Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
правил), состоящей из 𝑚 правил (ниже применяются часто используемые в нечеткой логике обозначения: ∧ = min, ∨ = max):
𝑅1 : IF (𝑥1= 𝐴11) ∧ ... ∧ (𝑥𝑖= 𝐴1𝑖) ∧ .... ∧ (𝑥𝑛= 𝐴1𝑛)
THEN (𝑦 = 𝐵1),
......
𝑅𝑗 : IF (𝑥1= 𝐴𝑗1) ∧ ... ∧ (𝑥𝑖= 𝐴𝑗𝑖) ∧ .... ∧ (𝑥𝑛= 𝐴𝑗𝑛)
THEN (𝑦 = 𝐵𝑗),
(6.13)
......
𝑅𝑚 : IF (𝑥1= 𝐴𝑚1) ∧ ... ∧ (𝑥𝑖= 𝐴𝑚𝑖) ∧ .... ∧ (𝑥𝑛= 𝐴𝑚𝑛)
THEN (𝑦 = 𝐵𝑚).
Здесь используются следующие обозначения: 𝐴𝑗𝑖— нечеткое множество условия 𝑖 для правила 𝑗; 𝐵𝑗— нечеткое множество заключения 𝑗; 𝑥𝑖— 𝑖-й вход нечеткой модели; 𝑥
0
— значение 𝑖-го входа модели;
𝑖
𝑦 — выход нечеткой модели; 𝑖 = 1, ..., 𝑛, 𝑗 = 1, ..., 𝑚.
Реализация общего алгоритма вывода модели (6.13) основана на
выполнении следующих шагов.
1. На основе агрегации условий определяется степень ℎ𝑗выполне-
ния условий правила 𝑅𝑗:
ℎ𝑗= 𝑇 (µ
0
(𝑥
), ..., µ
𝐴
1
𝑗1
0
(𝑥
)), 𝑗 = 1, ..., 𝑚; (6.14)
𝐴
𝑛
𝑗𝑛
здесь 𝑇 — один из операторов 𝑡-нормы; в приложениях обычно используются такие варианты 𝑡-нормы, как min и prod (наиболее часто
используемая 𝑡-норма в нечетких моделях).
2. Определяются модифицированные (активизированные) функ-
ции принадлежности µ
µ
0
(𝑦) заключений для отдельных правил:
𝐵
𝑗
0
(𝑦) = 𝑇 (ℎ𝑗, µ
𝐵
𝑗
(𝑦)), 𝑗 = 1, ..., 𝑚, (6.15)
𝐵
𝑗
при этом используются только активные правила, т.е. те правила 𝑅𝑗,
для которых степень выполнения условия ℎ𝑗> 0. Подчеркнем, что
импликация Мамдани (IF (𝑥 = 𝐴)THEN(𝑦 = 𝐵)) основана на использовании логического оператора min, что является одним из вариантов
𝑡-нормы, поэтому уравнение (6.15) представляет собой общий случай
импликации.
3. На этом шаге определяется результирующая функция принад-
лежности µ
(𝑦) с использованием аккумуляции модифицированных
𝑟𝑒𝑠
— 111 —
функций принадлежности заключений отдельных правил:
здесь 𝐵0= 𝐵
µ
𝑟𝑒𝑠
0
∪ ... ∪𝐵
1
(𝑦) = µ
0
(𝑦) = 𝑆(µ
𝐵
0
, 𝑆 — используемая 𝑠-норма (например, max).
𝑚
0
(𝑦), ..., µ
𝐵
1
0
(𝑦)); (6.16)
𝐵
𝑚
Помимо 𝑠-норм, на месте 𝑆 могут использоваться и другие операторы.
Использование конъюнктивной формы (6.13) не является ограничением структуры модели, так как дизъюнктивная или смешанная
форма могут быть приведены к конъюнктивной форме. Покажем это
на двух примерах.
Рассмотрим пример смешанной конъюнктивно-дизъюнктивной
формы:
IF (𝑥1= 𝐴11)∧ (𝑥2= 𝐴12) ∨ (𝑥1= 𝐴21)∧ (𝑥2= 𝐴22) THEN (𝑦 = 𝐵1).
Данное правило может быть трансформировано в два правила конъюнктивной формы:
𝐼𝐹 (𝑥1= 𝐴11) ∧ (𝑥2= 𝐴12) 𝑇 𝐻𝐸𝑁 (𝑦 = 𝐵1);
IF (𝑥1= 𝐴21) ∧ (𝑥2= 𝐴22) THEN (𝑦 = 𝐵1).
Смешанное правило
IF (𝑥1= 𝐴1) THEN (𝑦 = 𝐵1) ∨ (𝑦 = 𝐵2)
может быть преобразовано в два правила конъюнктивной формы:
IF (𝑥1= 𝐴1) THEN (𝑦 = 𝐵1);
IF (𝑥1= 𝐴1) THEN (𝑦 = 𝐵2).
При нахождении результирующей функции принадлежности
µ
(𝑦) могут быть использованы как варианты 𝑡 −𝑠-норм, так и дру-
𝑟𝑒𝑠
гие операторы, реализующие операции пересечения и объединения
нечетких множеств. В связи с этим возникает естественный вопрос
о влиянии выбора логических операторов на результирующую оценку вывода.
Сравнительные оценки показывают, что влияние выбора логических операторов в рамках нечеткой модели на конечный результат
является существенным. Поэтому возникает следующий вопрос. Какие логические операторы являются более предпочтительными при
разработке нечеткой модели для достижения лучшей точности? Ответ можно разбить на два пункта [54].
— 112 —
1). При использовании моделей, обладающих возможностями самообучения (самонастройки), выбор логических операторов может
быть менее важным, поскольку в ходе настройки функции принадлежностей могут меняться/настраиваться для достижения большей
точности.
2). При отсутствии блока самообучения влияние выбора логических операторов может играть существенную роль. Для преодоления
данной проблемы прибегают к настройке модели по правилу проб и
ошибок или разработке дополнительных специализированных модулей реализации процедур перебора операторов для достижения приемлемой точности (адекватности) модели.
Косвенным показателем обоснованности выбора тех или иных логических операторов при создании нечетких моделей может служить
также статистика использования операторов в рамках решенных ранее задач. Согласно имеющимся данным [54], операторы prod, sum,
max-min, mean являются более демократичными, поскольку в отличие
от маргинальных операторов max и min (выбирающих только граничные величины) могут учитывать также значения других функций
принадлежности, соответствующих отдельным правилам.
5. Дефаззификация результирующей функции принад-
лежности вывода.
Результатом вывода из базы правил является результирующая
функция µ
нечеткого множества 𝐵0: µ
(𝑦), представляющая собой функцию принадлежности
𝑟𝑒𝑠
(𝑦) = µ
𝑟𝑒𝑠
0
(𝑦).
𝐵
В задачах нечеткого моделирования часто нужно провести дефаззификацию нечеткого множества 𝐵0, т.е. найти действительное число
𝑦0, которое представляет собой, в соответствии с выбранной моделью
дефаззификации, исходное нечеткое множество. Вопросы дефаззификации применительно к нечетким числам рассматривались в разделе 2.
В рамках дефаззификации нечетких множеств основными являются следующие методы [47, 54]:
∙ первого максимума (First of Maxima, FM);
∙ последнего максимума (Last of Maxima, LM);
∙ среднего максимума (Middle of Maxima, MM);
∙ центра тяжести (Center of Gravity, CG);
∙ центра сумм (Center of Sums, CS);
— 113 —
∙ высот (Height, H);
∙ обобщенный метод интеграла средних (Generalized Integral of
Means, GIM).
Методы максимумов (FM,LM, MM)
Первые три метода можно кратко представить следующим образом.
Обозначим через ℎ высоту нечеткого множества µ
рим множество 𝐻 = {𝑦 : µ
*
= sup(𝐻). Если 𝑦
*
= 𝑦
, тогда высота нечеткого множества состоит
1
2
(𝑦) = ℎ}. Пусть 𝑦
𝑟𝑒𝑠
(𝑦) и рассмот-
𝑟𝑒𝑠
*
= inf(𝐻), 𝑦
1
*
=
2
из одной точки 𝑦*.
Для заданного нечеткого множества µ(𝑦) = µ
(𝑦) первые три
𝑟𝑒𝑠
указанных выше метода дефаззификации определяются следующим
образом:
𝐹 𝑀 = 𝑦
*
, 𝐿𝑀 = 𝑦
1
*
, 𝑀 𝑀 = (𝑦
2
*
*
+ 𝑦
)/2. (6.17)
1
2
Достоинствами данных методов дефаззификации является малая
стоимость вычислений (другими словами, простой метод вычисления). Недостатком таких подходов является недемократичность —
зависимость от одного модернизированного множества заключений
(𝐵𝑗), т.е. другие нечеткие множества заключений не участвуют в процессе дефаззификации.
Метод центра тяжести (CG)
Согласно методу CG, в качестве дефаззифицированного значения
результирующей функции принадлежности µ(𝑦) = µ
(𝑦) берется ко-
𝑟𝑒𝑠
ордината центра тяжести 𝑦𝑐(по оси Y) результирующего нечеткого
множества 𝐵0:
𝑦𝑐=𝑦µ(𝑦)𝑑𝑦/µ(𝑦)𝑑𝑦. (6.18)
Формула для оценки центра тяжести (CG) (6.18) нечеткого множества 𝐵0выглядит так же, как и дефаззификация нечеткого числа
𝑍 (см. раздел 2, формулу (2.21). Различие состоит в том, что выражение (6.18) используется для любого нечеткого множества (для которого указанные интегралы существуют). Если нечеткое множество
𝐵0является нечетким числом, тогда указанные выражения определяют одно и то же значение 𝑦𝑐. В случае, когда нечеткое множество
𝐵0не является выпуклым, оно может быть разбито на отдельные выпуклые множества (активизированные множества заключений 𝐵
0
𝑗
), и
интегрирование проводится по отдельным участкам.
— 114 —
Для дискретного нечеткого множества 𝐵0=𝑦𝑖/µ𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑚,
его дефаззификация определяется следующей формулой:
𝑦𝑐=𝑦𝑖µ𝑖/(µ𝑖). (6.19)
Очевидно, выражения (6.18) и (6.19) имеют прямое сходство с вычислением математического ожидания.
Достоинством метода CG является то, что при этом учитывается
весь диапазон значений (в отличие от методов максимума), т.е. все
активизированные нечеткие множества заключений 𝐵
0
. К недостат-
𝑗
кам данного метода относят значительную «стоимость» вычислений
(при отсутствии соответствующих компьютерных модулей). Другие
достоинства и недостатки метода обсуждаются в [54].
Методы центра сумм (SC) и высот (H)
Указанные методы являются частным случаем метода CG и рассматриваются в деталях в ряде книг по нечеткой логике, например, в
[54].
Обобщенный метод интеграла средних (GIM)
Данный метод является обобщением метода интеграла средних
(Integral of Means, IM) (см. раздел 2.4, формула (2.24)). В случае,
когда нечеткое множество 𝐵0не является выпуклым, оно разбивается на отдельные выпуклые множества (объединение активизированных множеств заключений 𝐵
0
), и интегрирование проводится по от-
𝑗
дельным участкам; значение GIM определяется как средневзвешенное
значение значений CI, полученных для выпуклых участков функции
принадлежности µ
𝑟𝑒𝑠
(𝑦).
Достоинства и недостатки метода GIM такие же, как и у метода
CG.
6.2. Пример нечеткой модели
Рассмотрим модель, основанную на реализации правил логического вывода [54].
0
На вход модели подаются две величины: 𝑥
0
, 𝑥
, каждая из кото-
1
2
рых может принадлежать соответствующим термам (нечетким множествам треугольного вида) входной лингвистической переменной
(𝑆 — Small/малый терм, 𝐿 — Large/большой терм) (левая сторона
рис. 6.5).
Выходные термы (нечеткие множества), обозначенные на рис. 6.5
(справа) как 𝑆, 𝑀, 𝐿, являются дискретными и представляют собой
— 115 —
Рис. 6.5: Пример нечеткой модели (𝑆, 𝑀, 𝐿 — название входных и
выходных термов лингвистической переменной)
синглтоны в точках 𝑦1= 0, 𝑦2= 10, 𝑦3= 20. В лингвистическом смысле термы 𝑆, 𝐿, 𝑀 означают, соответственно, малое, большое и среднее
(Middle) значения входных и выходных величин.
Предположим для сравнения, что точный результат выхода (отклика) системы на входные величины нечеткой модели известен. В
качестве примера рассмотрим следующую (теоретическую) модель
связи входов и выхода:
𝑦 = 𝑥1+ 𝑥2. (6.20)
На практике, как правило, точная модель неизвестна, и выходные
величины оцениваются не на основе точной математической модели,
а базируются на измеренных входных и выходных величинах, либо
в форме знаний о системе, накопленных в результате наблюдений.
Другими словами, нечеткая модель (как практически все сложные
математические модели реальности) представляет собой инструмент
для модельной оценки отклика системы на значение входных величин.
Для заданных на рис. 6.5 входных и выходных нечетких множеств
рассмотрим нечеткую модель со следующей базой правил:
𝑅1: IF (𝑥1= 𝑆1) ∧ (𝑥2= 𝑆2) → (𝑦 = 𝑆),
𝑅2: IF (𝑥1= 𝑆1) ∧(𝑥2= 𝐿2) ∨ (𝑥1= 𝐿1) ∧(𝑥2= 𝑆2) → (𝑦 = 𝑀 ),
𝑅3: IF (𝑥1= 𝐿1) ∧ (𝑥2= 𝐿2) → (𝑦 = 𝐿).
Агрегация условий, входящих в отдельное правило, а также аккумуляция правил может быть реализована с использованием мак-
симинного вывода (max −min inference): агрегация условий основана
на использовании оператора min (∧), включая активизацию функции принадлежности отдельного правила (т.е. реализуется импликация Мамдани), аккумуляция проводится на основе оператора max (∨).
Для значения входных величин 𝑥
0
= 2.5, 𝑥
1
0
= 7.5, используя
2
— 116 —
рис. 6.5 с входными данными, получим следующую результирующую
функцию принадлежности выходной величины µ
0
(𝑥
) = 0.25,
𝑆
2
2
0
(𝑥
), µ
𝑆
1
1
(𝑥
𝐿
2
(𝑥
𝐿
2
0
) = 0.25.
2
0
2
µ
𝑟𝑒𝑠(𝑦2
µ
𝑟𝑒𝑠(𝑦1
) = µ
) = max(µ
µ
𝑟𝑒𝑠(𝑦3
) = µ
(𝑦):
𝑟𝑒𝑠
)) = 0.75,
(6.21)
Дефаззификацию результирующей функции принадлежности
µ
(𝑦) проведем с использованием дискретного варианта метода де-
𝑟𝑒𝑠
фаззификации CG (6.19):
𝑦0= (µ(𝑦1)𝑦1+ µ(𝑦2)𝑦2+ µ(𝑦3)𝑦3)/(µ(𝑦1) + µ(𝑦2) + µ(𝑦3)). (6.22)
Для заданных входных нечетких величин 𝑥
0
= 2.5, 𝑥
1
0
= 7.5, соглас-
2
но (6.22) и значениям (6.21), 𝑦0= 10. Указанная оценка совпадает с
теоретическим выходным значением модели (6.20).
0
В то же время, для других значений входных величин 𝑥
1
, 𝑥
0
вы-
2
ходная величина нечеткой модели 𝑦0может отличаться от теоретического значения.
6.3. Важные свойства баз правил и нечетких моделей
Создание нечеткой математической модели на основе нечеткой логики представляет собой непростой комплексный процесс. Выбор количества входов и выходов, условий, правил и баз правил, заключений, а также модели реализации процессов агрегации и аккумуляции
являются ключевыми. Понимание свойств нечетких моделей, проблем
их создания и использования являются важным фактором их успешной реализации [54, 47].
Ниже перечислены свойства, характерные для правил, баз правил
и нечетких моделей в целом:
∙ локальный характер правил;
∙ зависимость числа правил от числа используемых нечетких мно-
жеств;
∙ полнота модели;
∙ непротиворечивость базы правил;
∙ связность базы правил;
— 117 —
∙ избыточность базы правил.
1. Локальный характер, как правило, означает то, что окрестность в множестве входных значений (окрестность в пространстве R
при использовании 𝑛 входов) задает окрестность в пространстве выходных значений (окрестность в пространстве R𝑚при использовании
𝑚 выходов). Можно добавить, что изменение нечеткого множества
заключения приводит к локальным изменениям в модели и ее результатах. В то же время, изменение условий правил не является локальным.
2. Сложность моделей. Это свойство нечетких моделей отража-
ет ту же проблему, с которой сталкивается имитационное математическое моделирование (например, в экологии): чем более точно мы
хотим описать некоторую сложную реальную проблему, тем большее
количество правил учитываем, что в свою очередь ведет к проблеме
задания большого количества необходимых параметров (использования большого количества информации) и сложности в использовании
большой модели (в том числе проверки ее адекватности). Отсюда следует необходимость выбора некоторого компромисса между сложностью и точностью модели. Например, если число входов модели равно
𝑛, а число нечетких множеств для описания каждого из них равно 𝑀,
то число простых правил 𝑟 для описания такой модели определяется формулой 𝑟 = 𝑀𝑛. Например, для 𝑀 = 3, 𝑛 = 10, 𝑟 = 59049.
Подобный рост числа правил с ростом числа входов и используемых
параметров (входных нечетких множеств) получил название (как и
в имитационном моделировании) «проклятие размерности». В ряде
случаев при большой, но ограниченной разумными пределами сложности, для настройки моделей применяют нейронные сети.
3. Полнота нечеткой модели. Нечеткая модель (например, модель общего вида (6.13)) называется полной, если с каждым
0
состоянием входных величин 𝑥0= (𝑥
, ..., 𝑥
1
0
) ∈ 𝑋 = 𝑋1× ... × 𝑋
𝑛
может быть связано выходное состояние 𝑦0.
Нечеткая модель называется неполной, если с некоторыми вход-
ными величинами 𝑥0нельзя связать ни одного выходного состояния
𝑦0.
Можно привести ряд примеров, когда система является неполной.
Причиной тому могут быть, например, пробелы во входных и/или выходных нечетких множествах соответственно на оси входных значений
𝑋𝑖и оси выходных значений 𝑌 . Полнота нечеткой модели необходима
для достижения высокой точности результатов.
— 118 —
𝑛
𝑛
Нечеткое разбиение области 𝑋𝑖переменной входных значений 𝑥
нечеткими множествами 𝐴𝑗𝑖, 𝑗 = 1, ..., 𝑚, является полным, если выполняется следующее соотношение:
𝑚
µ
(𝑥𝑖) > 0, 𝑥𝑖∈ 𝑋𝑖,
𝐴
𝑗𝑖
𝑗=1
здесь 𝑚 — число нечетких множеств 𝐴𝑗𝑖(см. нечеткую модель (6.13)).
Применение неполных разбиений может приводить к ошибкам в использовании нечетких моделей.
Пусть в нечеткой модели каждый вход 𝑥𝑖может принимать значения в шкале лингвистических термов 𝑋𝑖= (𝐴𝑖1, ..., 𝐴
), 𝑖 =
𝑖𝑘
𝑖
= 1, ..., 𝑛, которые определяют все возможные состояния входного век-
тора (𝑥1, ..., 𝑥𝑛): 𝐴
1𝑟
, ..., 𝐴
1
, 1 ≤ 𝑟𝑖≤ 𝑘𝑖, 𝑖 = 1, ...,𝑛, а выход 𝑌
𝑛𝑟
𝑛
задан, в общем случае, лингвистическими термами 𝑌 = (𝐵1, ..., 𝐵𝑚).
База правил модели называется лингвистически полной, если каждому входному лингвистическому состоянию 𝐴
1𝑟
, ..., 𝐴
1
может быть
𝑛𝑟
𝑛
поставлено в соответствие хотя бы одно выходное лингвистическое
состояние 𝐵𝑗. Отметим, что лингвистическая полнота является полезным, но не необходимым требованием полноты нечеткой модели.
База правил называется численно полной, если каждое входное
0
состояние (𝑥
, ..., 𝑥
1
0
) приводит к активации хотя бы одного правила
𝑛
(заключения 𝐵𝑗).
Активация хотя бы одного правила позволяет вычислить выходное
значение модели, поэтому данное определение соответствует определению полной нечеткой модели. Лингвистически неполная база правил может быть численно полной, если входные функции принадлежности имеют достаточно широкие носители (которые охватывают всю
допустимую область изменения входных величин).
При анализе проблематики полноты возникают следующие вопросы:
1. Должна ли быть нечеткая модель всегда полной?
2. Должна ли быть база правил лингвистически полной?
3. Должна ли быть база правил численно полной?
Поскольку понятие полноты модели соответствует понятию численной полноты, то ответы на вопросы 1 и 3 являются одинаковыми.
Нечеткая модель может быть неполной, если области неоднородности лежат в неиспользуемых моделью областях входных и выходных
значений. База правил может быть лингвистически неполной, если
— 119 —
𝑖
отсутствующие входные и выходные состояния модели не являются
рабочими.
Однако использование неполных моделей связано с риском, особенно при обобщении модели или при ее использовании в рамках широкого круга сценариев, которые могут возникнуть в реальных условиях.
4. Непротиворечивость базы правил. База правил является
непротиворечивой (согласованной), если она не содержит несовместные правила (т.е. правила, имеющие одинаковые условия, но разные
заключения). Ниже представлен пример несовместных (противоречивых) правил:
𝑅1 : IF (𝑥 = 𝑆) THEN (𝑦 = 𝑆),
𝑅2 : IF (𝑥 = 𝑀) THEN (𝑦 = 𝑉 𝐿),
𝑅3 : IF (𝑥 = 𝑀) THEN (𝑦 = 𝑀),
(6.23)
𝑅4 : IF (𝑥 = 𝐿) THEN (𝑦 = 𝐿).
Очевидно, правила 𝑅2 и 𝑅3 являются несовместными, так как они
выражают весьма различные заключения (здесь 𝑆, 𝑀, 𝐿, 𝑉 𝐿 — стандартные сокращения соответствующих термов лингвистической переменной «размер»). Если заключение 𝑅2 заменить на (𝑦 = 𝐿), несов-
местность останется, однако она может быть интерпретирована как
«слабая несовместность», так как термы 𝑀 и 𝐿 расположены рядом.
Таким образом, степень несовместности правил может быть различной.
Причин наличия противоречивых правил может быть несколько.
Одной из них может быть ошибка при формировании правил, особенно при большом их количестве.
Другой причиной может быть неоднозначность моделируемой системы, когда одному входному состоянию могут соответствовать
несколько выходных. Это может произойти, например, когда сказываются скрытые связи, в том числе в динамике, или в самой системе имеются разного рода неоднозначные поверхности отклика, например, поверхности складок/ гистерезиса. Таким образом, несовместность правил может являться не ошибкой системы, а ее особенностью, и нужно
только скорректировать правила. Для этого можно увеличить количество входных величин (увеличить размерность описания модели).
В случае с моделью гистерезиса можно от плоского ее представления
перейти в трехмерное пространство со специальным образом подобранных входных координат [54]. При наличии несовместности могут
проводиться также различного рода операции усреднения.
— 120 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]