Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие
.pdf
ность
T
.
.
p1–p1–p
p
p
p
p
t
etF
1)( ,
, то сумма nnS
0t
tg
)(
n
...
21
n
1
t
)(
n
t
e
,
.
0t
)!1(
имеет плот-
Число слагаемых n в сумме
S
...
является пара-
21
nn
метром, который рандомизируется с помощью распределения ве-
pnNP
роятностей
со случайным числом слагаемых
плотность распределения вероятностей случайной величины
длительности участка стационарности )(t в состоянии
Покажем, что }{
n
)1(
n
ppp .
Рассмотрим одну из реализаций процесса )(t
}{. Плотность результирующей суммы NS
n
есть
N
p имеет геометрическое распределение
n
1
1
1
n
(рис. 1.4).
S .
1
tgptp –
nn
)()(
)1(
–
1–
..
S
1
qq
S
2
...
Рис. 1.4. Одна из реализаций процесса )(t и синхронного потока событий
t
t
1
2
t4t
t
3
t
5
t7t
6
8
..
...
t
9
t
1) Вероятность одного интервала стационарности есть
(рис. 1.3 (а));
2) вероятность участка стационарности, представляющего со-
бой сумму двух независимых одинаково распределённых интервалов, есть )1( pp (рис. 1.3 (б));
21
3) вероятность участка стационарности, представляющего со-
T
T
бой сумму трёх независимых одинаково распределённых интервалов, есть
2
)1( pp (рис. 1.3 (в));
…
n) вероятность участка стационарности, состоящего из суммы
1
n интервалов, равна
n
n
)1(
ppp – геометрическое распреде-
ление.
Тогда
n
1
)1(
tp
1
)!1(
1
n
Итак,
личины
)(t в состоянии
)1(
имеет вид
n
1
1
)1(
– длительности участка стационарности процесса
n
1
)1()(
pptp
1
)(
eptp
– плотность вероятности случайной ве-
11
S . Функция распределения случайной величины
1
)(
t
1
n
1
tp
1
t
)!1(
)1(
t
11
epe
1
n
tptpt
111
.
epeep
1
n
1
(1) (1)
() { } ( ) 1 , 0.
FtPT t p d e t
11
Проводя аналогичные рассуждения для состояния
t
0
pt
1
S процесса
2
)(t , находим функцию распределения длительности участка ста-
(2)
() 1 , 0.
ционарности в виде
Ft e t
2
Таким образом, поведение случайного процесса )(t
произвольного момента времени
qt
2
~
t
не зависит от предыстории в
после
силу экспоненциального распределения длительности участка стационарности в состоянии
процесса )(t в момент времени
S , 2,1, ji (будем далее полагать возможность )(t
на
j
S , 2,1i , а зависит лишь от значения
i
~
t
. Момент смены состояния iS
остаться
22
-м состоянии как переход из i-го состояния в i-е состояние,
в
i
~
t
2,1i ), после
определяется моментом окончания i-го состоя-
ния процесса )(t . Лемма доказана.
Лемма 1.5. Моменты наступления событий ...,...,,,
синхронном потоке порождают вложенную цепь Маркова
21 k
ttt в
)(kt
.
Доказательство. Синхронный поток событий, функциони-
рующий в стационарном режиме, обладает свойствами стационарности и ординарности, однако является потоком с последей-
ствием. Покажем, что поведение потока после момента
t
k
наступления события не зависит от предыстории, а определяется
тем, какое значение процесс )(t
t , ...,2,1k , то есть состоянием iS , 2,1i , процесса )(t. От-
k
принимает в момент времени
метим следующее:
1. В момент времени
t значение процесса ikt
k
процесс находится в состоянии
процесса )(t в состоянии
событий с параметром
S имеет место пуассоновский поток
, 2,1i , обладающий свойством отсут-
i
S . В течение времени пребывания
i
i
)(, то есть
ствия последействия.
