Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие
.pdf
процесса
p
.
П
.
ppp
p
состоянии
)(t
, 2,1i , 021
S
, то в течение времени пребывания его в первом со-
1
. Если процесс
)(t
находится в
стоянии имеет место пуассоновский поток событий с параметром
. Переход из первого состояния процесса
1
ятностью
события, с вероятностью p
стоянии (переходит из
цесса
распределения
ния процесса
ский поток событий с параметром
Таким образом, переход процесса
S
ние
2
ход процесса
(10
p ) возможен только в момент наступления
1 процесс
S
S
в
). Длительность пребывания про-
1
есть случайная величина с функцией
2
t
2
. В течение времени пребыва-
0t
.
2
)(t
из состояния
)(t
в состоянии
2
)(t
во втором состоянии имеет место пуассонов-
1
S
etF
1)(
,
возможен только в момент наступления события потока, пере-
)(t
из состояния
S
в состояние
2
)(t
во второе с веро-
)(t
остаётся в первом со-
S
в состоя-
1
S
осуществляется в
1
произвольный момент времени, не связанный с моментом наступления события потока; поэтому поток называется полусинхронным [16].
Вариант возможного поведения случайного процесса
лусинхронного потока событий представлен на рис. 1.5, где
S
– состояния процесса
2
)(t
; ...,...,,,
ttt – моменты наступле-
21 k
)(t
и по-
S
1
ния событий в полусинхронном потоке.
1–
..
S
1
S
2
1–
..
α
2
α
2
,
...
...
t
Рис. 1.5. Формирование полусинхронного потока событий
t
1
2
t
t
4
3
t
t
6
5
роцесс λ(t)
...
t
t
31
Лемма 1.7. Сопровождающий кусочно-постоянный случайный
t
процесс
)(t
для полусинхронного потока есть марковский про-
цесс.
Доказательство основано на лемме 1.1 и лемме 1.4. Действи-
тельно, длительность участка стационарности процесса
S
стоянии
)( t ) – случайная величина с функцией распределения
)1(
1
)(t
в состоянии
ления
(временного интервала, на котором значение процесса
1
1
tp
1
etF
1)(
,
2
S
etF
1)(
,
2
. Длительность пребывания процесса
0t
– случайная величина с функцией распреде-
t
2
. Отсюда следует, что
0t
)(t
в со-
)(t
– марков-
ский процесс. Лемма доказана.
Лемма 1.8. Моменты наступления событий ...,...,,,
21 k
ttt в по-
лусинхронном потоке порождают вложенную цепь Маркова
)(kt
.
Доказательство основано на лемме 1.2 и лемме 1.5, поскольку
в первом состоянии процесса
себя как синхронный поток, во втором состоянии процесса
)(t
полусинхронный поток ведёт
)(t
–
как асинхронный поток. Лемма доказана.
С учётом (1.2) и (1.5) матрицы инфинитезимальных характери-
)(t
стик процесса
примут вид
1
D ,
0
222
Описание содержательного смысла элементов матриц
0
D .
()
pp
1
)1(
0
11
2
D и 1D
0
приводится в параграфе 1.2 для асинхронного потока.
0
Обозначим
времени
значение процесса it
функционирование полусинхронного потока (процесса
лось в момент времени
| tti – априорная вероятность того, что в момент
)(, 2,1i , при условии, что
)(t
) нача-
0
t .
32
Лемма 1.9. Для полусинхронного потока событий априорные
вероятности состояний процесса
)(t
имеют вид
tt
1
20
21
2
pp
e
21
ttp
21
p
|
tt
2
10
21
с начальными условиями в момент времени
00
tt .
2
1|
Доказательство. Определим
что в момент времени
то есть имеет место i -е, 2,1
i , состояние процесса
ные ситуации на полуинтервале
)(t
процесса
1) в момент времени
стью
:
значение процесса 1)( t с вероятно-
t
0
| tt , и за промежуток времени длительности t
1
pp
tt
процесс
2
e
21
0
| ttti – вероятность того,
)(t
принимает значение
),[ ttt
, связанные с поведением
21
0
t :
наступит событие пуассоновского потока с параметром
t
ятностью
1
1
цесс )(t останется в состоянии
)(1
tote
, и с вероятностью единица про-
S ; вероятность описанной ситуа-
1
ции равна
0
1
0
11
0
11
0
,|
(1.8)
0
ttp
00
| tt ,
1
)(t
. Возмож-
не
с веро-
1
)(||)(1|
tottttttottt ;
,
i
2) в момент времени
0
стью
| tt , и за промежуток времени длительности t
1
событие пуассоновского потока с параметром
t
1
11
)(t
перейдет из состояния 1S в состояние 1S с вероятностью
значение процесса 1)( t с вероятно-
t
наступит
с вероятностью
1
)(
totte
, и в момент наступления события процесс
p1; вероятность этой ситуации равна
33
0
1
0
111
)(|)1()(|)1(
totttptotttp ;
3) в момент времени
0
стью
| tt , и за промежуток времени длительности t
2
чится второе состояние процесса )(t
t
2
2
значение процесса 2)( t с вероятно-
t
с вероятностью
)(1
tote
, и процесс
)(t
перейдёт из второго со-
закон-
стояния в первое с вероятностью единица; вероятность ситуации
есть
0
2
4) в момент времени
0
стью
| tt , и за промежуток времени длительности t
2
значение процесса 2)( t с вероятно-
t
кончится второе состояние процесса )(t
t
2
2
)(1
tote
; вероятность рассмотренной ситуации
0
222
с вероятностью
)(|)(|
tottttottt ;
не за-
равна
0
2
5) в момент времени
0
стью
| tt , и за промежуток времени длительности t
1
значение процесса 1)( t с вероятно-
t
0
22
событие пуассоновского потока с параметром
t
1
11
)(t
перейдет из состояния 1S в состояние 2S с вероятностью p;
)(
totte
, и в момент наступления события процесс
0
22
)(||)(1|
tottttttottt ;
наступит
с вероятностью
1
вероятность этой ситуации равна
0
1
0
111
)(|)(|
totttptotttp .
Других возможностей не имеется.
Рассмотренные ситуации позволяют выписать систему равенств
относительно
i , в момент времени tt
:
0
| tti , 2,1
34
1
00 0 0
||(1)| |(),
tt tt t p tt t tt t o t
111 11 22
00 0 0
|| | |().
ttt tt tttp tttot
222211
0
|
ttt
После несложных преобразований находим
1
2
0
0
0
1
0
2
0
11
0
11
0
22
0
22
),(||||
totttttpttttt
).(||||
totttttpttttt
Разделив оба равенства на
переход при
0t , получим систему линейных дифференциаль-
ных уравнений относительно вероятностей
0
1
0
2
0
11
t
и выполнив в них предельный
0
| tti , 2,1
i :
0
11
0
22
1
0
,|||
ttttptt
22
0
0
ttttttttptt
2
.1||;|||
Интегрируя выписанную систему, с учётом начальных условий,
приходим к (1.8). Лемма доказана.
Следствие леммы 1.9. Априорные финальные вероятности со-
стояний процесса )(t
t (или
0
t
Замечание 1.3. Сопровождающий случайный процесс )(t
для полусинхронного потока событий при
) имеют вид
1
2
p
2
21
p
1
p
.,
(1.9)
21
для
полусинхронного потока является интенсивностью потока, так как
S
в состоянии
S
нии
, соответственно, 2 . При этом средняя интенсивность по-
2
значение интенсивности потока есть 1 , в состоя-
1
лусинхронного потока событий равна
2
1
p
21
p
1
.
2
p
21
35
1.5. MAP-поток
j
i
j
i
.
П
.
P
P
Рассматривается поток событий, сопровождающий случайный
)(t
процесс которого
стояниями –
S ) процесса )(t,
(
i
процесса
S
и
1
)(t
в состоянии
экспоненциальной функцией распределения
2,1i
. В момент окончания состояния
следующие ситуации, каждая из которых протекает мгновенно:
1) наступает событие потока, и процесс
ния
S в состояние
i
ции
цесс
P
1 ij
,|
)(t
переходит из состояния
вероятность этой ситуации
|||1
PPP
011
ji ji ii
Вариант возможного поведения случайного процесса
является кусочно-постоянным с двумя со-
S
; если
2
i
S ; совместная вероятность описанной ситуа-
j
t )(
, то имеет место i-е состояние
i
2,1
,
S определяется случайной величиной с
i
. Длительность пребывания
021
t
i
etF
i
S процесса
i
)(t
переходит из состоя-
1)( , 0,t
)(t
возможны
2,1,ji ; 2) не наступает событие потока, и про-
S в состояние
i
P
0 ij
,|
, 2,1, ji ,
S ; совместная
j
2,1,ji ,
. При этом
[17].
