Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
ный асинхронный; при этом в обобщённом полусинхронном пото-

ке дополнительное событие инициируется с вероятностью
, в то
время как в обобщённом асинхронном дополнительное событие инициируется с вероятностью
q в момент перехода процесса ()t
из состояния
Рассмотрим переходную вероятность
pr r
 в (2.6).

1
mm
S в 1S .
2
() ( 1)
mm
|,,
(1) ()
mm
pr
|,

m
Утверждение 3.3 (вытекает из утверждения 2.3 для синхронно-
го потока и утверждений 3.1, 3.2 для обобщённого асинхронного потока). При переходе на интервале (,(1))mt m t
()1m
из состояния
вероятность
S
1
(1) () () (1)
prprr
   выпишется в
 в состояние
mm m m

|, |,,
mm m
 процесса ()t
S , 1,2i
i
1
, переходная
виде
(1) () () (1)
mm m m

prprr

При переходе на интервале (,(1))mt m t
состояния
ятность
prprr

|, |,,
 

(1) () () (1)
mm m m
ppr
  

111
mm m
||,.
11 1
m
 процесса ()t
()2m
S
2
(1) () () (1)
mm m m
   выпишется в виде
 в состояние


|, |,,
mm m
1
S , 1,2i
i
, переходная веро-
из
(1) () () (1)
mm m m

prprr

ppr d
  
dm
При этом, как следует из утверждения 3.1, если
а) при переходе процесса ()t дополнительное событие не инициируется с вероятностью (1 )
|, |,,
 

(1) () () (1)
mm m m

||,,0;1.
212
mm m
21 2
, то:
0d
из состояния 2S в состояние 1S
 ,
161
б) условная вероятность перехода процесса ()t
(1) ()
mm
S в состояние 2S равна
2
p
022
|
   (дополнитель-
из состояния
ное событие не инициируется по определению);
если
а) при переходе процесса ()t тельное событие инициируется с вероятностью
б) условная вероятность перехода процесса ()t в
S с инициированием дополнительного события по определению
2
равна
p. Утверждение доказано.
, то:
1d
из состояния 2S в 1S дополни-
(1) ()
mm
122
|0
,
из состояния 2S
Принимая во внимание утверждение 3.3, запишем рекуррентное
()|m
соотношение (2.6) для апостериорных вероятностей
(1)
m
wt+t
|
 состояний обобщённого полусинхронного потока
wt ,
в виде
(1)
m
|

mm

1

1
(3.26)
,
2
m


mm
 
1

22


11
wtt
() ( 1) () () ()
mmm mm
wtp pr I
1
|||,
 

wtp pr I
mm
() ( 1) () () ()
mmm mm
|||,
 
  
(1) ()
mm
(1) ()
mm
p

m
|

()
I


 
 
m
0, если .
p
pd
d
(1) ()
mm
|,

(1) ()
mm
|,0;1;


, если ,


()
m
1
2
1
2
162
Следует напомнить, что рассматривается временной интервал
(, )tt t
 , расположенный на участках наблюдаемости потока
,tt и

01

за потоком; наблюдаемого потока; го времени фиксированной длительности
тием, наступившим в момент времени наступления очередного события потока, 1, 2,...k что наступившие в моменты времени как событиями пуассоновских потоков с параметрами
,
tTt
, где
kk
1
t – момент времени наступления первого события
1
t – момент времени начала наблюдения
0
tT – момент окончания периода мёртво-
k
T , порожденного собы-
t ; 1kt – момент времени
k
. Подчеркнём,
,,
tt t события могут быть
11
kk
либо
1
2
так и дополнительными событиями. Таким образом, полагается, что на интервале (, )tt t
(3.26) положим
нет событий потока. Следовательно, в
и
10mr
.
0d
Зададим (аналогично полусинхронному потоку, подпараграф
2.4.1) в (3.26), за исключением знаменателя, значение
(1)
m
.
Лемма 3.11. Поведение апостериорной вероятности
1
|wt
1
для обобщённого полусинхронного потока на начальном интерва­ле наблюдения
,tt и на интервалах
01
,
tTt
, 1,2,...k
kk
1
определяется дифференциальным уравнением
,
,
|
dw t
Доказательство. Поскольку в первом состоянии процесса ()t
1
dt
      

 

12 2 2 1
12 2 1 2
wt
2|
wt
2
|(1).
(3.27)
обобщённый полусинхронный поток ведёт себя как синхронный поток, то на основании леммы 2.6 переходные вероятности в (3.26) выпишутся в виде
163

(1) () () (1)
p


mm mm

ppr
      

retot

111 1
m
(1) () () (1)
mm mm

     
ppr

|0|,
111 1 1
(1) ()
0, | 1 ( ),
m
tmm
 
1
(3.28)
|0|,
211 1 2

pr

0, | 0.
121
m
m
(1) ()
mm
Во втором состоянии процесса ()t
исследуемый поток ведёт
себя как обобщённый асинхронный поток. Тогда с учётом формул (3.4) и (3.5) (с заменой
q на
) переходные вероятности в (3.26)
равны
(1) () ()
mm m
ppr
(1 ) ( ) 1 ( ) (1 ) ( ),
   

ppr
1()1()1 ().
  

