Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие интеллектуальные системы. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Для описания подобных (качественных) категорий Лотфи Заде
предложил концепцию информационных гранул [74, 73]. Если, например, для описания скорости трех гранул (низкая, средняя и высокая)
недостаточно, то можно перегруппировать размеры гранул (например, от показателей средней скорости в 50–90 км/ч можно создать
гранулу средней скорости 60–80 км/ч), добавив, например, такие гранулы, как «очень низкая», «очень высокая» [74, 54]. Степень гранулированности информации определяется конкретными задачами. В
разделе 3 рассматриваются лингвистические переменные, представляющие собой одну из эффективных реализаций концепции гранулированности. Пример гранулирования информации (информационных
гранул) представлен на рис. 1.8.
Рис. 1.8: Пример гранулирования информации
Информацию, представляемую гранулами, Л. Заде назвал нечеткой информацией; область математики, основанная на обработке
нечеткой информации, называют теорией нечетких множеств. Одним из важнейших научно-практических направлений теории нечетких множеств можно назвать нечеткую логику, являющуюся основой
нечеткого моделирования и управления [54].
В трактовке нечетких множеств можно выделить два ключевых
направления.
С точки зрения сущности (онтологии) НМ вполне естественным
является то, что такие понятия, как «высокий», «низкий», «дешевый»,
«очень дорогой» существовали в нашем мире всегда (до и без теории
НМ). Возникновение теории НМ дало возможность эффективного их
применения в различных операциях, подобно тому, как это реализуется в классической математике.
— 31 —
С другой (эпистемологической) точки зрения, нечеткость отражает лишь степень нашего незнания в конкретной ситуации. Например,
если мы говорим, что скорость машины очень высокая, то достаточно использовать соответствующий прибор, который уточнит эту величину (см. также комментарий ниже). Другим примером здесь могут служить так называемые экспертные оценки: не имея конкретных
данных (требующих временных и/или финансовых затрат), эксперты,
исходя из имеющихся на данный момент данных и их опыта/знаний,
высказывают свои экспертные суждения.
Указанные понятия и трактовки НМ не являются взаимоисключающими, и можно привести примеры их пресечения.
Основные особенности и характеристики нечеткости можно кратко
представить следующим образом:
∙ отсутствие четких границ рассматриваемых объектов;
∙ один из видов неопределенностей;
∙ нечеткость является концептуально другим понятием, чем веро-
ятность: вероятностное событие реализуется (например, выпал
«орел»), в то время как в нечетких задачах неопределенность
остается (низкий, высокий, очень высокий).
Конечно, теория НМ не является супернаукой, с помощью которой можно описать все виды исследований и оценок, так или иначе
связанных с неопределенностями в общем и разнообразном их понимании.
Рассмотрим различия таких категорий, как нечеткость, общность
и неоднозначность, входящих в общее понятие неопределенности:
∙ Понятие является общим, когда оно применяется к группе объ-
ектов, при этом сохраняя только некоторое общее их свойство.
Например: «Вчера Петя купил в магазине некоторые товары».
∙ Неоднозначное понятие обозначает несколько не связанных объ-
ектов. Например: «Петя должен купить фрукты или овощи и
хлеб».
∙ Нечеткость не относится ни к общности, ни к многозначности,
и применение НМ исключает указанные категории. НМ предполагает, что универсальное множество хорошо определено, и его
элементы привязаны к некоторым объектам с использованием
некоторой числовой шкалы.
— 32 —
Учитывая возможности трактовки НМ с разных позиций, используя при этом различные математические модели их реализации, к
настоящему времени, кроме классических НМ Л. Заде, разработаны
несколько вариантов так называемых новых НМ (novel fuzzy sets).
Перечислим основные из них:
∙ интуиционистские НМ (intuitionistic FS );
∙ хезитантные НМ (hesitant FS);
∙ интервальнозначные НМ (interval-valued FS );
∙ пифагорейские НМ (pyphagorean FS);
∙ сферические НМ (spherical FS );
∙ мягкие НМ (soft FS ).
Новые нечеткие множества находят некоторое применение (например, в нечетком анализе решений). В данном курсе указанные НМ не
рассматриваются.
1.6.2. Степень принадлежности нечеткому множеству
и функции принадлежности
Функция принадлежности является ключевым понятием нечеткого множества. Степень принадлежности (degree of membership) эле-
мента нечеткому множеству имеет несколько интерпретаций.
Сам термин «степень принадлежности» в определенных задачах
может быть заменен такими терминами, как «мера/степень доверия»
или «мера/степень истинности». Рассмотрим последний вариант.
Базовой креативной идеей Л. Заде была замена классической
двузначной функции принадлежности χ𝐴(𝑥) на многозначную /континуальную функцию принадлежности µ𝐴(𝑥). В то же время, в
нескольких научных школах математической логики (Лукасевич (Jan
Lukasiewicz), Клини (Stephen C. Kleene), Пост (Emil L. Post), Гёдель
(Kurt G¨odel)) [12] задолго до этого были предложены трехзначная
и многозначная логики. В рамках многозначной логики, в отличие
от классической бинарной логики с аристотелевским принципом «исключенного третьего» (утверждение истинно — 1, ложно — 0, третьего
быть не может), степень истинности утверждения может описываться
конечным (или бесконечным) набором значений от 0 до 1.
— 33 —
Использовал ли Заде данную идею, когда публиковал первую статью по НМ [72] — это отдельный вопрос (в одной из трех работ, на которые есть ссылки в данной фундаментальной статье, Заде ссылается
на работу Клини по трехзначной логике). Однако, по мнению автора
данных строк, это не столь важно, поскольку результатом фундаментальной идеи Заде является нынешняя теория НМ, представляющая
собой огромный пласт современной науки с ее наукоемкими приложениями.
В работе [27] предложены три основных подхода к интерпретации
степени принадлежности µ𝐴(𝑥) = 𝐴(𝑥) элемента 𝑥 НМ 𝐴 на универсальном множестве 𝑋.
1. Степень/мера сходства, подобия, близости (similarity); например, если НМ 𝐴 представляет собой гранулу с описанием средней
скорости автомобиля с диапазоном значений для гранулы [60, 90]
км/ч, тогда величина 𝐴(65) описывает степень/меру близости к
понятию средней скорости; данная трактовка используется, в
частности, в задачах классификации и распознавания;
2. Степень/мера предпочтения (preference); например, значение
𝐴(𝑥) описывает степень предпочтения в пользу объекта 𝐴 при
значении переменной 𝑥, или меру предпочтения объекта 𝑢 при
сравнении с другими объектами; данная интерпретация применяется в принятии/анализе решений;
3. Степень/мера неопределенности; 𝐴(𝑥) — степень уверенности/
возможности того, что некоторый параметр 𝑢 описывается значением 𝑥, или мера того что «𝑢 есть A»; трактовка значения
𝐴(𝑥) как неопределенности находит применение, в частности, в
нечеткой логике, включая экспертные системы и искусственный
интеллект.
Можно показать, что указанные варианты интерпретации являют-
ся пересекающимися.
1.7. Методы формирования функций принадлежности
и их основные типы
В этом разделе рассматриваются методы задания функций принадлежности НМ, а также их основные типы, используемые в научнопрактических исследованиях и приложениях.
— 34 —
1.7.1. Методы формирования функций принадлежности
Как и в теории вероятностей для оценки распределения или плотности распределения вероятностей ϕξ(𝑥), в теории НМ также существуют различные подходы к формированию функции принадлежности 𝐴(𝑥) НМ 𝐴.
Существует несколько вариантов классификации методов задания
функций принадлежности 𝐴(𝑥). В книге [45] рассматриваются подходы к формированию 𝐴(𝑥) на основе так называемых прямых и непрямых методов, каждый из которых разбивается на методы с одним и
несколькими экспертами. В [53] выделятся два интегральных подхода: идущие от эксперта/пользователя и базирующиеся на его знаниях
и представлениях в рамках конкретной задачи (user-driven approach),
и подход на основе имеющихся данных (data-driven approaches). Указанные подходы являются пересекающимися, и каждый из них базируется на использовании определенных математических алгоритмов
(моделей представления экспертных суждений и анализа данных).
Рассмотрим два (пересекающихся) подхода к формированию
функции принадлежности: по экспертным оценкам или/и по имеющимся данным.
1. На основе экспертных знаний и представлений в рамках конкретной задачи эксперт задает функцию или несколько функций принадлежности. Например, формирование экспертом информационных гранул: низкая, средняя и т.д. скорость; задание
гранул приемлемости температуры воздуха в рабочем кабинете; интервалы возрастов (юный, молодой, взрослый, пожилой
человек); различия в оценках моделируемой величины (несущественные отличия, небольшие, средние, значительные) и др. При
этом, как правило, эксперты используют функции принадлежности треугольного и трапециевидного вида (как симметричных,
так и несимметричных).
2. Эксперт использует минимум данных о конкретных величинах
и предлагает нечеткие множества определенного вида. Например, имея данные о диапазоне изменения некоторой величины
𝐴, эксперт задает ее граничные значения, а также точку (точки) 𝑥 для формирования ядра НМ, 𝐴(𝑥) = 1 (в том числе, если имеются дополнительные данные, которые можно отнести к
ядру НМ с мерой уверенности близкой к 1). С использованием такого подхода формируют треугольные, 𝐴 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), и/или
— 35 —
трапециевидные, 𝐴 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), нечеткие множества.
3. В рамках нечеткого анализа решений и моделирования широко
используется подход с реализацией гранулированности информации на основе лингвистических переменных (см. раздел 3), в
рамках которых задаются соответствующие задаче лингвистические термы, которые фактически являются набором нечетких
множеств (как правило, треугольного или трапециевидного типа).
4. Когда имеется достаточное количество данных (например, от
экспертов) о значении некоторого параметра/показателя, который может интерпретироваться как неопределенная величина 𝐴,
можно построить классическую гистограмму, нормировать ее на
высоту (моду) и получить кусочно-линейную оценку функции
принадлежности (меры уверенности) 𝐴(𝑥).
5. Параметрический подход: предполагается известным общий
вид функции (или набора функций) принадлежности, заданный экспертами, но неизвестны конкретные параметры функции/функций принадлежности (например, набор лингвистических термов с неизвестным разбиением или гауссова функция
принадлежности с неизвестными параметрами); имеется набор
данных, которые представляют собой оценки экспертов степени принадлежности в некоторых точках/объектах или принадлежность тем или иным функциям/термам из заданного набора.
Для нахождения параметров функции/функций принадлежности составляется и решается классическая задача минимизации
среднеквадратичной ошибки.
6. К прямым методам оценки функции принадлежности 𝐴(𝑥) относится также следующий подход. Пусть универсальное множе-
ство 𝑋 = {𝑥1, ...., 𝑥𝑛} (сюда можно отнести также случай конеч-
ной выборки из заданного интервала в R с последующей интерполяцией полученной функции принадлежности 𝐴(𝑥) в предположении ее непрерывности). Ось α (или, привычно, ось 𝑂𝑌 ) разбивается на 𝑘 полуинтервалов (далее, интервал)) 𝑟𝑖= (α
𝑖−1
, α𝑖]:
0 = α0< α1< ... < α𝑘= 1; 𝑚 — количество экспертов, голосующих за то, в каком из указанных интервалов, по их мнению,
может находиться значение 𝐴(𝑥𝑗), 𝑗 = 1, ..., 𝑛. Обозначим через
𝑚𝑖(𝑥𝑘) количество голосов за то, что 𝐴(𝑥𝑗) ∈ 𝑟𝑖. Один из вари-
антов оценки состоит в выборе такого интервала 𝑟𝑖, за которого
— 36 —
подано наибольшее число голосов 𝑚𝑖(𝑥𝑘); в случае равенства,
например, 𝑚
полагают 𝐴(𝑥𝑘) = (α
(𝑥𝑘) = 𝑚𝑖(𝑥𝑘), 𝑖1< 𝑖, выбирают интервал 𝑟𝑖и
𝑖
1
+ α𝑖)/2. При необходимости получен-
𝑖−1
ную оценку функции принадлежности 𝐴(𝑥) нормируют на высоту ℎ(𝐴). При реализации данного метода необходимо уделить
внимание согласованности экспертных оценок (а также вопросу
выпуклости 𝐴(𝑥), если такое требование в рамках данной задачи
является необходимым).
