Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Рис. 3.4: Пример действия оператора концентрирования на внутреннее
(слева) и крайнее (справа) нечеткие множества (термы лингвистической
переменной)
Рис. 3.5: Пример действия оператора растяжения на внутреннее (слева)
и крайнее (справа) нечеткие множества (термы лингвистической
переменной)
С увеличением степени 𝑛 = 2 в данном выражении нечеткое множество стремится к четкому: 𝐴
𝐼(𝑉 )
(𝑥) → 1.
Операторы понижения контрастности 𝐵 представляют собой обратную процедуру — усиление нечеткости и могут быть представлены
— 71 —
Рис. 3.6: Действие оператора повышения контрастности
следующим преобразованием функции принадлежности НМ 𝐴𝑉:
𝐴
𝐵(𝑉 )
(𝑥) =
1 − 2(1 − 𝐴𝑉(𝑥))2, 𝐴(𝑥) < 0.5
2
2𝐴
(𝑥), 𝐴(𝑥) ≥ 0.5.
𝑉
(3.4)
Как видно из указанных примеров нечетких ЛП, термы ЛП представляют собой нечеткие множества на R и, в большинстве случаев,
могут быть интерпретированы как нечеткие числа. В связи с этим,
а также с включением ЛП в математические преобразования (функции от термов ЛП), многие специалисты по НМ преднамеренно не
различают НЧ и ЛП [54]. С прагматической точки зрения, исходя из
реализации функций от НЧ/ЛП, указанная аргументация может рассматриваться как обоснованная. Однако методология ЛП отражает
сущность концепции гранулирования информации и является методологически обоснованной и эффективной при решении широкого круга
теоретических и прикладных задач в области нечеткого анализа решений и нечеткой логики.
Можно выделить следующие основные подходы к заданию ЛП:
∙ Прямое задание упорядоченной структуры термов лингвисти-
ческой переменной в выбранной шкале: указывается количество
термов и лингвистическая интерпретация каждого из них. Например, на рис. 3.1 приведены семь упорядоченных лингвистических термов и их семантическое описание: 𝑠0— отсутствие
различий (что можно интерпретировать как наличие различий,
которыми можно пренебречь), 𝑠1— очень малые различия и т.д.
— 72 —
∙ Бесконтекстный грамматический подход: определяется линг-
вистический набор термов с помощью контекстно-свободной
грамматики G, так что лингвистические термы являются предложениями, генерируемыми G с использованием выбранной системы модификаторов. Например, первичные термы «плохой»,
«посредственный», «хороший» в ходе преобразований в рамках
выбранной грамматики могут быть дополнены новыми производными термами «очень плохой», «весьма посредственный»,
«достаточно хороший».
3.2. Вычисления со словами
Концепция гранулированности ставит задачи оперирования с такого рода информацией. Наиболее концентрировано и последовательно
данная проблематика рассматривается в рамках теории, называемой
«Вычисление со словами» (Computing with Words), CW. Теория с таким названием впервые представлена в работах Заде [75, 76, 77]. Однако исследования в данном направлении проводились и ранее в рамках
работ по реализации операций с лингвистическими переменными [23].
1. Классические модели вычисления со словами. Предложены несколько подходов к реализации методологии CW [34, 35, 49], интегральная концептуальная схема которых представлена на рис. 3.7,
3.8.
Рис. 3.7: Вычисления со словами: концептуальная схема 1
(на основе нечетких чисел)
Рис. 3.8: Вычисления со словами: концептуальная схема Ягера 2
(на основе операций с лингвистическими термами)
В указанных работах подчеркивается важность процедур транс-
ляции и ретрансляции в рамках парадигм реализации CW. Можно
— 73 —
выделить два базовых типа подходов к трансляции поступающих на
вход лингвистических переменных с последующим использованием
полученных величин в рамках CW.
∙ В рамках первого подхода, термы ЛП (слова) заменяются соот-
ветствующими нечеткими множествами (нечеткими числами),
далее, в следующем блоке, проводятся манипуляции над НМ,
после завершения проделанных операций проводится процесс
ретрансляции, в рамках которого подбирается лингвистический
терм, который, согласно выбранным правилам ретрансляции,
соответствует полученному в процессе вычислений НМ; результатом ретрансляции является выходная величина — терм (слово), которое является результатом вычислений в рамках CW.
Данный подход к реализации CW может быть представлен следующей схемой:
𝑇 (𝐿)
𝑛
𝑇 𝑟
−−→ F
𝑛
𝑅𝑇 𝑟
𝑀
−→ F
1
−−−→ 𝑇 (𝐿), (3.5)
здесь 𝑇 (𝐿) — множество термов ЛП 𝐿; 𝑛 — количество поступающих на вход термов; 𝑇 𝑟 — алгоритм преобразования/трансляции
термов в НЧ; F — множество НЧ; 𝑀 — (манипуляция) реализация функций от НЧ в рамках заданной модели; 𝑅𝑇𝑟1— процесс ретрансляции/преобразования НЧ в соответствующий терм
множества 𝑇(𝐿). Если в рамках манипуляции (оценки функций
от НЧ) 𝑀 можно говорить о возможности точных вычислений (в
соответствии с принципом расширения), то на стадии ретрансляции 𝑅𝑇𝑟1происходит процесс приближения НЧ к заданной
грануле информации/терму ЛП 𝐿. Такой процесс может считаться вполне приемлемым в рамках широкого круга приближенных вычислений и приближенных рассуждений (approximate
reasoning ), в том числе в анализе решений [49]. В то же время, приближенность вычислений и определение одного и того
же терма на стадии ретрансляции, соответствующего широкому множеству НЧ, не всегда отвечает требованиям экспертов к
обоснованности принятия решений.
∙ Концептуально другим является подход, в котором на стадии
трансляции поступающие на вход лингвистические термы не
преобразуются непосредственно в НМ/НЧ, а (после дополнительных надстроек) включаются в операции в рамках следующего блока (символьная модель), где проводятся манипуля-
— 74 —
ции с множеством поступивших в блок величин на основе символьных преобразований в рамках заданного класса алгоритмов/функций; далее производится ретрансляции полученных
символов, и на выход поступает результат процесса CW (слово
или слова) из заданного множества термов. Указанный процесс
может быть представлен следующей схемой:
𝑛
𝑆
𝑀
−→ [0, 𝑔]
𝑅𝑇 𝑟
2
−−−→ {0, ..., 𝑔} −→ 𝑆, (3.6)
здесь 𝑆 = 𝑇(𝐿) — множество рассматриваемых термов: 𝑆 =
= {𝑠0, 𝑠1, ..., 𝑠𝑔}; на вход системы поступает 𝑛 термов; 𝑅𝑇 𝑟2—
процесс ретрансляции/преобразования отрезка [0, 𝑔] в соответствующий терм из множества 𝑆 = 𝑇 (𝐿). Как и выше, гранулированность информации с использованием конечного множества
заданных лингвистических термов не всегда отвечает требованиям экспертов к обоснованности принимаемых решений.
В качестве примера рассмотрим следующее множество термов 𝑆,
часто используемого в рамках анализа решений [49]. Обозначим через
𝑆 = {𝑠0, 𝑠1, ..., 𝑠𝑔} лингвистическую переменную (уровень качества),
состоящую из 𝑔 = 7 явно заданных термов (см. рис. 3.1):
𝑆 = {𝑠0: 𝑛𝑜𝑡ℎ𝑖𝑛𝑔 (𝑛); 𝑠1: 𝑣𝑒𝑟𝑦 𝑙𝑜𝑤 (𝑣𝑙); 𝑠2: 𝑙𝑜𝑤 (𝑙);
𝑠3: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑢𝑚 (𝑚); 𝑠4: ℎ𝑖𝑔ℎ (ℎ); 𝑠5: 𝑣𝑒𝑟𝑦 ℎ𝑖𝑔ℎ (𝑣ℎ); 𝑠6: 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡 (𝑝)}.
Каждый из указанных термов может представляться также соот-
ветствующим нечетким числом (как это указано на рис. 3.1).
На множестве термов 𝑆 определяются ряд операторов семейства
OWA (Ordered Weighted Averaging) [62, 49], в том числе:
∙ оператор отрицания (Negation operator): 𝑁𝑒𝑔(𝑠𝑖) = 𝑠𝑗, где 𝑗 =
= 𝑔 − 𝑖; здесь 𝑔 = 6, 𝑔 + 1 = 7 — количество рассматриваемых
термов;
∙ оператор максимума: max(𝑠𝑖, 𝑠𝑗) = 𝑠𝑖, если 𝑖 ≥ 𝑗;
∙ оператор минимума: min(𝑠𝑖, 𝑠𝑗) = 𝑠𝑖, если 𝑖 ≤ 𝑗.
Реализация арифметических операций на множестве лингвистических термов 𝑆, включая операторы (выпуклых) комбинаций (convex
combinations), различного рода агрегирования и взвешенной оценки,
определения среднего порядкового значения и медианы и ряд других, предложены в рамках классического подхода к CW в целом ряде
публикаций, например [23, 63, 17].
— 75 —
Учитывая указанные выше замечания относительно классических
подходов к реализации процедур CW, можно добавить также, что
символьные модели являются более простыми (и более грубыми) на
стадии вычислений, чем те, которые основаны на использовании НЧ.
В то же время, на стадии ретрансляции полученных величин обе модели характеризуются определенной потерей информации. Последнее
порождает желание модернизировать указанные классические модели CW.
Существуют также другие подходы к CW, предложенные в целом
ряде работ [49].
2. Двухкортежное представление лингвистической инфор-
мации. Новый подход к CW представлен в работах [34, 35, 55, 49].
Данный подход основан на расширенной модели трансляции, манипуляции и ретрансляции термов лингвистической переменной (см.
рис. 3.8). Предложена новая модель представления термов лингвистических переменных, получившая название «двухкортежная лингвистическая модель» (2-Tuple Linguistic Variables, 2-TLVs). В рамках
данной модели вводится непрерывное представление нечетких лингвистических величин, на основе которого предлагается новая модель
CWs, сохраняющая элементы несложности символических вычислений и преодолевающая ограничения в точности (из-за укрупнения
гранулированности в классических моделях CWs) представления выходной информации согласно схеме на рис. 3.8.
Предложенная модель двухкортежного представления лингвистической информации (ниже — 2-TLV) может быть кратко описана следующим образом.
Обозначим через 𝑆 = {𝑠0, 𝑠1, ..., 𝑠𝑔} явно заданное множеств термов лингвистической переменной, 𝑔 ≥ 1. Двухкортежное представление лингвистической информации основано на использовании пары
(𝑠𝑖, α), 𝑖 = 0, ..., 𝑔; α ∈ [−0.5, 0.5).
Определение 19. Пусть 𝑆 = {𝑠0, 𝑠1, ..., 𝑠𝑔} — множество лингвистических термов и¯𝑆 — двухкортежное множество, ассоциированное с 𝑆:¯𝑆 = 𝑆 ×[−0.5, 05). Функция, отображающая отрезок [0,𝑔]
в¯𝑆, определяется следующим образом:
𝑑𝑆(𝑥) = (𝑠𝑖, α), 𝑖 = 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑(𝑥), α = 𝑥 − 𝑖, (3.7)
где 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑(𝑥) — ближайшее к 𝑥 целое число.
Примеры 2-TLVs представлены на рис. 3.9.
— 76 —
Рис. 3.9: Двухкортежное представление лингвистической переменной
Лемма 8. Существует обратное к 𝑑𝑆(𝑥) отображение 𝑑
−1
𝑆
:¯𝑆 →
→ [0,𝑔], возвращающее каждому кортежу (𝑠𝑖, α) значение в [0, 𝑔],
однозначно определяющее данный кортеж.
Обратное отображение 𝑑
−1
определяется следующим выражением:
𝑆
−1
𝑑
(𝑠𝑖, α) = 𝑖 + α. (3.8)
𝑆
Рассмотрим следующие операции над 2-TL величинами.
1. Упорядочение 2-TL величин.
Пусть (𝑠𝑘, α1) и (𝑠𝑚, α2) — две 2-TL величины заданной лингвистической переменной. Упорядочение 2-TL величин является
интуитивно понятным:
если 𝑘 < 𝑚, тогда (𝑠𝑘, α1) ≺ (𝑠𝑚, α2);
если 𝑘 = 𝑚, тогда:
∙ в случае α1= α2, (𝑠𝑘, α1) ∼ (𝑠𝑚, α2), т.е. информация, пред-
ставленная данными кортежами, является эквивалентной;
— 77 —
∙ если α1< α2, (𝑠𝑘, α1) ≺ (𝑠𝑚, α2);
∙ если α1> α2, (𝑠𝑘, α1) ≻ (𝑠𝑚, α2).
Оператор отрицания.
Пусть (𝑠𝑖, α) ∈¯𝑆 = {𝑠0, 𝑠1, ..., 𝑠𝑔} × [−0.5, 0.5). Оператор отрицания на множестве 2-TL величин, Neg, определяется следующим
образом: 𝑁 𝑒𝑔(𝑠𝑖, α) = 𝑑(𝑔 − 𝑑−1(𝑠𝑖, α)).
2. Операторы агрегирования.
В рамках теории 2-TLVs предложено большое количество операторов агрегирования [49], примеры некоторых из них представлены ниже.
Основные операторы агрегирования 2-TL информации можно
сгруппировать в следующие классы [49]:
∙ базовые операторы усреднения;
∙ операторы геометрического усреднения;
∙ операторы средней мощности;
∙ операторы на основе интеграла Шоке;
∙ операторы динамического агрегирования.
Рассмотрим ниже базовые операторы усреднения, расширенные
на множество двухкортежных лингвистических величин: арифметическое среднее, взвешенное арифметическое среднее, упорядоченное
взвешенное среднее (OWA-оператры, Ordered Weighted Averaging).
1. Арифметическое среднее. Рассмотрим множество 𝑋, состоящее
из 𝑛 2-TL величин:
𝑋 = {(𝑠1, α1), ..., (𝑠𝑛, α𝑛)}. Арифметическое среднее¯𝑋 заданного набора 2-TL величин определяется следующим образом:
¯
𝑋 = 𝑑(1/𝑛 ·
𝑛
𝑑−1((𝑠𝑖, α𝑖)) = 𝑑(1/𝑛 ·
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖), (3.9)
𝑖=1
(см. уравнения (3.7) и (3.8)).
— 78 —
2. Взвешенное арифметическое среднее. Пусть каждая из 2-TL ве-
личин множества 𝑋 = {(𝑠1, α1), ..., (𝑠𝑛, α𝑛)} имеет весовой коэффици-
ент 𝑤𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑛, 𝑤𝑖> 0,
𝑛
𝑤𝑖= 1 (если вектор весовых коэффи-
𝑖=1
циентов не нормализован, проводится операция нормализации суммы
на 1). Взвешенное среднее¯𝑋𝑤определяется выражением
¯
𝑋𝑤= 𝑑(
𝑛
𝑤𝑖𝑑−1((𝑠𝑖, α𝑖)) = 𝑑(
𝑖=1
𝑛
𝑤𝑖𝑥𝑖). (3.10)
𝑖=1
3. Упорядоченное взвешенное среднее (OWA). OWA-среднее опре-
деляется следующей формулой:
𝑛
𝑋
¯
𝑂𝑊 𝐴
= 𝑑(
𝑤𝑗𝑥𝑗), (3.11)
𝑗=1
в данном выражении 𝑥𝑗является 𝑗-й по порядку (убыванию)
величиной из набора 𝑥𝑖= 𝑑−1(𝑠𝑖, α𝑖), 𝑖 = 1,..., 𝑛. Для задания
соответствующих весовых коэффициентов 𝑤𝑗, 𝑗 = 1, ..., 𝑛 в рамках
OWA предложен ряд методов [49].
Задачи к разделу 3
1. Приведите свой пример гранулированности информации с применением лингвистических переменных.
2. С использованием системы F-Calc задайте свою шкалу лингвистической переменной с обоснованным количеством термов.
3. Для заданных термов лингвистической переменной реализуйте операторы: концентрирования, растяжения, повышения контрастности, а также понижения контрастности.
4. Задайте лингвистическую переменную «Качество продукции»
из семи термов (треугольной формы). Для каждого терма определите его отрицание (оператор Neg).
5. Рассмотрим 𝑆 = {𝑠0, 𝑠1, ..., 𝑠6} — множество лингвистических
термов (треугольной формы), заданных на универсальном множестве 𝑋 = [0, 1]. Используя классический подход к процессу
вычислений со словами (3.5), определите результат вычисления функции 𝑓 = (𝑠1+ 𝑠4)𝑠2(используйте систему 𝐹 − 𝐶𝑎𝑙𝑐 и
метод приближенных оценок функций от нечетких чисел).
— 79 —
6. Для заданных в предыдущей задаче термов 𝑆 лингвистической переменной представьте двухкортежные множества 𝑌 =
= {(𝑠0, 0.2), (𝑠1, −0.1), (𝑠4, 0.3), (𝑠6, −0.5), (𝑠7, −0.2)}.
7. Для указанного выше множества 𝑌 двухкортежных величин
найдите среднее значение¯𝑌 .
8. Для указанного выше множества 𝑌 двухкортежных величин
найдите взвешенное среднее¯𝑌𝑤с заданным множеством весовых
коэффициентов 𝑊 = (0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1).
— 80 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]