Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Лекция 6. Нечеткие модели на основе правил
нечеткого вывода
В разделе 4 рассмотрены модели нечеткого МКАР (НМКАР).
В рамках данных моделей на вход подаются (нечеткие) значения
критериев для рассматриваемых альтернатив и весовые коэффициенты критериев; в блоке вычислений реализуются оценки функций
от нечетких аргументов; на выход модели поступает конечное число
нечетких величин (нечетких чисел), которые затем упорядочиваются
в блоке ранжирования.
Другой класс нечетких моделей представлен в данном разделе.
Особенностью рассматриваемых моделей является то, что блок вы-
числений представлен операторами нечеткой логики (что составляет
одно из понятий мягких вычислений), а блок ранжирования включает метод(ы) дефаззификации поступающих на вход блока нечетких
величин.
В данном разделе нечеткое моделирование основано на правилах
нечеткого вывода, элементы которого рассматриваются ниже.
6.1. Основные блоки нечеткой модели
Типовая схема нечеткой модели представлена на рис. 6.1 на примере модели с двумя входами и одним выходом [54]. Указанная схема
может быть описана следующим образом.
∙ На вход нечеткой модели подаются два четких значения
(входные величины) 𝑥
0
, 𝑖 = 1, 2. В блоке «ФАЗЗИФИКА-
𝑖
ЦИЯ» (Fuzzification) определяются степени принадлежности
входных величин заданным входным нечетким множествам
𝐴𝑗, 𝐵𝑗, 𝑗 = 1, 2, по соответствующим функциям принадлежно-
сти µ
(𝑥1), µ
𝐴
𝑗
(𝑥2) (рис. 6.2). Добавим, что входные нечеткие
𝐵
𝑗
множества могут быть как непрерывными, так и дискретными.
— 101 —
Рис. 6.1: Общая структура нечеткой модели с двумя входами и одним
выходом
Рис. 6.2: Блок фаззификации нечеткой модели (пример)
∙ Значения степеней принадлежности µ
0
(𝑥
) и µ
𝐴
1
𝑗
(𝑥
𝐵
𝑗
0
), 𝑗 = 1, 2,
2
поступают на вход блока «ВЫВОД» (Inference), в котором вычисляется результирующая функция принадлежности µ
выходного значения модели (рис. 6.3).
— 102 —
𝑟𝑒𝑠
(𝑦)
Рис. 6.3: Пример блока вывода нечеткой модели
Данная величина определяется с использованием различных
(соответствующих конкретной модели) правил нечеткого вывода. Для реализации вычислений в данный блок входят ряд строго определенных элементов, в том числе:
1. База правил. Данная база содержит множество логических
правил, которые задают имеющиеся в системе причинноследственные отношения нечетких входных и выходных величин. База правил может иметь следующий вид:
𝑅1: IF (𝑥1= 𝐴1) AND (𝑥2= 𝐵1) THEN (𝑦 = 𝐶1);
𝑅2: IF (𝑥1= 𝐴1) AND (𝑥2= 𝐵2) THEN (𝑦 = 𝐶2);
𝑅3: IF (𝑥1= 𝐴2) AND (𝑥2= 𝐵1) THEN (𝑦 = 𝐶2);
𝑅4: IF (𝑥1= 𝐴2) AND (𝑥2= 𝐵2) THEN (𝑦 = 𝐶3);
здесь входные нечеткие величины 𝐴1, 𝐵1и 𝐴2, 𝐵2имеют смысл малых и больших значений соответственно
(см. рис. 6.2); нечеткие выходные величины 𝐶𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3,
показаны (как пример) на рис. 6.1; выходные нечеткие величины (как и входные) могут быть непрерывными или дискретными.
2. Механизм нечеткого вывода. В данном блоке определяется функция принадлежности выходной нечеткой величины
µ
(𝑦). Соответствующий механизм вывода может состо-
𝑟𝑒𝑠
ять из следующих компонент:
IM1: элемент модели, вычисляющий степень выполнения
каждого правила;
— 103 —
IM2: элемент модели, вычисляющий функции принадлежности заключений каждого правила 𝑅𝑖.
