Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

































































по формуле (3.38) в случае

формуле (3.41) в случае вероятность

по формуле пересчёта (3.35), с учётом пункта 3), для

|wt в момент времени



12 2

рассчитывается вероятность значением для

в любой момент времени

|wt в формуле (3.39);

производится расчёт вероятности

по формуле (3.39) для

   ,

12 2

   ,

t :

|0wt , являющаяся начальным

tttT

, по формуле (3.39)

|wt ;

в момент времени 1tt T



11 11

||0wtwt



, либо по

, вычисляется

 ;

 вы-

числяется вероятность значением для

для

01 01

tTtt, где 2t – момент времени наступления второго собы-

, либо по формуле (3.32) в случае , вычисляется

|wt на следующем шаге алгоритма;

по формуле (3.31) в случае

1k 

|wttT

 , являющаяся начальным

   ,

12 2

   ,

12 2

|wt в любой момент времени

тия наблюдаемого потока;

увеличивается на единицу и для

случае

12 2

для

12 2

0   ,

алгоритм переходит на шаг 4, затем шаги 4 – 8 повторяются

и так далее.

2k 

0   ,

, вычисляется вероятность



, либо по формуле (3.42) в случае



При расчёте апостериорных вероятностей

|1 |wt wt в произвольный момент времени



по формуле (3.40) в

|0wt ;

прини-

|wt ,

мается решение о состоянии процесса ()t по методу максимума апостериорной вероятности.

Для особого случая задания параметров потока, когда в уравне-

нии (3.27) коэффициент

12 2

0a , алгоритм оптималь-

181

ной оценки состояний обобщённого полусинхронного потока со-



бытий при наличии непродлевающегося мёртвого времени фиксированной длительности ритму оценивания для общего случая

T аналогичен изложенному выше алго-

12 2

0a     и реали-

зуется на основании формул (1.9), (3.39), (3.43) – (3.47).

3.4. Оптимальная оценка состояний MAP-потока, функционирующего в условиях

непродлевающегося мёртвого времени

Исследуется MAP-поток событий, описание которого приводится в параграфе 1.5. MAP-поток функционирует в условиях непродлевающегося мёртвого времени фиксированной длительности

T [17]. На рис. 3.3 представлена схема формирования наблюдае-

мого потока событий при непродлевающемся мёртвом времени, подробно описанная в 3.2.1 для обобщённого асинхронного потока и в 3.3.1 для обобщённого полусинхронного потока событий.

)

P1(

)

2)



(

P1(

2|



)



(

)



(

)



(



Процесс

МАР-поток

TTT

(t

)



Схема создания мёртвого времени



Наблюдаемый поток событий



Рис. 3.3. Формирование наблюдаемого потока событий

182

Требуется по наблюдениям

































процесса ()t (потока) в момент окончания наблюдений.

Решение о состоянии процесса ()t максимума апостериорной вероятности на основании сравнения вероятностей

оценка состояния процесса

Следует напомнить, что задача об оптимальном оценивании состояний MAP-потока событий в условиях отсутствия мёртвого времени (то есть при полной наблюдаемости потока) решена в параграфе 2.5 главы 2. Однако наличие периодов мёртвого времени, порождаемых зарегистрированными в моменты времени

1, 2,....k  , событиями, приводит к необходимости нахождения яв-

|wt и

, ,..., ,...

tt t оценить состояние

|wt : если

()t

 , иначе

выносится по критерию

||wtw t , то

()t

 .

t ,

ного вида апостериорной вероятности случайного процесса ()t

потока событий;

3.4.1. Апостериорная вероятность на участках ненаблюдаемости потока

Исходные предпосылки для вывода апостериорной вероятности

|wt на интервале наблюдения



наблюдения за MAP-потоком, состоянии MAP-потока, функционирующего в условиях непродлевающегося мёртвого времени фиксированной длительности аналогичны рассмотренным в 3.2.2 для обобщённого асинхронного потока событий.

Будем рассматривать полуинтервал

котором события MAP-потока недоступны для наблюдения; событие имеет место лишь в граничной точке

на участках ненаблюдаемости MAP-

|1 |wt wt.