)(t
и MAP-
S
потока событий представлен на рис. 1.6, где
)(t
цесса
S
1
S
2
; ...,...,,,
..
ttt – моменты наступления событий в потоке.
21 k
)
2
λ
|
1
λ
(
0
1(λ1|λ1
)
)
1
|λ
1(λ2|λ2
2
λ
(
0
S
и
– состояния про-
1
2
)
2
λ
|
1
)
λ
1
(
1
)
λ
|
2
λ
(
1
..
...
...
t
t
2
1
Рис. 1.6. Формирование MAP-потока событий
t
3
t
4
роцессλ(t
t
5
...
t
)
t
36
Лемма 1.10. Сопровождающий кусочно-постоянный случайный
j
i
1
1
процесс
)(t
для MAP-потока событий является марковским процессом.
Доказательство. Докажем, что длительность участка стацио-
нарности процесса
на котором значение процесса
ной величиной с функцией распределения
(|) (|)
PPt
10
iji ji
1
e
)(t
в состоянии
t )(
, 0,t 2,1,ji ,
S (временного интервала,
i
, 2,1i ) является случай-
i
()
Ft
i
.
i
()
Рассмотрим состояние
S
процесса
1
окончания первого состояния процесса
)(t
. Поскольку в момент
)(t
переход из
S
в
1
S
возможен как с наступлением события потока, так и без наступления события, то некоторые возможные ситуации в поведении про-
)(t
цесса
S
1
S
2
представлены на рис. 1.7.
1
S
1
S
2
(1)
t
(а) (б)
P1(
S
1
S
2
(1)
t
(в) (г)
P1(
1|
1)
(1)
t
(2)
t
(д) (е)
|
1
P1(
)
1
|
2
(
1
P
)
1
)
1)
t
1
|
2
(
1
P
)
(3)
S
|
2
(
P
S
(2)
t
1|
S
1
S
2
S
1
S
2
1
2
(1)
t
(1)
t
P11|
(1)
t
P1(
1)
1
(2)
t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рис. 1.7. Некоторые возможные ситуации в состоянии
S процесса )(t
1
|
1
P1(
)
1
|
2
(
0
P
)
1
)
(2)
t
1
|
2
(
0
P
|
)
1
1
(3)
t
2
)
1
|
2
(
0
P
37
Таким образом, участок стационарности случайной длительно-
S
сти в состоянии
имеет длину
1
события при переходе процесса
наступления события);
бытия при переходе
события);
переходе
)(t
из
ttt (рис. 1.7 (д) – с наступлением события при
S
в
1
S
tt (рис. 1.7 (в) – с наступлением со-
)(t
S
из
)3()2()1(
, рис. 1.7 (е) – без наступления события) и
2
т. д. При этом каждый из интервалов
)1(
t (рис. 1.7 (а) – с наступлением
)(t
S
из
)2()1(
S
в
, рис. 1.7 (г) – без наступления
1
2
t , ,...,2,1
S
в
1
)(k
, рис. 1.7 (б) – без
2
k представляет
собой реализацию случайной величины с функцией распределения
t
() 1 , 0.
Ft e t
1
Обозначим
процесса
состояния
)(t
из состояния
1
)(t
из состояния
S
;
1
S
||
PPp – вероятность перехода
S
в состояние
1
|1
Pp
S
в
1
111
в момент окончания состояния
1
120121
S
– вероятность перехода процесса
в момент окончания
2
S
. Тогда,
1
применив схему рандомизации [15] и проведя выкладки, аналогичные проделанным при доказательстве леммы 1.4, находим функцию
распределения длительности участка стационарности процесса
||
PPt
в состоянии
стоянии
S
2
S
в виде
1
(2)
Ft e t
–
2
(1)
Ft e t
1
1,0.
1,0,
PPt
2112 012
11 21 0 21
||
)(t
в со-
Таким образом, в силу экспоненциального распределения длительности участка стационарности процесса
2,1i
, поведение процесса
времени
процесса
~
t
не зависит от предыстории, а зависит лишь от значения
)(t
в момент t~. Лемма доказана.
)(t
после произвольного момента
)(t
в состоянии
S ,
i
Лемма 1.11. Последовательность
ностью моментов наступления событий ...,...,,,
)(kt
, образуемая совокуп-
ttt в MAP-
21 k
потоке, является вложенной цепью Маркова.
38
Доказательство. Отметим, что MAP-поток событий функцио-
нирует в стационарном режиме и является ординарным потоком,
однако не обладает свойством отсутствия последствия. Отметим
следующее:
t , ,...,2,1
1. В момент времени наступления события
чение процесса
2,1i
, процесса
t )(
, то есть имеет место состояние
ik
)(t
. Длительность пребывания процесса
k зна-
k
S ,
)(t
в
i
состоянии
деления
момента
янии
том или другом состоянии до момента времени
2. Переход процесса
после момента
тельности участка стационарности процесса
S является случайной величиной с функцией распре-
i
t
() 1 , 0,
Ft e t
i
t часть длительности пребывания процесса
k
S не зависит от того, как долго процесс
i
i
)(t
из состояния
t происходит в момент времени окончания дли-
k
2,1i
. Значит, оставшаяся после
)(t
находился в
t .
k
S в
S , 2,1,
i
ji , ,ij
j
)(t
в состоянии
)(t
в состо-
S ,
i
распределенного по экспоненциальному закону (лемма 1.10), и не
зависит от поведения потока до момента времени
t , ...,2,1
k .
k
Таким образом, поведение потока после момента времени
наступления события
провождающего процесса
t определяется состоянием
k
)(t
в момент времени kt и не зависит
S ,
i
от предыстории, то есть от поведения потока до момента
2,1i
, со-
t . Лем-
k
ма доказана.
Перейдём к определению инфинитезимальных характеристик
)(t
процесса
изойти на полуинтервале
. Опишем возможные ситуации, которые могут про-
ttt ,
. Полагая
t )(
,
i
2,1i
находим:
1) за промежуток времени длительности
стояние процесса
)(t
с вероятностью
t
закончится i-е со-
t
i
i
)(1 tote
,
,
39
наступит событие потока, и процесс
j
j
j
j
j
i
ния в
-е,
, с вероятностью
)(t
перейдёт из i-го состоя-
P |
1
; вероятность описан-
ij
ной ситуации равна
to tP
iji
2) за промежуток времени длительности
стояние процесса
)(t
с вероятностью
наступит событие потока, и процесс
ния в
есть
-е с вероятностью
i
||
P
1
11
3) за промежуток времени длительности
стояние процесса
)(t
с вероятностью
наступит событие потока, и процесс
i
ния в
-е,
, с вероятностью
|
1
)(t
перейдёт из i-го состоя-
; вероятность этой ситуации
|
ii
iiiiii
)(t
перейдёт из i-го состоя-
P |
0
; вероятность рассмот-
ij
|
iji
1
t
закончится i-е со-
t
i
i
;
totPPtot
t
закончится i-е со-
t
i
i
ренной ситуации равна
to tP P to t
ijiiji
4) за промежуток времени длительности
состояние процесса
с вероятностью, равной единице, процесс
стоянии; вероятность этой ситуации есть
||
00
t
не закончится i-е
t
)(t
с вероятностью )(1 tote
i
)(t
останется в i-м со-
1
to t
.
i
;
i
Других возможных ситуаций нет. С учётом (1.1) рассмотрим
следующие пределы:
|
)1(
d
1)
lim
ij
t
1
0
iji
t
– интенсивность перехода процесса
totP
P
|
, 2,1,ji ,
1
)(t
из i-го состояния в j-е,
iji
связанного с наступлением события потока;
)1(
2)
d
lim
ii
t
0
|
1
iii
t
тенсивность перехода процесса
totP
P
|
,
1
)(t
из i-го состояния в i-е
iii
2,1i
, – ин-
i
totP
)(1 tote
, не
, и
;
)(1 tote
,
,
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]