Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие
.pdf
)()1(
m
Вероятности
p
j
(2.10). Поскольку в состоянии
чайного процесса )(t
имеет место пуассоновский поток с пара-
m
| , 2,1,
S
i
ji , определены в
i
, 2,1i , сопровождающего слу-
метром
, то справедливы равенства
i
t
m
m
1
m
1
)(
)(
1
111
tm
2
222
),(|1
totterp
).(|1
totterp
Принимая во внимание последние равенства, вероятности (2.10)
m
и переобозначение
w
представим числитель
)(
|
i
A и знаменатель 1B выражения (2.16) в
1
ttwtt
|, 2,1i ,
kik
виде
Aw t tp pr
11 1111
wttp pr
Bw t tp pr
11 1111
wt tp pr
wttp pr
wttp
wt t w t ttot
11 2 2
| (|)( 1|)
|(|)(1|)
21212
km
11
| (|)( 1|)
| ( |)( 1|)
12111
km
| (|)( 1|)
21212
km
|(
2
k
||().
kk
km
|(),
wt ttot
km
k
|)( 1|)
22 1 2
pr
(2.17)
m
Подставляя (2.17) в (2.16), учитывая, что
1(| )
wt t
и осуществляя в (2.16) предельный переход при
1
k
(при этом одновременно
0t
и
0
t
(| )
wtt
2
), приходим к
0
t
k
(2.15). Лемма доказана.
Замечание 2.2. В точке
t
, ...,2,1
k (момент времени наступ-
k
ления события асинхронного потока), апостериорная вероятность
twi|
, 2,1i , i -го состояния сопровождающего случайного
61
процесса )(t терпит разрыв первого рода, то есть имеет место
конечный скачок.
Полученные для функции )|(
tw
формулы (2.12) и (2.15)
1
определяют поведение апостериорной вероятности на полуинтер-
вале
событий потока, а также на интервале
,
tt
, ...,2,1
k , между моментами наступления соседних
1
kk
),(
tt
10
, где
t
– момент
0
начала наблюдения за потоком. Без ограничения общности
0
t
положим
. В момент времени
0
значения вероятности
(| 0)wt
10
0
t
в качестве начального
0
tw
)0|(
выбирается
01
априорная финальная вероятность первого состояния процесса
)(t , определённая в (1.4).
Леммы 2.3 и 2.4 позволяют сформулировать следующую теорему.
Теорема 2.2. Поведение апостериорной вероятности )|(
первого состояния процесса )(t
на оси времени для асинхронного
tw
1
потока событий определяется выражениями
()()
aw w t t
21
wwwt wwwt e
(|) ,
wt
1
12 1 21 1
( | 0) ( | 0)
ww t ww t e
21 11
kk
(| 0) (| 0)
kk
0,1,...,
k
aw w t t
()()
21
k
(2.18)
k
(| 0) ,
wt
10 1
(| 0) , 1,2,...,
wt k
1
k
wwwt wwwt e
12 11 21 11
(| 0) (| 0)
(| 0) (| 0) ,
ww t ww t e
211 111
212 1
kk
kk
(| 0)
wt
11
1
1, 2,...,
k
wt
(| 0)
wt
k
2
12
k
(| 0)
k
aw w t t
()( )
aw w t t
21 1
kk
()( )
21 1
kk
1
(2.19)
62
w
w
1212 1212 12
1
1 212 121 2 12
2
2
12
2
12
2
4
,
2
4
,
где
a , 10
w , 12w ;
21
1
ttt , ...,1,0
1
kk
k .
Доказательство осуществляется объединением формул (1.4),
(2.12) и (2.15).
2.2.3. Алгоритм принятия решения о состоянии потока
Формулы (1.4), (2.15), (2.18), (2.19) позволяют сформулировать
алгоритм расчёта апостериорной вероятности )|(
tw
и алгоритм
1
принятия решения о состоянии сопровождающего случайного
процесса )(t в любой момент времени
, то есть алгоритм
t
оптимального оценивания состояний асинхронного потока:
1) в момент начала наблюдения 0
значения задаётся априорная финальная вероятность
состояния процесса )(t
twtw ;
2) в любой момент времени
, вычисленная по формуле (1.4), –
)0|()0|(
10101
, 10 tt , где 1t – момент наблю-
t
дения первого события потока, по формуле (2.18) для
вычисляется апостериорная вероятность )|(
3) по формуле (2.19) для
tw в момент времени 1t , то есть )0|()|(
)|(
1
4) по формуле (2.15) для
k
производится пересчёт апостери-
1
k
орной вероятности в момент времени
является начальным условием для )|(
t в качестве начального
0
первого
1
k
tw
;
1
рассчитывается вероятность
1
twtw ;
tt , при этом )0|(
1
tw на следующем шаге
1
1111
tw
11
0
алгоритма;
63
5) в любой момент времени
t
,
t
наступления второго события потока, по формуле (2.18) для
вычисляется апостериорная вероятность )|(
ttt , где 2t – момент
21
1
k
tw
и т. д.
1
Параллельно по ходу вычисления апостериорной вероятности
)|(1tw в любой момент времени
нии сопровождающего случайного процесса )(t
выносится решение о состоя-
t
(асинхронного
потока событий) по критерию максимума апостериорной вероятности: если )|()|(
ˆ
()t
, иначе
1
ˆ
()t
twtw
, то оценка состояния процесса есть
21
.
2
2.3. Оптимальное оценивание
состояний синхронного потока
Рассматривается синхронный поток событий, математическая
модель которого приведена в параграфе 1.3. Условия наблюдения
tt ,
t
,
за потоком на временном интервале
наблюдения,
– момент вынесения решения о состоянии потока, и
0
механизм оптимального оценивания идентичны рассмотренным в
параграфе 2.2 для асинхронного потока событий.
2.3.1. Вывод дифференциального уравнения Бернулли
Для реализации алгоритма оптимального оценивания состояний
сопровождающего процесса )(t
(синхронного потока событий)
– момент начала
0
необходимо знать явный вид апостериорной вероятности )|( tw
,
i
2,1i .
Лемма 2.5. Случайный процесс
l
r,)( для синхронного
l
потока событий является марковским процессом.
Доказательство. В лемме 1.4 доказано, что для синхронного
потока событий сопровождающий случайный процесс )(t
)(l
ется марковским, значит, компонента
случайного процесса
явля-
64
l
p
r,)( является марковской. Вторая компонента процесса
l
r так-
l
же марковская, поскольку события в синхронном потоке
наступают только в моменты перехода процесса )(t
из состояния
S
в состояние
i
интервала
S
, 2,1,ji . Этот переход происходит внутри
j
tltl ,)1( и определяется моментом окончания со-
стояния, который, в свою очередь, не зависит от предыстории, так
как длительность участка стационарности процесса )(t
S
состоянии
функцией распределения
участка стационарности процесса )(t
является случайной величиной с экспоненциальной
1
)1(
1)(
1
, 0,t длительность
tp
1
etF
в состоянии
S
– случайная
2
в
величина с экспоненциальной функцией распределения
)2(
2
от предыстории. Компонента
силу конструкции процесса
влияет на
связана смена (несмена) состояния процесса )(t
Таким образом, двумерный случайный процесс
tq
2
etF
1)(
,
)(l
, так как с наступлением (ненаступлением) события
Следовательно, компонента lr не зависит
0.t
)(l
не влияет на компоненту lr в
l
r,)( (рис. 2.1). Компонента
l
.
l
r,)( являет-
l
r
ся марковским процессом. Лемма доказана.
(1) ()
mm
Рассмотрим переходную вероятность
() ( 1)
mm
pr r
в рекуррентном соотношении (2.6) для
|,,
1
mm
вероятностей
m|)(
tw
,
m
|)1(
ttw
.
pr
|,
m
Утверждение 2.3. Для синхронного потока событий переходная ве-
(1) ()
mm
роятность
|,
(1) () () (1)
mm m m
prprr
ppr
r
pr r
m
|, |,,
(1) () () (1)
mm m
mm mm
||,.
() ( 1)
mm
|,,
принимает вид
1
mm
1
1
m
l
65
Доказательство. В силу того, что процесс
ковским (лемма 2.5), на значение компоненты
мени
мени
цесса
)1(
tmt ; компонента
mm
m
l
r,)( обладает марковским свойством, то значение )(
l
tmtt
влияет только значение
r не влияет на
m
)()1()()1(
mm
prp
|,|
. Поскольку компонента lr про-
числа событий, наступивших на интервале
l
r,)( является мар-
l
)1( m
в момент вре-
)( m
в момент вре-
)1( m
. Следовательно,
1trm
tmtm )1(,, не зави-
сит от значения )( tr
так как в любом состоянии
пуассоновский поток с параметром
окончания состояния процесса )(t
tmtm )1(,, то 1
имеет место равенство
() ( 1)
mm
m
|,
1
pr
. Утверждение доказано.
числа событий на интервале
m
S
процесса )(t имеет место
i
, 2,1i . Если момент
i
принадлежит интервалу
r ; если нет, то 0
1m
r . Таким образом,
1m
pr r
mm
() ( 1)
mm
|,,
1
С учётом утверждения 2.3 рекуррентное соотношение (2.6) для
апостериорных вероятностей
m|)(
tw
,
m
|)1(
ttw
состояний
синхронного потока событий запишется в виде
(1)
m
2
()
m
22
() ( 1)
mm
11
() ( 1) () () ( 1)
mmm mm
wtp pr
1
|| |,
() ( 1) () () ( 1)
mmm mm
wtp pr
|| |,
wtt
|
1
m
.
1
m
tmtm ,)1(,
(2.20)
Пусть в (2.20) 0
tmt ,
)1(
r , то есть на интервале
1m
tmtt
, события синхронного потока отсут-
),( ttt
, где
66
ствуют. Данный случай описывает поведение апостериорной веро-
ятности на интервале времени между моментами наступления со-
t
t
седних событий потока
t
– момент начала наблюдения за потоком. В (2.20) для опре-
где
0
делённости положим
2
()
m
22
() ( 1)
mm
mm m mm
() ( 1) () () ( 1)
wtp pr
1
11
||0|,
() ( 1) () () ( 1)
wtp pr
.
и
k
)1(
m
wtt
mmm mm
|| 0|,
12
, ...,2,1
k , и на интервале
1k
. Тогда (2.20) примет вид
1
|
1
11 1
)|(1)|(
ttwttw
m
m
1
(2.21)
,
),(
tt
,
10
Лемма 2.6. В синхронном потоке в течение времени между
t
моментами наступления соседних событий
),(
tt
на интервале
апостериорная вероятность )|(
10
t
и
k
, ...,2,1
k , и
1k
tw
1
удовлетворяет дифференциальному уравнению Бернулли
)|(
tdw
1
dt
2
21121
1
twtw
.0)|()|(
(2.22)
Доказательство. Рассмотрим одну из переходных вероятно-
(1) () ()
mm m
стей, например,
(1)
m
, в формуле (2.21). Совместная вероятность события
m
1
)(
r – процесс )(t
11
m
принимает значение
ppr
)1(
m
,0,
, на интервале времени
1
1
ет событие пуассоновского потока, и в момент времени
цесс )(t принимает значение
() ( 1)
mm
pr
pr p
11111
m
() ( 1) () ( 1)
mm mm
0| , , ,
,0,
11 1
m
|0|,
111 1
m
в момент времени t
),( ttt
не наступа-
tt
про-
– представляется в виде
1
67
откуда следует, что
m
)(
rp
mm
rp
m
1
)(
1
)1(
,|0
1
p
m
11
)(
,
1
m
)1(
,0,
mm
)1(
1
.
1
Вместе с тем справедливо равенство
)1(
rp
1
rp
1
m
)(
)1(
mm
,|0
1
1
m
p
)1(
|
1
)(
mm
|,0
1
)(
mm
1
,
1
из которого находим
)1(
mm
)(
1
rp
m
1
rpp
m
11
)1(
)(
mm
)(
|,0
1
mm
)1(
,|0|
1
1
1
– совместная условная вероятность того, что на интервале времени
),( ttt
не наступит событие пуассоновского потока с парамет-
и сопровождающий случайный процесс )(t останется в
ром
1
первом состоянии с вероятностью единица; совместная вероят-
t
ность описанной ситуации равна )(1
1
1
tote
.
