Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
Б.И. Яцало
Нечеткие интеллектуальные системы
Конспект лекций
Учебное пособие
Москва 2020
УДК 519.7:004.89(075.8)
ББК 22.18я7
Я 92
Яцало Б.И. Нечеткие интеллектуальные системы: Кон-
спект лекций. Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2020. — 132 с.
Основано на курсе лекций, читаемых автором в Институте интеллектуальных кибернетических систем (ИИКС) НИЯУ МИФИ для студентов,
обучающихся по специальности «Информационные системы и технологии».
В пособие включены базовые вопросы теории нечетких множеств, особое
внимание уделено проблематике нечетких чисел и методам их ранжирования, рассмотрены вопросы нечеткого анализа решений, лингвистических
переменных, вычислений со словами и нечеткой логики. Указанные разделы курса являются фундаментальной основой современных нечетких интеллектуальных систем. Каждый раздел курса заканчивается примерами
типовых задач, предназначенных для решения в рамках семинарских занятий и закрепления изложенного материала.
Адресовано студентам, обучающимся по образовательным программам,
включающим разделы анализа и обработки данных, разработки математических моделей и их использования с учетом неопределенностей в рамках
широкого круга информационно-технических, социально-экономических,
экологических и других задач, а также анализа и поддержки принятия
решений. Будет полезным аспирантам, использующим указанные разделы
в рамках научных исследований и разработки интеллектуальных кибернетических систем с применением элементов нечеткой логики, а также преподавателям, включающим вопросы нечетких множеств и нечетких систем
в свои образовательные курсы.
Подготовлено в рамках Проекта по созданию и развитию Международного научно-методического центра НИЯУ МИФИ.
Рецензент д-р техн. наук, проф. Камаев Д.А.
Рекомендовано к изданию отделением
интеллектуальных кибернетических систем
НИЯУ МИФИ
ISBN 978-5-7262-2713-9
c
○ Национальный исследовательский
ядерный университет «МИФИ», 2020
c
○ Б.И. Яцало, 2020
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Лекция 1. Базовые понятия теории нечетких множеств 10
1.1. Определение нечеткого множества. . . . . . . . . . . . 10
Задачи к разделу 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Базовые операции над нечеткими множествами . . . . 17
Задачи к разделу 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Другие операции над нечеткими множествами . . . . . 19
Задачи к разделу 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Метрика на нечетких множествах, мера нечеткости
и энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Задачи к разделу 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5. Нечеткие отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Задачи к разделу 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6. Трактовка понятий нечеткого множества и функции
принадлежности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1. Нечеткие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.2. Степень принадлежности нечеткому множеству
и функции принадлежности . . . . . . . . . . . . . 33
1.7. Методы формирования функций принадлежности
и их основные типы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.1. Методы формирования функций принадлежности . 35
1.7.2. Типы функций принадлежности нечетких мно-
жеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Лекция 2. Нечеткие числа 41
2.1. Определение нечетких чисел . . . . . . . . . . . . . . . 41
Задачи к разделу 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Функции от нечетких чисел . . . . . . . . . . . . . . . 46
Задачи к разделу 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. Функции от зависимых нечетких чисел . . . . . . . . . 49
Задачи к разделу 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4. Методы ранжирования нечетких чисел . . . . . . . . . 57
Задачи к разделу 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
— 3 —
Лекция 3. Лингвистические переменные и вычисления со
словами 67
3.1. Определение и использование лингвистических
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2. Вычисления со словами . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Задачи к разделу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Лекция 4. Нечеткий многокритериальный анализ решений 81
4.1. Нечеткие модели МКАР: Fuzzy TOPSIS. . . . . . . . . 82
4.2. Нечеткие модели МКАР: Fuzzy MAVT . . . . . . . . . 88
Задачи к разделу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Лекция 5. Введение в нечеткую логику 94
