Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Учебное пособие
.pdf
2. В течение времени пребывания процесса
j
)(t
в состоянии iS
имеет место пуассоновский поток с параметром
, 1, 2i
i
, обла-
дающий свойством отсутствия последействия.
3. Момент перехода процесса
S , 2,1, ji ,
j
i
, после момента kt определяется моментом
окончания длительности пребывания процесса
S , 2,1i , тем более, не зависит от поведения потока до момента
i
времени
t , ...,2,1k .
k
Таким образом, моменты наступления событий ...,...,,,
порождают вложенную цепь Маркова
)(t
из состояния iS в состояние
)(t
в состоянии
ttt
21 k
)(kt
. Другими словами,
асинхронный поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с момента наступления события
t ,
k
...,2,1k . Лемма доказана.
Определим вероятность того, что момент окончания
2,1i , состояния процесса
ttt ,
длительности t, где t здесь и далее достаточно малая
)(t
принадлежит полуинтервалу
-го,
i
величина.
Обозначим
ния процесса
(случайная величина) – длительность пребыва-
i
)(t
в состоянии iS , 2,1i . Пусть в момент време-
ни
значение процесса it
t
неравенства ttt
. Имеем
i
)(, 2,1i . Определим вероятность
iiiii
)( ttttt
iiii
eeee
.111
)()()()()(
tFttFtPttPtttP
С другой стороны,
()(|)()
Pt ttPtt tPt
iiii
t
(|).
Ptt te
ii
i
11
Сравнивая выписанные выражения для вероятности неравен-
ства ttt
, находим
i
tt
t
ii
i
ii
t
iii
,)|(1
etttPee
).()(1)|(
tPtFetttP
ii
Таким образом, вероятность того, что момент окончания состо-
яния
S , 2,1i , процесса
i
ttt ,
, равна
)(t
принадлежит полуинтервалу
, 0
t .
iii
)()()( tottFtP
Вероятность обратного события – состояние
ttt ,
кончится на полуинтервале
ii
Пусть
ij
tttp
,
– вероятность перехода некоторого марков-
ского случайного процесса
на полуинтервале времени
чайного процесса
)(t
существуют пределы [13]:
ij
lim
t
0
ii
lim
t
0
Определение. Величины )(td
перехода из состояния
в состояние j и называются инфините-
i
)(t
,
t
t
, соответственно, равна
t
i
из i-го состояния в j-е, nji ,1, ,
ttt ,
. Тогда для марковского слу-
tttp
ij
1,
tttp
ij
ii
имеют смысл интенсивности
зимальными характеристиками процесса
временем.
S , 2,1i , не за-
i
)(1)(1)( totetFtP
i
jitd
.,0)(
(1.1)
.0)(
td
)(t
с непрерывным
, 0
t .
12
Из определения инфинитезимальных характеристик следует,
j
что справедливы равенства
,()(),,
ptt t dttoti j
nn
() 0,, 1, ; () (), 1, .
dt ij ndt dti n
ij ii ij
11
jj
ij ij
,1()(),
ptt t dttot
ii ii
ji
Перейдём к определению матриц инфинитезимальных характе-
)(t
ристик сопровождающего процесса
. Поскольку рассматрива-
ется стационарный режим функционирования потока, то
dtd )( , 2,1,
ji .
ijij
Опишем возможные ситуации, которые могут произойти на
рассматриваемом полуинтервале
. Пусть it
)(, 2,1i .
ttt ,
Тогда:
t
1) за время
ятностью
закончится i-е состояние процесса
t
)()( tFtP
ii
i
1()
etot
, наступит
i
событие пуассоновского потока с параметром
t
i
i
рейдёт из
-го состояния в j-е,
i
iii
i
)()(1 tottottte
, с вероятностью единица;
с вероятностью
i
и процесс
)(t
с веро-
)(t
пе-
вероятность этой ситуации равна
)()()( totottot
ii
2) за время
роятностью
роятностью
t не закончится
)( tP
i
i
1() 1 ()
t
i
-е состояние процесса
i
t
Ft e tot
и с ве-
ii
i
пит событие пуассоновского потока с параметром
;
iii
; вероятность
i
)(t
с ве-
)()(1 tottottte
насту-
этой ситуации равна
;
iii
)()()(1 tottottot
13
3) за время
j
j
j
ятностью
событие пуассоновского потока с параметром
t
i
в
S ,
i с вероятностью единица; вероятность описанной ситу-
j
t
закончится i-е состояние процесса
t
)()( tFtP
i
ii
)(1 tote
, и процесс
i
1()
etot
, не наступит
)(t
перейдёт из состояния iS
i
с вероятностью
i
ации есть
)(t
с веро-
;
4) за время
роятностью ()
роятностью
t не закончится
Pt
)(1)(1 totetF
i
t
i
i
i
новского потока с параметром
iii
-е состояние процесса
i
t
i
)(1 tote
не наступит событие пуассо-
; вероятность описанной ситуа-
i
)()(1)( tottottot
i
ции есть
.
iiii
Других возможностей нет. С учётом (1.1) рассмотрим следую-
щие пределы:
lim
t
0
0
)(t
из i-го состояния в j-е, связанного с наступ-
, 2,1,ji ,
t
i , – интенсивность пере-
)1(
d
1)
ij
хода процесса
to
)(
лением события потока;
tot
)1(
2)
d
lim
ii
t
0
да процесса
)(t
i
из i-го состояния в i-е (остаться в i-м состоя-
)(
, 2,1i , – интенсивность перехо-
t
i
нии), связанного с наступлением события потока;
tot
3)
)0(
d
ij
lim
t
i
0
ность перехода процесса
)(
, 2,1, ji ,
t
i
)(t
из i-го состояния в j-е, не связан-
i
, – интенсив-
ного с наступлением события потока;
)(t
с ве-
и с ве-
)(1)(1)(1 tottottot
14
)0(
t
4)
d
lim
ii
t
0
ii
тенсивность выхода процесса
тивоположным знаком.
При этом справедливо равенство
tot
1)(1
t
)(t
из i-го состояния, взятая с про-
, 2,1i , – ин-
ii
2
j
1
2
)0(
ij
)1(
dd , 2,1
j
1
ij
0
iiii
i .
Матрицы инфинитезимальных характеристик
)1(
dD , 2,1,ji , процесса
1 ij
Элементами матрицы
процесса
D ,
0
D являются интенсивности переходов
)(t
из состояния в состояние с наступлением события
потока. Недиагональные элементы матрицы
переходов процесса
)(t
из состояния в состояние без наступления
события. Диагональные элементы матрицы
выхода процесса
)(t
из своих состояний, взятые с противопо-
)(t
принимают вид
111
1
1
222
1
D . (1.2)
00
2
D – интенсивности
0
D – интенсивности
0
ложным знаком.
Обозначим
времени
значение процесса
0
| tti – априорная вероятность того, что в момент
t
)(, 2,1
i , при условии, что
i
функционирование асинхронного потока (процесса
0
в момент времени
t .
Лемма 1.3. Априорные вероятности состояний процесса
для асинхронного потока событий имеют вид
)0(
dD и
0 ij
)(t
) началось
)(t
15
0
1
2
21
2
21
0
|
2
1
21
с начальными условиями в момент
2
0
t :
21
Доказательство. Определим вероятность
tt
что в момент времени
то есть имеет место
i
чайного процесса
),[ ttt
интервале
, связанные с поведением процесса
-е, 2,1i , состояние сопровождающего слу-
)(t
процесс
. Возможны следующие ситуации на полу-
ett
0
tt
21
,|
(1.3)
ett
0
tt
21
1
00
| tt ,
2
00
tt .
| ttti того,
)(t
принимает значение
)(t
1|
0
,
i
:
1) в момент времени
стью
0
| tt , и на
1
цесса )(t с вероятностью
значение процесса
t
),[ ttt
не закончится первое состояние про-
t
1
1
)( t с вероятно-
1
)(1
tote
; вероятность
этой ситуации равна
0
1
2) в момент времени
стью
0
| tt , и на
2
са )(t с вероятностью
0
11
значение процесса 2)( t с вероятно-
t
),[ ttt
закончится второе состояние процес-
t
2
2
0
11
)(1
tote
, и процесс
)(||)(1|
tottttttottt ;
)(t
перейдёт из второго состояния в первое с вероятностью единица;
вероятность описанной ситуации равна
0
2
3) в момент времени
стью
0
| tt , и на
2
значение процесса 2)( t с вероятно-
t
цесса )(t с вероятностью
),[ ttt
не закончится второе состояние про-
t
2
0
222
2
)(|)(|
tottttottt ;
)(1
tote
; вероятность
рассмотренной ситуации равна
16
0
2
0
22
0
22
)(||)(1|
tottttttottt ;
4) в момент времени
стью
0
| tt , и на
1
са )(t с вероятностью
значение процесса 1)( t с вероятно-
t
),[ ttt
закончится первое состояние процес-
t
1
1
)(1
tote
, и процесс
)(t
перейдёт из первого состояния во второе с вероятностью единица;
вероятность этой ситуации равна
0
1
0
111
)(|)(|
tottttottt .
Других возможностей нет.
Тогда имеем систему равенств:
1
2
0
0
0
1
0
2
0
11
0
22
0
22
0
11
),(||||
tottttttttttt
).(||||
tottttttttttt
Преобразуем систему к виду
1
2
0
1
0
2
Разделив оба равенства на
переход при
0t , приходим к системе линейных дифференци-
0
0
0
11
0
11
t
и выполнив в них предельный
альных уравнений относительно вероятностей
22
22
0
0
0
| tti , 2,1
i :
),(||||
totttttttttt
).(||||
totttttttttt
0
1
0
2
0
11
0
11
0
22
1
0
,|||
tttttt
22
0
tttttttttt
2
0
.1||;|||
Интегрируя полученную систему обыкновенных дифференциальных уравнений одним из известных методов, например методом исключения, и учитывая начальные условия, приходим к (1.3).
Лемма доказана.
17
Следствие леммы 1.3. Априорные финальные вероятности со-
стояний процесса )(t
при
t (или
0
t
) для асинхронно-
го потока имеют вид
2
1
2
21
1
.,
(1.4)
21
Замечание 1.1. Сопровождающий процесс )(t
для асинхрон-
ного потока можно трактовать как интенсивность потока, так как в
S
состоянии
S
, соответственно, 2 . Тогда средняя интенсивность асинхрон-
2
значение интенсивности потока есть 1 , в состоянии
1
ного потока равна
2
1
21
1
.
2
21
1.3. Синхронный поток
Исследуется поток событий, сопровождающий случайный про-
)(t
цесс которого
S
ниями –
и
1
процесса
первом состоянии, то в течение времени пребывания его в первом
состоянии имеет место пуассоновский поток событий с парамет-
; если во втором состоянии, то имеет место пуассоновский
ром
1
поток событий с параметром
первом состоянии. Тогда в момент наступления события пуассоновского потока с параметром
вого состояния в первое с вероятностью p
переходит из первого состояния во второе с вероятностью
(10 p ). Если процесс
является кусочно-постоянным с двумя состоя-
S
; если it
2
)(t
, 2,1i , 021
)(, то имеет место i-е состояние (iS )
. Если процесс
. Пусть процесс
2
процесс
1
)(t
переходит из пер-
1 либо процесс
)(t
находится во втором состоянии, то в
)(t
находится в
)(t
находится в
)(t
p
18
момент наступления события пуассоновского потока с параметром
.
П
.
p
ppp
процесс
2
)(t
остаётся во втором состоянии с вероятностью
q1 или переходит из второго состояния в первое с вероятностью
q (10 q ).
Таким образом, в синхронном потоке событий переход процес-
)(t
са
S
из состояния
в состояние
2
S
в состояние
1
S
возможен только в момент наступления собы-
1
S
и, наоборот, из состояния
2
тия пуассоновского потока [14].
Вариант возникающей ситуации приведён на рис. 1.2, где
S
– состояния процесса
2
)(t
; ...,...,,,
ttt – моменты наступле-
21 k
S
1
ния событий в синхронном потоке.
1–
..
S
1
S
2
q
1–q
..
,
...
роцесс λ(t)
...
t
1
Рис. 1.2. Формирование синхронного потока событий
t
2
t
3
t
t
t
5
4
t
6
7
Лемма 1.4. Для синхронного потока событий сопровождающий
кусочно-постоянный случайный процесс
)(t
является марков-
ским.
Доказательство. Докажем, что длительность участка стацио-
)(t
нарности процесса
в состоянии
котором значение процесса
ной с функцией распределения
ность участка стационарности
S
(временного интервала, на
1
)( t
) является случайной величи-
1
)1(
1)(
1
)(t
в состоянии
, 0t ; длитель-
tp
1
etF
S
(временного
2
...
t
t
19
интервала, на котором значение процесса
p
p
p
.
T
чайной величиной с функцией распределения
0t .
Рассмотрим состояние
λ
1
S
1
(1)
t
S
процесса
1
S
1
)(t
(рис. 1.3).
(1)
t
)( t
) является слу-
2
)2(
2
1–p
(2)
t
etF
1)(
,
tq
2
S
2
(а) (б)
S
2
1–p 1–p
S
1
S
2
Рис. 1.3. Возможные ситуации в состоянии
(1)
t
(в)
(2)
t
(3)
t
..
S процесса )(t
1
Таким образом, участок стационарности случайной длительности в состоянии
S
1
(рис. 1.3 (б)),
каждый из интервалов
имеет длину
)3()2()1(
ttt (рис. 1.3 (в)) и так далее. При этом
)(k
t , ...,2,1
k , представляет собой реали-
)1(
t (рис. 1.3 (а)),
tt
зацию случайной величины, распределённой по закону
t
1
etF
1)(
1
, 0t .
Определим, какую функцию распределения будет иметь случайная величина
состоянии
S (суммарная или интегральная длительность пребы-
1
вания процесса )(t
)1(
– длительность участка стационарности в
в первом состоянии). Для этого применим
)2()1(
схему рандомизации [15]: если
...,,,
– взаимно независи-
n
21
мые случайные величины с экспоненциальным распределением
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]