Рассмотрим ещё одну переходную вероятность в формуле
(2.21), принимающую с использованием описанной выше методи-
ки вид
)1(
mm
)(
2
rp
m
1
rpp
m
11
)1(
)(
mm
)(
|,0
2
mm
)1(
,|0|
1
1
2
– совместная условная вероятность того, что на интервале времени
),( ttt
не наступит событие пуассоновского потока, и процесс
)(t перейдёт из первого состояния во второе; вероятность рас-
смотренной ситуации, с учётом определения синхронного потока –
переход процесса )(t
из состояния
S
в состояние
i
S
, 2,1,ji ,
j
возможен только в момент наступления события, равна нулю.
68
Аналогично выписываются две оставшиеся переходные вероят-
ности:
)1(
)1(
m
1
)(
mm
1
rp
1
m
mm
)(
2
)1(
rpp
12
m
)1(
rpp
m
12
mm
)(
2
)(
2
)(
mm
1
2
)(
2
t
2
)1(
mm
,|0|
,0|,0
mm
)1(
,|0|
22
1
2
toterp
Итак, с учётом явного вида выписанных переходных вероятностей процесса
l
r,)( и переобозначения
l
m
)(
2,1i , числитель A и знаменатель B в (2.21) принимают вид
),(||)(1|
2211
11111
2211
).(||1
tottwtw
tottwtwtottwA
)(1|)(1|
tottwtottwB
Подставляя (2.23) в (2.21) и принимая во внимание, что
1
2
wtwt wtwttot
11 11 21 2
|| ||().
2211
(| ) (|)
wttw t
11
)(||1
tottwtwB
, находим (2.21) в виде
).(1|,0
twtw
||
,
ii
(2.23)
Выполняя в последнем равенстве необходимые преобразования, с учётом условия )|(1)|(
правую части на
и переходя к пределу при
t
twtw
, разделив левую и
12
, получаем
0t
уравнение (2.22). Лемма доказана.
2.3.2. Поведение апостериорной вероятности
Апостериорная вероятность )|(1tw
имеющая значение )|(
на временной оси
()|(1)|(
tw
()|(1)|(
1 k
12 kk
twtw
), ...,1,0
k ,
twtw
),
12
69
в момент времени
t
времени
tt
вольный момент времени
Лемма 2.7. На интервалах между моментами
...,2,1k , и на интервале
)|(
tw первого состояния процесса )(t как функция времени
1
t начала наблюдения за потоком и в моменты
0
, ...,2,1
k , наступления событий потока, в произ-
k
определяется следующей леммой.
t и
k
),(
tt
апостериорная вероятность
10
t ,
1k
задаётся выражением
))((
tt
k
)|(
1
ttt , ...,1,0k .
1kk
)|(
tw
(2.24)
1
k
21
etw
)|()|(1
etwtw
11
kk
,
))((
tt
21
k
Доказательство. Уравнение Бернулли (2.22) имеет постоян-
ные коэффициенты. Разделяем в (2.22) переменные и интегрируем:
12 1 1
12 1
где
C – произвольная постоянная.
1
(|) (|)1
wtwt
1
ln ln , 0,
wt
1
(|)
wt
1
(|)1
tCC
ln ,
dt C
11
1
(|)
dw t
Потенцируя последнее уравнение и выполняя необходимые
преобразования, находим функцию )|(
tw в виде
1
где
– произвольная постоянная.
C
wt
(|) 1,
1
1
12
Ce
t
(2.25)
1
Для нахождения значения произвольной постоянной C в (2.25)
воспользуемся начальным условием, согласно которому
)|()|(
twtw при
11 k
C
tt
. Определив значение C в виде
k
tw
)|(
k
1
1
e
tw
1)|(
k
t
)(
k
21
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]