
4)
в момент времени
значение процесса 1()t с вероятно-
t
стью чится первое состояние процесса ()t
1()
etot
, и процесс ()t

перейдёт из первого состояния во второе; вероятность этой ситуа­ции равна
Других возможностей нет. Тогда имеем систему равенств:
wttwt wtt w ttot
wttwt wttwttot
Выполнив в последней необходимые преобразования и переходя
к пределу при нений относительно апостериорных вероятностей
S , 1, 2i , процесса ()t
ний
С учётом условия нормировки выписанная система дифферен-
циальных уравнений сводится к одному уравнению относительно
1
|wt , и за промежуток времени длительности
1
с вероятностью
t
 
1
    
   
  
i
wt wt wtwtwt
     
|wt :
1
|()|()wt tot wttot.
11 11
||| |(),
111122
||||().
222211
, получим систему дифференциальных урав-
0t
на интервалах мёртвого времени:
|||,
wt wt wt

11122
|| |;||1.
 
21122 1 2
dt
|
1
 

12 1 2
dw t
с вероятностью единица
wt состоя-
|
wt
i
|
закон-
t
||
с начальным условием грируя выписанное уравнение и принимая во внимание, что
  , находим (3.10). Лемма доказана.
1212
136

wttwt , 1,2,...k
11
kk
. Инте-
Таким образом, начальное условие


орной вероятности
|wt , определяемой по формуле (3.7), рас-
1
wtT
считывается по формуле (3.10) в момент времени
для апостери-
1|k
tt T
1, 2, .. .k . В свою очередь, применение формулы (3.10) требует
k
,
знания времени
од мёртвого времени длительности
чай наблюдения одного события потока на интервале скажем, в момент времени
wt – значения апостериорной вероятности в момент
1|k
t наступления события потока, которое порождает пери-
k
T .
Перейдём к нахождению
wt , 1,2,...k
1|k
t , 1,2,...k
k
. Рассмотрим слу-
.
,tt t ,
Лемма 3.7. В обобщённом асинхронном потоке событий в мо-
мент времени
t апостериорная вероятность первого состояния
k
процесса ()t задаётся формулой пересчёта
qqwt

|0 ,
wt


1
k

2212121
21 2 1
qpqwt

1, 2,...,k
|01 |0.
wt wt
21
kk
|0
k
|0
(3.11)
k
Доказательство. Рассмотрим два смежных интервала
,ktt t . При этом длительность первого интервала есть

tt t
 
значение
, длительность второго ktt tt
k
(1)
m
. С учётом сделанных обозначений рекуррент-
1

. Примем в (3.2)
ное соотношение (3.2) принимает вид
k
11
,
1
2
wttp pr
()
m

1

22

() ( 1)
mm
 
11
|
wt t

1
() ( 1) () ()
mmmm
|||


wttp pr

kd m
() ( 1) () ()
mmmm
|||

kd m
,ktt и
(3.12)
137

(1) () () (1) () ()

p
j
p
p
mm m mm m

pprppr
где
dm m
|| ||
  
ppr
 
10 1

(1) () ()
mm m
11
|0|.
m
В состоянии
ток событий с параметром
pr , 1,2i
сти
1
mi
наступит событие пуассоновского потока с параметром условии, что в момент времени
S процесса ()t имеет место пуассоновский по-
i
, следовательно, условные вероятно-
i
()
m
1|
, того, что на интервале
имеет место состояние iS , вы-
t
,tt t
1
при
i
пишутся в виде
t
()
rtetot
1
miii
m
1| ( )
  , 1, 2.i
 
i
(3.13)
По определению обобщённого асинхронного потока событий
ситуации, когда за промежуток времени длительности место переход процесса ()t
из состояния iS в
S , , 1,2ij
имеет
t
, и при
этом инициируется дополнительное событие, имеют вероятности
t
(1) ()
mm

121 1
(1) ()


112 2
(1) () (1) ()
mm m m

pp
       
 
1111 22
|1 (),
|1 (),
qe qtot
|0, |0.
 
pe ptot

1
tmm
 
2
(3.14)
Подставляя (3.4), (3.5), (3.13), (3.14) в (3.12), предварительно
()
сделав обозначение
m
wttwtt
||
   , 1, 2i
ik ik


,
выпишем числитель
   
Aw t tp
11 0 1 1

pr p

m

A и знаменатель 1B в (3.12) в виде
1
(1) ()
mm
||

1| |
11111
pr w t t

112
mk
k
() ( 1) ()
mmm
()
m
0| |

138

(1) () ()

mm m
ppr
      
ppr
   
1121 2
      

Bw t tp
pr p


ppr
 
ppr
  
1121 2
pr p


ppr
   
ppr
  
1221 2
pwtt qwtttot
     
 
111 22 2

0121 2
(1) () ()
mm m

||(),
wt tqw tttot
 
11 2 2
    

11 0 1 1
1| |
11111
m
pr w t t


mk
(1) () ()
mm m

0121 2
(1) () ()
mm m

|
wt tp
   

102
1| |
11121
m
pr w t t


mk
(1) () ()
mm m

0221 2
(1) () ()
mm m

||()
|1|
|0|

kk
||
112
k
() ( 1) ()
mmm
()
m
0| |
|1|
|0|
(1)
m
k
() ( 1) ()
mmm
0| |
112

()
m
|1|
|0|

kk
m
m
(1) ()
mm

m
m
 
|


m
m
()
m
1
 
 
 
(3.15)
.
Подставляя (3.15) в (3.12), с учётом того, что
|1|
wtt wtt
, и переходя при этом к пределу
21
при
     , получим утверждение леммы. Лемма

kk

00,0ttt
доказана.
Замечание 3.5. В точке
ность
|
wt состояния

i
t , 1,2,...k
S , 1, 2i
i
k
, апостериорная вероят-
, сопровождающего случайно-
го процесса ()t для обобщённого асинхронного потока событий терпит разрыв первого рода (имеет место конечный скачок).
139
3.2.5. Поведение апостериорной вероятности

на временной оси для общего и особого случаев
задания параметров потока
Полученные для
|wt формулы (3.7), (3.8), (3.10) и формула
1
пересчёта (3.11) описывают поведение апостериорной вероятности (общий случай задания параметров потока) на временных участках
мёртвого времени недоступен наблюдению, на интервалах
,
tt T
kk
, когда поток событий принципиально
,
tTt
, 1,2,...k
kk
1
когда поток событий наблюдаем, а также, с учётом замечания 3.4, на начальном интервале
0t в качестве начального значения вероятности
0
||0wtwt выбирается априорная финальная вероят-
10 10
ность
первого состояния случайного процесса ()t, определён-
1
,tt , где в момент начала наблюдения
01
ная в (1.4).
Леммы 3.5 – 3.7 и замечание 3.4 позволяют сформулировать следующую теорему для общего случая задания параметров пото­ка
12 1 2
Теорема 3.1. Поведение апостериорной вероятности
0pq    .
1
|wt
на оси времени для обобщённого асинхронного потока событий при наличии непродлевающегося мёртвого времени фиксирован­ной длительности
T определяется выражениями
,
|
wt

1
awwtt



wwwt wwwte
 
12 10 21 10

ww t ww te
  
210 110

||
 
||
 
|,wt


10 1
2

12
21 0
aw w t t



21 0
,
(3.16)
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности