Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие
.pdf
(1) () () (1)
j
mm m m
prprr
|, |,,
(1) () () (1)
ppr
mm m
mm mm
||,.
1
1
m
Доказательство. На основании леммы 2.13 процесс
является марковским, поэтому значение компоненты
tmtt
мент времени
момент времени
)1(
зависит только от значения
tmt
; зависимости компоненты
l
)1( m
в мо-
в
)1( m
от mr
r,)(
l
)( m
(количества событий потока на предыдущем интервале
(1) ()
mm
(1) ()
mm
p . В силу марковости компоненты
l
r,)( значение компоненты
l
не зависит от значения
tmtm ,)1( ) нет. В этой связи
|
r на интервале
1m
r на интервале
m
pr
|,
m
r процесса
l
tmtm
)1(,
tmtm
,)1( , так как
события в MAP-потоке наступают (или не наступают) в момент
окончания
ние не закончится на интервале
компоненты 0
в
-е, 2,1, ji , компонента
r или 1
1m
1
m
-го, 2,1i , состояния процесса )(t. Если i-е состоя-
i
)1(, , то значение
r ; если i-е состояние закончится на
1m
tmtm )1(, , то при переходе процесса )(t
r может принимать значения
1m
0
r . Таким образом, имеет место равенство
1m
)1()(
m
m
m
rprrp . Утверждение дока-
1
m
)1()(
mm
,|,,|
tmtm
из i-го состояния
зано.
Рассмотрим случай 0
),( ttt
, где
r в (2.6), то есть на интервале
1m
, tmtt
tmt
)1( , нет событий MAP-потока.
Этот случай описывает поведение апостериорной вероятности на
t
временных интервалах между моментами
наступления соседних событий потока и на интервале
k
и
t
, ...,2,1
k ,
1k
tt
),(
t
,
–
10
0
91
момент начала наблюдения за потоком. Кроме того, для
m
)1(
конкретности в (2.6) положим
. Тогда, с учётом
1
утверждения 2.5, рекуррентное соотношение (2.6) для
апостериорных вероятностей
m|)(
tw
,
m
|)1(
ttw
состояний
MAP-потока запишется в виде
|
wtt
1
2
m
()
mm
() ( 1)
() ( 1) () () ( 1)
mm m mm
wtp pr
1
22
11
||0|,
wtp pr
11 1
() ( 1) () () ( 1)
mmm mm
|| 0|,
m
1
m
(2.43)
,
.
12
Лемма 2.14. В течение времени между моментами
ttwttw
)|(1)|(
t
t
и
k
,
1k
...,2,1k , наступления соседних событий MAP-потока и на
),(
интервале
tt
апостериорная вероятность )|(
10
tw
1
удовлетворяет дифференциальному уравнению Риккати
)|(
tdw
1
dt
2
2102120121
)|()|(2
twP
1210221
(2.44)
).|()|()|()|(
PtwPP
21021
Доказательство. Рассмотрим одну из переходных вероятно-
стей, например
mm
)1(
mm
)(
rpp , в
1
11
m
)(
)1(
,|0|
1
1
формуле (2.43). Совместная вероятность события
m
)(
r – процесс )(t
11
m
принимает значение
первое состояние процесса )(t
потока, и в момент времени
– представляется в виде
ние
1
m
)1(
,0,
1
, и на интервале (, )tt t не закончится
1
в момент времени t
, и не наступит событие MAP-
tt
процесс )(t принимает значе-
92
() ( 1)
mm
pr
() ( 1) () ( 1)
mm mm
pr p
0| , , ,
11111
m
,0,
11 1
m
откуда следует, что
m
)(
mm
rp
m
1
)(
)1(
,|0
1
1
p
rp
m
11
)(
,
1
m
)1(
,0,
mm
)1(
1
1
или
rp
rp
1
m
)(
)1(
,|0
1
1
1
mmm
p
)1(
)1(
|
1
mm
)(
|,0
1
mm
)(
1
.
1
Из последнего равентства находим
)1(
mm
)(
1
rp
m
1
rpp
m
11
)1(
)(
mm
)(
|,0
1
mm
)1(
,|0|
1
1
1
– совместная условная вероятность того, что на интервале времени
),( ttt
первое состояние сопровождающего случайного
t
процесса )(t не закончится; она равна )(1
1
1
tote
.
Следуя рассмотренной методике, выпишем ещё одну
переходную вероятность в формуле (2.43):
)1(
mm
)(
2
rp
m
1
rpp
m
11
)1(
)(
mm
)(
|,0
2
mm
)1(
,|0|
1
1
2
– совместная условная вероятность того, что на интервале времени
),( ttt
закончится первое состояние процесса )(t, и не
наступит событие MAP-потока, и процесс )(t
перейдёт из
первого состояния во второе; вероятность этой ситуации есть
t
1
1201120
)()|()|(1
totPPe
.
93
Аналогично выписываются две оставшиеся переходные вероят-
ности
(1) () () (1)
mm mm
ppr
pr e P
m
(1) () () (1)
mm mm
ppr
pr e t o t
.