    

0121 2
tot tot tot
22 2
(1) () ()
mm m
   

0221 2
tot tot tot
22 22
|0|
|0|
m
m
(3.29)
С учётом введённых обозначений и в результате подстановки (3.28), (3.29) в формулу (3.26) её числитель
A и знаменатель B
приобретают вид
Aw t w t w t tot
    
где
wtw t, 1, 2i

||(1)|(),
111 22

1| |(),
Bwt wttot
    
||
ii
 
11 2 2 2

m
.
(3.30)
Подставляя (3.30) в (3.26), учитывая при этом, что
1
1| |(),Bwt wttot
    
(с точностью до членов ()ot
    
(1 ) | | | ( ) .
11 2 2 2

) равенство (3.26) в виде
2
    
||||
wttwt w t wt
  
111111
wt wtwttot
 
22 2 2 1 2
 
получаем
164
Разделив левую и правую части последнего равенства на


переходя к пределу при
|1 |wt wt, находим 3.27. Лемма доказана.
21
, с учётом того, что
0t
Рассмотрим два случая задания параметров обобщённого полу­синхронного потока событий.
I.
Общий случай: в уравнении (3.27) коэффициент
12 2
0a     .
В явном виде апостериорная вероятность
|1 |wt wt , принимающая в момент окончания мёрт-
21
1
и
t
|wt
вого времени
tT значение
k
wtT
1|k
, 1, 2,...k
, определяет-
ся следующей леммой.
Лемма 3.12. На временных интервалах между моментами
окончания периода мёртвого времени
наступления очередного события наблюдаемого потока апо-
1kt
стериорная вероятность
|wt как функция времени определя-
1
tT и моментом времени
k
ется соотношениями
1|
wtT
 
1
|1 ,
wt


если
1
12 2
w t w w tT ww tT


11 |
wtT ttT
    
 
1122

kk
0   ;
|1| |
11 1
   

12 2

ewtT

 
ww t T e

 
kk
tt T

k
|,

1
k
(1 )w
     ,
212 2
k
  


1|

1

   

12 2
k
1
tt T

k
(3.32)
(3.31)
если
12 2
0   ;
165
tTtt


 , 1,2,...k
|wt .
1
1kk
;
wtT
– начальное условие для
1|k
Доказательство. В уравнении Риккати (3.27) коэффициенты
постоянны, поэтому оно интегрируется в квадратурах. В (3.27) обозначим
a    ,
12 2
12 2 2
2b    ,
(1 )c
  ,
2
разделяем переменные и интегрируем с учётом того, что в момент окончания периода мёртвого времени
орная вероятность
|
wt
1
w , 2w – корни уравнения
где
1

aw t w w t w
|

wtT tT

kk
1
|wt принимает значение
1
|
dw t

1
||
  
 
111 2

2
tT, 1, 2,...k
k
wtT
||0aw t bw t c
. Опре-
11
, апостери-
1|k
t
, (3.33)
dt
:
деляем

D    

w
1,2
12 2 2 12 2 2
12 2 2
2


2
24 (1)
   

12 2
2
12 2
2
В зависимости от значения параметров потока
2
ние ных корня:
||0aw t bw t c имеет два различных действитель-
11
w , 2w
1
ww или два одинаковых корня
12
D
,
.
.
,,
 уравне-
12 2
ww,
12
что, в свою очередь, приводит к двум различным решениям уравне­ния (3.33) относительно апостериорной вероятности
1
|wt .
Возможны случаи:
Если
1.
 

12 2 2

2


12 2
   (0)D= , тогда
12 2
2
0
и уравнение (3.33) принимает вид
1,
ww
12
166
|
wt
1
|

wtT tT

aw t
 
kk
1

|
dw t

1
|1

1
t
,
dt
2
откуда находим
|
wt

aw t
1
 
|1

1

1
tt T

wtT

|

k
1
.
k
В результате несложных преобразований в последнем уравне-
a
нии и с учётом обозначения
2.
Если
12 2
 приходим к (3.31).
12 2
0   (0)D
, тогда
w

1
Обозначим
 

12 2 2 12 2
        

w

2
ww и запишем (3.33) в виде
|
wt
1

|

wtT tT

kk
1
2
2
  

12 2 12 2
12 2 2 12 2
1
aw t w w t
  
 

2
2


12 2
|
dw t

1
||1
11
(1 )
 

1.
t
dt
2
,
,
откуда следует
|
wt
|
wtw
 
1
(1 )
aw

1

ln
|1
wt
 

1

1
tt T


|
wtT


k
1
.
k
Потенцируя последнее уравнение, выполняя в нём необходи­мые преобразования и принимая во внимание, что
(1 )aw, приходим к (3.32). Лемма доказана.
12 2
167
Замечание 3.12. На начальном интервале наблюдения за пото-