5.1. Базовые понятия нечеткой логики. . . . . . . . . . . . 94
Задачи к разделу 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2. Нечеткая импликация . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Задачи к разделу 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Лекция 6. Нечеткие модели на основе правил нечеткого вывода 101
6.1. Основные блоки нечеткой модели . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1. Блок фаззификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.1.2. Блок нечеткого вывода . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2. Пример нечеткой модели. . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3. Важные свойства баз правил и нечетких моделей . . . 117
6.4. Рекомендации по построению базы правил . . . . . . .122
Задачи к разделу 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
— 4 —
Предисловие
В начале 2000-х автор данных строк принимал участие в крупной
международной конференции по анализу и управлению рисками. В
одной из кулуарных дискуссий возник вопрос о выборе методов учета неопределенностей при решении важной прикладной задачи поддержки принятия решений в рамках управления рисками. Предлагались несколько подходов к решению задачи, основанных на методах
теории вероятностей и классического многокритериального анализа
решений. Один из участников дискуссии, ученый из Испании, сказал следующее: «Как я понимаю, у вас нет статистических данных,
чтобы судить о тех или иных распределениях случайных величин, о
вероятностях событий, нет корректной оценки математических ожиданий и дисперсий. Вы не можете реально сформировать измеримые
множества на пространстве элементарных событий, для этого нужен
большой экспериментальный материал и его анализ. Вы можете использовать так называемые субъективные вероятности и соответствующие субъективные выходные величины. Однако корректный анализ
неопределенностей полученных выходных величин, включая неопределенности доверительных интервалов для последующего обоснованного принятия решений, требует все же большого количества данных.
Кроме того, для рекомендаций по принятию решений вам не нужны
точные значения показателей риска. Для этого достаточно оперировать такими категориями, как низкий показатель, приемлемый, высокий, неприемлемый... Для этих целей адекватными будут методы
теории нечетких множеств».
Никто из других участников дискуссии, включая автора данного пособия, не был специалистом по нечетким множествам. Поэтому
вклад в дискуссию испанского ученого фактически был проигнорирован.
Однако высказанная аргументация для автора, как математика,
оставила свой след. В последние пять лет его основными научными
направлениями, а также направлениями исследований и разработок
его учеников, стала проблематика нечетких чисел и их ранжирования,
нечеткий многокритериальный анализ решений, разработка систем
поддержки принятия решений с нечеткой логикой. Результаты этих
работ докладываются на крупных международных конференциях по
нечеткой логике и публикуются в высокорейтинговых журналах, в
том числе в сотрудничестве с зарубежными учеными.
На заре становления новой теории ее основатель Лотфи Заде,
— 5 —
опубликовавший первую работу по нечетким множествам в 1965 г.
[72] и затем внесший основополагающий вклад во многие ее ключевые
направления, писал своим коллегам: «Когда я написал свою статью
в 1965 году, я ожидал, что нечеткие множества смогут применяться
в первую очередь в области гуманитарных наук...». Сейчас, для того чтобы лишь частично представить масштабы современной теории
нечетких множеств, достаточно привести только часть направлений
работы международных конференций в данной области:
«Нечеткие множества, нечеткие отношения, нечеткие графы,
нечеткие шкалы»;
«Новые нечеткие множества и их применение»;
«Теория возможностей»;
«Нечеткие числа, интерактивные нечеткие числа»;
«Нечеткие логики и приближенные рассуждения»;
«Лингвистические переменные и вычисления со словами»;
«Нечеткий анализ решений»;
«Нечеткие системы поддержки принятия решений»;
«Мягкие вычисления и нечеткие системы»;
«Нечеткие генетические алгоритмы и эволюционное программирование»;
«Нечеткие нейронные сети и нейроинтеллект»;
«Нечеткие модели распознавания образов»;
«Нечеткие модели в компьютерной лингвистике»;
«Нечеткая логика в моделях компьютерного зрения и управления
динамическими процессами»;
«Нечеткая логика в анализе Больших Данных»;
«Нечеткие алгебраические и топологические системы»;
«Применение нечетких моделей в прикладных исследованиях».
Нечеткие множества далеко не сразу были восприняты в научном
мире, в том числе крупными математиками. Основным мотивом отрицания нового научного направления было отсутствие приложений.
Ситуация изменилась в 1970-х гг., когда начался «бум теории нечетких множеств» [54]. Ниже приведены лишь несколько вех в становлении и развитии теории нечетких множеств и ее приложений:
1965: первая статья по теории нечетких множеств (Л. Заде);
1972: первая рабочая группа по нечетким системам в Японии;
1973-1975: работы Л. Заде по нечетким алгоритмам, гранулированию информации и лингвистическим переменным;
1974: работы британского ученого Мамдани по управлению паровым двигателем с использованием методов нечеткой логики. Вертолет
— 6 —
Мамдани;
1977: первая нечеткая экспертная система, разработанная в Германии;
1980: управление цементной печью (П. Холланд, Дания) с использованием нечеткой логики;
1984: контроль очистки воды;
1984: метро в г. Сендай, Япония;
1985: первый нечеткий чип, разработанный в Bell Labs, США;
1986: нечеткая экспертная система в медицине для диагностики
заболеваний, Япония;
1987: автоматизированная посадка самолета;
1987: первая «нечеткая» компания в США (Togai Infralogic Inc.);
1988: первый специализированный нечеткий контроллер, продаваемый компанией Omron Inc. (Япония);
1989: создание лаборатории (LIFE) по нечетким исследованиям и
разработкам в Японии;
1990: «нечеткий» телевизор от Sony; нечеткий электронный глаз
от Fujistu; создание Института нечетких логических систем (FLSI),
Япония;
1991: создание Центра продвижения Fuzzy Artificial Intelligency в
Японии; Учебный комплект от Motorola по нечеткой логике в США;
в 1990-х технология разработки нечетких систем вышла из научных лабораторий и стала инженерным инструментов в различных областях высокотехнологичной промышленности.
Таким образом, теория нечетких множеств доказала свою состоятельность.
Однако, сложившиеся представления и неприятие нового меняются не так быстро. Когда совсем недавно автор данной книги, совместно с учеными из Испании и Великобритании, представил международный научный проект в известный отечественный фонд, в рецензии на проект один из экспертов написал: «Задачи описаны неплохо,
научный задел и списки публикаций впечатляют. Но у проекта есть
основной недостаток, на котором и основано мое решение отвергнуть
его: все предлагаемые подходы к решению задач принятия решений
основаны на нечетких множествах и еще не доказали свою состоятельность».
Такое отрицание новых научных направлений встречается, к сожалению, даже у крупных ученых и достойнейших людей (см.,
например, [7], где автор с неприятием, последствия которого в
— 7 —
кругах отечественных ученых/специалистов ощущаются еще и сейчас, отказывает в научности подходам, основанным на математическом описании субъективных суждений экспертов в рамках многокритериального анализа решений). Можно только добавить, что
в области исследования субъективных категорий и их влияния на
социально-экономическую жизнь общества впоследствии были получены несколько Нобелевских премий (по экономике).
На публикации теоретических и прикладных работ по нечетким
множествам специализируются десятки научных журналов с самыми высокими рейтингами. Количество научных публикаций по различным направлениям, основанным на концепции нечеткости, растет
большими темпами и насчитывает в настоящее время более 80 тыс.
работ (а также, на 2015 г., оформлено более 1200 патентов, основанных на элементах нечеткой логики) [39].
По количеству публикаций в индексируемых журналах в области
различных разделов нечетких множеств на первом месте идет Китай
(около половины всех работ), далее, с большим отставанием, (последовательно) США, Тайвань, Индия Иран, Япония, Испания (с наибольшим количеством работ в Европейских странах); в лидерах также
Южная Корея, Турция, основные страны Европы, включая Польшу.
Россия находится в этом списке на 30-м месте, уступая по объему
публикаций таким странам, как Малайзия, Гонконг, Сингапур, Алжир, Таиланд... [39]. Этот большой список приводится намеренно с
целью подчеркнуть, какую большую работу нужно провести в нашей
стране, чтоб приблизиться к лидерам. И речь здесь идет не просто о
росте числа публикаций как таковых. По мнению экспертов в области
искусственного интеллекта (из выступлений экспертов на Международной конференции по нечеткой логике EUSFLAT-2019), через 15-20
лет практически все значимые интеллектуальные системы будут содержать в себе элементы нечеткой логики. В связи с этим, внедрение
теории нечетких множеств и систем в высшее образование является
актуальной задачей.
В настоящее время в РФ имеется ряд школ по нечетким множествам/системам: в Тверском ГУ и Ульяновском ГТУ, в СПбГУ,
Южно-Уральском ГУ, в Рязанском ГРУ, в НИУ ВШЭ и ряде других
университетских центрах.
В течение двух последних лет автор читает семестровый курс
«Нечеткие системы и мягкие вычисления» в ИАТЭ НИЯУ МИФИ
для магистрантов специальности «Информационные системы и технологии». Опыт первых лет преподавания показал, что желание автора
— 8 —
курса дать студентам как можно больше знаний в различных областях
теории нечетких множеств и систем оказался не совсем эффективным
(основы теории нечетких множеств и нечетких чисел оказывались не
совсем понятными для большинства студентов). В связи с этим, в том
числе после общения со студентами, автор принял решение включить
в свой курс, прежде всего, базовые понятия фундаментальных разделов теории нечетких множеств.
Дальнейшие разделы, требующие значительного времени для их
изложения и усвоения, такие как «Разработка различных видов нечетких моделей», «Использование нечетких нейронных сетей и генетических алгоритмов в рамках нечетких систем», а также примеры практического использования нечетких систем будут представлены во второй части данного учебного курса.
— 9 —
Лекция 1. Базовые понятия теории нечетких
множеств
1.1. Определение нечеткого множества
Основная идея Л. Заде, лежащая в основе математического описания нечеткого множества (НМ), основана на обобщении классической
функции χ𝐴(𝑥) принадлежности элемента 𝑥 множеству 𝐴:
χ𝐴(𝑥) =
Обобщение функции принадлежности χ𝐴(𝑥) (1.1) реализуется следующим образом.
Рассматривается множество X, называемое универсальным, которое содержит все используемые в рамках исследуемой задачи элементы {𝑥}.
Определение 1. Нечеткое множество 𝐴 на универсальном мно-
жестве X — это множество 𝐴 = {(𝑥, µ𝐴(𝑥)) : 𝑥 ∈ X}, где функция
µ𝐴(. ), µ𝐴: X → [0, 1], называется функцией принадлежности, а величина µ𝐴(𝑥) представляет собой степень принадлежности элемента 𝑥 ∈ X нечеткому множеству 𝐴.
Чтобы отделить нечеткое множество от четкого (crisp) подмножества 𝐴 в X, часто используют обозначение˜A. Однако, при корректной
подаче материала, всегда ясно, когда речь идет о нечетком или четком множестве. Поэтому в последние годы тильда в обозначении˜A
практически исчезла, как и в определении 1 (всюду ниже тильда использоваться не будет). Отметим также, что четкое множество 𝐴 ⊆ X
также можно отнести к классу нечетких множеств с функцией принадлежности (1.1): µ𝐴(𝑥) = χ𝐴(𝑥).
Необходимо подчеркнуть, что наряду с общепринятым написанием функции принадлежности нечеткого множества 𝐴 как µ𝐴(𝑥), во
многих публикациях используется также обозначение 𝐴(𝑥), что всегда
определяется в самом начале и является интуитивно понятным и обоснованным. В рамках наших лекций будут встречаться оба указанных
1, 𝑥 ∈ 𝐴
0, 𝑥 /∈ 𝐴.
— 10 —
(1.1)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]