122 2
m
|0|,
121 2 1
(1) ()
0, | 1 ( | )
112 012
20 1 2
|0|,
221 2 2
(1) ()
0, | 1 ( )
m
tmm
(| ) (),
Ptot
m
2
tmm
2
С учётом явного вида совместных условных вероятностей и пе-
m
реобозначения
)(
twtw
||
, 2,1
i , числитель A и
ii
1
2
|1 () | (|) ()
w t tot w t P tot
11 22012
wt wt P wttot
11120122
Bw tp pr
wtp pr
11(|) | 1(|) | ().
|| 0|,
111111
|| 0|,
wtp pr
wtp pr
212121
|| 0|,
121112
|| 0|,
222122
| 1 () | ( | ) ()
w t tot w t P tot
11 22012
| ( |) () | 1 ()
wtP totw t tot
11021 2 2
Pwt Pwttot
1021 1 2 012 2
)1(
)1(
||(|)|(),
(1) () () (1)
mm mm
(1) () () (1)
mm mm
(1) () () (1)
mm mm
mm mm
(1) () () (1)
mm
)(
1
mm
)(
1
rpptwA
m
11
rpptw
12
m
)(
)(
m
m
m
m
mm
)1(
,|0||
1
mm
)1(
,|0||
2
1
1
(2.45)
94
Подставляя (2.45) в (2.43) и учитывая, что
1
11(|) |BPwt
1021 1
22102
)(|)|(1
tottwP
,
находим соотношение (2.43) в виде
(| ) (|) | (|) |
wttwt wt P w t
111120122
1(|) | 1(|) | |
Pwt Pwtwt
1021 1 2012 1 2
2
tot
().
Выполняя несложные преобразования и учитывая при этом, что
, с помощью предельного перехода (
twtw
)|(1)|(
12
0t
сведём последнее равенство к дифференциальному уравнению
Риккати (2.44). Лемма доказана.
2.5.2. Апостериорная вероятность как функция времени
в общем и в особом случаях задания параметров потока
и формула пересчёта
Рассмотрим два случая задания параметров MAP-потока.
. Общий случай, когда в (2.44) коэффициент
I
0)|()|(
PPa .
Явный вид апостериорной вероятности )|(
()|(1)|(
), принимающей значение )|(
...,1,0k , в момент времени
и в моменты времени
twtw
12
tt
0
tt
, ...,2,1
k , наступления событий
k
2102120121
tw
1
tw
1 k
начала наблюдения за потоком
MAP-потока, задаётся следующей леммой.
Лемма 2.15. Поведение апостериорной вероятности )|(
t и
t , ...,2,1
как функции времени между моментами
k
k ,
1k
наступления соседних событий MAP-потока и на интервале
tw
1
),(
tt
10
определяется формулой
)
,
95
))((
ttwwa
12
tw
)|(
1
1
wP
1122012
a
2
2(|)
1112
etwwwtwww
)|()|(
112121
kk
etwwtww
)|()|(
kk
k
,
(2.46)
))((
ttwwa
12
k
где 10
12 12012021
wP
2122012
12 12012021
aPP
121021 2012
w , 12w при
1
kkttt , ...,1,0k
1
2
1
a
2
2
.
PP
4(|)(|),
2(|)
PP
4(|)(|),
(2.47)
(|) (|)0,
; 10
w , 0
0a
1
w при
2
0
a
Доказательство. Уравнение Риккати (2.44) интегрируется в
квадратурах в силу того, что коэффициенты постоянны.
В (2.44) обозначим коэффициенты
(|)P ,
b
12
P ,
121021
)|(2
2102
(|)aP
Pc
2102
)|(
разделяем переменные и интегрируем (2.44) с учётом того, что при
tt , ...,1,0k , апостериорная вероятность первого состояния
k
процесса )(t принимает значение )|(
)|(
tw
1
tw
)|(
1
1
tw :
1 k
)|(
tdw
)|()|(
t
,
dt
(2.48)
wtwwtwa
t
2111
kk
;
,
где
, ww – корни уравнения
21
2
(|) (|)aw t bw t c. Имеем
11
1
0)|(
twf
,
(|)fw t
1
96
2(|)
w
1, 2
12 2012
PD
2
a
,
DPP
Подчеркнём, что
1 2 20 1 2 20 1 2
121021 2012
12 12012021
2(|)4(|)
(|) (|)
PP
2
4(|)(|).
, следовательно, корни 1w и 2w дей-
0D
ствительные и различные. Исследуем
1. Если
00 f при 0)|(
01 f при 0)|(
функции
(
2. Если
)|(1twf – выпуклая функция), значит, 10
, тогда
0a
P ;
P . Ветви параболы, служащей графиком
1
, тогда
0a
210
120
2
ww
12
2
PP
w и 2w . Имеем случаи:
1
ww
;
21
Pcf ,
Pcbaf ,
ctbwtawtwf )|()|()|(
11
, направлены вверх
w , 12w .
1
; как и в слуае 1, имеем
01 f . Ветви параболы, служащей графиком функции
1
(
10
w .