ком функции времени задаётся формулой (3.31) при
начальное условие времени
или по формуле (3.32) на интервалах наблюдаемости потока
tTt
ния начального условия
ности
бытие обобщённого полусинхронного потока имеет место только в граничной точке
потока недоступны для наблюдения. Будем считать, что апостери­орная вероятность
,tt поведение апостериорной вероятности

01
12 2
12 2
Расчёт апостериорной вероятности
,
, 1,2,...k
kk
|wt в момент окончания периода мёртвого времени длитель-
1
T .
Рассмотрим полуинтервал
0   , либо формулой (3.32) при 0   . В обоих случаях задания параметров потока
|wtT
заменяется на
10
tT заменяется на момент 0t .
0
1
3.3.3. Апостериорная вероятность
, согласно лемме 3.12, невозможен без зна-
wtT
в условиях мёртвого времени
t ; на самом полуинтервале события исходного
k
|wt в граничной точке
1
– значения вероятности
1|k
tt T
kk
,
, 1, 2,...k
|wt по формуле (3.31)
1
t известна и равна
|wt , момент
10
, на котором со-
k
|wt как
1
, если
0k
, если
0k
wt
Лемма 3.13. Поведение апостериорной вероятности
для обобщённого полусинхронного потока событий на временных участках ненаблюдаемости
лой
168
1|k
|1 |
wt wt, 1,2,...k  .
21
kk
,
tt T
kk
определяется явной форму-
1
|wt
12
p
tt
k
(3.34)
 
|| ,
wt wt e

11 1 1



k
 
tttT  , 1, 2,...k
kk
леммы 3.9;
Доказательство. На временных полуинтервалах
wt – начальное условие для
1|k
;
определена в (1.9) согласно следствию
1
|wt .
1
,
tt T
kk
, то
есть в течение периода мёртвого времени, обобщённый полусин­хронный поток событий является недоступным для наблюдения.
,
Поэтому на
|wt является идентичным поведению априорной вероятности
1
0
|tt первого состояния сопровождающего случайного про-
1
цесса ()t ния
(лемма 3.9); отличие лишь в задании начального значе-
1
tt T
kk
|wt в момент времени
поведение апостериорной вероятности
t наступления события наблюда-
k
емого потока.
|
Пусть времени логично мент времени
()t
; моменты времени
на) принадлежат полуинтервалу
Опишем возможные ситуации на полуинтервале
wt – апостериорная вероятность того, что в момент
i
имеет место состояние iS , 1,2i , процесса ()t; ана-
t
|
wtt – апостериорная вероятность того, что в мо-
i
имеет место состояние iS , 1,2i
tt
t, tt
(
t
,
tt T , 1, 2,...k
kk
– достаточно малая величи-
, процесса
.
,tt t , свя-
занные с поведением процесса ()t
на полуинтервале ненаблюда-
емости:
1)
в момент времени
стью
|wt , и за промежуток времени длительности
1
наступит событие пуассоновского потока с параметром
t
 
1
ятностью
etot
1()
   , и с вероятностью единица про-
значение процесса 1()t
t
1
 с вероятно-
не
t
с веро-
1
169
цесс ()t

p

p


останется в состоянии
ции равна
| 1 () | | ()wt totwt wttot      ;
11 111
2)
в момент времени
S ; вероятность описанной ситуа-
1
значение процесса 1()t
t
 с вероятно-
стью
ятностью ского потока с параметром
|wt , и за промежуток времени длительности
1
t
 
1
te t o t
    наступит событие пуассонов-
11
()
, и в момент времени наступления
1
события пуассоновского потока процесс ()t ния
S в состояние 1S с вероятностью (1 )
1
перейдёт из состоя-
; вероятность этой
с веро-
t
ситуации равна
(1 ) | ( ) (1 ) | ( )
wt tot pwttot;
11 11
3)
в момент времени
стью
|wt , и за промежуток времени длительности
2
чится второе состояние процесса ()t
t
 
2
1()
etot
, и процесс ()t

2
значение процесса 2()t
t
с вероятностью единица
 с вероятно-
закон-
t
с вероятностью
перейдёт из второго состояния в первое; вероятность рассмотрен­ной ситуации равна
4)
в момент времени
стью
кончится второе состояние процесса ()t
t
 
2
etot
1()
 ; вероятность данной ситуации есть
|()|()wt tot wttot;
22 22
значение процесса 2()t
t
|wt , и за промежуток времени длительности
2
 с вероятно-
с вероятностью
2
не за-
t
5)
стью
| 1 () | | ()wt totwt wttot      ;
22 222
в момент времени
|wt , и за промежуток времени длительности
1
значение процесса 1()t
t
 с вероятно-
с вероят-
t
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности