Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
min
ке [𝑤
Рис. 4.4: Задание весовых коэффициентов методом F-Swing
max
, 𝑤
𝑗
], 𝑗 = 2, . . . , 𝑚.
𝑗
Можно выделить следующие модели нечеткого расширения клас-
сического аддитивного метода MAVT.
∙ Модели FMTrCI и FMTrIM: FM — сокращенное обозначе-
ние моделей FMAVT, Tr — (TrFNs) использование ТрНЧ вдоль
всей цепочки (приближенных) вычислений модели в (4.13) (могут быть использованы также соответствующие трапециевидные
нечеткие числа — TpFNs); CI (Centroid Index) и IM (Integral of
Means) — соответствующие методы ранжирования.
∙ Модели FMSCI и FMSIM: здесь S обозначает использование
СНА (SFA) при вычислении всех функций в (4.13). Пример ранжирования альтернатив с использованием приближенных методов вычисления представлен на рис. 4.5.
∙ Модель FMSOY: S — применение SFA, Y — метод ранжирова-
ния Юаня, О — наличие переоценки (overestimation, см. раздел 1.1). В рамках данной модели разность интегральных значений альтернатив 𝑎𝑖и 𝑎𝑗оценивается непосредственно как
𝑂
𝑍
= 𝑉 (𝑎𝑖) − 𝑉 (𝑎𝑗) c применение СНА:
𝑖𝑗
𝑚
𝑂
𝑍
= (
𝑖𝑗
𝑤𝑘𝑉𝑘(𝑐𝑖𝑘)) − (
𝑘=1
𝑚
𝑤𝑘𝑉𝑘(𝑐𝑗𝑘)). (4.15)
𝑘=1
— 91 —
Рис. 4.5: Ранжирование альтернатив в рамках FMAVT
Поскольку НЧ 𝑤𝑘, 𝑘 = 1, ..., 𝑚, встречаются в выражении два
раза, поэтому при вычислении (4.15) имеет место переоценка.
∙ Модель FMTY: при использовании метода ранжирования Y ис-
пользуется трансформация выражения (Т) 𝑍
𝑇
= 𝑉 (𝑎𝑖) − 𝑉 (𝑎𝑗)
𝑖𝑗
с дальнейшей оценкой истинного результата на основе СНА:
𝑚
𝑇
𝑍
=
𝑖𝑗
𝑤𝑘(𝑉𝑘(𝑐𝑖𝑘) − 𝑉𝑘(𝑐𝑗𝑘)). (4.16)
𝑘=1
Можно также подчеркнуть, что истинная оценка (4.15) на основе редуцированного метода трансформации (RTM) также ведет к истинной
оценке 𝑍
𝑇
.
𝑖𝑗
Свойства моделей FMAVT, а также различия в ранжировании аль-
тернатив различными моделями FMAVT изложены в [67, 68].
Эффективным инструментом для решения задач МКАР/НМКАР
является система поддержки принятия решений DecernsMCDA [64].
— 92 —
Задачи к разделу 4
1. Изучите руководство пользователя систем DecernsMCDA и
DecernsFMCDA, включая применение методов TOPSIS, MAVT,
а также моделей FTOPSIS и FMAVT, http://www.decerns.com/.
2. Придумайте свою многокритериальную задачу и исследуйте
ее с использованием моделей TOPSIS и FTOPSIS (в среде
DecernsFMCDA).
3. Проанализируйте различия процессов нормировки значений
критериев в рамках TOPSIS и FTOPSIS.
4. Исследуйте придуманную задачу МКАР с использованием моделей MAVT и FMAVT (в среде DecernsFMCDA) (попробуйте
убедиться в том, что аксиома взаимной независимости от разности при исследовании задачи с использованием MAVT выполняется).
5. Проведите анализ результатов ранжирования альтернатив, полученных при решении двух предыдущих задач.
6. На примере конкретной задачи НМКАР вычислите значения
обобщенного критерия модели FTOPSIS (4.9) для 𝑚 = 1 с использованием системы F-Calc и различных подходов к оценке
функций от нечетких чисел. Проанализируйте переоценку выходного результата.
7. Укажите два нечетких числа 𝐴 и 𝐵 такие, что 𝐴 ⪰𝑅𝐵 и
𝑉 (𝐵) ⪰𝑅𝑉 (𝐴) для некоторой нелинейной частной функции ценности 𝑉 (𝑥), 𝑅=CI, IM.