)(t
2. Длительность участка стационарности процесса
в пер-
вом состоянии является случайной величиной, распределённой по
(1)
() 1 , 0,
экспоненциальному закону
состоянии – по закону
Ft e t
1
(2)
() 1 , 0.
Ft e t
2
Следовательно,
оставшаяся часть длительности пребывания процесса
pt
1
во втором
qt
2
)(t
как в
первом, так и во втором состоянии после момента
от того, как долго процесс
t , ...,2,1
момента времени
k
k
3. Следующий за моментом
из
-го состояния в j-е, 2,1,ji , совпадает с моментом
i
)(t
находился в этом состоянии до
t момент перехода процесса
k
t , не зависит
k
)(t
t
1k
23
наступления очередного события пуассоновского потока с пара-
p
p
метром
та
и, тем более, не зависит от поведения потока до момен-
i
t , ...,2,1k
k
Таким образом, синхронный поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с момента времени
t
наступления события потока. Лемма доказана.
Выпишем инфинитезимальные характеристики процесса
)(t
Для этого рассмотрим возможные ситуации, которые могут про-
ttt ,
изойти на полуинтервале
1) за время
раметром
с вероятностью )(
t
наступит событие пуассоновского потока с па-
1
. Пусть 1)(
1
наступления события с вероятностью p1 процесс
t . Тогда:
t
11
totte
и в момент
)(t
перейдёт
k
.
из состояния
ации равна
2) за время
раметром
наступления события с вероятностью
S в состояние 1S (останется в 1S ); вероятность ситу-
1
(1 ) ( )
с вероятностью )(
1
tot )()1(
1
t
наступит событие пуассоновского потока с па-
1
t
1
процесс
totp
;
totte
11
и в момент
)(t
перейдёт из
первого состояния во второе; вероятность описанной ситуации
totp
равна )(
3) за время
параметром
)(t
с вероятностью, равной нулю, перейдёт из первого состояния
;
1
t
не наступит событие пуассоновского потока с
с вероятностью )(1
1
t
1
1
tote
и процесс
во второе; вероятность описанной ситуации равна нулю;
4) за время
параметром
)(t
с вероятностью, равной единице, останется в первом состоя-
нии; вероятность этой ситуации есть )(1
t
не наступит событие пуассоновского потока с
t
с вероятностью )(1
1
1
.
1
tote
1
tot
и процесс
24
Других возможных ситуаций, когда значение процесса
)( t , не существует. С учётом (1.1) рассмотрим следующие,
1
соответствующие случаям 1)–4), пределы:
)()1(
)1(
lim
1)
d
11
t
рехода процесса
1
0
t
)(t
из состояния 1S в состояние 1S , связанного с
totp
)1(
p
– интенсивность пе-
1
наступлением события потока;
)(
2)
d
процесса
)1(
lim
12
t
0
)(t
из состояния 1S в состояние 2S , связанного с
1
totp
p
– интенсивность перехода
t
1
наступлением события потока;
)0(
d
3)
12
состояния
0
lim
t
S в состояние 2S , не связанного с наступлением собы-
1
0
0
– интенсивность перехода процесса
t
тия потока;
1)(1
4)
d
11
процесса
Пусть
5) за время
раметром
)0(
lim
t
)(t
из состояния 1S , взятая с противоположным знаком.
)( t . Тогда имеем:
с вероятностью )(
2
1
0
2
t
наступит событие пуассоновского потока с па-
наступления события потока процесс
tot
t
– интенсивность выхода
1
t
2
22
)(t
с вероятностью q
totte
и в момент
)(t
из
1
перейдёт из
этой ситуации есть
6) за время
раметром
наступления события процесс
S в 2S (останется во втором состоянии); вероятность
2
)()1()()1(
totqtotq
22
t
наступит событие пуассоновского потока с па-
t
с вероятностью )(
2
2
)(t
с вероятностью q перейдёт из
22
;
totte
и в момент
второго состояния в первое; вероятность описанной ситуации есть
totq ;
2
)(
25
t
7) за время
параметром
)(t
с вероятностью, равной нулю, перейдёт из второго состояния
не наступит событие пуассоновского потока с
t
с вероятностью )(1
2
2
2
tote
и процесс
в первое; вероятность рассмотренной ситуации равна нулю;
8) за время
параметром
)(t
с вероятностью, равной единице, останется во втором состоя-
t
не наступит событие пуассоновского потока с
t
с вероятностью )(1
2
2
2
tote
и процесс
нии; вероятность этой ситуации есть )(1
Других возможных ситуаций в состоянии
.
2
tot
S не существует.
2
С учётом (1.1) рассмотрим соответствующие ситуациям 5)–8) пределы:
)()1(
)1(
lim
d
5)
22
t
рехода процесса
2
0
t
)(t
из состояния 2S в 2S , связанного с наступ-
totq
)1(
q
– интенсивность пе-
2
лением события потока;
)(
d
6)
процесса
)1(
lim
21
t
)(t
2
0
из состояния 2S в 1S , связанного с наступлением
totq
q
– интенсивность перехода
t
2
события потока;
)0(
d
7)
21
состояния
8)
d
22
процесса
)0(
0
lim
t
S в 1S , не связанного с наступлением события потока;
2
lim
t
)(t
из состояния 2S , взятая с противоположным знаком.
0
0
0
– интенсивность перехода процесса
t
1)(1
2
tot
t
– интенсивность выхода
2
)(t
из
При этом справедливы равенства
2
1
j
2
)0(
j
1
)1(
j
1
1
j
0)1(
ppdd
,
111
2
j
1
2
)0(
j
2
)1(
j
2
j
1
0)1(
qqdd
.
222
26
Матрицы инфинитезимальных характеристик
t
)1(
dD , 2,1,ji , процесса
1 ij
)(t
принимают вид
dD и
0 ij
)0(
0
0
1
D ,
0
2
D . (1.5)
1
)1(
Содержательный смысл элементов матриц
pp
11
qq
)1(
22
D и 1D описан в па-
0
раграфе 1.2 (формулы 1.2) для асинхронного потока.
0
Обозначим
времени
значение процесса it
функционирование синхронного потока (процесса
момент времени
| tti априорную вероятность того, что в момент
)(, 2,1i , при условии, что
)(t
0
t .
Лемма 1.6. Априорные вероятности состояний процесса
для синхронного потока событий имеют вид
q
tt
1
20
qp
21
q
2
qp
e
21
21
p
10
|
tt
2
qp
21
с начальными условиями в момент времени
00
tt .
2
1|
q
2
qp
e
21
0
t :
21
Доказательство. Определим вероятность
)(t
что процесс
то есть имеет место состояние
)(t
. Опишем возможные ситуации на полуинтервале
связанные с поведением процесса
в момент времени tt принимает значение
S , 2,1i , случайного процесса
i
)(t
:
) началось в
0
ttqp
,|
(1.6)
0
ttqp
00
| tt ,
1
0
| ttti того,
i
),[ ttt
)(t
,
,
1) в момент времени
0
стью
| tt , и на
1
значение процесса 1)( t с вероятно-
t
),[ ttt
не наступит событие пуассоновского
27
потока с параметром
с вероятностью )(1
1
с вероятностью единица процесс )(t
вероятность этой ситуации равна
t
1
1
tote
, и
останется в состоянии 1S ;
0
1
2) в момент времени
0
стью
| tt , и на
1
потока с параметром
значение процесса 1)( t с вероятно-
t
),[ ttt
наступит событие пуассоновского
с вероятностью )(
1
0
11
в момент наступления события процесс
S в состояние 1S с вероятностью p1; вероятность рассмот-
ния
1
0
11
t
1
11
)(t
перейдет из состоя-
ренной ситуации есть
0
1
3) в момент времени
0
стью
| tt , и на
2
потока с параметром
значение процесса 2)( t с вероятно-
t
),[ ttt
наступит событие пуассоновского
с вероятностью )(
2
и в момент наступления события потока процесс
состояния
S в состояние 1S с вероятностью q ; вероятность опи-
2
0
111
t
2
22
)(t
перейдёт из
санной ситуации равна
0
2
0
222
)(|)(|
totttqtotttq ;
)(||)(1|
tottttttottt ;
)(|)1()(|)1(
totttptotttp ;
totte
, и
totte
,
4) в момент времени
0
стью
| tt , и на
2
потока с параметром
)(t
процесс
с вероятностью единица останется в состоянии 2S ;
значение процесса 2)( t с вероятно-
t
),[ ttt
не наступит событие пуассоновского
t
с вероятностью )(1
2
2
2
tote
, и
вероятность этой ситуации равна
0
2
0
22
0
22
)(||)(1|
tottttttottt ;
28
5) в момент времени
p
0
стью
| tt , и на
2
потока с параметром
значение процесса 2)( t с вероятно-
t
),[ ttt
наступит событие пуассоновского
с вероятностью )(
2
и в момент наступления события процесс
t
2
)(t
перейдёт из состоя-
22
totte
,
S в 2S с вероятностью q
ния
2
0
2
6) в момент времени
0
стью
потока с параметром
| tt , и на
1
с вероятностью )(
в момент наступления события процесс
S в состояние 2S с вероятностью p; вероятность рассмот-
ния
1
1; вероятность ситуации есть
0
222
значение процесса 1)( t с вероятно-
t
),[ ttt
наступит событие пуассоновского
t
1
1
)(t
перейдет из состоя-
totttqtotttq ;
11
ренной ситуации равна
0
1
0
111
)(|)(|
totttptotttp .
Других возможностей не имеется.
Описанные случаи позволяют выписать соотношения относи-
тельно
0
| tt и
1
1111
(1 ) | | ( ) ,
ttt tt ttt
2222
(1 ) | | ( ).
qtttptttot
0
| tt в момент tt :
2
ttt tt ttt
00 0
|| |
00
tt t q tt t o t
11 2 2
00 0
|| |
00
22 11
)(|)1()(|)1(
totte
, и
Выполнив несложные преобразования, получаем
1
2
0
0
0
1
0
2
0
11
0
11
0
22
0
22
),(||||
totttqttpttttt
).(||||
totttqttpttttt
29
Разделив левые и правые части последних равенств на
0
реходя к пределу при
t , получим систему линейных диффе-
ренциальных уравнений относительно вероятностей
2,1i :
t
и пе-
| tti ,
0
0
1
0
2
0
11
0
11
0
22
1
0
,|||
ttqttptt
22
0
ttttttqttptt
2
0
,1||;|||
решая которую, с учётом начальных условий, приходим к (1.6).
Лемма доказана.
Следствие леммы 1.6. Для синхронного потока событий апри-
орные финальные вероятности состояний процесса )(t
t (или
Замечание 1.2. Сопровождающий процесс )(t
0
t
) имеют вид
1
q
2
qp
2
21
p
1
.,
(1.7)
qp
21
для синхронно-
при
го потока можно трактовать как интенсивность потока, поскольку
в состоянии
S
нии
2
S
значение интенсивности потока есть 1 , в состоя-
1
, соответственно, 2 . Тогда средняя интенсивность син-
хронного потока равна
q
1
2
qp
21
p
1
.
2
qp
21
1.4. Полусинхронный поток
Изучается поток событий, сопровождающий случайный про-
цесс которого
S
ниями
и
1
30
)(t
является кусочно-постоянным с двумя состоя-
S
; если it
2
)(, то имеет место i-е состояние (iS )
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]