– момент вынесения решения о

|wt первого состояния

,tt, где



t – момент начала

tt T

t . Предположим, что в



, 1, 2,...k

T ,

, на

183

граничной точке















































































t апостериорная вероятность

|wt известна

и равна

потока событий на временных полуинтервалах явной формулой

tttT  , 1, 2,...k

событий недоступен для наблюдения. В этой связи апостериорная вероятность

априорная вероятность

постоянного случайного процесса ()t ключается в задании начального значения апостериорной вероятности

сти того, что в моменты времени лая величина) соответственно процесс ()t находится в состоянии

wt



1|k

Лемма 3.15. Апостериорная вероятность

||0,

wt wt e





11 1 1

1, 2, .. .k  ;

1|P     

2122



Доказательство. На полуинтервалах

Обозначим

 определена в (1.11);



|wt на указанных полуинтервалах ведёт себя как



|wt в момент времени



wt ,

|1 |

wt wt .

|wt для MAP-

tt T

dt t









;

wt определена формулой (2.50),

wtt

|tt первого состояния кусочно-

(лемма 1.12); отличие за-

t наблюдения событий потока.

 – апостериорные вероятно-



tt (t

(3.48)

1|dP

   

1111

tt T

MAP-поток



– достаточно ма-

задаётся





S , 1, 2i  ; моменты времени t и

1, 2, .. .k  .

Опишем возможные ситуации на полуинтервале

занные с поведение процесса ()t вале ненаблюдаемости потока

184

на рассматриваемом полуинтер-

tt T

принадлежат





tt T

,tt t , свя-





















































в момент времени

значение процесса ()it с вероятно-

стью кончится состояние

 

etot

останется в состоянии

wt , и за промежуток времени длительности



S процесса ()t с вероятностью

1()

  , и с вероятностью единица процесс ()t

S , 1, 2i

; вероятность описанной ситуации

равна

стью чится состояние



перейдёт из состояния



ii iii

в момент времени

wt , и за промежуток времени длительности



 

1()

etot

, наступит событие потока и процесс ()t

значение процесса ()it с вероятно-

S процесса ()t с вероятностью

S в iS с вероятностью

 , 1, 2i

1|ii

| 1 () | | ()

wt totwt wttot      ;

вероятность этой ситуации есть

|()| ||()

wt totP P wttot ;



ii iiiiii

в момент времени

wt , 1,2j

стью

закончится состояние

 

1()



etot



значение процесса ()

t с вероятно-

, и за промежуток времени длительности

S процесса ()t

с вероятностью

, наступит событие потока и процесс

не за-

закон-

;

()t

 перейдёт из состояния

p ; вероятность рассмотренной ситуации равна



1|ij

|()| ||()

wt totP P wttot ;

jj ijjijj

в момент времени

wt , и за промежуток времени длительности

стью

S в

S , 1, 2i  ,

значение процесса ()

, с вероятностью

t с вероятно-

закон-

185

чится состояние



































 

1()



 перейдёт из состояния

,1,2ij

wt totP P wttot .

мени

wttwt wttP wtt

etot



()t

 ,

|()| ||()

jj ijjijj

Других возможных ситуаций нет. Относительно вероятностей

tt

||| ||

w t t w t w tt P w tt

     



111111111

||| ||

     



222221222

В результате несложных преобразований находим

i ; вероятность ситуации есть

имеем систему равенств:

PPwttot

           

211 2 01 2 2



PPwttot

           

1121 021 1



S процесса ()t

, не наступит событие потока и процесс

S в

S с вероятностью

|wt ,

|||(),



|||().



с вероятностью

0|ij

|wt в момент вре-

 ,



||1||

wttwt P wt

  

 

1111111

1| | (),

         

||1||

wttwt P wt

  

 

2221222

         

Разделив оба соотношения на переход при альных уравнений относительно апостериорных вероятностей

wt состояний



блюдаемости потока

186

Pwttot

2122 2

1111 1





1| | ().

Pwttot





, приходим к системе линейных дифференци-

0t

S , 1, 2i

tt T











и выполнив в них предельный

, процесса ()t на участках нена-







































|1| |1| |,

wt P wt P wt

          



11111121222



|1| |1 | |,

wt P wt P wt

  

    

21111121222

С учётом условия нормировки полученная система сводится к одному дифференциальному уравнению относительно

  

||1.

wtw t

 



|wt :

dw t

с начальным условием грируя последнее уравнение с разделяющимися переменными и учитывая, что

2122



где

Принимая во внимание замечание 2.7, согласно которому в точке

бытий терпит разрыв первого рода, запишем начальное условие в виде

ражение для





1|P     





|wt первого состояния процесса ()t в явном виде:

1| 1 |dP P          

1111 2122

 

t апостериорная вероятность

||0

wtwt, подставляя которое в последнее вы-



1| 1 | |

        



wt wt e



PPwt

1111 2122 1

 



  

 

     

wttwt  , 1,2,...k

12 122 1 111

, находим апостериорную вероятность

|| ,

11 1 1

|wt , приходим к (3.48). Лемма доказана.

2122

       





1| 1|PP

 







 

dt t



|wt для MAP-потока со-





. Инте-

187

3.4.2. Поведение апостериорной вероятности







































как функции времени в общем и в особом случаях

задания параметров потока

Поведение апостериорной вероятности интервале наблюдения

tTt

емости потока

 , где

,tt , на временных интервалах наблюда-



t – момент наступления события

|wt на начальном

MAP-потока, которое порождает период мёртвого времени фикси-

T ,

рованной длительности наблюдаемого события MAP-потока, а также поведение точке

t , 1,2,...k  , определяется леммами 2.15, 2.16 для общего

t – момент наступления очередного

|wt в

случая задания параметров MAP-потока и леммами 2.16, 2.17 для особого случая задания параметров MAP-потока (параграф 2.5).

Опираясь на леммы 2.15, 2.16, 3.15, сформулируем теорему для общего случая задания параметров MAP-потока:

||0PP       .

121021 2012



Теорема 3.4. Для MAP-потока событий, функционирующего в

условиях непродлевающегося мёртвого времени фиксированной длительности

T , поведение апостериорной вероятности

|wt

на временной оси задаётся выражениями

awwtt





wwwt wwwte

  

1 2 10 2 1 10







ww t ww te

  

210 110







10 1

 

2122





 

||0wtwt

 ;

      

1| 1 |

1111 2122

ttt

 ,

   

  

11 11

21 0

aw w t t





21 0

(3.49)

188





dt t







































     

1| | | |0

2 012 1 2 1021 2012 1

 

| | 0 , 1,2,...,

wt wt e k

 

  

11 1 1

PPPwt

      

   

21 1 2 11 1 1 21 1 2 1

PPPwt

   





||||0







1, 2, .. . ,k 

ww w t T ww w t T e

12 1 21 1



1, 2, .. . ,k

ww w t T ww w t T e

    

12 1 1 21 1 1





2,3,...k

tttT  ,



 

 

ww tT ww tTe

21 11



 





    

wwtT wwtTe

211 111







1| 1 |dP P

      

1111 2122



tTtt

 ;



 

awwtt T





aw w t t T





1kk

 

aw w t t T



21 1

 

aw w t t T



21 1

;

1, 2 1 2 2 0 1 2

      



  

12 12012021



   





4||,





;







(3.50)

(3.51)



где

01w,

121021 2012

1w  при

||0aPP         ,

; 101w ,

0a 

при

189

Доказательство проводится объединением формул (1.11),











































(2.46), (2.47), (2.50) и (3.48).

Результаты лемм 2.16, 2.17, 3.15 позволяют сформулировать теорему для особого случая задания параметров MAP-потока:

||0PP       .

121021 2012



Теорема 3.5. Для MAP-потока событий при непродлевающемся

мёртвом времени фиксированной длительности T для случая

||0PP       поведение апостериорной

121021 2012

вероятности



|wt на временной оси определяется соотношени-



ями

 

||,

wt wt e

  



110

20 1 2 20 1 2





10 1

ttt

| | 0 , 1,2,...,

wt wt e k

 



11 1 1

1111 2122

 ,







 

   

      

1| 1 |

  

11 11



2122





 

||0wtwt

 ;

dt t



bt t





(3.52)



     

21 1 2 11 1 1 21 1 2 1



1, 2, .. . ,k 

    

||||0

PPPwt

   

 

20 1 2 20 1 2



   

2012



tttT  ,



wtT e



 





1| 1 |dP P

      

1111 2122



 



bt t T





(3.53)

(3.54)

;

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]