Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие
.pdf
(остаться в
j
-м состоянии), связанного с наступлением события
i
потока;
|
)0(
3)
d
lim
ij
t
0
0
iji
t
– интенсивность перехода процесса
totP
P
0
)(t
из i-го состояния в j-е,
не связанного с наступлением события потока;
11
)0(
4)
d
lim
ii
t
выхода процесса
i
0
)(t
из i-го состояния, взятая с противополож-
tot
t
,
i
ным знаком.
При этом справедливы равенства
|
, 2,1,
ji ,
iji
2,1i
, – интенсивность
i
,
2
1
j
k
где
Матрицы инфинитезимальных характеристик
1 ij
2
)0(
ij
i
)1(
dD , 2,1,ji , процесса
)1(
ij
1
j
ii
,1если,1
ii
,2если,1
D ,
0
D .
1
P
.2,1
)(t
выпишутся в виде
P
|
PP
PP
PPPdd ,
110
|
12011
22102
||
12111111
||
22122112
ikiiikii
dD и
0 ij
Обозначим априорную вероятность того, что в момент времени
значение процесса
t
t )(
i
нирование МАР-потока (процесса
ни
0
t
, через
0
| tti .
2,1i
,
, при условии, что функцио-
)(t
) началось в момент време-
0|||
)0(
41
Лемма 1.12. Априорные вероятности состояний процесса
для МАР-потока событий имеют вид
1|
0
|
tt
1
1| 1 |
1111 2122
0
|
tt
2
1|
1111
1| 1 |
1111 2 122
2122
PP
1111 2122
2122
P
PP
1|
P
1| 1 |
PP
1|
P
P
2122
e
1|
P
1111
2122
e
P
1|
dt t
dt t
)(t
0
,
(1.10)
0
0
с начальными условиями в момент
00
tt ;
2
Доказательство. Найдём вероятность
1|
момент времени
есть имеет место состояние
1|dP
1111
tt
процесс
S ,
i
t вида
)(t
принимает значение
, случайного процесса
2,1i
Опишем возможные ситуации на полуинтервале
ные с поведением процесса
1) в момент времени
стью
0
| tti , и за промежуток времени длительности t
t
кончится состояние
t
i
i
останется в состоянии
, и с вероятностью единица процесс )(t
)(1 tote
S ; вероятность этой ситуации есть
i
)(t
:
значение процесса it )( с вероятно-
S процесса )(t
i
с вероятностью
iiiii
42
| tt ,
1
|1 P .
2212
0
| ttti того, что в
),[ ttt
, связан-
не за-
000
)(||)(1|
tottttttottt
;
00
, то
i
)(t
.
2) в момент времени
j
0
| tti
стью
чится состояние
перейдёт из состояния
ность описанной ситуации равна
i
, и за промежуток времени длительности t закон-
t
i
значение процесса it )( с вероятно-
t
S процесса
i
)(1 tote
, наступит событие потока, и процесс
S в iS с вероятностью
i
)(t
с вероятностью
; вероят-
P
1
|
ii
)(t
0
3) в момент времени
0
стью
сти
1
)(t
роятность рассмотренной ситуации равна
4) в момент времени
стью
чится состояние
1()
, не наступит событие потока, и процесс
)(t
роятность ситуации есть
| ttj
,
t закончится состояние
te
j
перейдёт из состояния
0
| ttj
t
j
etot
перейдёт из состояния
tot
j
0
, и за промежуток времени длительности t закон-
j
значение процесса
t
2,1j
()
i
,
, и за промежуток времени длительно-
, наступит событие потока, и процесс
S
в
j
значение процесса
t
S
процесса
j
S
в
j
11
S
процесса
j
S с вероятностью
i
11
)(t
S с вероятностью
i
0
iiiiiiii
t )(
j
)(t
с вероятностью
P
1
0
jjijjijj
t )(
j
с вероятностью
P
0
totttPPtottt
;
с вероятно-
|
ji
с вероятно-
|
ji
)(|||)(|
; ве-
)(|||)(|
totttPPtottt
; ве-
;
0
Других возможностей не имеется.
00
0
jjijjijj
)(|||)(|
totttPPtottt
.
43
0
| tti
Относительно вероятностей
tt имеем систему равенств:
00 0 0
|| | ||
ttt tt ttt P ttt
111111111
|||(),
PP tttot
|| | ||
ttt tt ttt P ttt
222221222
В результате несложных преобразований находим
2112 0 1 2 2
00 0 0
|||().
PP tttot
11 2 1 0 2 1 1
00
||
ttt tt
11
, 2,1i , в момент времени
0
0
1| | 1 | | (),
Разделив оба соотношения на
переход при
ных уравнений относительно вероятностей
интегрируя которую, с учётом начальных условий, приходим к
(1.10). Лемма доказана.
44
PttP tttot
11111 2 1222
21222 11111
1
2
1| | 1| | ().
PttPtttot
0t , получим систему линейных дифференциаль-
0
0
00
00
||
ttt tt
22
00
11111
11111
0
1
t
и выполнив в них предельный
0
0
0
,1||
tttt
2
0
| tti
, 2,1i :
ttPttPtt
22212
0
ttPttPtt
22212
0
,||1||1|
,||1||1|
Следствие леммы 1.12. Для МАР-потока событий априорные
финальные вероятности состояний процесса
0
t
) имеют вид
)|(1
1
P
2212
PP
2
P
)|(1
1111
PP
)(t
при
t (или
,
)|(1)|(1
22121111
(1.11)
.
)|(1)|(1
22121111
Замечание 1.4. Сопровождающий случайный процесс
)(t
для
МАР-потока не совпадает с его интенсивностью, так как в состоя-
S
нии
значение интенсивности потока есть
1
состоянии
S
, соответственно,
2
P , в
P . Тогда средняя
)|(1
2102
)|(1
1201
интенсивность МАР-потока равна
Замечание 1.5. При задании вероятностей
(|)0,P
01 2
(|)1Pq МАР-поток событий вырождается в синхронный
12 2
(|) ,Pp
12 1
(|)1 ,Pp
11 1
.)|(1)|(1
PP
2210211201
(|)P
02 1
(|) ,Pq
11 2
поток.
45
Глава 2
Оптимальное оценивание состояний
дважды стохастических потоков событий
при полной наблюдаемости потоков
Во второй главе решается задача оптимального оценивания состояний дважды стохастических потоков различных типов, представленных в параграфах 1.2 – 1.5, при полной наблюдаемости потоков, то есть оптимальное оценивание состояний потока осуществляется в условиях, когда все события (моменты их наступления) доступны наблюдению.
Сопровождающий случайный процесс
является принципиально ненаблюдаемым (скрытым) марковским
процессом. Задача заключается в оценке состояний процесса
(потока) по наблюдениям за моментами наступления событий на
интервале наблюдения. В качестве решающего правила при оценке
состояний потока используется критерий максимума апостериорной
вероятности, представляющей собой наиболее полную характеристику состояний потока, которую можно получить, располагая лишь
выборкой наблюдений; критерий обеспечивает минимум полной
(безусловной) вероятности ошибки вынесения решения [18].
2.1. Рекуррентные соотношения для апостериорных
вероятностей состояний
В данном параграфе применяется методика [18] получения рекуррентных соотношений для апостериорных вероятностей состояний дважды стохастических потоков, сопровождающий случайный процесс которых
постоянный скрытый марковский случайный процесс.
)(t
представляет собой кусочно-
)(t
изучаемых потоков
)(t
46
Пусть наблюдения за потоком начинаются в момент времени
t
0t ; время
0,1,... .l
)(
l
(
Введём двумерный случайный процесс
, 2,1i );
i
меняется дискретно с шагом t: tlt
)()(tll – значение процесса
ll
)(t
в момент времени tlt
)1()(
потока, наступивших на интервале времени
tlrtlrtrr
– число событий
l)(
l
r,)( , где
tltl ,)1( дли-
,
l
l)(
тельности
дение за потоком не производится, то
вольным, например, 0
Обозначим
вестных (ненаблюдаемых) значений процесса )( tl
времени
t , ...,1,0
r . Поскольку на интервале )0,( t
l
r можем положить произ-
0
r .
0
)()1()0()(
mm
λ – последовательность неиз-
)0(
, 2,1i ); )...,,,(
i
tl , ml ,0 (
...,,,
)0(
наблю-
в момент
r –
rrr
10 mm
последовательность значений количества событий, которые пронаблюдались за время от
длительности
компонента
l)(
tlt
) не влияет на компоненту lr – число событий на интерва-
ле
t , ml ,0 . В силу конструкции процесса
)(l
(значение процесса
)(l
tltl ,)1(:
– в будущем, а lr по отношению к
0 до tm
на интервалах
)(t
в момент времени
tltl ,)1(
l
r,)(
l
)(l
– в
прошлом (рис. 2.1).
r
l
)(
l
tl)1(
Рис. 2.1. Конструкция процесса
tl
t
l
r,)(
l
47
Компонента
потока событий) может как влиять, так и не влиять на
)(l
, lr – марковские компоненты процесса
процесс
Введём
l
r,)( за один шаг t
l
l
r,)( ;
l
вероятность значений
зация
условии, что наблюдалась реализация
ная вероятность значения
реализация
r ;
m
r (в зависимости от типа дважды стохастического
l
)(l
. Пусть
l
r,)( , то есть
l
l
r,)( – марковский.
l
)1()(
l
m
w rλ ,)( – совместная вероятность значений
...,,,
m
w r|
– условная вероятность значения
r .
1m
l
,|,
l
m
)()1()0()(
mm
λ , )...,,,(
r ;
λ при условии, что наблюдалась реали-
)(
m
rrp – вероятность перехода процесса
1
l
l
из состояния
rrr
10 mm
)(m
r ;
)1(
m
при условии, что наблюдалась
m
)1(
,
r в состояние
1
l
)(
m
w rλ |
w r – услов-
– условная
m
)( m
при
)1(
m
|
1
m
Тогда в сделанных предпосылках для введённых вероятностей
)(
m
w r|
,
w r справедлива следующая теорема.
m
)1(
m
|
1
m
Теорема 2.1. Для дважды стохастических потоков событий с
двумя состояниями справедливо рекуррентное соотношение для
апостериорных вероятностей:
2
)(
m
m
w
)1(
r
|
m
1
2
)(
1
m
r
1
2
)1(
mm
1
m
m
Доказательство. В силу того, что
случайный процесс, совместная веростность
m
)1()(
r
m
m
m
)(
rrpw
m
)1()(
l
,|,|
1
r,)( – марковский
m
m
)(
rrpw
1
,|,|
m
m
w rλ ,)(
m
l
.
(2.1)
m
представляется в виде [18]:
48
mll
() (0) () (1)
wwrprr
,(,) ,|,.
λ r (2.2)
mll
Аналогично для интервала наблюдения
mll
(1) (0) () (1)
wwrprr
,(,) ,|,.
λ r
10 1
mll
m
01
1
l
1
m
tm )1(,0
запишем
1
l
С учётом (2.2) последнее равенство выпишется в виде
(1) () (1) ()
mmmm
wwprr
,,,|,.
λ r λ r (2.3)
11
mmmm
Принимая во внимание формулу для условной вероятности, перепишем (2.3) в виде
w
r
(1) () (1) ()
mmmm
λ r λ r
||,|,.
wwprr
mmmm
11
m
w
r
m
1
В последнем равенстве произведём суммирование по всем зна-
)(l
чениям
, ml ,0 , последовательностей
22
... |
(0) ( )
w
r
m
w
r
m
22
... | , | , .
(0) ( )
1
11
m
11
wprr
m
(1)
m
w
λ r
mm m
() ( 1) ()
λ r
mmm
)(m
λ ,
m
1
λ :
1
)1( m
Тогда учитывая, что
22
... | | ,
(0) ( )
22
(0) ( )
11
m
11
... | , | ,
m
2
wprr
m
()
1
(1) (1)
mm
ww
λ rr
() ( 1) ()
mmm
wprr
λ r
mmm
mm
11
1
() ( 1) ()
mm m
|,|,,
r
mmm
1
49
находим
p
w
mmmm
(1) () (1) ()
wwprr
rrr (2.4)
||,|,.
mmmm
11
r
w
m
С учётом условия нормировки
2
m
m
()
1
1
2
m
)1(
m
)1(
w r выра-
1
1|
1
m
жение (2.4) принимает вид
2
w
r
m
w
r
1
m
)(
2
mm
)1(
1
m
r
1
m
m
)1()(
m
)(
1
m
.1,|,|
rrpw
m
Определив из последнего уравнения коэффициент
ww rr в виде
1mm
1
w
r
m
w
r
m
1
2
)(
1
2
mm
)1(
m
r
1
m
m
)1()(
m
m
1
)(
,|,|
rrpw
m
и подставив
ww rr в (2.4), приходим к (2.1). Теорема до-
1mm
казана.
Следствие теоремы 2.1. В связи с тем, что
(1) () (1) ()
mm mm
,|, |,
rrp r
1
mm m
pr r
() ( 1)
mm
|,,
,
1
mm
рекуррентное соотношение (2.1) принимает вид
(1)
m
w
2
m
()
() ( 1) () () ( 1)
mmm mm
wp rprr
1
||,|,,
r
() ( 1)
mmmm
22
mm
11
wp r
pr r
1
mm
|
r
1
m
() ( 1) ()
mmm
||,
r
mm
() ( 1)
mm
|,, .
1
1
(2.5)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]