Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

ttt









































 ,

||0wtwt

 ;

 

11 11

 

| | 0 , 1,2,...,

wt wt e k

  

11 1 1

| 0 , 1, 2,...,

wt k

 







qpqwt

  

2212121

qqwt

  

21 2 1



tttT

ww w t T ww w t T e

 

12 1 21 1





ww tT ww tTe



21 11



 

1, 2,...,k

  

|0 |

wt wwwt T

  

11211

 

ww w t T e

21 1 1











 

;



tTtt

 ;

aw w t t T

 





ww t T ww t T

211 111





         



 



aw w t t T

 



21 1





1121 2

1212 12

 





,2,3,...,



4(1)(1),







aw w t t T





1kk





21 1



(1 2 )

(3.17)

awwttT





(3.18)







2121 2





         



1212 12

(1 2 )

4(1)(1),



   ,

12 1 2

0apq

141

01w,















































где

1w  при

; 101w ,

0a 

при

Доказательство осуществляется объединением формул (1.4),

(3.7), (3.8), (3.10), (3.11).

Подчеркнём, что точка шений

|wt , полученных на отрезке



tt T

 является точкой сшивания ре-

tt T

, на котором



поток недоступен наблюдению (за исключением граничной точки

t ), и на интервале

наблюдаем. Таким образом, функция ной функцией на полуинтервале

tt T, 1,2,...k  .

II.

Особый случай, когда в уравнении Риккати (3.3) коэффици-

ент

12 1 2

q , 0 1

 , 0 1q ; при этом

(случай 0q  невозможен, так как по условию задачи

tTt

 , на котором поток событий

|wt является непрерыв-



и имеет излом в точке



0apq       . Здесь возможны варианты.

    

1221



Уравнение Риккати (3.3) принимает вид

dw t





  .

(1 ) (1 ) | (1 )

pqwtq



121 2



Интегрируя полученное уравнение и учитывая начальное условие, в силу которого в момент окончания периода мёртвого време-

ни

tT апостериорная вероятность

wtT, 1, 2,...,k



1|k

находим решение на участках наблюдае-

|wt принимает значение



мости потока



(1 ) | (1 ) ,

qbwtT qbe

    

где

wtT – начальное условие для



1|k

(1 ) (1 )bp q ,





21 2



bt t T





tTtt

 , 1,2,...k



1kk

|wt .

(3.19)

;

142

Замечание 3.6. Апостериорная вероятность



















































начальном интервале

, при этом начальное условие

0k 

|wt (момент времени



t начала наблюдения за потоком).

,tt рассчитывается по формуле (3.19) при



|wtT



tT заменяется моментом времени

На интервалах мёртвого времени длительности

произвольный момент времени

tttT  , kt , 1,2,...,k

 заменяется на

|wt на

T , то есть в

–

момент времени наблюдения события потока, апостериорная вероятность

параметров, когда которой момент времени

|wt рассчитывается (как и в общем случае задания



   ) по формуле (3.17), в

12 1 2

wt – начальное значение вероятности



t , определяемое по формуле пересчёта.

0apq

|wt в

Формула пересчёта (3.11) примет вид

  

qqwt

 

|0 ,1,2,...,

wt k



21 2 1



(3.20)

где



bt t T





(1 ) | (1 ) ,

qbwtT qbe

    

q , 0 1

ная вероятность

tTtt

 , 1,2,...,k

1kk







211 2



2,3,..., (1 p) (1 ) .

kb q

 

, 0 1q и



в любой момент времени

|wt

рассчитывается по формуле (3.19).

В произвольный момент времени стериорной вероятности

|wt производится по формуле (3.17),

в которой апостериорная вероятность

q,

wt в момент вре-

. Апостериор-

tttT

, расчёт апо-



(3.21)

143

мени наступления события наблюдаемого потока

















































t , 1,2,...,k

определяется по формуле пересчёта (3.11), принимающей в данном случае задания параметров потока вид

wt k

|0 ,1,2,....

 



 

(3.22)

Замечание 3.7. В рассмотренном особом случае 2 апостериор-

ная вероятность

|wt первого состояния случайного процесса

()t не зависит от предыстории, то есть не зависит от моментов

времени наступления событий до момента времени

t , 1,2,...k

Таким образом, в рассмотренном особом случае 2 задания параметров обобщённый асинхронный поток событий является стационарным ординарным потоком с ограниченным последствием или потоком типа

где для

q , 0 1



|| ,

wt wtT e



11 1 1

tTtt

 , 1,2,...k

|wt – значение апостериорной вероятности, вычисленное



в момент окончания

T .

сти

Замечание 3.8. На начальном интервале

вероятность Начальное условие

(момент времени

P (потоком Пальма) [2].

. Решение (3.19) принимает вид

(1 )







1kk

tT периода мёртвого времени длительно-

|wt рассчитывается по формуле (3.23) при



tT заменяется моментом времени 0t ).

;

wtT

|wtT

 при этом заменяется на

   

 – начальное условие

,tt апостериорная



tt T

(3.23)

|wt



Когда поток событий принципиально ненаблюдаем, то есть в

tttT

любой момент времени

, расчёт апостериорной ве-

роятности осуществляется по формуле (3.17), в которой

wt – начальное значение апостериорной вероятности



144



|wt , вычисленное в момент времени













































t , 1,2,...k

, наступле-

ния события наблюдаемого потока по формуле пересчёта (3.11), принимающей в данном особом случае 3 вид

   

ppwt



 

|0 ,1,2,....

wt k

21 2 1



В (3.24) апостериорная вероятность

wt рассчитывает-

(3.24)

ся по формуле

(1 )

|0 | ,

wt wt T e

 

  

11111







2,3,... .



В рассмотренном особом случае точка является точкой сшивания решений



, 1, 2,... .k 



   

tt T

|wt на полуинтервале

tt T

12 1



(3.25)

 по-прежнему

3.2.6. Алгоритм оценки состояний обобщённого асинхронного потока событий при наличии

мёртвого времени и численные результаты

Полученные в подпараграфах 3.2.3 – 3.2.5 формулы позволяют сформулировать для общего случая задания параметров потока, когда в уравнении Риккати (3.3) коэффициент

12 1 2

0apq       , алгоритм расчёта вероятности

|wt ,

|1 |wt wt первого состояния случайного процесса



 и алгоритм принятия решения о состоянии процесса ()t

()t

любой момент времени

в момент времени начала наблюдения за потоком

в ка-

честве начального значения апостериорной вероятности задаётся

|0wt;



10 1 2 1 2

145

по формуле (3.16) рассчитывается вероятность































































, 10 tt

момент времени

 , где

бытия наблюдаемого потока; величины

по формуле (3.16) вычисляется вероятность

мент времени

по формуле (3.11) для

|0wt, являющаяся начальным значением для



t :

||0wtwt

11 11

t – момент наступления первого со-

w и 2w определены в (3.8);

 ;

рассчитывается вероятность

|wt в любой

|wt в мо-

|wt в

формуле (3.17);

в любой момент времени

вычисляется вероятность

в момент времени

считывается вероятность значением для

для

1k 

момент времени

|wt на следующем шаге алгоритма;

по формуле (3.7) вычисляется

tTtt

tt T

 , где

tttT

|wt ;

 по формуле (3.17) для

|wttT

 , являющаяся начальным

, по формуле (3.17)

|wt в любой

t – момент наблюдения вто-

рас-

рого события потока;

увеличивается на единицу и для

вычисляется

алгоритм переходит на шаг 4, затем шаги 4 – 8 повторяются

для

и так далее.

2k 

|0wt ;

По ходу вычисления апостериорной вероятности любой момент времени

по критерию максимума апостериорной

по формуле (3.18)

|wt в

вероятности выносится решение о состоянии случайного процесса

()t

 (обобщённого асинхронного потока событий, функциониру-

ющего в условиях непродлевающегося мёртвого времени фиксированной длительности

состояния процесса

()t

T ): если

 , иначе

||wtw t , то оценка



 .

()t

146

Для особого случая задания параметров потока, когда в уравне-































нии Риккати (3.3) коэффициент

   , алго-

12 1 2

0apq

ритм оптимальной оценки состояний обобщённого асинхронного потока событий при наличии непродлевающегося мёртвого времени фиксированной длительности T идентичен изложенному выше алгоритму для общего случая и осуществляется на основании формул (3.17), (3.19) – (3.25).

Алгоритм получения численных результатов оценки состояний обобщённого асинхронного потока событий при непродлевающемся мёртвом времени состоит из двух этапов.

Первый этап расчёта предполагает имитационное моделирование обобщённого асинхронного потока событий, схемы создания непродлевающегося мёртвого времени и наблюдаемого

потока со-

бытий. Второй этап расчёта – непосредственное вычисление веро-

|wt ,

ttt

ятностей

wtT;



 ;

|wt ,

tTtt

(1.4), (3.7), (3.8), (3.11), (3.16) – (3.18), если либо по формулам (3.17), (3.19) – (3.25), если

и определение оценки

истинной траектории сопровождающе-

()t

го случайного процесса ()t

wt ;

 , 1,2,...k

1kk



|wt ,

tttT

;

, по формулам

      ,

12 1 2

      ,

12 1 2

0pq

, полученной путём имитационного

моделирования обобщённого асинхронного потока событий, функционирующего в условиях непродлевающегося мёртвого времени фиксированной длительности

T .