7. В качестве непрямого метода рассмотрим оценку функции принадлежности, основанную на известном методе попарного сравнения Т. Саати (T. Saaty), предложенного в рамках метода
МКАР AHP [5].
Пусть имеются точки {𝑥𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑛}, в которых определяют-
ся значения функции принадлежности 𝐴𝑖= 𝐴(𝑥𝑖). Эксперты
не назначают значения 𝐴𝑖прямым методом. Вместо этого они
высказываются о предпочтении 𝐴𝑖над 𝐴𝑗, 𝑐𝑖𝑗в числовой шкале отношений (обычно для этого используется шкала Саати, в
которой отношение 𝐴𝑖к 𝐴𝑗по значимости изменяется от 1 (эквивалентные величины) до 9 (абсолютное предпочтение)). Для
заполненной обратно-симметричной матрицы 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗), согласно методу Саати, ищется собственный вектор матрицы 𝐶, соответствующий максимальному собственному значению λ
max
Найденный собственный вектор нормализуется на максимальное значение, и полученные значения вектора (𝑣1, ..., 𝑣𝑛) присваиваются значениям 𝐴𝑖: 𝐴𝑖= 𝑣𝑖, 𝑖 = 1, ..., 𝑛. Важным требованием к процессу решения задачи данным методом является анализ согласованности матрицы 𝐶. Ключевым показателем
согласованности, предложенным Саати, является отношение согласованности 𝑇 , вычисляемое следующим образом: 𝑇 = 𝐶 𝐼 /𝑅𝑛,
где 𝐶𝐼 (Consistency Index) определяется следующим выражением: 𝐶𝐼 = (λ
− 𝑛)/(𝑛 − 1), 𝑅𝑛— табличное значение индекса
max
согласованности для обратно-симметричных матриц размера 𝑛.
Для практических целей рекомендуемое значение отношения согласованности: 𝑇 ≤ 0.1 [5, 14].
.
Имеют место и другие методы задания функций принадлежности
нечетких множеств, основанные на обработке экспертных данных и
применении соответствующих математических методов [45, 53, 54].
— 37 —
1.7.2. Типы функций принадлежности нечетких
множеств
Существует несколько типов функций принадлежности НМ, основные из которых кратко рассмотрены ниже.
1. К базовым НМ на R по типу функции принадлежности относят треугольные и трапециевидные НМ, соответственно ТрНМ
и ТпНМ (см. также рис. 1.2). Существует несколько видов представления базовых НМ; например, 𝐹𝑆1 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) — треугольник с вершинами (𝑎, 0), (𝑏, 1), (𝑐, 0), или другой подход: 𝐹 𝑆2 =
= (𝑏, 𝑑1, 𝑑2); в последнем случае 𝑎 = 𝑏 − 𝑑1, 𝑐 = 𝑏 + 𝑑2. Мы
используем всюду первый подход. Для трапециевидных НМ используется, соответственно, обозначение 𝐹 𝑆2 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑).
2. Многоугольные функции принадлежности представляют собой
многоугольник с вершинами в точках с координатами (в плоскости (𝑥, α)) (𝑥1, α1), (𝑥2, α2), ..., (𝑥𝑛, α𝑛)), где, как правило, 𝑥1<
< 𝑥2< ... < 𝑥𝑛и α1< α2< ... < α𝑛.
В то же время, прежде всего в рамках нечетких чисел (см. раздел 2) могут рассматриваться случаи, когда, например, 𝑥𝑘=
= 𝑥
𝑘+1
& α𝑘< α
, а также 𝑥𝑘< 𝑥
𝑘+1
𝑘+1
& α𝑘= α
(рис. 1.9).
𝑘+1
Рис. 1.9: Кусочно-линейная функция принадлежности
— 38 —
3. Из непрерывных на R функций принадлежности 𝐴(𝑥) можно
выделить гауссову (симметричную) функцию принадлежности
(или гауссов колокол, см. рис. 1.4):
𝐴(𝑥) = exp(−((𝑥 − 𝑏)/𝑎)2). (1.14)
Так как 𝐴(𝑥) > 0, 𝑥 ∈ R, в приложениях делают «обрезание
функции» (truncation) в точках 𝑐1< 𝑏 и 𝑐2> 𝑏, и 𝐴(𝑥) рассматривается на отрезке 𝑐1, 𝑐2.
4. Используются также другие функции 𝐴(𝑥), похожие на гауссову функцию (вид колокола), но при этом имеют ограниченный
носитель (𝑐1, 𝑐2); например,
𝐴(𝑥) = {exp((4(𝑐2− 𝑥)(𝑥 − 𝑐1) − (𝑐2− 𝑐2)2)/(4(𝑐2− 𝑥)(𝑥 − 𝑐1))),
𝑥 ∈ (𝑐1, 𝑐2); 0, 𝑥 /∈ (𝑐1, 𝑐2)}.
(1.15)
5. Находят применение также асимметричные гауссовы функции
[54] и сигмовидные функции принадлежности (см. рис. 1.6), например:
𝐴(𝑥) = 1/(1 + exp(−𝑎(𝑥 − 𝑏))). (1.16)
6. Широко используются также гармонические и полиномиальные
функции принадлежности [45, 54].
7. В рамках нечетких чисел используются также кусочнонепрерывные и полунепрерывные сверху функции принадлежности (рис. 1.10).
Каждый из типов рассмотренных функций принадлежности имеет
свои достоинства и недостатки, детально обсуждаемые, например, в
[54]. Отметим кратко лишь следующее.
Базовые НМ (треугольного и трапециевидного типа) удобны для
реализации различного рода операций над НМ. Многоугольные функции принадлежности эффективно используются в реализации функций от нечетких множеств с использованием стандартной нечеткой
арифметики или методов трансформации (см. раздел 2). Ключевым
недостатком при использовании функций принадлежности указанного типа, согласно мнению специалистов [54], является отсутствие гладкости, так как функция 𝐴(𝑥) не имеет производных в точках излома,
— 39 —
Рис. 1.10: Полунепрерывная сверху функция принадлежности
что затрудняет настройку параметров нечетких математических моделей. В то же время, как подчеркивается в [54], далеко не всегда это
является непреодолимой проблемой и можно ограничиться свойствами кусочной гладкости.
Использование гладких функций принадлежности сопряжено с
не меньшим количеством недостатков, включая их симметричность
и/или большее количество параметров, необходимых для ее использования в моделях. Для идентификации параметров таких функций
требуется большое количество исходных данных об используемой системе и наличие сложных алгоритмов их обработки с учетом численной реализации вычислений. В последнем случае высокая нелинейность моделей может приводить к наличию нескольких локальных
экстремумов функции ошибок, что значительно затрудняет процесс
идентификации системы и требует применения еще более сложных
алгоритмов [54].
Таким образом, выбор типа функции принадлежности зависит от
специфики рассматриваемой задачи, опыта специалистов, наличия
необходимых математических алгоритмов и соответствующего программного обеспечения для их реализации.
— 40 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]