8. Докажите, что для любой нелинейной частной функции ценности 𝑉 (𝑥) найдутся нечеткие числа 𝐴 и 𝐵 такие, что 𝐴 ⪰𝑅𝐵 и
𝑉 (𝐵) ⪰𝑅𝑉 (𝐴), 𝑅 = 𝐶𝐼, 𝐼𝑀 .
9. Докажите, что для любой линейной частной функции ценности
𝑉 (𝑥) утверждение предыдущей задачи не выполняется.
10. Докажите, что для различимых нечетких чисел 𝐴 и 𝐵 из
𝐴 ⪰𝑅𝐵 следует, что 𝑉 (𝐴) ⪰𝑅𝑉 (𝐵), 𝑅=CI, IM, для любой
частной функции ценности.
— 93 —
Лекция 5. Введение в нечеткую логику
Классическая бинарная логика, как и различные варианты многозначной логики [12], являются составляющими современной математики. Нечеткая логика является одной из форм многозначной логики, в которой показатель истинности может принимать значение в
замкнутом интервале (отрезке) [0,1].
В рамках существующей общей теории НЛ можно выделить два
основных направления: нечеткая логика в узком смысле или символическая нечеткая логика, а также нечеткая логика в широком смысле
(нечеткие логические выводы и приближенные рассуждения). Основой нечеткой логики (НЛ) является концепция нечеткого множества
(НМ) [72, 75]. Элементы нечеткой логики излагаются практически во
всех учебниках по теории НМ [11, 45, 47, 54]. Ниже кратко будут затронуты два основных направления НЛ.
5.1. Базовые понятия нечеткой логики
Как и в классической математической логике, в НЛ рассматриваются логические выражения (формулы) и оценивается истинность
высказываний, представленных соответствующими выражениями. В
НЛ значение истинности высказываний лежит в замкнутом интервале
[0,1], в отличие от классической логики, истинность в которой может
принимать только два значения — 0 или 1.
Нечеткая логика представляется нечеткими выражениями (формулами), удовлетворяющими следующим правилам:
∙ значение истинности 0 и 1, а также переменные 𝑥𝑖∈ [0, 1], 𝑖 =
= 1, ..., 𝑛, являются нечеткими выражениями;
∙ если 𝑓 является нечетким выражением, его отрицание 𝑁𝑒𝑔(𝑓 ) =
= 𝑓 также является нечетким выражением;
∙ если 𝑓 и 𝑔 — нечеткие выражения, тогда 𝑓 ∧𝑔 и 𝑓 ∨𝑔 также явля-
ются нечеткими выражениями (здесь ∧ — логическая операция
И (конъюнкция), ∨ — логическая операция ИЛИ (дизъюнкция)).
— 94 —
Основными операторами над нечеткими выражениями (𝐴, 𝐵) (логические операторы) являются: отрицания (negation) — 𝑁 𝑒𝑔(𝐴) или
𝐴; конъюнкции (conjunction) — 𝐴 ∧ 𝐵, дизъюнкции (disjunction) —
𝐴 ∨ 𝐵; а также импликации (implication) — 𝐴 → 𝐵. Необходимо под-
черкнуть, что имеют место различные варианты оценки указанных
операторов. В приложениях часто используются операторы в определении Лукасевича [47] (здесь 𝑎, 𝑏 ∈ [0, 1] представляют собой нечеткую меру выражений 𝐴 и 𝐵):
1. Отрицание: 𝑎 = 1 − 𝑎;
2. Конъюнкция: 𝑎 ∧ 𝑏 = min(𝑎, 𝑏);
3. Дизъюнкция: 𝑎 ∨ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏);
4. Импликация: 𝑎 → 𝑏 = min(1, 1 − 𝑎 + 𝑏).
Понятие импликации играет ключевую роль в формировании
нечетких высказываний и правил логического вывода, потому этот
оператор рассматривается в отдельном разделе.
Базовые свойства нечетких логических операторов представлены
ниже:
∙ инволюция: 𝑁𝑒𝑔(𝑁 𝑒𝑔(𝑎)) ≡ 𝑎 = 𝑎;
∙ коммутативность: 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ∧ 𝑎, 𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑏 ∨ 𝑎;
∙ ассоциативность: (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 = 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐), (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐 = 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐);
∙ дистрибутивность: 𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑐) = (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ (𝑎 ∧ 𝑐), 𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) =
= (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐);
∙ идемпотентность: 𝑎 ∧ 𝑎 = 𝑎, 𝑎 ∨ 𝑎 = 𝑎;
∙ абсорбция: 𝑎 ∧ (𝑎 ∨ 𝑏) = 𝑎, 𝑎 ∨ (𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑎;
∙ абсорбция нулем и единицей: 𝑎 ∧ 0 = 0, 𝑎 ∨ 1 = 1;
∙ идентичность: 𝑎 ∧ 1 = 𝑎, 𝑎 ∨ 0 = 𝑎;
∙ закон Де-Моргана: 𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑎 ∧ 𝑏, 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎 ∨ 𝑏.
Указанные выше свойства нечеткой логики имеют место и в классической бинарной логике. Однако не все свойства классической логики выполняются в нечеткой логике.
— 95 —
В классической логике выполняется так называемый закон противоречия — 𝑎 ∧ 𝑎 = 0, и закон исключенного среднего – 𝑎 ∨ 𝑎 = 1.
В нечеткой логике указанные законы не выполняются:
𝑎 ∧ 𝑎 = min(𝑎, 1 − 𝑎) =
= {𝑎, если 0 ≤ 𝑎 ≤ 0.5;
(5.1)
1 − 𝑎, если 0.5 < 𝑎 ≤ 1},
𝑎 ∨ 𝑎 = max(𝑎, 1 − 𝑎) =
= {𝑎, если 0.5 ≤ 𝑎 ≤ 1;
(5.2)
1 − 𝑎, если 0 ≤ 𝑎 < 0.5}.
Задачи к разделу 5.1
1. Для нечетких выражений A и B с мерой 0.3 и 0.8 соответственно
определите меру выражений, представляющих собой операторы
отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации.
2. Докажите свойство ассоциативности для выражений нечеткой
логики:
(𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 = 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐), (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐 = 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐).
3. Докажите свойство дистрибутивности для выражений нечеткой
логики: 𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑐) = (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ (𝑎 ∧ 𝑐), 𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) = (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐).
4. На конкретном примере покажите, что закон противоречия, характерный для четкой логики, в рамках нечеткой логики не выполняется.
5. На конкретном примере покажите, что закон исключенного третьего (среднего) в рамках нечеткой логики не имеет места.
6. Докажите закон Де-Моргана: 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎 ∨ 𝑏.
5.2. Нечеткая импликация
Понятие нечеткой импликации играет ключевую роль в формировании и анализе нечетких рассуждений и в правилах нечеткого логического вывода.
Существуют три основных подхода к определению нечеткой импликации:
— 96 —
1) обобщение понятия импликации в классической логике, основан-
ной на использовании операторов конъюнкции (∧), дизъюнкции
(∨) и отрицания (𝑁𝑒𝑔);
2) аксиоматический подход;
3) нечеткая импликация на основе нечетких отношений и правил
вывода.
Указанные подходы кратко представлены ниже.
1. Обобщение классического понятия импликации.
В классической НЛ импликация часто представляется следующи-
ми выражениями:
1. 𝑎 → 𝑏 = 𝑎 ∨ 𝑏;
2. 𝑎 → 𝑏 = 𝑎 ∨ (𝑎 ∧ 𝑏);
3. 𝑎 → 𝑏 = max{𝑥 ∈ 0, 1 : 𝑎 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏}.
В рамках классической логики указанные варианты импликации эквиваленты. Существуют также другие варианты представления классической импликации.
При переходе к нечеткой логике классические операции конъюнкции и дизъюнкции замещаются соответствующими нечеткими операторами. Результатом нечеткого расширения классических вариантов
импликации являются различные варианты нечеткой импликации.
Пусть 𝐴 и 𝐵 — некоторые нечеткие выражения с нечеткой мерой
𝑎 и 𝑏 соответственно. Обозначим через 𝐼(𝑎, 𝑏) значение нечеткого опе-
ратора 𝐼 ; например, для оператора конъюнкции (указанного выше в
разделе 5.1) 𝐼(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∧ 𝑏 = min(𝑎, 𝑏). Таким образом, 𝐼 (𝑎, 𝑏) представляет собой функцию 𝐼 : [0, 1]2→ [0, 1]. Далее через 𝐼(𝑎, 𝑏) будем
обозначать оператор(ы) нечеткой импликации.
Различные варианты нечеткой импликации могут быть получены с
использованием концепции 𝑡-норм (𝑇 ), 𝑡-конорм/𝑠-норм (𝑆), а также
инвентора (отрицания) (𝑁) [11, 45, 47]. Примеры востребованных в
приложениях нечетких импликаций 𝐼(𝑎, 𝑏) = 𝑎 → 𝑏 представлены
ниже:
∙ импликация Лукасевича (1920): 𝐼 (𝑎, 𝑏) = min(1, 1 − 𝑎 + 𝑏);
∙ импликация Рейхенбаха (1935): 𝐼(𝑎, 𝑏) = 1 − 𝑎 + 𝑎𝑏;
∙ импликация Клини (1938): 𝐼(𝑎, 𝑏) = max(1 − 𝑎, 𝑏);
— 97 —
∙ наибольшая импликация S-типа: 𝐼 (𝑎, 𝑏) = {𝑏, 𝑖𝑓 𝑎 = 1; 1− 𝑎, 𝑏 =
= 0; 1, 𝑎 = 1, 𝑏 = 0};
∙ импликация Заде: 𝐼 (𝑎, 𝑏) = max(1 − 𝑎, min(𝑎, 𝑏));
∙ импликация Клира: 𝐼 (𝑎, 𝑏) = 1 − 𝑎 + 𝑎2𝑏.
Существует также ряд других определений нечеткой импликации.
2. Аксиоматический подход к определению нечеткой импликации.
Пусть, как и выше, 𝐼(𝑎, 𝑏) представляет значение нечеткой импликации 𝑎 → 𝑏. Аксиоматический подход состоит в формировании списка аксиом (требований) для функции 𝐼(𝑎, 𝑏), выполнение которых желательно для нечеткой импликации. В качестве основных используют
следующие аксиомы:
1. 𝐼(𝑎, 𝑥) ≥ 𝐼 (𝑏, 𝑥), если 𝑎 ≤ 𝑏 (антимонотонность по первому аргу-
менту);
2. 𝐼(𝑥, 𝑎) ≤ 𝐼 (𝑥, 𝑏), если 𝑎 ≤ 𝑏 (монотонность по второму аргумен-
ту);
3. 𝐼(0, 𝑎) = 1 (доминирование ложного: из ложного — что угодно);
4. 𝐼(1, 𝑏) = 𝑏 (нейтральность к истинному: из истинного априори
ничего не следует).
Используемые на практике импликации могут не удовлетворять
некоторым аксиомам. Например, востребованные в приложениях импликации Мамдани 𝐼𝑀(𝑎, 𝑏) = min(𝑎, 𝑏) и Ларсена 𝐼𝐿(𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑏 удо-
влетворяют только аксиомам 2 и 4.
3. Нечеткая импликация на основе нечетких отношений и правил
вывода.
В нечетком моделировании понятие импликации часто вводится
без прямого использования элементов нечеткой логики. Рассмотрим
один из таких подходов.
Нечеткая импликация может быть представлена правилом 𝑅 следующего вида:
IF (𝑥 = 𝐴) THEN (𝑦 = 𝐵), (5.3)
здесь (𝑥 = 𝐴) — условие (антецедент), (𝑦 = 𝐵) — заключение (консеквент).
В данном выражении 𝐴 и 𝐵 — нечеткие множества с функциями
принадлежности µ𝐴(𝑥) и µ𝐵(𝑦) на универсальных множествах 𝑋 и
— 98 —
𝑌 соответственно. Нечеткая импликация традиционно обозначается
как 𝐴 → 𝐵 и представляет собой нечеткое отношение 𝑅 на множестве
𝑋 × 𝑌 c функцией принадлежности µ𝑅(𝑥, 𝑦) = µ
Функция принадлежности отношения импликации µ
𝐴→𝐵
(𝑥, 𝑦).
𝐴→𝐵
(𝑥, 𝑦) лежит в основе нечетких рассуждений, позволяющих определить выходное значение нечеткой модели по заданным входным значениям.
Функция принадлежности импликации обычно определяется (задается) с использованием функции принадлежности условия, µ𝐴(𝑥), и
заключения, µ𝐵(𝑦). Для этого применяется соответствующий модели
оператор импликации.
Одним из часто используемых в приложениях является оператор
импликации Мамдани, основанный на интуитивно понятном предположении: степень истинности заключения µ𝐵(𝑦) не может быть выше
степени истинности условия µ𝐴(𝑥):
µ
(𝑥, 𝑦) = min(µ𝐴(𝑥), µ𝐵(𝑦)). (5.4)
𝐴→𝐵
Примером, где применение оператора Мамдани обосновано, является следующее правило: IF(скорость передачи данных в интернете =
СРЕДНЕЕ) THEN (качество изображения в течение онлайн конференции = ВЫСОКОЕ).
Другим примером импликации, используемым в задачах нечеткого
моделирования, является оператор (логического произведения) Лар-
сена:
µ
(𝑥, 𝑦) = µ𝐴(𝑥)· µ𝐵(𝑦). (5.5)
𝐴→𝐵
Список операторов импликации, востребованных в задачах нечеткого
моделирования, представлен ниже [54]:
∙ импликация Лукасевича: min(1, 1 − µ𝐴(𝑥) + µ𝐵(𝑦);
∙ импликация Клини-Динса: max(1 − µ𝐴(𝑥), µ𝐵(𝑦));
∙ импликация Клини-Динс-Лукасевича: 1 − µ𝐴(𝑥) + µ𝐴(𝑥)µ𝐵(𝑦);
∙ импликация Гёделя: {1, µ𝐴(𝑥) ≤ µ𝐵(𝑦); µ𝐵(𝑦), µ𝐴(𝑥) > µ𝐵(𝑦)};
∙ импликация Ягера: (µ𝐴(𝑥))
µ𝐵(𝑦)
;
∙ импликация Заде: max(1 − µ𝐴(𝑥), min(µ𝐴(𝑥), µ𝐵(𝑦)));
∙ импликация Мамдани: min(µ𝐴(𝑥), µ𝐵(𝑦));
∙ импликация Ларсена (𝑝𝑟𝑜𝑑): µ𝐴(𝑥)µ𝐵(𝑦).
— 99 —
Использование нечеткой логики на основе правил нечеткого вывода рассматривается в следующем разделе.
Задачи к разделу 5.2
1. Докажите, что в классической логике все указанные определения импликации являются эквивалентными:
(a) 𝑎 → 𝑏 = 𝑎 ∨ 𝑏;
(b) 𝑎 → 𝑏 = 𝑎 ∨ (𝑎 ∧ 𝑏);
(c) 𝑎 → 𝑏 = max{𝑥 ∈ 0, 1 : 𝑎 ∧ 𝑥 ≤ 𝑏}.
2. Докажите, что (𝑎 ∧ (𝑎 → 𝑏)) → 𝑏 (так называемый Modus
Ponens) является тавтологией в классической логике.
3. Докажите, что (𝑏 ∧ (𝑎 → 𝑏)) → 𝑏 (Modus Tollens) является тавтологией в классической логике.
4. Докажите, что в классической логике гипотетический силлогизм
((𝑎 → 𝑏) ∧ (𝑏 → 𝑐)) → (𝑎 → 𝑐) является тавтологией.
5. Докажите, что в нечеткой логике импликация Лукасевича и импликация Клини не являются эквивалентными.
6. Докажите, что в нечеткой логике импликация Мамдани и импликация Заде не являются эквивалентными.
7. Докажите, что в нечеткой логике импликация Мамдани и импликация Ларсена не являются эквивалентными.
8. Вычислите выражение IF (𝑥 = 𝐴) THEN (𝑦 = 𝐵), µ𝐴(𝑥) =
= 0.2, µ𝐵(𝑦) = 0.6, с использованием импликаций Мамдани,
Ларсена и Заде.
9. Вычислите выражение IF (𝑥 = 𝐴) THEN (𝑦 = 𝐵), µ𝐴(𝑥) =
= 0.1, µ𝐵(𝑦) = 0.8, с использованием импликаций Лукасевича и
Клини-Динса.
10. Докажите, что импликация Мамдани удовлетворяет аксиомам
2 и 4 (см. «Аксиоматический подход к определению импликации»).
11. Исследуйте, каким аксиомам удовлетворяет импликация Ларсена (см. «Аксиоматический подход к определению импликации»).
— 100 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]