3. Функции принадлежности выходной величины. Элемент
модели IM3 вычисляет результирующую функцию принадлежности µ
(𝑦) на основе активизированных функций
𝑟𝑒𝑠
принадлежности заключений отдельных правил.
Рассмотрим следующий пример механизма вывода для мо-
дели, указанной на рис. 6.1.
IM1: для пересечения множеств (И) используется оператор
prod, для объединения (ИЛИ) — оператор max;
IM2: определение функций принадлежности заключений
для используемых правил с использованием операции импликации Мамдани;
IM3: определение результирующей функции принадлежности µ
(𝑦) выходного значения с использованием оператора
𝑟𝑒𝑠
max.
∙ Блок «ДЕФАЗЗИФИКАЦИЯ» (Defuzzification). В данном бло-
ке реализуется дефаззификация нечеткого множества, представленного функцией принадлежности µ
(𝑦); полученное чет-
𝑟𝑒𝑠
кое значение 𝑦0является выходной величиной нечеткой системы/модели, на вход которой были поданы два четких значения
0
0
𝑥
, 𝑥
. Механизм дефаззификации реализуется на основе за-
1
2
данного в рамках данной модели метода дефаззификации (см.
раздел 2.4, а также раздел 6.1.2 ниже).
Рассмотрим далее указанные блоки нечеткой модели более деталь-
но.
6.1.1. Блок фаззификации
В данном блоке заданным входным четким значениям 𝑥
сваиваются степени принадлежности µ
0
(𝑥
) заранее заданным (в
𝐴
𝑗
𝑖
0
𝑖
при-
рамках конкретной нечеткой модели) нечетким множествам 𝐴𝑗, 𝑖 =
= 1, ..., 𝑛; 𝑗 ∈ 𝐽𝑖; т.е. некоторые группы входных величин поступают на
вход только в некоторые группы входных нечетких множеств (НМ).
Например, на рис. 6.2 𝑥
0
𝑥
может поступать на вход НМ 𝐵1(= 𝐴3) или 𝐵2(= 𝐴4).
2
0
может поступать на вход НМ 𝐴1или 𝐴2,
1
В качестве входных НМ часто используют термы соответствующих конкретной задаче лингвистических переменных в заданной шкале термов. Вычисление значений µ
0
(𝑥
) эффективно проводится с
𝐴
𝑗
𝑖
— 104 —
использованием адаптированной к задаче или универсальной компьютерной системы.
Результат обработки входной информации блоком фаззификации
можно представить следующей схемой: вектор входных величин преобразуется в вектор выходных величин,
(𝑥
0
, 𝑥
)
−−−−−−−−−→ (µ
1
2
0
(𝑥
), µ
𝐴
1
1
0
(𝑥
), µ
𝐴
1
2
0
(𝑥
), µ
𝐵
2
1
0
(𝑥
)).
𝐵
2
2
𝑓𝑎𝑧𝑧𝑖𝑓 𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
0
Выбор входных нечетких множеств имеет важное значение для
адекватности и точности нечеткой модели.
6.1.2. Блок нечеткого вывода
Поступившие на вход блока вывода значения µ
(𝑥1) и µ
𝐴
𝑖
(𝑥2)
𝐵
𝑗
(для примера рассматриваются входные данные, аналогичные указанным на рис. 6.2) определяют результирующую функцию принадлежности µ
(𝑦) выходного значения модели. В общем случае, в рамках
𝑟𝑒𝑠
блока вывода реализуются следующие шаги:
1. Вычисление степени (нечеткой меры) выполнения условий отдельных правил;
2. Определение активизированных функций принадлежности заключений для каждого из заданных правил;
3. Определение результирующей (итоговой) функции принадлежности вывода µ
(𝑦) по активизированным функциям принад-
𝑟𝑒𝑠
лежности заключений всех правил, входящих в заданную базу
правил.
Формирование базы правил и оценка их выполнения основаны на использовании тех или иных вариантов логических операторов И, ИЛИ,
а также импликации. В механизме выводов используются различные
модели/правила рассуждений, в которых импликация играет ключевую роль.
В нечетком моделировании часто используется так называемый обобщенный (Generalized) Modus Ponens (GMP). Классический
Modus Ponens (МР) представляется следующей формулой (высказыванием), являющейся тавтологией, т.е. истинной при любом значении
входящих в нее переменных:
(𝑎 ∧ (𝑎 → 𝑏)) → 𝑏. (6.1)
Рассуждения на основе МР проводятся следующим образом:
— 105 —
Факт: 𝑥 = 𝐴, импликация: (𝑥 = 𝐴) → (𝑦 = 𝐵), заключение: 𝑦 = 𝐵.
Классический МР может быть кратко представлен следующим
рассуждением:
IF (𝑥 = 𝐴) THEN (𝑦 = 𝐵).
В нечетком моделировании могут использоваться, в отличие от
классической логики, приближенные логические рассуждения, основанные на GMP, которые могут быть представлены схемой:
𝑥 = 𝐴*, импликация: (𝑥 = 𝐴) → (𝑦 = 𝐵), заключение: 𝑦 = 𝐵*.
Здесь 𝑥 = 𝐴*и 𝑦 = 𝐵*представляют собой нечеткие высказывания (нечеткие множества), которые в каком-то смысле являются
близкими соответственно 𝐴 и 𝐵. Приведем пример рассуждений на
основе GMP:
Студент неплохо изучил учебный курс, импликация: (если Студент изучил учебный курс) → (студент сдаст экзамен), заключение:
Студент неплохо сдаст экзамен.
Необходимо подчеркнуть, что рассуждения на основе GMP не
всегда могут приводить к обоснованным выводам, и выбор множеств/высказываний 𝑥 = 𝐴*и 𝑦 = 𝐵*, близких (в каком-то смысле)
к 𝐴 и 𝐵, играет важную роль.
Согласно анализу структуры нечеткого вывода и адекватности получаемых выводов с использованием GMP, правила вывода на основе GMP применимы тогда, когда возможна некоторая экстраполяция
между мерами различия входных множеств к 𝐴 и 𝐴*и различиями
выходных множеств 𝐵 и 𝐵*[54].
Применение GMP в практических задачах нечеткого управления
и моделирования демонстрирует свою корректность (в обоснованных
случаях) и является универсальным.
1. Степень выполнения условий.
Для оценки нечеткой степени выполнения условий модели необходимо оценить степень выполнения условий каждого из правил, входящих в заданный моделью набор правил. Оценка условия определяется
видом правила.
Для элементарного (простого) условия
IF (𝑥 = 𝐴)
степень выполнения условия 𝑅, состоящего из данного простого условия, для заданной входной величины 𝑥, µ𝑅(𝑥), определяется степенью
принадлежности µ𝐴(𝑥) входной величины 𝑥 водному множеству 𝐴.
— 106 —
В сложных условиях, состоящих из двух простых, степень выполнения условия зависит от используемого логического оператора. Например, при использовании логического оператора AND (И), степень
выполнения условия, представляемого выражением
IF (𝑥1= 𝐴1) AND (𝑥2= 𝐵2)
для заданных входных величин 𝑥1= 𝑥
0
, 𝑥2= 𝑥
1
0
, определяется зна-
2
чением функции принадлежности
0
µ𝑅(𝑥
0
, 𝑥
) = µ
1
𝐴1∩𝐵
2
0
0
(𝑥
, 𝑥
) = 𝑇 (µ
1
2
2
0
(𝑥
), µ
𝐴
1
1
0
(𝑥
)),
𝐵
2
2
где 𝑇 — используемый в модели оператор 𝑡-нормы (см. раздел 1.3). В
качестве 𝑡-нормы используют, как правило, оператор минимума min
или логического произведения prod.
Для сложного условия, состоящего из двух простых, в котором
используется логический оператор OR (ИЛИ),
IF (𝑥1= 𝐴1) OR (𝑥2= 𝐵2),
степень выполнения условия оценивается с использованием оператора
𝑠-нормы:
0
µ𝑅(𝑥
0
, 𝑥
) = µ
1
𝐴1∪𝐵
2
0
0
(𝑥
, 𝑥
) = 𝑆(µ
1
2
2
0
(𝑥
), µ
𝐴
1
1
0
(𝑥
)).
𝐵
2
2
В качестве 𝑠-нормы чаще используется оператор max.
Логическое выражение сложного условия может иметь форму,
включающую операторы AND и OR. Например, для оценки степени
выполнения сложного условия:
IF (𝑥1= 𝐴1) AND (𝑥2= 𝐵2) OR (𝑥1= 𝐴2) AND (𝑥2= 𝐵1),
сначала вычисляются простые условия, содержащие оператор AND
(например, с использованием оператора логического произведения
prod), затем реализуется оператор OR (например, на основе оператора max).
Всюду выше в качестве входных величин использовались действительные числа 𝑥𝑖. В то же время, в условиях неопределенности/нечеткости, в качестве входных могут использоваться нечеткие
0
множества 𝐴
0
, 𝐵
, 𝑖 = 1, ..., 𝑛, 𝑗 = 1, ..., 𝑚. Рассмотрим оценку сте-
𝑖
𝑗
пени выполнения простого условия (как элемента сложных выражений/условий).
— 107 —
Если на вход простого условия IF (𝑥 = 𝐴) поступает нечеткое
множество 𝐴0, в качестве меры выполнения заданного условия µ
берется степень/мера схожести множеств 𝐴 и 𝐴0:
𝑅
ℎ = max
𝑥∈𝑋
min(µ𝐴(𝑥), µ
0
(𝑥)), (6.2)
𝐴
т.е. определяется пересечение нечетких множеств 𝐴∩𝐴0, затем берется
высота полученного нечеткого множества: µ𝑅= ℎ. Вычисление степе-
ни выполнения более сложных условий реализуется с учетом данного
правила и подходов, указанных выше.
Вычисления интегральной степени выполнения сложного условия
часто называют агрегированием [54].
2. Активизированные функции принадлежности заклю-
чений.
Выходные функции принадлежности нечеткой модели активизируются с использованием значений степени выполнения соответствующих отдельных условий. Указанный процесс называют также вы-
водом из правил. Данная процедура реализуется с использованием
выбранной операции импликации (см. раздел 5.2).
Рассмотрим вывод, реализуемый на основе следующего (базового)
правила:
IF (𝑥 = 𝐴) THEN (𝑦 = 𝐵), (6.3)
входная и выходная функции принадлежности, соответственно µ𝐴(𝑥)
и µ𝐵(𝑦), и входной величиной является 𝑥 = 𝑥0. Для импликации Мамдани (см. раздел 5.2) выходная функция принадлежности правила
𝑅 : 𝐴 → 𝐵 определяется формулой
µ𝑅(𝑥, 𝑦) = min(µ𝐴(𝑥), µ𝐵(𝑦)). (6.4)
Для заданного входного значения 𝑥 = 𝑥0функция принадлежности
(6.3) имеет вид
µ𝑅(𝑥0, 𝑦) = min(µ𝐴(𝑥0), µ𝐵(𝑦)) = µ
0
(𝑦). (6.5)
𝐵
Очевидно, что высота ℎ нечеткого множества 𝐵0равна (в общем
случае, не превышает) µ𝐴(𝑥0). Функция принадлежности µ
𝐵
0
(𝑦) =
= µ𝑅(𝑥0, 𝑦) представляет собой нижнюю часть соответствующей
функции принадлежности µ𝐵(𝑦), обрезанную по высоте ℎ (рис. 6.4).
При использовании в (6.3) импликации Ларсена (prod — логическое произведение, см. раздел 5.2) активизированная функция принадлежности правила (6.3) определяется как
0
µ
(𝑦) = µ𝐴(𝑥0)· µ𝐵(𝑦) (6.6)
𝐵
— 108 —
Рис. 6.4: Пример вывода на основе импликации Мамдани
и представляет собой деформацию/сжатие функции µ𝐵(𝑦); высота полученного нечеткого множества также равна ℎ.
В случае, когда условия правила состоят из множества простых
условий, соединенных логическими операторами, вычисление меры
выполнения заданного правила оценивается на основе указанных в
предыдущем подразделе подходов к агрегированию условий, и активация функций принадлежности заключения на основе заданной импликации реализуется согласно алгоритму, приведенному в данном
подразделе.
3. Результирующая функция принадлежности вывода из
базы правил.
В результате вывода из 𝑚 исходных правил 𝑅𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑚, получают, в общем случае, 𝑚 активизированных/модифицированных функций принадлежности заключений. Процесс получения результирующей функции принадлежности на основе активизированных функций
принадлежности называют аккумуляцией [54]. Ниже будут рассмотрены примеры некоторых (часто используемых) операторов аккумуляции и процесс их реализации.
Рассмотрим нечеткую модель со следующей базой правил:
𝑅1 : IF (𝑥 = 𝐴1) THEN (𝑦 = 𝐵1);
𝑅2 : IF (𝑥 = 𝐴2) THEN (𝑦 = 𝐴2).
(6.7)
Определим результирующую функцию принадлежности вывода из заданной базы правил для входного значения 𝑥 = 𝑥0.
— 109 —
В рамках предлагаемого подхода объединим два правила, 𝑅1 и 𝑅2,
в одно правило 𝑅:
𝑅 : IF (𝑥 = 𝐴1) THEN (𝑦 = 𝐵1)
OR IF (𝑥 = 𝐴2) THEN (𝑦 = 𝐴2).
(6.8)
Правило 𝑅 является объединением исходных правил: 𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2,
поэтому, согласно предыдущему подразделу, для оценки выходной
функции принадлежности, µ𝑅(𝑥, 𝑦), в точке 𝑥 = 𝑥0может быть использована одна из 𝑠-норм, например max:
µ
(𝑦) = µ𝑅(𝑥0, 𝑦) = max(µ𝑅1(𝑥0, 𝑦), µ𝑅2(𝑥0, 𝑦)). (6.9)
𝑟𝑒𝑠
Исходя из функций принадлежности µ𝑅1(𝑥0, 𝑦) и µ𝑅2(𝑥0, 𝑦), вы-
числяется результирующая функция принадлежности µ
𝑟𝑒𝑠
(𝑦).
Однако, уравнение (6.9) может быть расписано более детально.
Исходя из (6.5),
µ𝑅1(𝑥0, 𝑦) = µ
µ𝑅2(𝑥0, 𝑦) = µ
Методы нахождения функций µ
(см. выражения (6.3)–(6.6). Таким образом,
µ
𝑟𝑒𝑠
0
(𝑦) = min(µ
𝐵
1
0
(𝑦) = min(µ
𝐵
2
𝐵
(𝑦) = max(µ
0
(𝑦) и µ
1
0
(𝑦), µ
𝐵
1
(𝑥0), µ
𝐴
1
(𝑥0), µ
𝐴
2
0
(𝑦) представлены выше
𝐵
2
0
(𝑦)). (6.12)
𝐵
2
(𝑦)), (6.10)
𝐵
1
(𝑦)). (6.11)
𝐵
2
В процессе реализации нечетких моделей используется чаще всего
подход, основанный на уравнениях, аналогичным (6.10)–(6.12).
Подчеркнем еще раз, что результаты оценки функции принадлежности µ
(𝑦) зависят от того, какие 𝑡- и 𝑠-нормы будут выбраны в
𝑟𝑒𝑠
рамках модели; в описанном выше подходе это были, соответственно,
операторы min и max.
4. Общий алгоритм вывода.
Приведем реализацию общего алгоритма вывода на основе подхода, приведенного в предыдущем параграфе.
Целью алгоритма является определение результирующей функции принадлежности µ
(𝑦) (или другими словами — результирую-
𝑟𝑒𝑠
щего нечеткого множества). Рассмотрим общий вид базы правил конъюнктивного вида (см. замечание ниже по поводу другой структуры
— 110 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]