С целью установления частоты ошибочных решений о состоянии случайного процесса ()t

по моментам времени наступления

событий наблюдаемого потока проведён ряд статистических экспериментов, состоящих из следующих этапов:

для определённого набора параметров

, p, q ,

T ед. времени осуществляется с шагом 0, 05t имитационное

моделирование наблюдаемого потока событий на заданном отрез-

147

ке времени

























0,mT (



реализация (испытание модели), 1, 2,...s

производится расчёт апостериорной вероятности

первого состояния случайного процесса ()t времени

0,mT для случая присутствия мёртвого времени;



осуществляется оценивание траектории процесса ()t

нивание на отрезке

T – время моделирования) – отдельная s-я

;

|wt

на заданном отрезке

(оце-

0,mT интервалов, когда оценка



()t

прини-

мает то или иное значение);

осуществляется определение (для отдельной

ции) процесса ()t



d – суммарной длительности интервалов, где значение

не совпадает с его оценкой



вычисляется доля ошибочных решений

;

()t

-й реализа-



dT ,

1,sN ;

производится повторение

раз шагов 1 – 5 для расчёта

оценки полной (безусловной) вероятности ошибки оценивания состояний процесса ()t

на отрезке

0,mT .



В результате выполнения описанного алгоритма получается

TT T

ˆˆ ˆ

pp долей ошибочных решений в N испы-

выборка

, ,...,

таниях. По этому набору вычисляются выборочное среднее без-

условной вероятности ошибочного решения

выборочная дисперсия

ˆˆ

DpP























Статистические эксперименты проведены для значений параметров, представленных в табл. 3.1.

Результаты статистических экспериментов приведены в табл. 3.2 – 3.6. В первой строке таблиц указано значение длитель-

148

ности мёртвого времени











для каждого значения длительности мёртвого времени дены численные значения для

T . Во второй и третьей строках таблиц

T приве-

P и

D соответственно. Задан-

ные в табл. 3.1 параметры являются общими для всех табл. 3.2 –

3.6. При этом результаты в табл. 3.2 получены для табл. 3.3 – для

7 , в табл. 3.6 – для

Исходные данные для статистического эксперимента

 , в табл. 3.4 – для

 .

 , в табл. 3.5 – для

Т а б л и ц а 3.1

 , в

0,1

1



0,15

0, 4p 

0,7q 

100

100N 

Т а б л и ц а 3.2

( 4

Результаты статистического эксперимента



D 0,0048 0,0074 0,0079 0,0097 0,0067 0,0118 0,0123 0,0136 0,0150

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,2482 0,2797 0,2945 0,2988 0,3062 0,3315 0,3436 0,3441 0,3451

 )

Т а б л и ц а 3.3

( 5

Результаты статистического эксперимента



1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,2228 0,2631 0,2731 0,3009 0,3190 0,3304 0,3316 0,3339 0,3403

0,0039 0,0054 0,0129 0,0097 0,0109 0,0115 0,0166 0,0148 0,0193

 )

Т а б л и ц а 3.4

( 6

Результаты статистического эксперимента



1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,2134 0,2487 0,2625 0,2807 0,2955 0,3071 0,3063 0,3187 0,3201

0,0044 0,0051 0,0067 0,0120 0,0091 0,0101 0,0124 0,0080 0,0094

 )

149

Результаты статистического эксперимента















Т а б л и ц а 3.5

( 7

 )



1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,2003 0,2251 0,2551 0,2572 0,2841 0,3011 0,3050 0,3113 0,3189

0,0024 0,0080 0,0080 0,0063 0,0079 0,0081 0,0101 0,0111 0,0109

Т а б л и ц а 3.6

( 8

Результаты статистического эксперимента

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,1920 0,2220 0,2496 0,2531 0,2749 0,2933 0,3006 0,3117 0,3167

0,0027 0,0043 0,0066 0,0061 0,0090 0,0119 0,0061 0,0063 0,0106

 )

Во-первых, отметим, что анализ приведённых и других многочисленных вариантов численных расчётов по оценке безусловной

вероятности ошибочного решения

P является достаточно стабильной для 100

Вследствие этого время моделирования

P показывает, что оценка

T  ед. времени.

T для всех эксперимен-

тов, результаты которых представлены в табл. 3.2 – 3.6, выбрано равным 100 ед. времени.

Во-вторых, анализ численных результатов, приведённых в табл. 3.2 – 3.6, показывает:

значение оценки безусловной вероятности ошибочного ре-

шения времени

P увеличивается с увеличением длительности мёртвого

T (1,2,...,9T

ед. времени); последнее является вполне

естественным, так как при увеличении длительности мёртвого времени происходит увеличение потерь полезной информации о потоке событий, что, в конечном итоге, отрицательно сказывается на качестве оценивания;

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]