1
2
ctbwtawtwf )|()|()|(
11
, направлены вниз
)|(1twf – вогнутая функция), следовательно, 0
Выполняя необходимые преобразования в недифференциаль-
ном уравнении (2.48), находим функцию )|(
tw
в явном виде
1
(2.46). Лемма доказана.
Применение формулы (2.46) для определения апостериорной
вероятности )|(
момент времени
стериорной вероятности )|(
tw
(
1
, согласно лемме 2.15, предполагает знание апо-
t
)|(2tw
1(|)wt
) в произвольный
1
tw
в момент времени kt ,
1 k
...,2,1k , наступления события потока и апостериорной вероят-
0)|(0
2102
0)|(1
1201
00 f ,
w ,
2
ности )|(
tw в момент времени 0t начала наблюдения за пото-
01
97
ком; )|(1)|(
сти )|(
. Перейдём к нахождению вероятно-
tw , ...,2,1
1 k
Пусть 1
k
r в (2.6): на интервале времени
1
m
событие потока, предположим, в момент времени
лённости в (2.6) зададим
twtw
12 kk
.
),( ttt
наступает
t
. Для опреде-
k
m
)1(
. С учётом утверждения 2.5
1
рекуррентное соотношение (2.6) для апостериорных вероятностей
m
)(
tw
|
,
2
m
()
m
)1(
() ( 1) () () ( 1)
mm m mm
wtp pr
1
||1|,
ttw
|
состояний потока запишется в виде
|
wtt
1
11 1
m
22
() ( 1)
mm
11
Лемма 2.16. В момент времени
() ( 1) () () ( 1)
mmm mm
|| 1|,,
wtp pr
.
12
ttwttw
)|(1)|(
t
k
1
m
наблюдения события в MAP-
1
(2.49)
потоке для апостериорной вероятности первого состояния процесса )(t имеет место формула пересчёта
(| 0)
wt
21 1 2 11 1 1 21 1 2 1
(| ) (|) (| )(| 0)
PPPwt
1 (|) (|) (|)
PPP
2012 1210212012
(| 0) , 1,2,...,
wt k
1
k
twtw .
12
kk
Доказательство. Рассмотрим два смежных интервала ),(
),( ttt
, длительности которых есть ttt
k
1
)0|(1)0|(
k
1
и
k
k
(2.50)
tt и
k
tttt
k
98
соответственно. Тогда, с учётом сделанных обозначений, (2.49)
принимает вид
)|(
ttw
1
k
2
)(
m
)(
m
1
2
2
)1(
mm
1
1
k
m
)1()(
k
)(
mm
rppttw
1
1
m
)()1()(
mm
rppttw
1
m
)1()(
mm
,|1||
1
.
)1()(
mm
,|1||
(2.51)
Рассмотрим одну из вероятностей, например
m
)1(
mm
)(
1
rpp
11
m
)(
1
m
,|1|
)1(
, в форму-
1
ле (2.51). Совместная вероятность события
m
)(
r – процесс )(t
11
m
принимает значение
вое состояние процесса )(t
m
)1(
,1,
1
, и на интервале ),( ttt
1
в момент времени t
закончится пер-
; наступает событие MAP-потока, и в
момент времени
tt
процесс )(t принимает значение
1
–
представляется в виде
)(
m
1
m
)(
rp
11
m
1
)1(
)1(
m
,1,
prp
1
1
)(
1
)1(
mmmm
),,(),|1(
1
откуда следует, что
m
rp
1
m
)(
)1(
mm
1
),|1(
1
)(
p
rp
11
m
)(
1
m
)1(
,1,
mm
)1(
1
),(
1
или
rp
rp
1
m
)(
1
)1(
),|1(
1
1
mmm
p
)1(
)1(
1
mm
)(
|,1
1
mm
)(
1
.
)|(
1
Из последнего равенства находим
99
)1(
)(
mm
1
rp
1
m
rpp
11
m
)1(
)(
)(
mm
|,1
1
)1(
mm
1
1
),|1()|(
1
– совместная условная вероятность того, что на интервале времени
),( ttt
закончится первое состояние процесса )(t и наступит
событие MAP-потока, и процесс )(t перейдёт из первого
состояния в первое; вероятность этого варианта равна
t
1
1111111
)()|()|(1
totPPe
. Или
)1(
1
m
)(
mm
1
)1(
rpp
11
m
)(
mm
1
)(
)1(
mm
1
11111
),|1()|(
1
).()|(|,1
totPrp
С использованием описанной выше методики аналогично
выпишутся все остальные переходные вероятности процесса
l
r,)( в (2.51). Имеем
l
(1) () () (1)
mm mm
ppr
pr e P
m
(1) () () (1)
mm mm
ppr
pr e P
m
(1) () () (1)
mm mm
ppr
pr e P
m
122 122
|1|,
211 1 2
(1) ()
1, | 1 ( | )
121 121
Ptot
11 2 1
|1|,
121 2 1
(1) ()
1, | 1 ( | )
112 112
21 1 2
|1|,
221 2 2
(1) ()
1, | 1 ( | )
m
tmm
1
(|) (),
m
tmm
(| ) (),
Ptot
m
2
tmm
2
(|) ().
Ptot
21 2 2
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]